知識講解_《解三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固_基礎(chǔ)

1、解三角形全章知識復(fù)習(xí)與鞏固編稿：李霞 審稿：張林娟【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題2.應(yīng)用能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一：正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即：要點詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形，且（為的外接圓半徑）；（2）應(yīng)用正弦定理解決的題型：已知兩角和一邊，求其它已知兩邊和一邊的對角，求其它（3）在已知兩邊和一邊的對角，求其它的類型中，可能出現(xiàn)無解、一解或兩解，應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角”定理及幾何作圖來幫助理解.要點二：余弦定理在

2、ABC中，變形為：，要點詮釋：（1）應(yīng)用余弦定理解決的題型：已知三邊，求各角已知兩邊和一邊的對角，求其它已知兩邊和夾角，求其它；（2）正、余弦定理的實質(zhì)是一樣的，從而正弦定理能解的問題余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有別；（3）正、余弦定理可以結(jié)合使用.要點三：三角形的面積公式(1) ，其中為邊上的高(2)（3），其中要點四：三角形形狀的判定方法設(shè)ABC的三邊為a、b、c，對應(yīng)的三個角為A、B、C，解斜三角形的主要依據(jù)是：（1）角與角關(guān)系：由于A+B+C = ，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC；（2）邊與邊關(guān)系：a + b >

3、; c，b + c > a，c + a > b，ab < c，bc < a，ca > b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理、余弦定理常用兩種途徑：（1）由正余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角；（2）由正余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊.要點詮釋：化簡中將三角形內(nèi)角和、三角同角基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角公式等綜合結(jié)合起來.在ABC中，熟記并會證明：A，B，C成等差數(shù)列的充分必要條件是B=60°；ABC是正三角形的充分必要條件是A，B，C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列.要點五：解三角形應(yīng)用的分類（1）距離問題：一點可到達另一點不可到達；兩點都不可到達；（2）高度問題（最后都轉(zhuǎn)

4、化為解直角三角形）；（3）角度問題；（4）面積問題.【典型例題】類型一：正、余弦定理的基本應(yīng)用例1.ABC中，D為邊BC上的一點，BD33，求AD【思路點撥】確定在在ABD中運用正弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為求的正弦值.【解析】由知由已知得，從而由正弦定理得，所以【總結(jié)升華】解答此類問題應(yīng)注意以下幾點：（1）畫出三角形，把相關(guān)數(shù)據(jù)標(biāo)注在三角形中，便于確定已知和所求；（2）明確求解所用的定理，有些題目正、余弦定理都可以求解；（3）注意對三角形的內(nèi)角和定理、大邊對大角定理的靈活運用，避免增解、漏解的現(xiàn)象.舉一反三：【變式1】設(shè)的內(nèi)角,所對的邊分別為,. 若,則角_. 【答案】由 根據(jù)余弦定理可得 【變式2

5、】在ABC中，已知BAC60°，ABC45°，則AC_【答案】由正弦定理得， 即，得類型二：正、余弦定理的綜合應(yīng)用例2.在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知（1）求sinC的值；（2）當(dāng)a2，2sinAsinC時，求b及c的長【思路點撥】（1）利用二倍角公式及三角形內(nèi)角的范圍，易求得sinC的值；（2）首先利用正弦定理將角化為邊，易求得邊c，要求邊b，考慮用余弦定理，即先求出cosC的值.【解析】（1）因為，及，所以（2）當(dāng)a2，2sinAsinC時，由正弦定理，得c4由，及得由余弦定理得，得解得或所以或【總結(jié)升華】解答該類題目要注意以下幾個方面：（1）借

6、助圖形標(biāo)注已知和所求；（2）利用三角形的性質(zhì)把相關(guān)條件化歸到同一個三角形中；（3）注意靈活利用正、余弦定理，實施邊、角互化.舉一反三：【變式1】在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則A的度數(shù)為 【答案 】， ， ， 在ABC中A30°【變式2】設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且ABC，3b=20acosA，則sinA：sinB：sinC為（）A4:3:2 B. 5：6：7 C. 5:4:3 D. 6:5:4【答案】由于a，b，c 三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且ABC，可設(shè)三邊長分別為 a、a-1、a-2由余弦定理可得&

7、#160;又3b=20acosA，可得解得，故三邊是6,5,4.由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=6:5:4類型三：利用正、余弦定理解決實際問題例3. 在2012年的“利劍”軍事演習(xí)中紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為的軍事基地C和D，測得藍方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且ADB30°，BDC30°，DCA60°，ACB45°，如下圖所示，求藍方這兩支精銳部隊的距離【思路點撥】首先根據(jù)問題的背景，把相關(guān)數(shù)據(jù)標(biāo)注在圖形中，轉(zhuǎn)化到解三角形中求邊長的問題，然后根據(jù)已知選用相應(yīng)的定理進行求解，最后把求解的結(jié)果還原為實際問題的答案【解法】解法一：

8、ADCADB+CDB60°，ACD60°， DAC60°， ，在BCD中，DBC180°30°105°45°，由正弦定理得，在ADB中，由余弦定理得， 或（舍去）， 藍方這兩支精銳部隊的距離為解法二：（同解法一），在BCD中，DBC45°，由正弦定理得， ，在ABC中，由余弦定理得， 或（舍去）， 藍方這兩支精銳部隊的距離為【總結(jié)升華】測量兩個不可到達的點之間的距離問題，一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長問題，首先要明確題意，根據(jù)條件和圖形特征尋找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基線的選取要恰

9、當(dāng)舉一反三：【變式1】如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），測量者在河岸邊選定兩點C、D，測得，并且在C、D兩點分別測得，求河的對岸的兩點A、B間的距離。【答案】在中， ，在中，在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：故A、B間的距離為.【變式2】AB甲船在A處、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以每小時10海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時以每小時8海里的速度由A處向南偏西60o方向行駛，問經(jīng)過多少小時后，甲、乙兩船相距最近？【答案】設(shè)經(jīng)過x小時后，甲船和乙船分別到達C,D兩點 ABDC此時,甲、乙兩船相距最近類型四：解三角形與其他知識的交匯例4.設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別

10、為，（1）求的大?。唬?）求的取值范圍【思路點撥】（1）利用正弦定理將邊進行角的轉(zhuǎn)換，求得B的正弦值，進而求B；（2）利用三角形中的內(nèi)角和定理，利用三角函數(shù)的知識進行求解.【解析】（1）由，根據(jù)正弦定理得，所以，由為銳角三角形得（2）由為銳角三角形知， ，所以 由此有，所以的取值范圍為【總結(jié)升華】本題考查解三角形,三角恒等變換以及正弦定理的應(yīng)用.高考中,三角解答題一般有兩種題型:一、解三角形:主要是運用正余弦定理來求解邊長,角度,周長,面積等;二、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì):主要是運用和角公式,倍角公式,輔助角公式進行三角恒等變換,求解三角函數(shù)的最小正周期,單調(diào)區(qū)間,最值(值域)等.來年需要注意第二種題型的考查. 舉一反三：【變式1】已知a，b，c為ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m（），n（cosA,sinA）.若mn，且a