“四點共圓”在中考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用賞析

1、“圓”來如此簡單“四點共圓”在中考解題中的應(yīng)用賞析2012年8月，在曇假集體備課之際，新浙教版數(shù)學(xué)教材以煥然一新的面貌 岀現(xiàn)在大家眼前。與老版相比，新版教材增加了一些傳授內(nèi)容。其中，九年級上 冊的圓內(nèi)接四邊形就是一節(jié)新增內(nèi)容。而且與之配套的數(shù)學(xué)教學(xué)參考書 在3. 6圓內(nèi)接四邊形這一課時末尾，頗有用意地在第103頁“相關(guān)資源”中 對于如何判定四點共圓作了批注。原文如下：如何判定四點共圓。對于四點共圓的判定一般有以下兩種方法：1.如圖，四邊形中同一邊所對的兩個邊與對角線所成的角相等（如Z1 = Z2）,則這個四邊形為圓內(nèi)接四邊形，也就是四邊形的 四個頂點共圓。2如果四邊形的兩個對角互補，那么這個四

2、邊形為圓內(nèi)接四邊形，也就是四 邊形的四個頂點共圓。判定四點共圓會給許多兒何問題的解決帶來方便。近年來，經(jīng)過筆者的收集整理和實踐探究，發(fā)現(xiàn)很多地方的中考試題，都能 通過妙用四點共圓達到事半功倍的效果。現(xiàn)就四點共圓問題在中考解題中的應(yīng) 用，采擷兒例，剖析解法，供大家分享。一、四點共圓與線段問題結(jié)合的應(yīng)用舉例例 1. （2013紹興）在ZUBC 中，ZCAB=90o , AD丄BC 于點 D,點 E 為 AB 的中點，EC與AD交于點G,點F在BC上.（1）如圖 1, AC： AB=I: 2, EF丄CB,求證：EF=CD原方法分析：第（2）小題作EH丄AD于H, EQ丄BC于Q,先證明四邊形EQD

3、H 是矩形，得出ZQEH二90° ,則ZFEQ=ZGEH,再由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似 證明 EFQSAEGH,得出EF： EG=EQ: EH,然后在ZBEQ中，根據(jù)正弦函數(shù)的定 義得出EQ二-BE,在ZAEH中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH二至AE, 乂 BE二AE,2 2進而求出EF： EG的值.原方法解答：（1）略（2）解：如圖，作EH丄AD于H, EQ丄BC于Q,TEH丄AD, EQ±BC, AD±BC,四邊形EQDH是矩形，A ZQEH=90° ,A ZFEQ=ZGEH=90° ZQEG,乂 V ZEQF=ZEHG=90°

4、, ZiEFQs AEGH,AEF： EG=EQ: EH.VAC： AB=1： 3, ZCAB=90° ,.ZB二30° .在ZiBEQ 中，V ZBQE=90° ,AsinZB=顯=丄，BE 2EQ= -BE.2在AAEH 中，V ZAHE=90o , ZAEH=ZB=30° ,cos ZAEH= = ,AE 2AEH= AE.2Y點E為AB的中點，BE=AE,AEF： EG=EQ: EH=IBE： AE=1： 3.2 2該方法釆用了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的 判定和性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強，有一定難度.解題的關(guān)鍵是作

5、輔助線, 構(gòu)造相似三角形，并且證明四邊形EQDH是矩形.下面賞析四點共圓方法解（2）：解：連結(jié)GF, DE在 AABC 中，ZCAB=90o AC： AB=1： A/3 ZCBA=30°VAD±BCBAD是直角三角形T 點 E 為 AB 的中點 DE=BE/. ZEDB=ZCBA=30°TEF丄CE, AD±BC,四邊形DGEF對角互補D、G、E、F四點共圓 ZFGE=ZFDE=30°AEF： EG=IanZFGE=I ： 3例2 （2013-呼和浩特）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是BC邊上的 點，BE=I, ZAEP=90

6、6; ,且EP交正方形外角的平分線CP于點P,交邊CD于點F,FC（1）麗的值為；（2）求證：AE=EP;（3）在AB邊上是否存在點M,使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在， 請給予證明；若不存在，請說明理由.原方法分析：第(2)題在BA邊上截取BK二NE,連接KE,根據(jù)角角之間的關(guān) 系得到ZAKE二ZECP,山 AB二CB, BK二BE,得 AK二EC,結(jié)合ZKAE=ZCEP,證明ZAKE ECP,于是結(jié)論得出；原方法解答：(1) (3)略(2)證明：在BA邊上截取BK二E,連接KE,TZB二90° , BK二BE,A ZBKE=45° ,A ZAKE=I35°

7、; ,TCP平分外角，A ZDCP=4 5° ,A ZECP=I35° , ZAKE=ZECP,VAB=CB, BK二BE,AAB BK二BC BE,即：AK二EC,易得 ZKAE=ZCEP,在AAKE和AECP中，'Zkae=Zcep AK二ECI ZAKE=ZECP,AKEECP (ASA),AE=EP;該方法采用了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方 形的性質(zhì)等知識.此方法綜合性很強，圖形比較復(fù)朵，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準確選擇. 下面賞析四點共圓方法解(2)： 解：連結(jié)AC、AP/在正方形ABCD中ZBCD=90

8、76;CP是正方形外角的平分線 ZACD=450ZPCD=45° ZACP=90°T ZAEP=90°A、E、C、P四點共圓 ZAPE二 ZACE二4 5°EAP是等腰直角三角形AAE=EP 二、四點共圓與函數(shù)問題結(jié)合的應(yīng)用舉例1 k例3如圖(1),直線y = -X + 2交坐標軸于A、B兩點，交雙曲線y = (XVO)2 X于點 C,且 Saoczz8(1) 求k的值.(2) 如圖(2), A, G關(guān)于y軸對稱，P為雙曲線上一點，過P作PD丄X軸于D,分 別交 BG, AB 于 F, E,求證：DE+DF=4(3) Q為雙曲線上另一動點，連0Q,過C作

9、CM丄OQ,C丄y軸于如圖(3),當 Q點運動時，ZoMN是否是定值？說明你的理山。圖（1 ）圖（2 ）圖（3）解：（1） （2）略下面賞析四點共圓方法解（3）：解:連結(jié)OC,由(1)可知C (-4,4) ZOCN=45°TCM丄0Q, CN丄y軸/. ZCMO=ZCNO=90°四邊形CM0對角互補C、M、0、N四點共圓 ZoMN二ZOCN二45°例4 （2011紹興）拋物線y = 一扣_1+3與y軸交于點A,頂點為B,對 稱軸BC與X軸交于點C.（1）如圖1.求點A的坐標及線段OC的長；（2）點P在拋物線上，直線PQBC交X軸于點Q,連接BQ. 若含45

10、6;角的直角三角板如圖2所示放置.其中，一個頂點與點C重合, 直角頂點D在BQ ±,另一個頂點E在PQ上.求直線BQ的函數(shù)解析式； 若含30.角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點D在直線BQ上,2到ZDQO二43° ,求出點Q的坐標，然后用待定系數(shù)法求出BQ的解析式.分點 P在對稱軸的左右兩邊討論，根據(jù)相似三角形先求出點Q的坐標，然后代入拋物 線求出點P的坐標.原方法解答：解：(1)略(2)如圖：B (1, 3)分別過點D作DM丄X軸于M, DN丄PQ于點VPQ/7BC, ZDMQ=ZDNQ=ZMQN=90° ,ADMQN是矩形.V CDE是等腰直角三角形，

11、 DC=DE, ZCDM=ZEDNCDMEDNDM=DN,/.DMQN是正方形, ZBQC=45°ACQ=CB=3Q (4, 0)設(shè)BQ的解析式為：y=kx+b,把B (b 3), Q (4, 0)代入解析式得：k=- b b=4.所以直線BQ的解析式為：y二+4.當點P在對稱軸右側(cè)，如圖： 過點D作DM丄X軸于M, D丄PQ于V ZCDE=90o , A ZCDM=ZEDN當 ZDCE=30°乂 DN=MQ££=3DE DNCDMEDNDMMQBC二3, CQ二 3Q (1+ 3, 0)L 9、P1 (1+0-)4當ZDCE=60° ,點 P

12、2 (1+-).4當點P在對稱軸的左邊時,由對稱性知: 匕(10扌)，P"(l3屈十)綜上所述：P1 (1+ 3,-),P： (1+ 33 ,415L 9、-),P3 (1 - 3 , - ), PI44接下來直線BQ的解析式，P點的坐標都可迎刃而解。三、四點共圓與軌跡問題結(jié)合的應(yīng)用舉例例5、（2013鄂爾多斯）如圖6,直線y=-+4與兩坐標軸交A、B兩點，點P 為線段OA上的動點，連接BP,過點A作AM垂直于直線BP,垂足為M,當點P 從點0運動到點A時，則點M運動的長為.下面賞析四點共圓方法：解：TAM垂直于直線BP ZAoB二 ZAMB二90°A、M、0、B四點共圓M

13、點運動軌跡是以AB的中點N為圓心，AB長的一半為半徑的弧0A, 連結(jié)0N,直線y=-+4與兩坐標軸交于AB兩點，OA=OB=4.0N 丄 OB ZONA=90°VAB= OA2+OB2 =42AON= 22M點運動軌跡長為 22 = 2180例6 （2011浙江湖州）如圖1.已知正方形OABC的邊長為2,頂點A、C分 別在x、y軸的正半軸上,M是BC的中點.P （0, m）是線段OC上一動點（C點除外）, 直線PM交AB的延長線于點D.（1）求點D的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當AAPD是等腰三角形時，求m的值；（3）設(shè)過P、M> B三點的拋物線與X軸正半軸交于點E,過點

14、0作直線ME 的垂線，垂足為H （如圖2）.當點P從點0向點C運動時，點H也隨之運動.請 直接寫出點H所經(jīng)過的路徑長.（不必寫解答過程）解：（1） （2）略下面賞析四點共圓方法解（3）：V ZOCB=90°OH 丄 EM無論P在何處，四邊形OCMH對角互補0、C、M、H四點共圓，且該圓就是ACMO的外接圓隨著P點的運動，H點的運動軌跡是弧，且弧的起點和終點關(guān)鍵看P的起 占和敘占VP （0, In）是線段OC上的一動點（C點除外），0 m < 2當0與P重合時,H點才開始運動,此時過OMB三點的拋物線為y = -F+3x此時ME的解析式為y二-x+3,則ZMEO = 45°,T OH 丄 EMOHE為等腰直角三角形 ZCOH=450OM= 5VP與C無限幕近時H也將與C無限靠近H點運動的路徑終點與C無限幕近H點運動的弧長二空 = 18024縱觀近年各地中考試題，雖然四點共圓問題在中考卷中的考查，直接意圖 并不是很明顯。就如上述兒道試題頗有難度，用我們經(jīng)常提及的基本圖形、基本 思想、基本技能也能解決，但較為繁瑣，而構(gòu)造四點共圓將所求各類問題轉(zhuǎn)化為 圓的常見問題，并用圓的基本性質(zhì)將問題進行解決，一切都變得順風順水，有助 于學(xué)生初步形成“模型思想”、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。波利亞曾經(jīng)說過：“解題是一 種實踐性的技能，就好像游泳一樣。在學(xué)習解題時，你必須觀察和模仿別