11級第4次習(xí)題_思考題參考答案

1、11 級第 4 次習(xí)題 _思考題參考答案1、將布洛赫函數(shù)中的調(diào)制因子 uk(r)展成傅立葉級數(shù)，對于近自由電子，當(dāng)電子波矢遠(yuǎn)離和 在布里淵區(qū)邊界上兩種情況下， 此級數(shù)有何特點(diǎn)？ 在緊束縛模型下， 此級數(shù)又有什么特點(diǎn)？ 答： 由布洛赫定理可知，晶體中電子的波函數(shù)：k(r) exp(ikr )uk(r)具體寫出 u 的形式， 并論證對比本教科書 (4-24)式的一維形式和 (4-46) 的三維形式的修正項(xiàng)，其周期性，以一維的為例：將k (x) 變形得：k(x)1 ikxLe1Vn2hmk2 (k2mn2ani 2 x e a )2則有uk(x)2hm2k22mVne(k n2 )2ai2uk(x

2、ma)2hm2 k22mVnn2a(ki2 n(x ma) ea)21 n 2hm2 k2 (k2mn2ai2 e )2naxei2mn(m 為整數(shù) )因?yàn)?mn 為整數(shù)，所以 ei2 mn 1，uk (x ma)Vni2 e n2h 2 n 22hmk2 (k n2 )2可見， uk(x)是周期函數(shù)，于是有：k(x)1 ikxL e uk (x)在緊束縛模型下，電子的波函數(shù)是本教科書(4-57)式，再此基礎(chǔ)上寫出u 的形式，并論證其周期性 (過程略 )。b1 ,b2 , b3 ，而波矢空間2、波矢空間與倒格空間有何關(guān)系？為什么說波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)是準(zhǔn)連續(xù)的？答：波矢空間與倒格空間處于同一空間

3、，倒格空間的基矢分別為的基矢可以認(rèn)為也是 b1,b2,b3，但是受周期性限制， 波矢空間的基矢則分別為 Nb11,Nb22 ,Nb22N1、N2、N3 分別是沿正格子基矢 a1 , a2 ,a 3方向晶體的原胞數(shù)目。倒格矢空間中一個(gè)倒格點(diǎn) 對應(yīng)的體積為：b1 （b2 b3）波矢空間中一個(gè)波矢點(diǎn)對應(yīng)的體積為：b1 ( b2N1 (N2Nb33)即波矢空間中一個(gè)波矢點(diǎn)對應(yīng)的體積，是倒格空間中一個(gè)倒格點(diǎn)對應(yīng)的體積的1/N 。由于 N是晶體的原胞數(shù)目， 數(shù)目巨大， 所以一個(gè)波矢點(diǎn)對應(yīng)的體積與一個(gè)倒格點(diǎn)對應(yīng)的體積相比是 極其微小的。也就是說， 波矢點(diǎn)在倒格空間看是極其稠密的。 因此，在波矢空間內(nèi)作求和處

4、 理時(shí)，可把波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)看成是準(zhǔn)連續(xù)的。3、簡敘緊束縛近似方法的思想。答：電子在一個(gè)原子 （格點(diǎn) ）附近時(shí)，主要受到該原子勢場的作用，而將其它原子（格點(diǎn)）勢場的作用看作是微擾， 將晶體中電子的波函數(shù)近似看成原子軌道波函數(shù)的線性組合，這樣 可以得到原子能級和晶體中能帶之間的關(guān)系。一個(gè)原子能級 i 對應(yīng)一個(gè)能帶，不同的原子能級對應(yīng)不同的能帶。當(dāng)原子形成固體后， 形成了一系列的能帶。 能量較低的能級對應(yīng)內(nèi)層電子， 其軌道較小， 原子之間內(nèi)層電子的波 函數(shù)相互重疊較少，所以對應(yīng)的能帶較窄。能量較高的能級對應(yīng)外層電子， 其軌道較大， 原子之間外層電子的波函數(shù)相互重疊較多， 所以對應(yīng)的能帶較寬。4、

5、近自由電子模型與緊束縛模型各有何特點(diǎn)？它們有相同之處？答 ：所謂近自由電子模型就是認(rèn)為電子接近于自由電子狀態(tài)的情況， 而緊束縛模型則認(rèn) 為電子在一個(gè)原子附近時(shí)， 將主要受到該原子場的作用， 把其它原子場的作用看成微擾作用。 這兩種模型的相同之處是：選取一個(gè)適當(dāng)?shù)木哂姓恍院屯陚湫缘牟悸搴詹ㄐ问降暮瘮?shù)集， 然后將電子的波函數(shù)在所選取的函數(shù)集中展開， 其展開式中有一組特定的展開系數(shù)， 將展開 后的電子的波函數(shù)代入薛定諤方程， 利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交性， 可以得到一組各展 開系數(shù)滿足的久期方程。 這個(gè)久期方程組是一組齊次方程組， 由齊次方程組有解條件可求出 電子能量的本征值，由此便揭示出了系統(tǒng)

6、中電子的能帶結(jié)構(gòu)。5、緊束縛模型電子的能量是正值還是負(fù)值？s 態(tài)電子能量表達(dá)式：答： 緊束縛模型電子在原子附近的幾率大， 遠(yuǎn)離原子的幾率很小， 在原子附近它的行為 同在孤立原子的行為相近。 因此， 緊束縛模型電子的能量與在孤立原子中的能量相近。 孤立 原子中電子的能量是一負(fù)值，所以緊束縛模型電子的能量是負(fù)值。Es Esat J0J(Rs)eik RsRs nearer 即是例證，其中孤立原子中電子的能量Esat 是主項(xiàng)，是一負(fù)值， J0和 J(Rs) 是小量，也是負(fù)值。6、與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對什么狀態(tài)的電子具有強(qiáng)烈的散射作用？答： 當(dāng)電子的波矢 k 滿足關(guān)系式：GnGn(kn ) 0n

7、2 時(shí)，與布里淵區(qū)邊界平行且垂直于 Gn的晶面族對波矢為 k 的電子具有強(qiáng)烈的散射作用。此 時(shí)，電子的波矢很大， 波矢的末端落在了布里淵區(qū)邊界上， k 垂直于布里淵區(qū)邊界的分量的 模等于 |Gn | 。27、在布里淵區(qū)邊界上電子的能帶有何特點(diǎn)?答： 電子的能帶依賴于波矢的方向，在任一方向上，在布里淵區(qū)邊界上，近自由電子的能帶一般會出現(xiàn)禁帶。若電子所處的邊界與倒格矢Gn正交，則禁帶的寬度 Eg=2|V( Gn )|。V( Gn )是周期勢場的傅立葉級數(shù)的系數(shù)。不論何種電子， 在布里淵區(qū)邊界上， 其等能面在垂直于布里淵區(qū)邊界的方向上的斜率為 零，即電子的等能面與布里淵區(qū)邊界正交。8、緊束縛模型下，

8、內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較，哪一個(gè)寬？為什么？答：以 s態(tài)電子為例。緊束縛模型電子能帶的寬度取決于積分Js的大小，而積分：*at*at atJs N sat (r)V(r) V at(r Rn) sat(r Rn)dr的大小又取決于 s (r) 與相鄰格點(diǎn)的 s (r Rn) 的交迭程度。緊束縛模型下，內(nèi)層電子的s (r) 與 s (r Rn )交疊程度小，外層電子的s (r)與 s (r Rn )交迭程度大。因此， 緊束縛模型下，內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較窄，外層電子的能帶寬。9、根據(jù)能帶理論簡述金屬、半導(dǎo)體和絕緣體的導(dǎo)電性。答： 對于金屬：電子在能帶中的填充可以形成不滿

9、帶，即導(dǎo)帶，因此它們一般是導(dǎo)體。 對于半導(dǎo)體： 從能帶結(jié)構(gòu)來看與絕緣體的相似， 但半導(dǎo)體禁帶寬度較絕緣體的窄， 依靠熱激 發(fā)即可以將滿帶中的電子激發(fā)到導(dǎo)帶中， 因而具有導(dǎo)電能力。 對于絕緣體： 價(jià)電子剛好填滿 了許可的能帶， 形成滿帶。 導(dǎo)帶和價(jià)帶之間存在一個(gè)很寬的禁帶， 所以在電場的作用下沒有 電流產(chǎn)生。10、絕對零度時(shí)，價(jià)電子與晶格是否交換能量?答： 晶格的振動形成格波，價(jià)電子與晶格交換能量，實(shí)際是價(jià)電子與格波交換能量。格波的能量子稱為聲子，價(jià)電子與格波交換能量可視為價(jià)電子與聲子交換能量。頻率為i 的格波的聲子數(shù)：n1ni e i /kBT 1從上式可以看出，絕對零度時(shí)，任何頻率的格波的聲

10、子全都消失。因此，絕對零度時(shí)，價(jià)電子與晶格不再交換能量。11、試述晶體中的電子作準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動的條件和準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動的基本公式。答：在實(shí)際問題中，只有當(dāng)波包的尺寸遠(yuǎn)大于原胞的尺寸，才能把晶體中的電子看做準(zhǔn)經(jīng)典粒子。準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動的基本公式有：晶體電子的準(zhǔn)動量為k；晶體電子的速度為11 k E(k) ；晶體電子受到的外力為dkdt晶體電子的倒有效質(zhì)量張量為12k22E(k)；k；在外加電磁場作用下，晶體電子的狀態(tài)變化滿足：dke(dtv B)dve* ( vdtm*B)12、試述有效質(zhì)量的意義。引入它有何用處？答：有效質(zhì)量實(shí)際上是包含了晶體周期勢場作用的電子質(zhì)量，它的引入使得晶體中電 子準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動的加速度與

11、外力直接聯(lián)系起來了， 就像經(jīng)典力學(xué)中牛頓第二定律一樣， 這樣便 于我們處理外力作用下晶體電子的動力學(xué)問題。a，電子的波函ia) (其中 f為某13、一維周期場中電子的波函數(shù)k (x) 應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理。若晶格常數(shù)為3數(shù)為： (1) k(x) sin x；(2) k(x) icos x；(3) k(x) f (xa a i個(gè)確定的函數(shù) )。試求電子在這些狀態(tài)的波矢，并給出相應(yīng)的布洛赫函數(shù)。答：布洛赫函數(shù)可寫成k(x) eikx u k ( x) ，其中， uk(x a)uk(x) 或 寫 成k (x a) eika k(x)(1) k(x a) sin x aax sinak (x)eika1

12、i x i x k(x) e a e a sin x aixea uk(x)顯然有 uk (x a) uk (x)故布洛赫函數(shù)為：uk(x)ix easin x；而 k (x) asin x 的波矢是 。 a(2) k (x a)icos3(xaa)3x icos ak(x)所以ikae1k (x)ix ea3xe iaxicos3xaixe a uk (x)顯然有 uk (xa)uk(x)故布洛赫函數(shù)為：uk(x)i x 3xaicos ；而a3xk (x)icos3x 的波矢 。 aa(3) k (x a)if(xia)ifx (i1)af (x ma) k (x)eika1i0ak(x)

13、 ef(xiia)i0xe uk (x)故布洛赫函數(shù)為： uk (x)if(xia) ；而 k(x)f (x ia) 的波矢為 0 。*要注意的是，上述所確定的波矢解。因?yàn)?k 空間中相差任一倒格矢的兩個(gè)k 并不是唯一的，這些k 值所描述的狀態(tài)是k 值加上任一倒格矢都是所需的樣的。14、已知一維晶體的電子能帶可寫成：2 71E(k) 2 ( coska cos2ka) 。ma2 88式中 a 是晶格常數(shù)。試求(1)能帶的寬度； (2) 電子在波矢k 的狀態(tài)時(shí)的速度； (3) 能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量。答： (1)在能帶底 k=0 處，電子能量為 E(0)=0 ；在能帶頂k 處，電子能量為

14、a22E( ) 2 a ma故能帶寬度為 E22E( ) E(0) 2 ；a ma(2)電子在波矢k 的狀態(tài)時(shí)的速度為(k)1 dEh dkh1(sin kasin 2ka)ma 4(3)電子的有效質(zhì)量為2/ d2E/ dk 2m1coska cos2ka2于是有在能帶底部電子的有效質(zhì)量為 m1* 2m；在能帶頂部電子的有效質(zhì)量為*2m2m 。315、在晶體中， 電子在周期勢場中運(yùn)動， 此周期勢是電子同所有原子和所有其它電子的庫侖 作用勢產(chǎn)生的。設(shè)某一維金屬晶體內(nèi)的勢場是鋸齒勢，如圖所示，鋸齒高度為V 0，寬度為a，勢的周期也為 a，試寫出該勢的表達(dá)式并求出該金屬的能帶寬度。答：這種鋸齒勢的表達(dá)式為：V(x)x2V0 (n 1) ax2V0n a(n 1)a x1(n )a2(n1)ax