有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式的積分

1、精品文檔§3.6 有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式的積分教學目的： 使學生理解有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式積分法， 掌握有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式積分法的一般步驟及其應用。重點： 有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式積分法及其應用難點： 有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式積分法及其應用教學過程：一、問題的提出前面兩節(jié)我們利用基本積分表、 不定積分性質(zhì)和兩種基本積分發(fā) (換元積分法與分部積 分法) 已經(jīng)求出了一些不定積分。從求解過程中可見，求不定積分不像求導數(shù)那樣，只要按 照求導法則并利用基本求導公式就一定能求出一個函數(shù)的導數(shù)， 而求不定積分卻沒有那樣容 易。即使一個看起來并不復雜的函數(shù)，要求出結(jié)果，有時候都需要一定的技

2、巧，有些甚至還 “積不出”。例如，2e x dx,dx3 xsin xdxdx,xln x被積函數(shù)都是初等函數(shù)， 看起來也并不復雜， 但是在初等函數(shù)范圍內(nèi)卻積不出來， 這是 因為被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)。 本節(jié)主要介紹幾類常見的函數(shù)類型的積分方法與積分 計算技巧。求不定積分的主要方法有“拆、變、湊、換、分、套”“拆”，即將被積函數(shù)拆項，把積分變?yōu)閮蓚€或幾個較簡單的積分。 “變”，即代數(shù)恒等 變形： 加一項減一項、 乘一項除一項、 分子分母有理化、 提取公因子； 三角恒等變形： 半角、 倍角公式， 平方和公式， 積化和差、 和差化積、 和角公式； 陪完全平方： 根號下配完全平方、 分母配完全

3、平方等； “湊”，即湊微法(第一類換元法) 。“換”，即第二類換元法(三角代換、 倒代換、指數(shù)代換法等) 。“分”，即分部積分法。 “套”，即套基本公式。求不定積分的主要技巧在一個“巧”字和一個“練”字，即巧用上述方法和綜合 運用上述方法。二、 有理函數(shù)的積分有理函數(shù) R(x) 是指由兩個多項式的商所表函數(shù)，即R(x)n n 1P(x) a0x a1xan 1x anQ(x)b0xm b1xm 1bm 1x bm其中 m和 n都是非負整數(shù)； 分子多項式 P(x) 與分母多項式a0,a1,a2, ,an 及b0, b1, b2 , , bm都是實數(shù)，通?？偧俣?Q(x) 之間沒有公因式，并且 a

4、0 0， b0 0.當 n m時，稱 R(x)為真分式；而當 n m時，稱 R(x) 為假分式 .一個假分式總可化為一個多項式和一個真分式之和的形式.例如多項式的積分容易計算， 因此， 有理函數(shù)的積分主要是解決真分式的積分問題， 而真分式的積分往往是轉(zhuǎn)化為最簡分式來計算鑒此，我們先來討論真分式分解為最簡分式問題 .x4x3x1x1P(x)在實數(shù)范圍內(nèi)，真分式 Q(x) 總可以分解成最簡分式之和，且具有這樣的對應關(guān)系： 如果 Q(x) 中有因式 (x a)A1(x a)k，那么分解后相應有下列 k 個最簡分式之和AkA2k1 (x a) k 1(x a) ，其中A1、 A2、 Ak 都是常數(shù)2如

5、果 Q(x) 中有因式 (x 最簡分式之和.特別地， px q)k如果2 p4qA1 ，那么分解后只有一項 x a ；0 )，那么分解后相應有下列 k 個M 1x N12k (x2 px q)kM 2x (x2N2k1pxq)k 1M k x Nk 2x pxq，Mx N2 其中 Mi 、 Ni 都是常數(shù) .特別地，如果 k 1，那么分解后只有一項 x px q . 有理真分式總能分解為若干個部分分式之和的形式(部分分式是指這樣一種簡單分式，。從而得到，有理真分式的積分總可以歸納為以下四種形其分母為一次因式或二次質(zhì)因式)式的部分分式的積分：1)A dx; ( xa2)A ndx(x a) n2

6、)Mx N2 dx x px q(p2 4q 0)3)Mx N2n (x px q)dx(p2 4q 0),其中系數(shù) A、M、 N為常數(shù)綜上所述， 有理函數(shù)分解為多項式及部分分式之和以后， 各個部分都能積出， 且原函數(shù) 都是初等函數(shù)，因此，有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)。由上述定理，我們得到求有理真分式不定積分Pn ( x) dx的步驟書為：Qm(x)第一步 將Qm(x) 分解為( 2)的形式；第二步 將 Pn(x) 分解為( 3)的形式； Qm(x)第三步 求各部分分式的原函數(shù)。下面通過具體的舉例來說明分解的方法和步驟1例 1 把 x(x 1) 分解為最簡分式之和 .解：根據(jù)真分式的性質(zhì)可設1

7、 A B Cx(x 1) 2 = x (x 1)2 (x 1) 上式兩端去分母后，得1 A(x 1)2 Bx Cx(x 1) (1) 或1 (A C)x2 ( 2A B C)x A (2) 因為這是恒等式，等式兩端對應項的系數(shù)應相等，于是有A C 02A B C 0A1從而解得 A 1， B 1， C 1.1 1 1 1 22 于是得 x(x 1)2 = x (x 1)2 (x 1) .注：此題定 A、 B 、 C還有另法： 在恒等式中，代入適當?shù)?x值，即可求出待定的 常數(shù).在式中令 x 1 ，得 B 1；令 x 0 ，得 A 1；再令 x 2 ，得 C 1. 于是得1 1 1 1x(x 1

8、)2 = x (x 1)2 (x 1) .x3例 2 把 x 5x 6 分解為最簡分式之和2解 ：因為 x 5x 6 (x 2)(x 3) x 3 A B所以，令 x2 5x 6 x 2 x 3，其中 A、 B為待定常數(shù) 上式兩端去分母后，得x 3 A(x 3) B(x 2)(3)或x 3 (A B)x (3A 2B)(4)比較兩端系數(shù)有AB1 (3A B) 3 從而解得 A 5， B 6.所以x 3 5 62x 5x 6 x 2 x 3 注： 此題也可以采用上例第二種方法確定待定系數(shù)2x2例 3 把 (x 2)(x 2x 2) 分解為最簡分式之和2解：因為分母中 x22x 2 為二次質(zhì)因式，

9、2x故應分解為兩端去分母得(x 2)(x2 2x 2)Ax2Bx Cx2 2x 222x2 A(x2 2x 比較兩端對應項的系數(shù)不難求得 A 2 ， 所以2)B(Bx1，C)(x 2)C22(x 2)(x2 2x 2)2x2x2x2 2x 2由上可知，有理函數(shù)總能分解為多項式及最簡分式之和， A A Mx N Mx N k 2 2 x a、(x a) 、 x px q、 (x 數(shù)的積分 顯然，前面四類都比較容易積出， 一類積分較繁，其積分最終歸結(jié)為多項式、k2 px q) (k N,k 1,p2 4q 0) 等五類函 我們將在下面的例子中進行介紹，而對于最后 其結(jié)果可通過查閱積分表求得，這里不

10、作討論 .3x24x2 2x 9dx解：因為又由前面例3xx2 5x 6 x3 4x2 2x 9 x2 5x 6 x3 22知 x2 5x 62 4x2 2x 9 dxxx25x63所以,例 5 求 解：因為2x2x21x(x5x 65ln x2 dx1)2所以2 dx x(x 1)21dxxln x5x26 dx36ln x1x(x 1)2(x(x 1)21(x 1)11)211)1(x 1)dx(x2 dx1 dxx1x1ln x 12例 6 求 (x 2)(x2 2x 2) 解：由例 3 可得dx(x 2)(x2 2xx2又 x2dx從而2xdx 2 dx2) x 2dx1(2x 2)

11、122 2 dx x2 2x 22x 22 dx x2 2x 2 2d(x2 2x 2)2x 212121ln2x2lnx2x22x2dx2 dx x2 2x 2d(x 1)2(x 1)2 12x 2 arctan( x 1) C(x 2)2arctan( x 1) Cx2 2x 22 dx(x 2)(x2 2x 2)二、三角函數(shù)有理式的積分 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù)稱為三角有理式。 數(shù)都可用 sin x及 cosx 的四則運算來表示，故三角函數(shù)有理式也可以說是由 常數(shù)經(jīng)過有限次四則云素所構(gòu)成的函數(shù)，記為 有理式，積分 R(sinx,cosx)dx 稱為三角有理式的積分。

12、下面通過舉例來說明這類函數(shù)的積分方法 .1由于各種三角函 sin x、cosx 及 R(sin x，cos x) ,其中 R(u,v)表示兩個變量的例 7 求 1 sin x 解：因為dxcosxsinxcosx2sin xcosx22 2x sin22xcos22x sin22x cos22x sin22x cosx2tan22x tan22x tan22x tan2xtan 所以 ,令2sinxx 2 arctanu ，于是 2u21 u2 ， cosx代入原積分得dx1 sin x cosx11 2u 21 1 u21 du1uxln1 tan2ln12u1 u2u2 12udx2du1

13、 u22du2u般說來，對于三角函數(shù)有理式積分，總可作變量代換理函數(shù)的積分 .即有xtan u2R(sin x, cos x)dx2u1 u2tan x u2 ，將其轉(zhuǎn)化為 u 的有1 u2 22 2 du1 u2 1 u21 sin xdx例 8 求 sin x(1 cosx)解：令 tan2xu，則 x 2arctanu ，于是1 sin xsin x(1 cosx)dx1 1 u 2 du2u1ln u212u4uC1ln2tan x21 2 xtan42tan x C2最后需要指出的是： 上面所談兩類函數(shù)的積分方法是常規(guī)方法， 雖然有效但往往非常麻 煩，因此， 在具體解題時， 應盡量采

14、用其它簡便方法，只有在用其它方法難以積分的情況下 才采用上述方法 .如下面的例題23x dx例 9 求 x3 1 解：此題屬于有理函數(shù)積分，可采用上述常規(guī)方法做，31 d(x3 1)3但用下列方法計算較簡便2x3 dxx3 1x52 dx例 10 求 (x 1) .解：此題也屬于有理函數(shù)積分，用下列做法計算較簡便x 52 dx (x 1) 2 6(x 1) 2 (x 1)2x3 11ln3x3 1 Cdxx11d(x1)1 dx 6 x111 2 d(x 1)(x 1) 22 dx (x 1)2ln x 16x1sin xdx例 11 求 1 sin x .解：此例屬于三角函數(shù)有理式積分，si

15、n x1 sin xsin x(1 sin x)sinx21 cos x2dx2 dx2 dxcos xcos xcos2 xd (cos x)122dx dxcos xcosx用下面做法計算較為簡便dx1tanx x Ccosx形如 csinx dcosxdx(a2 b2 0) 的積分，一般可將被積函數(shù)的分子湊成分母與 asin x bcosx 分母的導數(shù)的線形組合，即令csin x dcosx A( a sin x bcosx) B(asinx bcosx) ， 通過比較等式兩端 sin x和cosx的系數(shù)，求出 A 和 B.對形如 sin mx cosnxdx, sin mxsin nxdx, cosmxcosn