切比雪夫低通濾波器講解

1、課程名稱:數(shù)字信號處理題目編號：0202 題目名稱：切比雪夫H型IIR低通濾波器專業(yè)名稱：電子信息工程班級：電子1204班學(xué)號：20124470411 學(xué)生姓名：劉春陽任課教師：黃國玉 2015 年 09 月 30 日課程設(shè)計任務(wù)書題目切比雪夫II 型 IIR 低通濾波器學(xué)生姓名劉春陽學(xué)號20124470411專業(yè)班級電子 1204 班一、設(shè)計內(nèi)容應(yīng)用切比雪夫II 型方法并根據(jù)以下給定的參數(shù)，設(shè)計一個HR 低通濾波(1) 通帶截止頻率：( 4) ln20Anradp 32|g202(2) 過渡帶寬度： 8 至 兀 rad160(3) 滾降 a 訕 =60dB二、設(shè)計要求(1) 濾波器的初始設(shè)計

2、通過手工完成(2) 在計算機輔助計算的基礎(chǔ)上分析濾波器結(jié)構(gòu)對其，性能指標(biāo)的影響( 至少選擇兩種以上合適的濾波器結(jié)構(gòu)進行分析)(3) 在計算機輔助計算的基礎(chǔ)上分析濾波器參數(shù)的字長對其性能指標(biāo)的影響(4) 以上各項要有理論分析和推導(dǎo)，源程序以及表示計算結(jié)果的圖表1 . 數(shù)字濾波器的設(shè)計任務(wù)及要求（編號202） 22 .數(shù)字濾波器的設(shè)計及仿真 32.1 數(shù)字濾波器（編號202）的設(shè)計 322 數(shù)字濾波器（編號202）的性能分析 63? 數(shù)字濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)對其生能影響的分析 73?1 數(shù)字濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)一（直接型）及其幅頻響應(yīng) 83?2 數(shù)字濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)二（級聯(lián)型）及其幅頻響應(yīng) 103.3數(shù)字

3、濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)對其性能影響的小結(jié) 104. 數(shù)字濾波器的參數(shù)字長對其性能影響的分析 114.1 數(shù)字濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)一（直接型）參數(shù)字長及幅頻響應(yīng)特性變化.124? 2數(shù)字濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)二（級聯(lián)型）參數(shù)字長及幅頻響應(yīng)特性變化？-144.3 數(shù)字濾波器的參數(shù)字長對其性能影響的小結(jié) 165. 結(jié)論及體會 16165? 1 濾波器設(shè)計、分析結(jié)論 165.2 我的體會設(shè)計適的濾用。而5.3 展望 171? 數(shù)字濾波器的設(shè)計任務(wù)及要求( 0202 )每位同學(xué)抽簽得到一個四位數(shù)，由該四位數(shù)索引下表一確定待設(shè)計數(shù)字濾波器的類型及其方法，然后用指定的設(shè)計方法完成濾波器設(shè)計。要求：(1)濾波器設(shè)計指標(biāo)：通帶

4、截止頻=SMjirad ,過渡帶寬度pc 32= /皿化 rad， 滾降。廠60dB;160其中， id 抽簽得到那個四位數(shù)(題目編號)(2) 濾波器的初始設(shè)計通過手工計算完成；(3) 在計算機輔助計算基礎(chǔ)上分析濾波器結(jié)構(gòu)對其性能指標(biāo)的影響( 至少選擇兩種以上合波器結(jié)構(gòu)進行分析) ；(4) 在計算機輔助計算基礎(chǔ)上分析濾波器參數(shù)的字長對其性能指標(biāo)的影響；(5) 以上各項要有理論分析和推導(dǎo)、原程序以及表示計算結(jié)果的圖表；(6) 課程設(shè)計結(jié)束時提交設(shè)計說明書。2.數(shù)字濾波器的設(shè)計及仿真2.1 數(shù)字濾波器(編號202)的設(shè)計隨著信息和數(shù)字時代的到來，數(shù)字信號處理已成為當(dāng)今一門極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。

5、在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號中經(jīng)?；煊懈鞣N復(fù)雜的成分，因此很多信號的處理都是基于濾波器而進行的。所以數(shù)字濾波器在數(shù)字信號處理中起著舉足輕重的作數(shù)字濾波器的設(shè)計都要以模擬濾波器為基礎(chǔ)的，這是因為模擬濾波器的設(shè)計方法都已發(fā)展的相當(dāng)成熟，且有典型的模擬濾波器供我們選擇。如巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器等。本次課程設(shè)計將手工計算一個切比雪夫II 型的 HR 的低通模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，并在MATLAB 勺 FDATool 設(shè)計工具分析其性能指標(biāo)。該濾波器的設(shè)計流程圖如圖2.1計算數(shù)字濾 波器的技術(shù)/ 將數(shù)字參數(shù)參 數(shù)模擬低通濾波器設(shè)計模擬低 通濾波器階 數(shù)N和截止頻廠模擬低通濾 波器參數(shù)轉(zhuǎn) 換成數(shù)字濾

6、波器圖2.1濾波器設(shè)計流程圖1?手工計算參數(shù)通帶截止頻率:Md)32rack 0.1659 Z2 rad過渡帶寬度:log/idrad = 0.0144 二 rad阻帶截止頻率：時戎二0. 103 兀 rad jd=202:roll =6 d B為計算簡便，設(shè): 通帶最大衰減：？ =2dB阻帶最大衰 減：？ s = 62dB數(shù)字低通指標(biāo)化為模擬低通指標(biāo)：21 pc tan 二 0.2667rad /s T 2 ?s2 co】sttan一二 0.291 Orad / s Ts 2Ts 取 2s2. Cheb法設(shè)計模擬低通濾波器： 1）求低通濾波器階數(shù)N10 叫一1 | Yio P-1 arcch

7、Qpc二202）求零點z=i*d/cos2N,k=1,2,3,|(,N0 + 1.0031i 0- 1.0031i 0 + 1.0284i 0 - 1.0284i 0 + 1.0824i 0 - 1.0824i 0 + 1.1728i 0- 1.1728i 0 + 1.3151i 0- 1.3151i 0 + 1.5398i 0- 1.5398i 0 + 1.9139i 0? 1.9139i0 + 2.613H 0? 2.6131i 0 + 4.2837i 0 - 4.2837i 0 +12.7455i0-12.7455i3）求極點 : 0.0010,10P-1ar sinh 1/ ;)=0.

8、4471sin P *1(廣億3|2N 1機2N2e?+ cos? * image(iJf-3h|- 2NALA2N e -0.0273 ? 0.9300i -0.0847 - 0.9467i -0.1514? 0.981 Oi -0.2362 ? 1.0344i -0.3527 - 1.1081i -0.5238- 1.2003i -0.7885- 1.2964i-1.2057- 1.3400i-1.8096? 1.1657i-2.3909? 0.5049i-2.39090.5049i-1.80961.1657i-1.20571.3400i-0.78851.2964i-0.5231.2003

9、i-0.35271.1081i-0.23621.0344i-0.1514+ 0.9810i -0.0847 + 0.9467i -0.0273 + 0.9300i4)求增益k = real ”匕也=0.89135) 求模擬低通濾波器分子系數(shù)AnaB=k ureal V（z） （V是z的特征多項式）1.0e+03*0.00000.00000.00010.00000.0030.00000.0416-0.00000.2303-0.00000.7328 -0.00001.4196 -0.00001.7021 ? -0.00001.2332-0.00000.49470.00000.08436）求模擬低通

10、濾波器分母系數(shù)AnaA =real V( p) ( V( p)是p的特征多項式)1.0e+040.00010.00140.0090.04540.15720.43120.97311.85133.01854.2655.26445.69615.4127 4.50813.27932.06161.10870.49460.1790.0460.00847）綜上,模擬低通濾波器的傳遞函數(shù)Hlp P4.3p2o+494 ? 7pj1233? 2piTT 702.1 p 4+ .+.-184 P 2O 468惜+1791 p8 4946p" 11087A+20616PA+32793P4采用用雙線性變換法

11、求得數(shù)字低通濾波器的傳遞函數(shù)分子系數(shù)為0.01530.1092 ID.460；1.4137 3.45497.0374 12.278418.667725.008729.728931.4796 29.728925.008718.667712.27847.0374 3.45491.41370.460；0.10920.0153分母系數(shù)為1.0000 2.1779 6.4969 10.9433 18.4504 24.3685 29.742731.3188 29.870125.326419.345 13.1767.0216 4.326；2.04920.8390.29160.08300.0183 0.002

12、0.0002傳遞函數(shù)為LP Z =Hlp P PfT0.0153+0.1092 z' 0.4608Z 經(jīng) 1.4137Z ” 川1 2.1779Z46.4969zA 10.9433zn III3.程序?qū)崿F(xiàn) clc;clear allTs=2;Fs=1/Ts;Ap=2;As=62;Wp=log(202)/32*pi;% 通帶截頻Ws=Wp+log10(202)/160*pi; % 阻帶截頻wp=2/T s*tan(Wp/2) ；ws=2/Ts*tan(Ws ；%用 MTALA 算法設(shè)計切比雪夫II 型低通模擬濾波器N,Wn=cheb20rd(ws,wp 5Ap,As ; s,); %估計

13、濾波器的階數(shù) N和肌帶我一煩公wn 1=Wn/pi;BT,AT=cheby2(N 5As3Wn； s,);% 計算低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)多項式系數(shù)乙 P,K=cheby2(N 3Ap,Wn； s,)；H,W=zp2tf(Z,P,K);%用雙線性變換法將模擬濾波器sH 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器)num 5den=bilinear 侶T,AT,Fs)% 復(fù)變量映射s-zdispC 分子系數(shù):,);disp(num);dispC 分母系數(shù):,);disp(den);%計算增益響應(yīng) w=li nspace(0,pi,2048);%w= 0:pi/255:pi;繪制增益響應(yīng)h = freqz( nu m,de n,

14、 w);g =20*l0g 10(abs(h)/max(abs(h); %figure;pl0t(w/pi,g);grid 0n;%繪制切比雪夫低通濾波器幅頻特性axis(0 1-100 1);xlabelCXomegaApi*);80-100ylabel （'增益 /dB'）;title C切比雪夫2型低通濾波器幅頻響應(yīng)曲線J ;程序運行結(jié)果如圖所示File 北 View Insert 1001s desktop Window aindl鐵頭凸瞅昆”彳魁I 口四I 回T. 一 - 一卜一I - 卜Iiiui 1 iii切比雪夫2型低通濾玻器幅頻響應(yīng)曲線0“10-20-30CQ

15、送朋？? 607000.10.20.30.40.50.60.70.80.91a/x圖2.1程序結(jié)果圖3 ?數(shù)字濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)對其性能影響的分析在理想狀態(tài)下，對于同一個傳遞函數(shù)幾乎對應(yīng)著無數(shù)種等效結(jié)構(gòu)，然而這些結(jié)構(gòu) 卻并不一定都能實現(xiàn)。在無限參數(shù)字長的情況下，所有能實現(xiàn)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)之間，其表現(xiàn)完全相同。然而，在實際中，由于參數(shù)字長有限的限制，各實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)并不相同。下面我們就將對比直接型（包括直接I、II型）和級聯(lián)型兩種結(jié)構(gòu)在本例中對性能指標(biāo)的影響。在MATLAB八可以利用FDATool工具箱構(gòu)建不同類型的數(shù)字濾波器。第一種是直 接型結(jié)構(gòu)，第 二種是級聯(lián)結(jié)構(gòu)建立數(shù)字濾波器。 80-1003

16、.1數(shù)字濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)一(直接型)及其幅頻響應(yīng)宜接型的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)流圖如圖3.1所示:x(n)0.01530.1092刃皿-10.4608 -2.17790.1092 0.0281hj0.0153-0.002V圖3.1宜接型的結(jié)構(gòu)流圖選擇filter structure選項框中的Direct-Form I選項，點擊窗口下方的Import Filter按鈕，構(gòu)建宜接型結(jié)構(gòu)的切比雪夫 U型低通濾波器，結(jié)果如圖3.2所示。Norma ced Frequency: 0J665039Magnitude: -1.44358S4P3七口0,Normalized Frequency: 0/1801758Magn

17、itude: -59.68483100.10.20.30.4050.60.70.80.9Normalized FrequencyXK radAsample)圖3.2宜接I型切比雪夫濾波器3? 2數(shù)字濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)二（級聯(lián)型）及其幅頻響應(yīng)級聯(lián)型實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如下:圖3.3級聯(lián)型的結(jié)構(gòu)流圖選項，將構(gòu)建選擇 Edit 下拉菜單中點擊 Convert to Second-order Sections好的Direct-Form結(jié)構(gòu)的切比雪夫II型IIR低通濾波器轉(zhuǎn)換為級聯(lián)濾波器, 果如圖32所示Normalized Frequency: 0.1671143!Magnitude:-2.0005914040No

18、rmalized Frequency: 0.1824951Magnitude:-62.0105800.10.20.30.40.50.6070.80.9Normalized Frequency (xx rad/sample) 圖3.4級聯(lián)型切比雪夫濾波器3.3 數(shù)字濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)對其性能影響的小結(jié)表一宜接型性能分析性能指標(biāo)初始設(shè)計指標(biāo)(nrad/sample)宜接型(兀 rad/sample)(兀 rad/sample )灼P0.16580.1665+0.00070.18030.1801-0.0002as62(dB)59.68dB)-2.32ap2(dB)1.4435dB)-0.5565分析：

19、由表1可以看出， 減少0.0007町a(chǎn)d,皎 減少了 0.0002町a(chǎn)d。通帶PS的幅頻響應(yīng)曲線更加陡11肖，造成性能指標(biāo)的誤差很大，不能忽略。表二級聯(lián)型性能分析性能指標(biāo)初始設(shè)計指標(biāo)(兀 rad/sample)級聯(lián)型(兀 rad/sample)L (兀 rad/sample)0.16580.1671+0.00130.18030.1825+0.0012ot s62(dB)62.0106(dB)+0.0106ap2(dB)2.0059(dB)+0.0059分析：由表2可以看出，灼 下降了 0.0013町a(chǎn)d，灼下降了 0.0012燈ad。與 pS上面相比誤差減小，級聯(lián)結(jié)構(gòu)造成 f生能指標(biāo)誤差較小。

20、可能是階數(shù)比較大的原因，他們之間的差別還不大。我們知道，直接型對系數(shù)的敏感性較高，從而使得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對參數(shù)的變化也特別敏感，也就是對參數(shù)的有限字長運算過于靈敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產(chǎn)生較大誤差。而級聯(lián)型的函數(shù)值的連接順序具有較大的自由度，并且級聯(lián)型濾波 器每個 二階節(jié) 系數(shù)單獨控制一對零、極點，有利于控制頻率響應(yīng)；此外級聯(lián)結(jié)構(gòu)中后面的網(wǎng)絡(luò)輸 出不會再流到 前面，運算誤差的積累相對直接型就小。4 .數(shù)字濾波器的參數(shù)字長對其性能影響的分析在實際的數(shù)字濾波器的設(shè)計中，由于計算機或 DSP芯片等的字長和存儲空間有限，所以也只能對設(shè)計參數(shù)取有限的字長進行設(shè)計。然而，如果字長太短，則設(shè)計的濾波器誤差就會太

21、大，造成濾波效果不佳。下面就將以上述性能指標(biāo)為依據(jù)，初始設(shè)計的切比雪夫I型數(shù)字IIR低通濾波器為例，研究不同參數(shù)字長對性能指標(biāo)的影響。并為合適參數(shù)字長探索規(guī)律。將計算獲得的低通數(shù)字濾波器的系數(shù)輸入圖所示的filter coefficie nts工具中，并點擊Import Filter按鈕，生成數(shù)字濾波器。運用 FDATOO工具左下側(cè)上數(shù)第 三彳、 白勺 Set quantization parameters按鈕，在 filter arithmetic下拉菜單下選擇Fixed Point選項，進入如圖4.1所示的界面。Q Filter design & Analysis ToolD:Pr

22、ogram Files AMATLAB ARAOIAaXbinXqbxftoLfda KI ：_File Edit Analysis T arg rts 里 iew Window Help2i a?wa陽矗幻* n 田老窖OL IM叨曲囤回此？Magnitude Resfwnae (dB>1- Current Filer Informoiijon'Stnuctura: Direct-Form M Transposed, Second- Onfer SactkinsOrcferi&Sedtons9SiUbte :YesAQuree ? DennedJuanLiziingi

23、Filler.色Skn 百 F 加.filer < n. nager.00 1020 3040.5060.70809Normakzed Frequency rad/sampie)Cneffeiefils kipuWuipLrt Filler hlernafe刀nQDDf fDTICwfficBrrt word lengtti: Nufnerslcif Ir-ac.也？中:Numeralor ran pe: (7->:16precis ion ffscDon FengtHs?Vslies frac, length:1S2Scale V bUh nsngiE (*/?):0.00Us#

24、 unsigned re? fr?entatkinFiter arlffimetic Fotfrd poiratDcfiormniatGir Frac, tengftii;14 efiorn Jn atar ran"e (十 #?):圖4.1字長修改界面4.1數(shù)字濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)一（直接型）參數(shù)字長及幅頻響應(yīng)特性變將coefficient word length的值改為10,點擊下方的Apply按鈕，止匕時設(shè)計的濾波器幅頻響應(yīng)曲線和f生能指標(biāo)如圖 4.2所示：圖中的虛線為供參考的理想字長下生成的濾波器的幅頻響應(yīng)曲線，圖中實線為參數(shù)字長取為10位時的濾波器幅頻響應(yīng)曲線。從圖中可以看出：

25、字長為 10位時，濾 波器的各項性能指標(biāo)離設(shè)計指標(biāo)偏差很大，濾波器失真明顯，濾波效果很差，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計指標(biāo)的要求。-Direct-FormQuantizedNoriniaized Frequency (xx rad sample)圖4.2字長為10的濾波器（級直型）的幅頻響應(yīng)曲線對比將 coefficient word length的值改為20,點擊下方的Apply按鈕，此時設(shè)計的濾波器幅頻響應(yīng)曲線和性能指標(biāo)如圖所示: Magnitude Ke&pon&e (cttiHormaiized Frequency ratb'sample.4.3 字長為 20 的濾波器（直

26、接型）的幅頻響應(yīng)曲線對比字長為20時，效果還是很差，遠(yuǎn)不能滿足要求。將coefficient word length的值改為30,點擊下方的Apply按鈕，此時設(shè)計的濾波器幅頻響應(yīng)曲線和性能指標(biāo)如圖所示：一mayiiiiuue KG spun st? SUD p200B?3U0E2-20-40-60$0, Direct-Form It Quantized，Direct-Form II: Reference1I020.304050 60.70.80.9Normalized Frequency (xx rad/sample )圖4.4字長為30的濾波器（直接型）的幅頻響應(yīng)曲線對比字長為30時，效果

27、好很多，但是還是不能滿足要求。W coefficient word length的值改為40,點擊下方的Apply按鈕，此時設(shè)計的濾波器幅頻響應(yīng)曲線和性能指標(biāo)如圖所示：Drect-Fonn I: QuantizedDmectForml: ReferenceMormaiized FtBoency gt rad/sample圖4.5字長為40的濾波器（直接型）的幅頻響應(yīng)曲線對 字長為40效果很好，濾波器幅頻響應(yīng)達到了期望。4.2 數(shù)字濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)二（級聯(lián)型）參數(shù)字長及幅頻特性變化將coefficient word length 的值改為5,點擊下方的Apply按鈕，此時設(shè)計的濾波器幅頻響應(yīng)曲線

28、和性能指標(biāo)如圖所示U'MyFIUcW WI? FV、¥%0-20WD0Q.1020.30.40.5 OS 0.7Q.&OSNormaiz&d Frequency 岔 rad/sampte)圖4.6字長為5的濾波器（級聯(lián)型）的幅頻響應(yīng)曲線對比圖中的虛線為供參考的理想字長下生成的濾波器的幅頻響應(yīng)曲線，圖中實線為參數(shù)字長取為5位時的濾波器幅頻響應(yīng)曲線。從圖中可以看出：字長為 5位時，濾波器 的各項性能指標(biāo)離設(shè)計指標(biāo)偏差不是很大，濾波器在通帶有衰減失真，濾波效果較差，不能滿足設(shè)計指標(biāo)的要求將coefficient word length 的值改為10,點擊下方的Apply按鈕，此時設(shè)計的濾波器幅頻響應(yīng)曲線和性能指標(biāo)如圖所示:Normalized Frequency (