2020新課標高考數(shù)學講義：集合、不等式、常用邏輯用語含解析

1、教學資料范本2020新課標高考數(shù)學講義：集合、不等式、常用邏輯用語含解析編 輯： 時 間： 第 2 講 集合、不等式、常用邏輯用語集合 考法全練 1 (20xx ·高考天津卷)設集合 A1、1、2、3、5、B2、3、4 、C xR|1x<3 、則(AC)B()A2B2 、3C 1、2、3D1、2、3、4解析：選 D.因為 AC1、1、2、3、5xR|1x<31、2、所以 (AC)B 1 、 2 2 、3、41、2、3、4故選 D.2(20xx ×·×市第二次質量預測 )已知全集 UR、Ax|yln(1x2) 、By|y4x2、 則 A (?U

2、B)()A( 1、0)B0、1)C（0、1）D（ 1、0解析： 選 D.Ax|1x2>0 （1、1）、By|y>0、所以 ?UBy|y0、所以 A （?UB）（1、0 、故選 D.3（多選）若集合Ax|x（x2）0、且 ABA、則集合B 可能是 （)A1B0C1D2解析： 選 BCD.因為 Ax|x（x2）0、所以 A0、2因為 A B A、所以 B? A.由選項知有 0 ? A、1 ? A、 2 ? A.故選 BCD.4（一題多解 ）已知集合 A（x、y）|x2y23、xZ、yZ、則 A中元素的個數(shù)為 （ ）A 9B 8C 5D 4解析： 選 A.法一： 由 x2y23 知、 3

3、x 3、 3y 3、又 x Z、yZ、所 以 x1、0、1 、y1、0、1、所以 A 中元素的個數(shù)為 C13C319、故選 A.法二：根據(jù)集合 A 的元素特征及圓的方程在坐標系中作出圖形、如圖、易知在圓x2y23中有9 個整點、即為集合 A 的元素個數(shù)、故選 A.5已知集合 M x|y lg（2 x） 、Ny|y 1x x1、則（）A M? NB N? MCMNDN M解析：選 B.因為集合 Mx|ylg（2x）（、2）、Ny|y 1x x 1 0 、 所以 N? M.故選 B.6 （一題多解 ）（20xx 安·徽省考試試題 ）已知集合 Ax|xa0、B1 、 2、 3 、若 A B

4、?、則 a的取值范圍為 （ ）A (、 1B 1、 )C (、 3D 3、 )解析：選 B.法一： 集合 Ax|xa、集合 B1、2、3、若 AB?、則 1、2、3 這 三個元素至少有一個在集合 A中、若 2或 3在集合 A 中、則 1一定在集合 A中、因此只要保 證 1A 即可、所以 a 1、故選 B.法二：集合 Ax|xa 、B1 、2、3、a的值大于 3時、滿足 AB?、因此排除 A、 C.當 a1 時、滿足 AB?、排除 D.故選 B.集合問題的求解策略(1) 連續(xù)數(shù)集借助數(shù)軸、不連續(xù)數(shù)集借助Venn 圖(2) 圖形或圖象問題用數(shù)形結合法(3) 新定義問題要緊扣定義進行邏輯推理或運算提

5、醒 解決集合問題要注意以下幾點(1) 集合元素的互異性(2) 不能忽略空集(3) 注意端點的取值、如題 3 中、 A(?UB)中含有元素 0.(4) 理解代表元素的意義、如題 4 為點集、其他各題均為數(shù)集不等式的性質及解法 考法全練 1（20xx ·陜西華陰期末 ）若不等式x2 xm2< 0 的解集不是空集、則實數(shù) m 的取值范圍為（)111A，2B2，2111C2，2D，2，解析： 選 B.因為不等式 x2xm2<0 的解集不是空集、所以 >0、即 14m2>0、所以 112< m< 2.故選 B.2（多選 ）若 0<a<1、b>

6、; c>1、則 （)bac a cA >1B>cb a bCca1<ba1Dlogca<logbabb a b 0解析： 選 AD. 對于 A、因為 b> c>1、所以 b> 1.因為 0<a<1、則>1、故正ccc確對于 B、若 ca>c、則 bc ab >bc ac、即 a（cb）>0、這與 0<a<1、b>c>1 矛盾、 b a b故錯誤對于 C、因為 0<a<1、所以 a 1< 0.因為 b> c>1、所以 ca1>ba1、故錯誤對于 D、因為

7、 0<a<1、b> c>1、所以 logca<logba、故正確故選 AD.3（一題多解 ）（20xx 高·考全國卷 ）若 a>b、則 （）Aln（a b）> 0B3a<3bC a3 b3> 0D |a|> |b|解析： 選 C.法一：不妨設 a1、b 2、則 a> b、可驗證 A、B、D錯誤、只有 C正 確法二： 由 a> b、得 a b> 0、但 a b> 1 不一定成立、則 ln（a b）> 0 不一定成立、故 A 不一定成立因為 y3x在 R 上是增函數(shù)、當 a>b時、3a>

8、3b、故 B 不成立因為 yx3在 R 上是增函數(shù)、當 a>b時、 a3> b3、即 a3 b3 >0、故 C成立因為當 a 3、 b 6 時、a>b、但|a|<|b|、所以 D 不一定成立故選 C.4設x表示不超過 x 的最大整數(shù) （例如： 5.55、5.5 6）、則不等式 x25x 60 的解集為 （）A （2、 3）B 2、 4）C 2、 3D （2、 3解析： 選 B.不等式 x25x60可化為 （ x 2） ·（ x 3） 0、解得 2x3、即不等 式x25x60的解集為 2x3.根據(jù)x表示不超過 x 的最大整數(shù)、得不等式的解集為 2 x<

9、; 4.故選 B.b mb5已知實數(shù) b> a>0、m<0、則 mbma、 （用>、<填空 ）a ma解析： 因為 b>a> 0、m<0、所以 ba>0、所以 mbmam（ba）<0、所以 mb< ma. bm b a（bm）b（am） m（ ba）bm bamaa（am） a（am）< 0、所以 am< a.答案： < <2x， x 1，6已知函數(shù) f（x）若不等式 f（x）5mx 恒成立、則實數(shù) m 的取ln（x1），1<x2，值范圍是 解析：作出函數(shù) f(x)的大致圖象如圖所示、令 g(x)5

10、mx、則 g(x)恒過點 (0、 5)、由 f(x)g(x)55恒成立、由數(shù)形結合得 25 m 0、解得 0m52.(1) 一元二次不等式的解法先化為一般形式 ax2bxc>0(a0)、再求相應一元二次方程 ax2 bx c0(a0)的根、 最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與 x 軸的位置關系、確定一元二次不等式的解集(2) 簡單分式不等式的解法f(x) >0(<0)? f(x)g(x)>0( <0)g(x)f(x) 0(0)? f(x)g(x)0( 0)且 g(x)0.g(x)(3) 不等式恒成立問題的解題方法f(x)>a對一切 xI 恒成立 ? f(x)min&

11、gt;a； f(x)<a對一切 xI 恒成立 ? f( x) max< a.f(x)>g(x)對一切 xI恒成立 ? f(x)的圖象在 g(x)的圖象的上方 解決恒成立問題還可以利用分離參數(shù)法、一定要搞清誰是自變量、誰是參數(shù)一般地、 知道誰的范圍、誰就是變量、求誰的范圍、誰就是參數(shù)利用分離參數(shù)法時、常用到函數(shù)單 調性、基本不等式等基本不等式及其應用 考法全練 1(多選 )下列不等式的證明過程錯誤的是( )ABa< 0、則 aa、bR、則CDa、b（0、 ） 、則 lg alg b2 lg a lg· b aR 、則 2a 2a2 2a·2a2解析：選

12、 ABC. 由于 a、 b 的符號不確定、故選項 A 錯誤；因為 a<0、所以 a4 a a) 4a 4a)· 4、故 B 錯誤；由于 lg a、 lg b 的符號不確定、 a故選項C 錯誤；因為 2a> 0、2a> 0、所以2a 2a 2 2a·2a2、故選項 D 正確故選ABC.2(一題多解 )(20xx 長·沙模擬 )若 a> 0、b> 0、abab、則 ab 的最小值為 ( )ABCD解析： 選 B.法一：由于 abab（ab）2、因此 ab4 或 ab0（舍去）、當且僅 4當 ab 2時取等號、故選 B.1 11 1a b法

13、二：由題意、得 11 1、所以 a b（ a b） · 2ab224、當且僅當 a a ba bb ab 2時取等號、故選 B.法三：由題意知 abb 1（b>1）、所以 abbb 1b2b1b11224、當且 僅當 ab2 時取等號、故選 B.11 3已知向量 a（x1、3）、b（1、y）、其中 x、 y都為正實數(shù)若 ab、則 x3y的最小值為 （）A2B 2 2C4D 2 31解析： 選 C.因為 a b、所以 a·b x 1 3y 0、即 x 3y1.又 x、 y為正實數(shù)、所以 1x x1（x3y）·11 23y x22 3y·x 4、當且僅

14、當 x3y1時取等號所以 13y x 3y x 3y x 3y 2 x1 的最小值為 4. 故選 C.3y（ x 1）（ 2y 1）4 （20xx ·高考天津卷 ）設 x> 0、 y>0、 x2y5、則xy 的最小值為解析： 因為 x>0、y> 0、所以 xy> 0.因為 x 2y5、所以 （x1）（2y1）xy2xyx2y12xy62 xy 6 2 12xy xy xy 4 3.當且僅當 2 xy等號所以 （x1）（2y1）的最小值為 4 3.xy答案： 4 3125（20xx 洛·陽模擬 ）已知 x>0、y>0、且 xy1、則

15、xy x y的最小值為 12解析： 因為 xy1、所以 2xyxy、所以 xy x y 3x 2y 、因為 3x2y （3x2y） 1xy2 76yx2xy、且 x>0、y>0、所以 3x2y74 3、所以 xyxy 的最小值為 7 4 3.答案： 7 4 3416已知 a>b> 0、則 a 的最小值為 、此時 a a b aba b 2 a ba b4 1 1 8解析：因為 a>b>0、所以 aa4ba1b21 ab 8ab)·a8b2ab)·a2 b2 2 2 3 2、當且僅當a322、b 22時等號成、b立答案： 3 2 322利用

16、不等式求最值的 4 個解題技巧(1) 湊項 ：通過調整項的符號、配湊項的系數(shù)、使其積或和為定值(2) 湊系數(shù) ： 若無法直接運用基本不等式求解、可以通過湊系數(shù)后得到和或積為定值、從 而可利用基本不等式求最值(3) 換元 ： 分式函數(shù)求最值、通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分A開再利用基本不等式求最值即化為ymBg(x)(A>0、B>0)、 g(x)恒正或恒負的形g(x)式、然后運用基本不等式來求最值(4) “1”的代換 ： 先把已知條件中的等式變形為 “1”的表達式、再把 “1”的表達式與所求最值 的表達式相乘求積、通過變形構造和或積為定值的代數(shù)式求其最值提醒 (

17、1)基本不等式 ab 2 ab成立的條件是 a> 0、b> 0、而不等式 a2 b2 2ab 對任意實數(shù) a、b 都成立、因此在使用時要注意其前提條件(2)對多次使用基本不等式時、需考慮等號是不是能同時成立(3)對于含有 xax(a> 0)的不等式、不能簡單地利用 xxa2 a、而是要根據(jù) x 的取值范xx圍判斷能否取到最小值 2 a、若不能、需要利用函數(shù)的單調性求其最小值常用邏輯用語 考法全練 1（20xx ×·×市質量監(jiān)測 （一）設命題 p：? xR、x2x1>0、則綈 p為 （ ）A? xR、x2x1>0B? xR、 x2 x1

18、0C? xR 、x2x1 0D? xR 、x2x1<0解析： 選 C.已知原命題 p： ? x R、 x2 x 1>0、全稱命題的否定是將全稱量詞改為存 在量詞、并否定命題的結論、故原命題的否定綈 p 為? xR、x2x10.2（20xx ·××市調研測試 ）下列命題中、為真命題的是 （ ）A ? x0 R、 ex0 0B? xR 、2x>x2aCab0 的充要條件是 b1D若 x、 yR、且 x y>2、則 x、y 中至少有一個大于 1解析： 選 D.因為 ex>0 恒成立、所以選項 A 錯誤取 x2、則 2x x2、所以選項 B

19、錯 誤當 ab0 時、若 b0、則 a 0、此時 a無意義、所以也不可能推出 a 1；當a 1 b b b 時、變形得 ab、所以 ab0、故 ab0 的充分不必要條件是 a 1、故選項 C 錯 b誤假設 x1且 y1、則 xy2、這顯然與已知 xy>2 矛盾、所以假設錯誤、所以 x、y 中至少有一個大于 1、故選項 D 正確綜上、選 D.3（20xx ·高考浙江卷 ）若 a>0、b>0、則“ ab4”是“ ab4”的 （）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析： 選 A.因為 a>0、 b>0、若 ab4、所以 2 a

20、b2b4.所以 ab 4、此時充分性成立當 a>0、b>0、ab4 時、令 a4、b 1、則 a b5>4. 這與 ab4 矛盾、因此必要性不成立綜上所述、當 a>0、b>0時、 “ a b 4”是“ ab 4”的充分不必要條件故選 A. 4（20xx ·高考天津卷 ）設 x R、則“ x25x<0”是“ |x 1|<1”的 （）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析： 選 B.由“x25x<0”可得 “0<x<5”；由 “|x1|<1”可得 “0<x<2”由“0<x

21、<5”不能 推出 “0<x<2”、但由 “0<x<2”可以推出 “0<x<5”、所以 “x25x<0”是 “ |x 1|<1”的必要不充 分條件故選 B.5（多選）滿足函數(shù) f（x）ln（mx3）在（、 1上單調遞減的一個充分不必要條件是（ ）A 3< m< 2B 3<m< 0C 4<m<0D 3<m< 1解析： 選 AD. 結合復合函數(shù)的單調性、可知函數(shù)f（x）ln（mx 3）在 （、1上單調遞減m<0，的充要條件是解得 3<m<0.所以“3<m< 2”是“函數(shù)

22、 f（x）在（、1上m3>0，單調遞減 ”的充分不必要條件、故 A 正確； “3<m< 0”是“ 函數(shù) f（x）在（、 1上單調遞 減”的充要條件、故 B不正確； “4<m<0”是“函數(shù) f（x）在（、1上單調遞減 ”的必要 不充分條件、故 C不正確； “3<m<1”是“函數(shù) f（x）在（、1上單調遞減 ”的充分不 必要條件、故 AD 正確6設條件 p： |x| m（m> 0）、 q： 1x4、若 p 是 q 的充分條件、則 m 的最大值為 、若 p 是 q 的必要條件、則 m 的最小值為 解析： 由 |x| m（m> 0）得： mxm、

23、m 1由p是q的充分條件 ?0<m1、m4所以 m 的最大值為 1、 m 1由p是q的必要條件 ?m4、m4所以 m 的最小值為 4.答案： 1 4(1) 充分條件與必要條件的三種判定方法正、反方向推理、若 p? q、則 p是 q的充分條件 (或 q是 p 的必要條件 )；若 p 定義法? q、且 q? / p、則 p是 q 的充分不必要條件 (或 q是 p的必要不充分條件 ) 利用集合間的包含關系、例如 p： A、 q： B、若 A? B、則 p是 q的充分條件 (q 集合法是 p 的必要條件 ) ；若 A B、則 p 是 q 的充要條件等價法 將命題等價轉化為另一個便于判斷真假的命題

24、(2) 全稱命題與特稱命題真假的判定方法 全稱命題：要判定一個全稱命題是真命題、必須對限定集合M 中的每一個元素 x 驗證p(x)成立、要判定其為假命題、只需舉出一個反例即可特稱命題：要判定一個特稱命題為真命題、只要在限定集合M 中至少能找到一個元素x0、使得 p(x0)成立即可；否則、這一特稱命題就是假命題提醒 求解簡易邏輯問題有以下幾個易失分點：(1)“A是 B 的充分條件 ”與“A的充分條件是 B”是不同的概念(2)命題的否定與否命題是有區(qū)別的、 “命題的否定 ”即“非 p”、只是否定命題 p 的結 論(3) 全稱或特稱命題的否定、要否定結論并改變量詞一、選擇題1（20xx 高·

25、;考全國卷 ）設集合 Ax|x25x6>0 、 B x|x 1<0 、則 AB（）A （、 1）B （2、 1）C（3、 1）D（3、 ）解析： 選 A. A B x|x25x 6>0 x|x 1<0 x|x<2或 x>3 x|x<1 x|x<1 故選 A.2（2020 ·山東高考模擬 ）設命題 p：所有正方形都是平行四邊形則綈p 為（）A所有正方形都不是平行四邊形B有的平行四邊形不是正方形C有的正方形不是平行四邊形D不是正方形的四邊形不是平行四邊形解析： 選 C.根據(jù)全稱命題和特稱命題的關系、全稱命題的否定是特稱命題、故選C.3（20

26、xx ×·×市質量監(jiān)測 （一）已知全集 U 1 、 3、5、 7 、集合 A1、3 、B3、5、 則如圖所示陰影區(qū)域表示的集合為 （ ）A3B7C3、7D1 、3、5解析： 選 B.由圖可知、陰影區(qū)域為 ?U(AB)、由并集的概念知、 AB1 、3、5 、又 UB.1、3、5、7、于是?U(AB)7 、故選4(20xx 廣·西欽州期末 )已知 a、b R、a2b215ab、則 ab 的最大值是 ()A15B12C5D3解析： 選 C.因為 a2b215ab 2ab、所以3ab15、即 ab5、當且僅當 a b± 5時等號成立所以 ab的最大值為

27、 5.故選 C.5已知 a>0> b、則下列不等式一定成立的是Aa2< abB|a|<|b|0、11C.1a>1b1D. 2a 1 b>2解析： 選 C.通解： 當 a1、b 1 時、滿足a>0> b、此時a2ab、|a|b|、 21a<b、所以 A、B、 D 不一定成立因為 a> 0> b、所以 b a< 0、ab<0、所以 1a1bba>ab11所以 > 一定成立、故選 C.ab優(yōu)解：因為 a>0>b、所以a1>0>b1、所以a1>b1一定成立、故選C.6下列命題錯誤的是

28、 ( )1A“ a>1”是“ 1<1”的充分不必要條件aB命題“ ?x0(0、 )、ln x0 x0 1”的否定是“ ?x(0、 )、ln xx 1”C設 x、yR、則“x2且 y 2”是“ x2 y2 4”的必要不充分條件D設 a、 b R、則“ a 0”是“ ab 0”的必要不充分條件 11解析：選 C.若1<1、則 a>1或 a<0、則“a>1”是“1<1”的充分不必要條件、故 A正確；根 aa據(jù)特稱命題的否定為全稱命題、得“?x0（0、 ）、ln x0 x0 1”的否定是 “?x（0、）、ln xx1”、故 B 正確；當 x2 且 y2 時、

29、x2y24、當 x2y24 時卻不一定有 x 2 且 y2、如 x5、y 0、因此 “x2 且 y 2”是“x2y24” 的充分不必要條件、故 C 錯誤；因為 “ab0”是 “a0”的必要不充分條件、所以 “a 0”是“ ab 0”的必要不 充分條件、故 D 正確7（一題多解 ）若關于 x 的不等式 x2 2ax 1 0 在 0、 ）上恒成立、則實數(shù) a 的取值 范圍為 （ ）A （0、 ）B 1、 ）C1、1D 0、 ）解析： 選 B.法一： 當 x 0時、不等式 10 恒成立、11當 x>0 時、 x22ax 10? 2ax（x21）? 2a xx 、又 xx 2、當且僅 xx當 x

30、 1時、取等號、所以 2a2? a1、所以實數(shù) a的取值范圍為 1、 ） 法二： 設 f（x）x22ax1、函數(shù)圖象的對稱軸為直線 x a、當a0、即 a 0時、 f（0） 1> 0、所以當 x 0、 ）時、 f（x）0恒成立； 當a>0、即 a<0 時、要使 f（x）0 在0、 ）上恒成立、需 f（a）a22a21a2 1 0、得 1a< 0.綜上、實數(shù) a 的取值范圍為 1、）、故選 B.0，x0，8（一題多解 ）設函數(shù) f（x）則滿足不等式 f（x22）>f（x）的 x 的取值范2x2x，x>0，圍是 （ ）A（、 1） （2、 ）B（、 2） （ 2

31、、 ）C（、 2） （2、 ）D（、 1） （ 2、 ）解析： 選 C.法一： 因為當 x>0 時、函數(shù) f（x）單調遞增；當 x0時、 f（x）0、故由 f（x2解得 x>2 或 x< 2、所以 x 的取值范圍是 （ 、x>0，x 0，2）>f（x）得、 x22>x或 x22>0，2）（2、 ）、故選 C.法二： 取 x2、則 f（222）f（2）、所以 x 2不滿足題意、排除 B、D；取 x 1.1、則 f（1.1）22）f（0.79）0、f（1.1）0、所以 x 1.1 不滿足題意、排除 A、故選 C.M、集合 Nx|x2x<0、則下9(多

32、選 )已知全集 UR、函數(shù) yln(1x)的定義域為 列結論正確的是 ( )AMNNBM (?UN)?CMNUD解析： 選 AB.由題意知 Mx|x<1、Nx|0<x<1 、M?(?UN)所以 MNN.又?UNx|x0 或x 1 、所以 M(?UN)x|x0?、MN x|x<1 M、M(?UN)、故選 AB.10A(多選)已知 a、b、c 是實數(shù)、下列結論正確的是 ( a2>b2”是“a>b”的充分條件Ba2>b2”是“a>b”的必要條件Cac2>bc2”是“a>b”的充分條件D|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必

33、要條件解析： 選 CD.對于 A、當 a 5、 b 1時、滿足 a2>b2、但是 a<b、所以充分性不成立；對于 B、當 a1、b 2時、滿足 a>b、但是 a2<b2、所以必要性不成立；對于C、由 ac2>bc2得 c0、則有 a>b成立、即充分性成立、故正確；對于D、當 a 5、b1時、 |a|>|b|成立、但是 a<b、所以充分性不成立、當a1、b 2時、滿足 a>b、但是 |a|<|b|、所以必要性也不成立故 “|a|>|b|”是 “a>b”的既不充分也不必要條件故選CD.11(多選 )設 b>a>0、

34、cR、則下列不等式正確的是 (11Aa2<b2C.a2>aC.b2 bD ac2<bc21 1 1解析： 選 ABC. 因為 yx2在(0、)上是增函數(shù)、所以 a2<b2.因為 yxc在(0、 )x上是減函數(shù)、所以 1ac>b1c.因為 ba22ba2(b a)a 2 a 2(b2)b> 0、所以 b2>b.當 c0 時、 ac bc2、所以 D 不成立故選 ABC.12(多選 )下列命題正確的是 ( )a<ba 1 aA已知 a、b 都是正數(shù)、且 b1>b、則B已知 fx()是 f(x)的導函數(shù)、若 ?xR、f(x) 0、則 f(1)<f(2)一定成立 C命題“ ? x R 、使得 x22x1<0”的否定是真命題D“x1且 y 1”是“ x y 2”的充要條件a 1 a解析： 選 AC.A. 已知 a、b 都是正數(shù)、由>a、得 abb>aba、則 a<b、正確； B.b1 b若 f(x)是常數(shù)函數(shù)、則 f(1)<f(2)不成立； C.命題 “?xR、使得 x22x1<0”是假命題、則 它的否定是