概率大題經(jīng)典

1、概率大題（經(jīng)典）1某研究小組在電腦上進行人工降雨模擬實驗，準備用、三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨，其試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：假定對甲、乙、丙三地實施的人工降雨彼此互不影響，請你根據(jù)人工降雨模擬實驗的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：方式實施地點大雨中雨小雨模擬實驗總次數(shù)甲4次6次2次12次乙3次6次3次12次丙2次2次8次12次（1）求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概念；（2）考慮到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即達到理想狀態(tài)，乙地必須是大雨才達到理想狀態(tài)，丙地只能是小雨或中雨即達到理想狀態(tài)，記“甲、乙、丙三地中達到理想狀態(tài)的個數(shù)”為隨機變量，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1）；（2）分布列見解析，

2、數(shù)學(xué)期望.【解析】試題分析：（1）由人工降雨模擬實驗的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用、三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨，求出大雨、中雨、小雨的概率分布表,再利用相互獨立事件概率計算公式求出三地都為中雨的概率；（2）的可能取值為,，分別求出取這幾個值時的概率,再求出分布列和數(shù)學(xué)期望.試題解析：（1）由人工降雨模擬實驗的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用、三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨，得到大雨、中雨、小雨的概率如下表：方式實施地點大雨中雨小雨甲乙丙記“甲、乙、丙三地都恰為中雨”為事件，則（2）設(shè)甲、乙、丙三地達到理想狀態(tài)的概率分別為、，則，的可能取值為0,1,2,3，；所以隨機變量的分布列為：0123

3、數(shù)學(xué)期望考點：1.離散型隨機變量的分布列和期望；2.相互獨立事件求概率.22016年巴西奧運會的周邊商品有80%左右為“中國制造”,所有的廠家都是經(jīng)過層層篩選才能獲此殊榮甲、乙兩廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品，為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，以確定這一產(chǎn)品最終的供貨商，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件中分別抽取9件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素的含量（單位：毫克）下表是從乙廠抽取的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編號123451691781661751807580777081（1）求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量：（2）當產(chǎn)品中的微量元素滿足：，且時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量：（3）從乙廠抽出

4、的上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望【答案】（1）35（2）14（3）【解析】試題分析：（1）根據(jù)分層抽樣得乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為（2）由頻率估計概率得乙廠樣品中優(yōu)等品的頻率為，因此乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為（3）先確定隨機變量取法，再分別求對應(yīng)概率：，列表可得分布列，根據(jù)公式可求數(shù)學(xué)期望試題解析：（1）乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為； （2）樣品中優(yōu)等品的頻率為，乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為； （3）， 的分布列為012均值考點：分布列與數(shù)學(xué)期望，分層抽樣【方法點睛】求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個

5、值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布XB(n，p)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)np)求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題

6、速度.3每逢節(jié)假日，在微信好友群發(fā)紅包逐漸成為一種時尚，還能增進彼此的感情2015年中秋節(jié)期間，小魯在自己的微信校友群，向在線的甲、乙、丙、丁四位校友隨機發(fā)放紅包，發(fā)放的規(guī)則為：每次發(fā)放1個，每個人搶到的概率相同（1）若小魯隨機發(fā)放了3個紅包，求甲至少得到1個紅包的概率；（2）若丁因有事暫時離線一段時間，而小魯在這段時間內(nèi)共發(fā)放了3個紅包，其中2個紅包中各有5元，1個紅包有10元，記這段時間內(nèi)乙所得紅包的總錢數(shù)為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1）；（2）分布列見解析，【解析】試題分析：（1）根據(jù)“甲至少得1紅包”為時間，利用概率的公式計算事件的概率；（2）根據(jù)題意得到變量的可能取值，求解取

7、每個值的概率，列出分布列并求解數(shù)學(xué)期望試題解析：（1）設(shè)“甲至少得1紅包”為時間A，由題意得：另發(fā)：用對立事件解（2）由題意知可能取值為所以分布列為05101520考點：隨機事件概率的計算；離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望4新生兒Apgar評分，即阿氏評分是對新生兒出生后總體狀況的一個評估，主要從呼吸、心率、反射、膚色、肌張力這幾個方面評分，滿10分者為正常新生兒，評分7分以下的新生兒考慮患有輕度窒息，評分在4分以下考慮患有重度窒息，大部分新生兒的評分多在7-10分之間，某市級醫(yī)院婦產(chǎn)科對1月份出生的新生兒隨機抽取了16名，以下表格記錄了他們的評分情況。（1）現(xiàn)從16名新生兒中隨機抽取3名，求

8、至多有1名評分不低于9分的概率；（2）以這16名新生兒數(shù)據(jù)來估計本年度的總體數(shù)據(jù)，若從本市本年度新生兒任選3名，記表示抽到評分不低于9分的新生兒數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】試題分析：（1）第一問是古典概型，基本事件總數(shù)為，至多有名，意思就是沒有，或者恰有個，利用超幾何分布計算概率；（2）第二問是利用樣本來估計總體，問題就變成了二項分布，次獨立重復(fù)實驗，求期望和方差.本題的關(guān)鍵是區(qū)分清楚超幾何分布和二項分布，兩者不能混用.試題解析：（1）設(shè)表示所抽取3名中有名新生兒評分不低于9分，至多有1名評分不低于9分記為事件，則.（2）由表格數(shù)據(jù)知，從本

9、市年度新生兒中任選1名評分不低于9分的概率為，則由題意知的可能取值為0，1，2，3.；.所以的分布列為由表格得.（或）考點：1、古典概型；2、二項分布.5某學(xué)校有120名教師，且年齡都在20歲到60歲之間，各年齡段人數(shù)按分組，其頻率分布直方圖如圖所示，學(xué)校要求每名教師都要參加兩項培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后進行結(jié)業(yè)考試已知各年齡段兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)如下表示，假設(shè)兩項培訓(xùn)是相互獨立的，結(jié)業(yè)考試成績也互不影響年齡分組項培訓(xùn)成績優(yōu)秀人數(shù)項培訓(xùn)成績優(yōu)秀人數(shù)3018362412943（1）若用分層抽樣法從全校教師中抽取一個容量為40的樣本，求從年齡段抽取的人數(shù)；（2）求全校教師的平均年齡；（3）隨機從年

10、齡段和內(nèi)各抽取1人，設(shè)這兩人中兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的人數(shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望【答案】（1）；（2）；（3）概率分布見解析，數(shù)學(xué)期望是.【解析】試題分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖和頻率分布表及本層抽樣的方法可求出各年齡段分別應(yīng)抽取的人數(shù)；（2）用各組的中點代表該組數(shù)據(jù)乘以該組的頻率相加即得全校教師的平均年齡；（3）先分別求出和的人數(shù)，再根據(jù)相互獨立事件概率公式，求出兩組中兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)都優(yōu)秀的概率，求出分別取得概率即的其分布列和數(shù)學(xué)期望.試題解析：（1）由頻率分布直方圖知，（2）（3）在年齡段內(nèi)的教師人數(shù)為（人），從該年齡段任取1人，由表知，此人項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為；項培訓(xùn)結(jié)

11、業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為，此人、兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率為，在年齡段內(nèi)的教師人數(shù)為（人），從該年齡段任取1人，由表知，此人項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為；項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為，此人、兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率為由題設(shè)知的可能取值為0，1，2，的概率分布為012的數(shù)字期望為考點：用樣本的數(shù)字特征估計總體及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.6甲、乙兩個乒乓球選手進行比賽，他們的水平相當，規(guī)定“七局四勝”，即先贏四局者勝，若已知甲先贏了前兩局，求：（1）乙取勝的概率；（2）比賽打滿七局的概率；（3）設(shè)比賽局數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1）；（2)；(3)分布列見解析

12、，【解析】試題分析：（1)若已知已知甲先贏了前兩局，列舉乙勝的可能情況，第一種是乙連勝四局；第二種是在第局到第局，乙贏了局，第七局乙贏，列出兩種情況求和；（2）比賽打滿局有兩種結(jié)果：甲勝或乙勝，實際上甲勝和乙勝的概率是一樣的，設(shè)出事件列出算式得結(jié)果；（3）比賽最少要打局，最多是局，所以離散型隨機變量的取值是，列出分布列，得到期望.試題解析：（1）當甲先贏了前兩局時，乙取勝的情況有兩種：第一種是乙連勝四局；第二種是在第三局到第六局，乙贏了三局，第七局乙贏 在第一種情況下，乙取勝的概率為， 在第二種情況下，乙取勝的概率為， 所以當甲先贏了前兩局時，乙取勝的概率為 (2)比賽打滿七局有兩種結(jié)果：甲勝

13、或乙勝，記“比賽打滿七局甲勝”為事件A，記“比賽打滿七局乙勝”為事件B.則，又A，B互斥，所以比賽打滿七局的概率為。(3)隨機變量X的所有可能取值為4，5，6，7，所以X的分布列為故隨機變量X的數(shù)學(xué)期望.考點：（1）互斥事件的概率加法公式；（2)離散型隨機變量及其分布列.7已知一個袋子里裝有只有顏色不同的6個小球，其中白球2個，黑球4個，現(xiàn)從中隨機取球，每次只取一球.（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“連續(xù)取球四次，至少取得兩次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且規(guī)定取完所有白球或取球次數(shù)達到五次就終止游戲，記游戲結(jié)束時一共取球X次，求隨機變量X的分布列與期望.【答案】（1）（2

14、）X2345P【解析】試題分析：（1）記事件Ai表示“第i次取到白球”（iN*），事件B表示“連續(xù)取球四次，至少取得兩次白球”，將所求時間用Ai和B表示，結(jié)合相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式求解概率值；（2）隨機變量X的取值分別為2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量X的分布列與期望試題解析：（1）記事件表示“第i次取到白球”（），事件表示“連續(xù)取球四次，至少取得兩次白球”，則：. ，另解：記隨機變量表示連續(xù)取球四次，取得白球的次數(shù). 易知則，（2）易知：隨機變量X的取值分別為2，3，4，5 ， ，隨機變量X的分布列為：X2345P隨機變量X的期望為：.考點：離散型隨機變量的期望

15、與方差；離散型隨機變量及其分布列8某市在“國際禁毒日”期間，連續(xù)若干天發(fā)布了“珍愛生命，遠離毒品”的電視公益廣告，期望讓更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者為了了解這則廣告的宣傳效果，隨機抽取了100名年齡階段在，的市民進行問卷調(diào)查，由此得到樣本頻率分布直方圖如圖所示.（）求隨機抽取的市民中年齡在的人數(shù)；（）從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機抽取5從，求年齡段抽取的人數(shù)；（）從（）中方式得到的5人中再抽到2人作為本次活動的獲獎?wù)撸洖槟挲g在年齡段的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（）；（）；（）的分布列見解析，.【解析】試題分析：（）根據(jù)頻率分布直方圖先求出年齡在的頻率，然后

16、就可求出年齡在的人數(shù)；（）先分別求出年齡在，的人數(shù)，然后再按分層抽樣的方法即可求出年齡段抽取的人數(shù)；（）根據(jù)（）的結(jié)果，按照超幾何分布的規(guī)律即可求得的分布列及數(shù)學(xué)期望.試題解析：（）由圖知，隨機抽取的市民中年齡段在的頻率為，即隨機抽取的市民中年齡段在的人數(shù)為人.（）由（1）知：年齡段在的人數(shù)分別為人；人，即不小于歲的人的頻數(shù)是人，所以在年齡段抽取的人數(shù)為人.（）由已知，所以的分布列為所以.考點：1、頻率分布直方圖；2、分層抽樣；3、隨機變量的分布列，期望.92015年9月3日，抗戰(zhàn)勝利70周年紀念活動在北京隆重舉行，受到全國人民的矚目。紀念活動包括舉行紀念大會、閱兵式、招待會和文藝晚會等，據(jù)統(tǒng)計，抗戰(zhàn)老兵由于身體原因，參加紀念大會、閱兵式、招待會這三個環(huán)節(jié)（可參加多個，也可都不參加）的情況及其概率如下表所示：（）若從抗戰(zhàn)老兵中隨機抽取2人進行座談，求這2人參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率；（）某醫(yī)療部門決定從這些抗戰(zhàn)老兵中隨機抽取3名進行體檢（其中參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)為3的抗戰(zhàn)老兵數(shù)大于等于3），設(shè)隨機抽取的這3名抗戰(zhàn)老兵中參加三個環(huán)節(jié)的有名，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）要求環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率，可以先求得環(huán)節(jié)數(shù)相同的概率，然后減