中考數(shù)學(圓的綜合提高練習題)壓軸題訓練及詳細答案

1、-圓的綜合真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)1. 如圖，在銳角AABC中，AC是最短邊.以AC為直徑的00,交BC于D,過0作 OEIl BC,交 OD 于 E,連接 AD、AE、CE.(1) 求證：Z ACE=Z DCE：(2) 若Z B二45°, Z BAE=I5°,求Z EAO 的度數(shù)：S2(3) 若AC=4,才皿求CF的長.5 乂 OE'【答案】(i)證明見解析，(2) 60。；(3)【解析】【分析】(1) 易證Z OfC=Z OCF, Z OEC=Z ECD9 從而可知Z OCf=Z ECD,即Z ACE=Z DCE；(2) 延長處交BC于點G,易證Z A

2、GC=Z 8+Z BAG=60由于OEIl BC9所以Z AEO=A AGC=60 所以Z EAO=A AEo二60°：Io,1(3) 易證才4L =刁，由于嚴 =氏，所以=由圓周角定理可知dCE/' bCOE eiCAE 3Z AEC= FDC=90o,從而可證明 CD7 CEA,利用三角形相似的性質(zhì)即可求岀答案.【詳解】(1) V OC=OE. ：. Z OEe=乙 OCE. OEIl BG Z OEC=Z ECD, ：. Z OCf=Z ECD,即Z ACE=A DCE；(2 )延長處交BC于點G.T Z AGC ABG 的外角， Z AGC=Z B+Z BAG=60o

3、. OGl BG Z AFo二Z AGC=60oT OA=OE, ：. Z EA0A AEO=60o£ 1(3) TO是AC中點， = 7CAE 2 JHDF = 土 .HDF _ SbCOE 3 CAE 3 AC 是直徑， Z AEC=A FDC=QO0./ Z ACE=A FCD. 4 CDF八 CEA, = 2, A CF=LCA.CA 333本題考查了圓的綜合問題，涉及平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形中線的性 質(zhì)，圓周角泄理，相似三角形的判左與性質(zhì)等知識，需要學生靈活運用所學知識.2. 如圖，A是以BC為直徑的OO上一點，AD丄BC于點D,過點3作C）O的切線，與CA

4、 的延長線相交于點F, G是AD的中點，連結CG并延長與BE相交于點F,延長AF與CB的 延長線相交于點P（1）求證：BF=EFi（2）求證：刖是C）O的切線：（3）若FG=BF,且Oo的半徑長為32 »求3D的長度【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析：（3） 22【解析】分析：（1）利用平行線截三角形得相似三角形，得厶BFC- DGC且厶FEC- G&C,得到 對應線段成比例，再結合已知條件可得BF=EF;（2）利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和等邊對等角，得到Z FAO=A EBO,結合8F是 圓的切線，得到丄O4,從而得到是圓0的切線：（3）點F作FH丄AD于點H

5、,根據(jù)前兩問的結論，利用三角形的相似性質(zhì)即可以求岀3D 的長度.詳解：證明：3C是圓0的直徑，8F是圓0的切線，. EB 丄 BC.又T AD±BC,：.AD BE.：. BFCS DGC, FECS GAC,BF CF EF CF DG "CG , AG-CGBF EF DG " AG ,G是AD的中點,.,.DG=AG9：.BF=EF;(2)連接 &0, AB.：.Z BAC=90°,由得：在Rt BAE中，F(xiàn)是斜邊肚的中點, AF=FB=EF,可得Z FBA=A FAB、又 T OA=OB9：.Z ABO=A BAO9. BE是圓O的切線，

6、 Z £80=90% Z FBq+Z >480=90% Z FAB十Z BAO=90o9即 Z FAO=90of：.«4丄0&,. PA是圓O的切線；(3)過點F作FH丄AD于點H,/ BDJLADf FH丄AD,：.FHW BC,由(2),知乙 FBA=ZBAF,：.BF=AF. BF=FG, AF=FG. AFG是等腰三角形.T FH丄AD, AH=GH, DG=AG9：.DG=2HG.即竺丄DG 2'：FHW BD. BFW AD9 ZFBD二90°,.四邊形8DHF是矩形， BD=FH. FHIl BC：. HFGA DCG9BD _

7、 1CD = 2.2,15,0的半徑長為32 . BC=6,/. BD= BC 2點睹：本題考查了切線的判定、勾股左理、圓周角泄理、相似三角形的判左與性質(zhì)結合已 知條件準確對圖形進行分析并應用相應的圖形性質(zhì)是解題的關鍵.3. 如圖.AABC內(nèi)接于OO9是直徑，Oo的切線PC交弘的延長線于點P, OFIl BC交&C于點&交PC于點F,連結AF.（1）判斷4F與C）O的位置關系并說明理由;（2）若 AC= 24, AF=IS9 求 sinB.3【答案】M與00相切理由見解析：（2） T【解析】試題分析：（1）連接OC,先IlEz OCF=90°,再證明 OAF呈氐OCJ

8、 得出Z 0AF= OCF=90°即可:QA Ar（2）先求岀疋EF'再證明。込訃，得岀比例式喬=莎，可求岀半徑，進而 求出直徑，由三角函數(shù)的左義即可得出結論.試題解析：解：(1) AF與OO相切理由如下：連接0C.如圖所示 PC是Oo的切線,AOC±PC9 AZOCf=90o. VoFIl BG Z =Z AOF. Z OCB=Z C0F. T 0B=0C. ：. Z =Z OCB, ：. Z AOF=Z. COF.在厶 OAF 和 0CF 中,TOA=OC,乙 AoF=乙 COF、0F=0F, ：* OAF A OCF (SAS ),/. Z OAF= OCf=

9、90 ：. AF 與 OO 相切；(2) OAF呈 OCF, ：. Z OAE=Z COE9 ：. 0E±AC, AE=-AC=12.2OA AE UnOAeI2AF EF 159AC 243 =15求證：DPIl AB； 若AC=6, BC二& 求線段PD的長.【答案】詳見解析【解析】【分析】(1) 連接OD,由AB為OO的直徑，根據(jù)圓周角泄理得ZACB=90。，再由ZACD=ZBCD二45°,則ZDAB=ZABD二45。，所以 DAB為等腰直角三角形，所以DO丄AB, 根據(jù)切線的性質(zhì)得OD丄PD,于是可得到DPIl AB.(2) 先根據(jù)勾股左理訃算出AB=IO,

10、由于 DAB為等腰直角三角形，可得到-122 =9 T Z OAF=90°,心 OAE- AFE.AD =詈護逅由AACE為等腰直角三角形，得到點睛：本題考查了切線的性質(zhì)與判左和全等三角形的判左與性質(zhì)以及相似三角形的判左與 性質(zhì)：熟練掌握切線的證法和三角形相似是解題的關鍵4如圖， ABC內(nèi)接于00,且AB為C)O的直徑ZACB的平分線交C)O于點D,過點D 作OO的切線PD交CA的延長線于點P,過點A作AE丄CD于點E,過點B作BF丄CD于點AE = CE 兮= 3,在Rt AED中利用勾股泄理計算出DE=42 則L M rZS/曰卻 PD PA AD 5>2 UUZ 5CD=

11、72 t易證得 PDA PCD,得到= = ,所以PA=-PD.PC PD CD 727PC=F PD,然后利用PC=PA+AC可計算出PD.【詳解】解：(1)證明：如圖，連接OD,. AB 為C)O 的直徑,AZACB=90°. Z ACB 的平分線交OO 于點 D, A Z ACD=Z BCD=45o./. Z DAB=Z ABD=45o. /. DAB為等腰直角三角形.D0±AB/ PD為00的切線，.0D丄PD.DPll AB(2)在 Rt ACB 中，AB =VAC2 -BC2 =10*.DAB為等腰直角三角形，. Q =孚=5邁T AE丄CD, . ACE為等腰

12、直角三角形. AE=CE =亍=厲=3 在 Rt AED 中,DE =.4D2-.4E2 =(52)1-(32)r = 42 ,. CD=CE + DE =32÷42 = 72PAD=Z PCD.PD PA .AD 52 PC = TO=CD = Te ABIl PD, Z PDA=Z DAB=45o. . Z又T Z DPA=Z CPD, A PDA-厶 PCD.75.PA=-PD, PC=-PD.577535X，-PC=PA+AC, d+6=7P0,解得 PDF 5 問題發(fā)現(xiàn).如圖，Rt ABC中，Z C=90 AC = 3, BC=4,點D是AB邊上任意一點，則CD的最小值為如

13、圖，矩形ABCD中，AB = 3, BC=4,點M、點N分別在BD、BC ±,求CM+MN的 最小值.如圖，矩形ABCD中，AB = 3, BC=4,點E是AB邊上一點，且AE = 2,點F是BC邊 上的任意一點，把ABEF沿EF翻折，點B的對應點為G,連接AG、CG,四邊形AGCD的 而積是否存在最小值，若存在，求這個最小值及此時BF的長度.若不存在，請說明理由.【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩種不同方法求而積公式求解：（2）作C關于BD的對稱點C',過C'作BC的垂線，垂足為N,求C'N的長即可;連接ACt貝IS測仇Q=S-WC+S"e, GB =

14、 EB = AB_AE = 3_2 = ,則點G的軌跡為以E為圓心，1為半徑的一段弧.過E作AC的垂線，與OE交于點G ,垂足為M，由 AEM Cr,ACB 求得 GM 11'J ill» 再由 S典邊形AGCD = SdACD + SIiACG 求解即可.試題解析：（!）從C到距離最小即為過C作4B的垂線，垂足為D,CCDAB ACBC Q-22 AABC' CD-ACBC-3×4-i2AB 55 ,（2）作C關于3D的對稱點C',過C'作BC的垂線，垂足為N,且與BD交于M,則CM + MN的最小值為CN的長,設Cc與BD交于H,則CH丄

15、BD,12 3CSbBCD、且 CH=-f24 ZeCB = ZBDC, CC9 = -.5 bCNCsBCD,CN =Cc BCBD蘭x496,525即CSWN的最小值為石.（3）連接 AC J 則 SlnUGCD = ADC + SAMG、GB = EB = AB_AE = 3_2 = 1,.點G的軌跡為以E為圓心，1為半徑的一段弧.過E作AC的垂線，與OE交于點G,垂足為M ,. AEMACB,.EM _ AEBCAC'廠“ AE BC 2x48AC 5583 GM=EM-EG =1 =二，55* fc¾邊 JUGCD = * “CD + S、aCG，=X 3 X 4

16、4 X 2) X ,225=E-T'【點睹】本題考査圓的綜合題、最短問題、勾股定理、而積法、兩點之間線段最短等知 識，解題的關鍵是利用軸對稱解決最值問題，靈活運用兩點之間線段最短解決問題.6. 如圖1,已知C)O是ADB的外接圓，ZADB的平分線DC交AB于點M,交C)O于點 Ct 連接 AC, BC.(1) 求證：AC=BC;(2) 如圖2,在圖2的基礎上做C)O的直徑CF交AB于點E,連接AF,過點A作C)O的切線AH,若AH/BC,求ZACF的度數(shù)：（3）在（2）的條件下，若ABD的而積為6J, AABD與AABC的而積比為2： 9,求CD的長1團2【答案】（1）證明見解析；（2

17、） 30°；（3） 233【解析】分析：（1）運用“在同圓或等圓中，弧相等，所對的弦相等"可求解：（2）連接AO并延長交BC于I交OO于J,由AH是Oo的切線且AHIl BC得Al丄BC,易證 Z IAC=30故可得Z ABC=60o=Z F=Z ACB.由CF是直徑可得Z ACF的度數(shù)：（3）過點D作DG丄AB,連接AO,知ABC為等邊三角形，求出AB、AE的長，在RtAEO 中，求岀Ao的長，得CF的長，再求DG的長，運用勾股泄理易求CD的長.詳解：（1） / DC 平分Z ADB, Z ADC=Z BDC, AAC=BC.（2）如圖，連接AO并延長交BC于I交OO于J

18、iBTAH是C)O的切線且AHIl BCtAl丄BC, BI=IC,T AC=BC,1/. IC=-ACt2 Z IAC=30% Z ABC=60o=Z F=Z ACB. FC是直徑， Z FAC=90% Z ACF=I80o-90o-60o=30o (3) 過點D作DG丄AB,連接AO由(1) (2)知ABC為等邊三角形 Z ACF=30%. AB 丄 CF,：.AE二BE, SAABC = AB = 27羽. AB=63 ,' AE = 3>/3 .在 RtAEO 中,設 EO=x, PllJ A0=2x,. AO2 =AE2+OE2,(2)2=(33)2+,.x=6, Oo

19、的半徑為6,. CF=12.,.DG=2.如圖，過點D作DGfLCFt接OD. AB丄CF,DG丄AB,. CF/DG,.四邊形GzDGE為矩形，. GE = 2,CG' = G'E+CE = 6+3+2 = ll, 在 RtAOGQ 中，OG, = 5,OD = 6, CD = yDGf2 + CGfI = 11 +112 = 233點睹：本題是一道圓的綜合題考查了圓的基本概念，垂徑立理，勾股定理，圓周角左理等 相關知識比較復雜，熟記相關概念是解題關鍵.7. 如圖，線段BC所在的直線是以AB為直徑的圓的切線，點D為圓上一點，滿足BD= BC,且點C、D位于直徑陽的兩側，連接C

20、D交圓于點F.點F是BDk一點，連接FF，分 別交AB、BD于點G、H,且EF=BD(1)求證：EFII BC；若EH=4, HF=2,求BE的長.2 _【答案】(1)見解析:(2) y3【解析】【分析】(!)根據(jù)EF = BD可得EF = BD，進而得到龐=莎，根據(jù)"在同圓或等圓中，同弧或 等弧所對的圓周角相等"即可得出角相等進而可證(2)連接DF,根據(jù)切線的性質(zhì)及垂徑左理求岀GF、GE的長，根據(jù)“在同圓或等圓中，同 弧或等弧所對的圓周角相等"及平行線求出相等的角，利用銳角三角函數(shù)求出ZBHG,進而 求出ZBDE的度數(shù)，確左所對的圓心角的度數(shù)，根據(jù)ZDFH =

21、90。確左DE為直徑，代入 弧長公式即可求解.【詳解】T EF=BD,EF = FD BE - DF：.Z D = Z DEF又 BD = BC,. Z D = Z C,. Z DEF=Z CEFll BC(2) AB是直徑BC為切線,AB±BC又 Enl BC,/. AB丄EF,弧 BF=弧 BE,1GF=GE=-(HF+EH)=3t HG=IDB 平分Z EDF,又 BFIl CD, Z FBD=Z FDB = Z BDE = Z BFH HB=HF = 2HG 1O. COSZ BHG= , Z BHG = 60 HB 2 Z FDB = Z BDE = 30o/. Z DFH

22、 = 90 DE為直徑，DE=43 ,且弧BE所對圓心角=60。.,.弧 BE= ×4 JJ/r = F 3TT63【點睛】本題是圓的綜合題，主要考査圓周角、切線、垂徑定理、弧長公式等相關知識，掌握圓周 角的有關定理，切線的性質(zhì)，垂徑泄理及弧長公式是解題關鍵.&如圖.點B在數(shù)軸上對應的數(shù)是2,以原點O為原心、OB的長為半徑作優(yōu)弧4B,使 點A在原點的左上方，且tanZ AOB= 3 ,點C為OB的中點，點D在數(shù)軸上對應的數(shù)為4.(1) S ,AOB- (大于半圓的扇形)；(2) 點P是優(yōu)弧ABh任意一點，則乙PDB的最大值為°(3) 在(2)的條件下，當乙PDB最大

23、，且ZAoP<180。時，固泄 OPD的形狀和大小, 以原點0為旋轉(zhuǎn)中心，將AOPD順時針旋轉(zhuǎn) (0oa360o) 連接CP, AD.在旋轉(zhuǎn)過程中，CP與AD有何數(shù)量關系，并說明理由： 當PDIIAO時，求AD?的值： 直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中點C到PD所在直線的距藹d的取值范圍.【答案】(1) 羋 (2) 30 (3)AD=2PC20+8J或 20+8笛ISdS3【解析】【分析】(1) 利用扇形的而積公式計算即可.(2) 如圖1中，當PD與Oo相切時，ZPDB的值最大.解直角三角形即可解決問題.(3) 結論：AD=2PC.如圖2中，連接A3, AC.證明 COP- AOD,即可解決問題.

24、分兩種情形：如圖3中，當PDIl OA時，設OD交OO于K,連“接PK交OC于H.求出 PC即可.如圖中，當PAW OA時，作PK丄OB于K,同法可得. 判斷岀PC的取值范圍即可解決問題.【詳解】(1) . tanZ AOB- J ,：.Z AOB = 60°,Sg= P"E二=匕 (大于半圓的扇形)，3603圖1 PD是C)O的切線,OP丄PD,：.Z OPD=90°,Sin ZPDO =OD2= £4"2 Z PDB=30°,同法當DP與00相切時，ZBDPr=30°,/. Z PDB的最大值為30。故答案為30.(3)

25、結論：AD=IPC理由：如圖2中，連接A3, 4C.OA = OB9 ZO8 = 60o,AOB是等邊三角形,BC=OC9AC±OB,ZAoC=Z DoP=60°,Z COP=ZAOD,AO OD荒一喬I COP- AOD.AD AO75 一荒一 iAD=2PC. OP=OK, ZPoK=60°, OPK是等邊三角形， PDIl 0A, AAOP=A OPD=90°, Z PoH+Z AoC= 90°, Z AOC= 60°,.Z PoH=30°,. PH=OP=1, OH=書 PH=逼, pc = ph2+ch2 = jF

26、+(i+J)2 =Z J5+2J， AD=2PC9. AD2=4 (5+2 JJ) =20+8.如圖中，當刖Il OA時，作PK丄OB于K,同法可得：PC2 = I2+ (3 - 1) 5-團4由題意1PC3>在旋轉(zhuǎn)過程中，點C到PD所在直線的距離d的取值范國為l<d3.【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判左和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，勾股圧 理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題.9.如圖，已知AB是Oo的直徑，直線CD與OO相切于C點，AC平分Z DAB.（1）求證：AD丄CD；【解析】試題分析：（1）連接0C,由題意得OC丄CD

27、.又因為AC平分ZDAB,則Z I=Z 2=-Z DAB.即可得出 ADW 0C.貝IMD丄CD：2AD AC（2）連接3C,則Z ACB=90可證明 ADO &C8.則一=一，從而求得/?AC 2R試題解析：（1）證明：連接0C,DCO直線CD與OO相切于C點，處是C）O的直徑, 0C±CD.又t: AC平分Z DAB,1 Z I=Z 2=-Z DAB.2又Z CoB=2Z I=Z DAB9 .AD OC9 .AD±CD (2)連接 3C,貝IJZAC8=90。, 在厶ADC和厶ACB中TZ I=Z 2, Z3=Z ACB=90 ADC- A AC8AD ACACAC2IAD10.如圖，AB為OO的直徑，DA、DC分別切Oo于點久 G且AB=AD.（1）求 tanZ AOD 的值.（2）AC, OD