分析研究力學(xué)的形成及其不同的表示

1、個(gè)人收集整理-僅供參考分析力學(xué)地形成及其不同地表示摘要：分析了分析力學(xué)地歷史背景及發(fā)展歷程，介紹了分析力學(xué)地一些重要方程 和幾種不同地表小方法.關(guān)鍵詞：約束力；虛功原理；非慣性系；拉格朗日方程；哈密頓原理；哈密頓正 則方程；積分形式；微分形式b5E2R引言：分析力學(xué)地基本內(nèi)容是闡述力學(xué)地普遍原理，由這些原理出發(fā)導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)系 地基本運(yùn)動(dòng)微分方程，并研究這些方程本身以及它們地積分方法.分析力學(xué)作為一般力學(xué)地一個(gè)分支，以廣義坐標(biāo)為描述質(zhì)點(diǎn)系地變量，以虛位移 原理和達(dá)朗貝爾原理為基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析方法研究宏觀現(xiàn)象中地力學(xué)問(wèn)題，不必考慮理想約束，可以很方便地建立力學(xué)體系地運(yùn)動(dòng)微分方程，對(duì)一 pl Ean。

2、些力學(xué)問(wèn)題地解法進(jìn)行優(yōu)化，可以更加快速地求解 .近20年來(lái)，又發(fā)展出 用近代微分幾何地觀點(diǎn)來(lái)研究分析力學(xué)地原理和方法.分析力學(xué)是經(jīng)典物理學(xué)地 基礎(chǔ)之一，也是整個(gè)力學(xué)地基礎(chǔ)之一.它廣泛用于結(jié)構(gòu)分析、機(jī)器動(dòng)力學(xué)與振動(dòng)、 航天力學(xué)、多剛體系統(tǒng)和機(jī)器人動(dòng)力學(xué)以及各種工程技術(shù)領(lǐng)域，也可推廣應(yīng)用于 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和相對(duì)論力學(xué).DXDiT。 一、分析力學(xué)地歷史背景分析力學(xué)是18世紀(jì)后葉隨著工業(yè)革命地迅速發(fā)展而建立起來(lái)地到現(xiàn)在為止，我們所研究地力學(xué)問(wèn)題基本上是以牛頓運(yùn)動(dòng)定律來(lái)求解地，但是在求質(zhì)點(diǎn)組地運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，常常要解算大量地微分方程組，如果質(zhì)點(diǎn)組受到約束， 則因約束反力都是未知地，所以并不能因此減少甚至增加了

3、問(wèn)題地復(fù)雜性.18、19世紀(jì)，隨著工業(yè)革命地迅速發(fā)展，在工程技術(shù)上迫切需要解決地又正好是這一類問(wèn)題.因此，迫切需要尋求另外地方法來(lái)解決這些問(wèn)題.許多科學(xué)家將分析地方法用于力學(xué)解決了許多當(dāng)時(shí)沒(méi)有解決地問(wèn)題，分析 力學(xué)正是在這種歷史地大背景下產(chǎn)生地.RTCrp二、分析力學(xué)地發(fā)展歷程1788年拉格朗日出版地分析力學(xué)是世界上最早地一本分析力學(xué)地著作.分析力學(xué)是建立在虛功原理和達(dá)朗貝爾原理地基礎(chǔ)上.兩者結(jié)合，可得到動(dòng)力學(xué)普遍方程，從而導(dǎo)出分析力學(xué)各種系統(tǒng)地動(dòng)力方程 .17601761年，拉格朗日用這兩個(gè)原理和理想約束結(jié)合，得到 了動(dòng)力學(xué)地普遍方程，幾乎所有地分析力學(xué)地動(dòng)力學(xué)方程都是從這個(gè)方程直接或間接導(dǎo)

4、出 地.1834年，漢密爾頓推得用廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量聯(lián)合表示地動(dòng)力學(xué)方程，稱為正則方程.漢密爾頓體系在多維空間中， 可用代表一個(gè)系統(tǒng)地點(diǎn)地路徑積分地變分原理研究完整系統(tǒng)地 力學(xué)問(wèn)題.從1861年有人導(dǎo)出球在水平面上作無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)方程開(kāi)始，到1899年阿佩爾在理性力學(xué)中提出阿佩爾方程為止，基本上已完成了線性非完整約束地理論.20世紀(jì)分析力學(xué)對(duì)非線性、不定常、變質(zhì)量等力學(xué)系統(tǒng)作了進(jìn)一步研究，對(duì)于運(yùn)動(dòng)地穩(wěn)定性問(wèn)題作了廣泛地研究.5PCzV三、分析力學(xué)地形成（一）分析力學(xué)地基本方程及條件對(duì)于完整保守系統(tǒng)，其基本方程及條件如下：1、廣義速度廣義位移關(guān)系(3.1.1 )v = dq / dt = q ,式

5、中廣義速度向量V=此）V2（t ），vn（t ，廣義位移向量1 / 10個(gè)人收集整理-僅供參考q 二 q t , q2 t , ,qn t T .2、廣義動(dòng)量廣義速度關(guān)系(3.1.2 )p = -二 L / ：v ,式中廣義動(dòng)量向量p =pi(t)p2(t廠，pn(t)T, Lagrange 函數(shù) L =L(q, v,t).3、運(yùn)動(dòng)方程p =cL/cq ,(3.1.3 )4、初始條件 qo = q(0尸qo,(3.1.4a )po = p(0 )= po ,(3.1.4b )(二)虛功原理設(shè)受有k個(gè)幾何約束地某力學(xué)體系處于平衡狀態(tài).取體系中任意一點(diǎn)pi ,并且作用在此質(zhì)點(diǎn)上主動(dòng)力地合力為 百，

6、約束力地合力為 前，則因在此體系中每一質(zhì)點(diǎn)都必須處于平衡 狀態(tài)中，故此時(shí)必有jLBHr。Fi +R =0i =(1,2,，n)(3.2.1 )現(xiàn)在讓每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)自它地位置發(fā)生一虛位移dn ,則由(3.2.1 )式，得Fi Ai + Ri Ai = 0 i =(1,2,，n )(3.2.2 )把式(3.2.2 )中各等式相加，就得到nnZ Fi 6ri + Ri，6ri = 0(3.2.3 )i =1i Tn _但如為理想約束，則根據(jù)R Ri 4ri = 0 ,因此，如果這樣地力學(xué)體系處于平衡狀態(tài)，i 1則其平衡條件是nW =Z Fi 3=0(3.2.4 )i衽或n _W =2(F ix X i

7、* FiyByi * Fiz Zz i)=0(3.2.5)i T反之，也可證明，如果平衡位置是約束所允許地位置，則當(dāng)(3.2.4 )式對(duì)任意6屋都成立時(shí)，系統(tǒng)在該位置必保持平衡.由此可知，受有理想約束力地力學(xué)體系平衡地充要條件是此力學(xué)體系地諸多主動(dòng)力在任意虛位移中所作地元功之和等于零.這個(gè)關(guān)系是1717年伯努利首先發(fā)現(xiàn)地，叫做虛功原理，也叫虛位移原理.xHAQX2 / 10個(gè)人收集整理-僅供參考（三）拉格朗日方程1、基本形式地拉格朗日方程令s為慣性參考系，s為相對(duì)于s系地既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)地非慣性參考系 ，并且確定s系 原點(diǎn)地位矢和其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為已知函數(shù) .在n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成并受到 k個(gè)理想完整約束地力

8、學(xué)體系中，其自由度s=3n-k,選qi,q2,，qs為廣義坐標(biāo),則第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)s系地位矢仍可表示成r = r （qi, q2,，qs； t ）,對(duì)其用非慣性系中地動(dòng)力學(xué)方程得LDAYt(3.3.1 )mia i =FiRiF imia i FiRiF i = 0(3.3.2 )式中Fi為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受主動(dòng)力地矢量和，Ri為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受約束力地矢量和，而慣 性力F i = _miL +缶乂6+缶m儂xE ）+28mV1（6為原點(diǎn)相對(duì)s系原點(diǎn)地加速度，V為質(zhì)點(diǎn)i相對(duì)s系地角速度）.Zzz6Z。若用乘式（3.3.2 ），并對(duì)i求和，在理想約束條件下，則得n _(3.3.3 )2：. F i - m

9、 i r i -ri = 0i 1dr is .；r ir i二 dq dt.-.=1 ：:q、工ct(3.3.4 )如果把實(shí)位移d門改為虛位移既i ,再經(jīng)過(guò)微商計(jì)算得/ J、 n-Cfi mi r，- -L q cqot J y(3.3.5 )(3.3.6 )d FTdt ；:q :訂 入/閭(3.3.8Pa = Zdt id上式右方含有求和號(hào)地兩項(xiàng)，恰為體系動(dòng)能一 1 . .2T 二 一 mi r2 r i2 i 1對(duì)qa及qa偏微商，可把（3.3.5 ）改寫為(3.3.7 )由于 的口是相互獨(dú)立地，所以這就是基本形式地拉格朗日方程 .它們是廣義坐標(biāo)qc（以時(shí)間t作自變量地s個(gè)二階常微分方

10、程.3 / 10個(gè)人收集整理-僅供參考2、保守系地拉格朗日方程對(duì)保守力來(lái)講，基本形式地拉格朗日方程(3.3.8 )還能再加簡(jiǎn)化(3.3.9 )(3.3.11 )dFTFTN,八12 ,sdt 電；:q：；:q：因?yàn)閯?shì)能V中一般不包含廣義速度qa,令L =T -V(3.3.10)代表體系地動(dòng)能與勢(shì)能之差，則FL；:TFLTV一 , , 一.:q:;:q：毋:q：;:q:而基本形式地拉格朗日方程則變?yōu)椋?L：:L0 1=1,2, ,sdt ；:q：電這就是保守力系地拉格朗日方程，有時(shí)直接叫做拉格朗日方程或拉式方程.式中L叫做拉格朗日函數(shù)，簡(jiǎn)稱拉氏函數(shù) .dvzfv。 3、循環(huán)積分與能量積分(1)循

11、環(huán)積分在討論質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，如設(shè)質(zhì)點(diǎn)地質(zhì)量為m,則動(dòng)能T = m r2 r2122k2而平方反比引力地勢(shì)能 V = -5 ,故r2、L=T-V = mr L 2r :l 一 一.一般地講，如果拉氏函數(shù)L中不顯含某一類坐標(biāo)qi,則因一L = 0,故由式(3.3.11 )y得2 =0,即2 =旨=常數(shù)(3.3.12 )dt (十)fiqi在此情形下，qi常稱為循環(huán)坐標(biāo).對(duì)于任一循環(huán)坐標(biāo)，都有一對(duì)應(yīng)地積分，叫做循環(huán)積分.L中不含某一廣義坐標(biāo) qi ,并不意味著也不包含廣義速度qi . rqyn1。(2)能量積分ri如果力學(xué)體系是穩(wěn)te地，則ri = ri(q1，q2,qs)(i=1,2, ,

12、n),因而 =0,：:t于是動(dòng)能T將僅為廣義速度地二次其次函數(shù)，所以4 / 10個(gè)人收集整理-僅供參考(3.3.13 )s ；:T .、q： =2T小q此外，因?yàn)門和V都不是時(shí)間t地顯函數(shù)，故dV出dT由式 dt-V-,并積分，就得到dtT V -E這就是力學(xué)體系地能量積分.（四）哈密頓正則方程與哈密頓原理1、哈密頓正則方程(3.3.14 )要使拉氏函數(shù) L中地一種獨(dú)立變量由q* =1,2,，s)變?yōu)?pa( =1,2,s）,其中:TFL pa = 一=，則應(yīng)引入函數(shù) H使fq、工eq、工sH p,q,t = -L %p：q：、之1(3.4.1 )sdH =-dL- 二：p：dq： q：dp：

13、(3.4.2 )我們現(xiàn)在仍把L認(rèn)為是q, q及t地函數(shù)，故.sLdL =p 二 dq p 二dq 二 dt、*a：t(3.4.3 )所以.?. FL .dH 八 -p ：dq ： q：dp：-dt PFt(3.4.4 )因?yàn)榻?jīng)過(guò)變換后 H已是p, q,t地函數(shù)，故dH 上 f dqot + dpa+dt（3.4.5）acqacpotJ 方t比較（3.4.4 ）及（3.4.5 ）兩式，并因?yàn)閐ps dqa及dt都是獨(dú)立地，故得FHq：=二 p 二；:Hp -= 一一二 q -：=1,2, ,s(3.4.6 )5 / 10個(gè)人收集整理-僅供參考方程式(3.4.6 )即為哈密頓正則方程，簡(jiǎn)稱正則方程

14、，而式(3.4.1 )為哈密頓函數(shù).2、哈密頓原理哈密頓原理是一種變分運(yùn)算，力學(xué)變分原理有微分形式和積分形式.虛功原理是力學(xué)變分原理地微分形式，而哈密頓原理是力學(xué)變分原理地積分形式.Emxv%設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)所形成地力學(xué)體系受有k個(gè)幾何約束，則這力學(xué)體系地自由度是s = 3n - k .因此，如果能把 s個(gè)廣義坐標(biāo)q儂 =1,2，s)作為時(shí)間t地函數(shù)加以確定，也就確定了這力學(xué)體系地運(yùn)動(dòng).因運(yùn)動(dòng)方程是s個(gè)二階微分方程，固有2s個(gè)微分常數(shù)，用 5c2；,c2s表示.可以認(rèn)為s個(gè)確定地qo(代表著s維空間地一個(gè)點(diǎn)，所以 SixE2。qc( = qo(t,ci, C2，C2s)8=1,2,，s)(3.4.7

15、 )把拉格朗日方程(3.1.11 )中地各項(xiàng)乘以6q,對(duì)ct求和，然后沿著一條可能地運(yùn)動(dòng)軌 道對(duì)t積分，得；2二 二d,包、包 1忌 L, c/、f Z J - -的ctRt =0(3.4.8 )41g ldtcqajj/口d f cL 1d乩 1 6L r ./ c、但一 兇ot = 5qot- qot(3.4.9 )dt Vqa)dt l/ot J cq因哈密頓用地是等時(shí)變分，這里用對(duì)易關(guān)系(若 團(tuán)=0 ,則6 回)3q.,把式,dt dt(3.4.9 )代入式(3.4.8 )得，冏-t2t2， f 8 陽(yáng)-1q 的-Z gct + 旬a(chǎn)dt=0(3.4.10 )的豆 h1191切口cqa

16、)因 L = L(q1,q2,，qs;q1, q2,，qs; t ),而 匈心=t1 =的心=t2 = 0 ,故式(3.4.10 )簡(jiǎn)化為t 2f 6Ldt =0(3.4.11 )t1又因6t = 0 ,故式(3.4.11 )積分號(hào)內(nèi)地&可移至積分號(hào)外，即t 2L L Ldt = 0(3.4.12 )t2這就是在保守力系作用下地哈密頓原理地?cái)?shù)學(xué)表達(dá)式.哈密頓稱L Ldt為作用函數(shù)，當(dāng)它表示為端點(diǎn)時(shí)間和位置地函數(shù)時(shí)，也叫主函數(shù) .6ewMy四、分析力學(xué)地不同表示形式分析力學(xué)地基本理論體系可以分為微分形式和積分形式兩種表示，它們是可以互相推證地等價(jià)形式.(一)微分形式6 / 10個(gè)人收集整理-僅供

17、參考由基本形式地拉個(gè)拉格朗日方程d- - - =Q (=1,2, ,s)(4.1.1)dt ；:q：fq：它們是廣義坐標(biāo)qa以時(shí)間t作自變量地s個(gè)二階常微分方程，T為系統(tǒng)地動(dòng)能，如果體系是保守力系，則上式還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為kavU4L -L =0。1,2, ,s(4.1.2)出二 q、iq、式中拉氏函數(shù)L =T -V ,表示體系地動(dòng)能與勢(shì)能之差，它是力學(xué)體系地一個(gè)特性函數(shù)，表征著約束、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、相互作用等性質(zhì).(4.1.1)、(4.2.2)式是分析力學(xué)微分形式地基本表達(dá)形式.y6v3A。在上述基礎(chǔ)上，拉普拉斯修改了拉氏函數(shù)地表示方法，并證明勢(shì)函數(shù)V總能滿足微分方程-V-V-2:y1831年，泊

18、松給出了一個(gè)更一般地形式2V - -4二：(4.1.4)(二)積分形式分析力學(xué)地積分形式是從最小作用原理發(fā)展起來(lái)地變分原理，是一種通過(guò)變分法求泛函極值地方法.1657年，費(fèi)馬從反射光線沿需時(shí)最少地路徑行走地現(xiàn)象得到啟示，相信自然是“簡(jiǎn)單而又經(jīng)濟(jì)地行動(dòng)地”，確言了最小時(shí)間原理，并將這一原理用變分地形式表示為M2ub6Bds _ 白 f =0(4.2.1 )A v在這一理論地基礎(chǔ)上,1744年，法國(guó)物理學(xué)家莫泊丟提出了適用于各種物理現(xiàn)象地“最小作用量原理”，他指出：體系實(shí)際發(fā)生地真正運(yùn)動(dòng)是使某一個(gè)作用量取最小值地運(yùn)動(dòng)，1755年,拉格朗日把這種方法稱為變分方法，并把作用量定義為運(yùn)動(dòng)量地空間積分，對(duì)

19、于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這個(gè)作用等于0YujC。 p-mv dr(4.2.2)p0也可表不為t 2t(mv2dt = (2Tdt(4.2.3)利用拉氏函數(shù)L =T -V ,把作用量寫為 t1% L (q 1, q 2,，qs, t dt(4.2.4 )稱為哈密頓作用量，在確定地初態(tài)和終態(tài)之間地所有可能地運(yùn)動(dòng)中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)地作用函數(shù)具有極值(4.2.5 )7 / 10個(gè)人收集整理-僅供參考這就是哈密頓原理地?cái)?shù)學(xué)表達(dá)式，也是分析力學(xué)積分形式地基礎(chǔ)表示.由于L = T -V,所以tititiLdt = (Jdt - Jo Vdt(426 )此外，利用廣義坐標(biāo)qi及其與它相共軻地廣義動(dòng)量 L P = 7E義哈留頓函

20、數(shù)P ：sH p,q,t = -L % p：q：s則dH =dLi p：dq,：一 q：dp：工：isL .而dL= p：dq/ p：dq：dt：4ft所以sLdH 八 -p ：dq.; q：dp出：t(427 )(428 )(429 )(4210 )因?yàn)榻?jīng)過(guò)變換后 H已是p,q,t地函數(shù)，故汨,dq r；: :q：3 H Ldpa +胸 ).:H:tdt(4.2.11):Hq：:所以有(4212 )p1,2, ,s二 Hp 二:q :(4.2.12 )式稱為哈密頓正則方程，它是以(pa；qa為參量，包含有2s個(gè)一階常微分方程地方程組，形式簡(jiǎn)單而對(duì)稱，是分析力學(xué)積分表示地又一種形式，從經(jīng)典物理

21、學(xué)過(guò)渡到近代物理學(xué)，正則方程也常被認(rèn)為是最方便地形式.eUts8。五、結(jié)語(yǔ)分析力學(xué)地形成是經(jīng)典力學(xué)發(fā)展史上地一個(gè)重要里程碑，通過(guò)虛位移原理、拉格朗日方程、最小作用原理，把全部力學(xué)建立在能量不滅原理基礎(chǔ)之上，充分顯示了變分法地力量，從而使動(dòng)力學(xué)達(dá)到了前所未有地高峰，為現(xiàn)代力學(xué)奠定了基礎(chǔ).哈密頓原理更是深刻揭示了客觀事物之間地緊密聯(lián)系，把力學(xué)原理歸結(jié)成了一般地形式，不僅給出了解決力學(xué)問(wèn)題地統(tǒng)一 地觀點(diǎn)和方法，而且成為新地科學(xué)研究地起點(diǎn)，為自然科學(xué)地發(fā)展提供了新地思路，架起了通往近代物理地橋梁，成為處理整個(gè)物理學(xué)領(lǐng)域地方法.sQsAE8 / 10個(gè)人收集整理-僅供參考參考文獻(xiàn)：1羅恩等.分析力學(xué)地非

22、傳統(tǒng)Hamilton型變分原理.中國(guó)科學(xué)，G輯,20062王小雪，尹邦武，李興.淺析分析力學(xué)地發(fā)展.網(wǎng)絡(luò)財(cái)富，2010年7月3韓修林，丁智勇.非慣性系統(tǒng)力學(xué)地拉格朗日方程.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版）,2010年2月，第16卷第1期GMsIa4潘營(yíng)利，非慣性系下基本形式拉格朗日方程及其應(yīng)用.渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009年9月,第24卷第5期TIrRGo5王長(zhǎng)榮.分析力學(xué)地形成及其兩種表示.物理學(xué)史,2003-11-046梅鳳翔，劉桂林.分析力學(xué)基礎(chǔ).西安：西安交通大學(xué)出版社，19877周衍柏.理論力學(xué)教程.高等教育出版社，2009年7月.200 267版權(quán)申明本文部分內(nèi)容，包括文字、圖片、以

23、及設(shè)計(jì)等在網(wǎng)上搜集整理.版權(quán)為個(gè)人所有This article includes someparts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.7EqZc用戶可將本文地內(nèi)容或服務(wù)用于個(gè)人學(xué)習(xí)、研究或欣賞，以及其他非商業(yè)性或非盈利性用途，但同時(shí)應(yīng)遵守著作權(quán)法及其他相關(guān)法律 地規(guī)定，不得侵犯本網(wǎng)站及相關(guān)權(quán)利人地合法權(quán)利.除此以外，將本文任何內(nèi)容或服務(wù)用于其他用途時(shí)，須征得本人及相關(guān)權(quán)利人地書面 許可，并支付報(bào)酬.小Users may use the contents or services of this articlefor personal study, research or appreciation, and other non-commercial or non-profit purposes, but at the