八個(gè)有趣模型搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球教師版

1、* *八個(gè)有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球一、有關(guān)定義1 .球的定義：空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫球面，簡(jiǎn)稱球 2 .外接球的定義：若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球3 .內(nèi)切球的定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球 .二、外接球的有關(guān)知識(shí)與方法1 .性質(zhì)：性質(zhì)1 :過(guò)球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等；性質(zhì)2:經(jīng)過(guò)小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過(guò)球心，該平面截球所得圓是大圓；性質(zhì)3:過(guò)球心與小圓圓心的直線

2、垂直于小圓所在的平面（類比：圓的垂徑定理）；性質(zhì)4:球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心；性質(zhì)5 :在同一球中，過(guò)兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點(diǎn)是球心（類比：在同圓中，兩相交弦的中垂線交點(diǎn)是圓心）結(jié)論1 :長(zhǎng)方體的外接球的球心在體對(duì)角線的交點(diǎn)處，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)是球心；結(jié)論2:若由長(zhǎng)方體切得的多面體的所有頂點(diǎn)是原長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，則所得多面體與原長(zhǎng)方體的外接球相同;結(jié)論3:長(zhǎng)方體的外接球直徑就是面對(duì)角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心，換言之,就是：底面的一條對(duì)角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓;結(jié)論4:圓柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓心

3、連一段中點(diǎn)處；結(jié)論5:圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對(duì)角線（外接圓直徑）是球的直徑；結(jié)論6:直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結(jié)論7:圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上；結(jié)論8:圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球的直徑；結(jié)論9:側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球3.終極利器：勾股定理、正定理 及余弦定理（解三角形求線段長(zhǎng)度）；三、內(nèi)切球的有關(guān)知識(shí)與方法1 .若球與平面相切，則切點(diǎn)與球心連線與切面垂直.（與直線切圓的結(jié)論有一致性）2 .內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等.（類比：與多

4、邊形的內(nèi)切圓）.3 .正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合4,正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合5 .基本方法：（1）構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理；（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法（等體積法）.四、與臺(tái)體相關(guān)的，此略.五、八大模型第一講柱體背景的模型類型一、墻角模型（三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）AB圖1-4圖1-3方法:2找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）b22c ,即 2R2.22va b c ,求出（1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是（16B. 20C. 24解:4 16 24 , S 2422222

5、V a h 16, a 2, 4R a a h(2)若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為6則其外接球的表面積是._ 2 _ _ _ _ _2 _解：4R 3 3 3 9, S 4 R 9（3）在正三棱錐SABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且 AMMN，若側(cè)棱SA 273，則（3）題-1（引理）題-2 （解答圖）正三棱錐S ABC外接球的表面積是. 36解：引理：正三棱錐的對(duì)棱互相垂直 .證明如下：如圖（3） -1 ,取AB,BC的中點(diǎn)D,E ,連接AE,CD , AE,CD交于H ,連接SH ,則H是底面正三角形 ABC的中心，SH 平面 ABC , SH AB,AC BC , A

6、D BD , CD AB, AB 平面 SCD,AB SC,同理：BC SA, AC SB,即正三棱錐的對(duì)棱互垂直，本題圖如圖（3） -2 , AM MN , SB/MN ,AM SB, AC SB, SB 平面 SAC,SB SA, SB SC, SB SA, BC SA,SA 平面 SBC,SA SC,故三棱錐S ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直,(2R)2 (2,3)2 (2,3)2(2J3)2 36，即 4R2 36 ,正三棱錐 SABC外接球的表面積是36 .(4)在四面體S ABC中，SA 平面ABC ,BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,則該四面體的外接球的表面積為( D

7、 )A11B.7D.40322解：在 ABC 中，BC2 AC22rBCsin BAC72.7.33VAB2 2AB BC cos120 7 , BC .7,ABC的外接球直徑為(5)如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為 6、4、3,那么它的外接球的表面積是解：由已知得三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為a,b, c ( a,b,c R ),則ab 12bc 8ac 6abc 24, a 3, b 4, c2 _2 一c29, S 4 R29 ,(6)已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為 1的正方形，則該幾何體外接球的體積為2解：(2R)b2 cR2

8、,33.3.32(6)題直觀圖類型二、對(duì)棱相等模型(補(bǔ)形為長(zhǎng)方體) 題設(shè)：三棱錐(即四面體)中，已知三組對(duì)棱分別相等， 求外接球半徑(AB CD , AD BC , AC BD )第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱;第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a,b,c, AD BC x,AB CD y, AC BD z,列方程組,222abx.222bcy222caz 2222(2R) a b c補(bǔ)充：圖 2-1 中，Va BCD1abc -abc6第三步：根據(jù)墻角模型，2R222y z,R8求出R.思考：如何求棱長(zhǎng)為a的正四面體體積，如何求其外接球體積?例2 (1)如下圖所示三棱錐 A

9、 BCD,其中AB CD 5,ACBD6, AD BC 7,則該三棱錐外接球的表面積為解：對(duì)棱相等，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖a2 b2 c2 55, 4R2 55,2(a2b2c2) 253649 110,(2)在三棱錐A BCD中，AB(1)題圖2-1 ,設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a,b,c,S 55CD 2 , AD BC3, AC BD4,則三棱錐BCD外接球的表面積為29解:如圖2-1 ,設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng),設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a, b,c,2,2b 9,b222-_222_4, c a 162(ab c ) 9 4 16_ , 2. 229, 2(a bc2) 9 416 29 ,b

10、2229229 c 29c 一，4R，S 222(3)正四面體的各條棱長(zhǎng)都為J2,則該正面體外接球的體積為解：正四面體對(duì)棱相等的模式，放入正方體中,2R®R,vg 乎等（4）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如下圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是.（4）題解答圖解：如解答圖，將正四面體放入正方體中，截面為PCOi ,面積是類型三、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）題設(shè)：如圖3-1，圖3-2 ,圖3-3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是 任意三角形）步：確定球心 O的位置，O1是 ABC的外4則OO1 平面A

11、BC;第二步：算出小圓11。1的半徑AO1 r , OO1 - AA1 -h (AA1 h也是圓柱的局)；22第三步：勾股定理:_ 2 _ 2_22h 2OA2 O1A2 O1O2 R2 ()22r2 R / f解出R例3 (1) 一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且該六棱柱的體積為9,底面周長(zhǎng)為3 ,則這個(gè)球的體積為8解：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為 a,正六棱柱的高為 h,底面外接圓的半徑為、一 c "3 ,1、2 正TK梭枉的底面積為S 6 (一)423.3,V柱 Sh83.3h86 4R2 12 (初2 4_2,3 21 2也可 R()(

12、)1), R 1 ,22球的體積為V 球(2)直三棱柱ABC AB1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上,若ABACAA12 , BAC 120 ,則此球的表面積等于解：BC一2.32 3, 2r 4, r 2, R 5 ,sin120S 20(3)已知EAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直,EA EB3, AD 2, AEB 60 ,則多面體E ABCD的外接球的表面積為解：折疊型,法一：EAB的外接圓半徑為A法二：OiM吏O2D23 134 44, R 2,16 ；法三：補(bǔ)形為直三棱柱，可改變直三棱柱的放置方式為立式,算法可同上，略.換一種方式，通過(guò)算圓柱的軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)來(lái)求球的直徑：

13、(2R)2 (2 3)2 22 16, S表16(4)在直三棱柱 ABC A1B1cl中，AB 4, AC 6, A -,AA1 4 ,則直三棱柱 ABC A1B1cl的外接 3球的表面積為1602_ _ 1解：法一：BC 16 36 2 4 6 28 , BC24、72 7.3 ' r '3 'R22/AA1、228/40cr（）4,S2331603法二：求圓柱的軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)得球直徑，此略第二講錐體背景的模型類型四、切瓜模型（兩個(gè)大小圓面互相垂直且交于小圓直徑一一正弦定理求大圓直徑是通法）1 .如圖4-1 ,平面PAC 平面ABC ,且ABBC （即AC為小圓的直

14、徑），且P的射影是 ABC的外心 三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等三棱P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn) P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心 O的位置，取 ABC的外心。1,則P,O,O1三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1 r ,再算出棱錐的高 PO1 h （也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 （h R）2 r2,解出R；事實(shí)上，ACP的外接圓就是大圓，直接用 正弦定理也可求解出R.2 .如圖4-2 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC為小圓的直徑），且PA AC ,則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2 PA2

15、（2r）2 2R JpA2 （2r）2 ； R2 r2 OO12R .r2 OO123 .如圖4-3 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC為小圓的直徑）OC2 01c2 O1O2R2 r2 O1O2AC 2 R2 O1O24.題設(shè)：如圖4-4 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心 O必是 PAC的外心，即 PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC 2r ;第二步：在 PAC中，可根據(jù)正弦定理 a2R,求出R.sin A sin B sin C例4 (1)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為2J3,則該球的表面積為解：

16、法一：由正弦定理(用大圓求外接球直徑)；法二：找球心聯(lián)合勾股定理,2_2R 7, S 4 R 49 ;(2)正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為 22 ,各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球體積為解：方法一：找球心的位置，易知r 1 , h41, h r ,故球心在正萬(wàn)形的中心 ABCD處，R 1, V 一3方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是SAC的外接圓，此處特殊，Rt SAC的斜邊是球半徑,42R 2, R 1 , V 3(3) 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是(C.，.34dT解：高h(yuǎn) R 1,底面外接圓的半徑為

17、2R 2,設(shè)底面邊長(zhǎng)為a ,則2R 一一sin 602,3 23、3a ，三棱錐的體積為V441Sh 3(4)在三棱錐P ABC中，PAPBPC<3,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60 ,則該三棱錐外接球的體積為(B.3C. 44D.3解：選D,由線面角的知識(shí)，得 ABC的頂點(diǎn)A,B,C在以r三3為半徑的圓上，在圓錐中求解，R 1；2(5)已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的求面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC 2,則此棱錐的體積為(D.解：OO1R2 r22.631 -Sh 3,3 2,6、 2類型五、垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）1 .題設(shè)：如圖5,

18、PA 平面ABC ,求外接球半徑.解題步驟:第一步：將 ABC畫在小圓面上,A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑AD ，連接PD ,則PD必過(guò)球心O ；第二步：Oi為 ABC的外心，所以O(shè)Oi平面ABC ,算出小圓Oi的半徑OiDr （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得sin A sin B sinC第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 PA2 (2r)2 2R P PA2 (2r)2 ；22222 R2r2OOiR rOOi .2 .題設(shè)：如圖5-1至5-8這七個(gè)圖形，P的射影是 ABC的外心 三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等三棱錐P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂

19、點(diǎn) P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).P圖5-6圖5-7圖5-8解題步驟:第一步：確定球心 O的位置，取ABC的外心Oi,則P,O,Oi三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓 Oi的半徑AOi r ,再算出棱錐的高 POi h （也是圓錐的高） 222222第三步：勾股定理：OA201A2O1O2R2（h R）2 r2 ,解出R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.例5 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（ ）C俯視圖D.以上都不對(duì)解答圖解：選C,法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半徑，球心在圓錐的高線上，_ 2_222 16（，3 R） 1 R , R -=,S 4 R

20、 一； 33PMN的外接圓是大法二：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角形一一 24 一圓，于是2R -=,下略；sin 603第三講二面角背景的模型類型六、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（如圖6）第一步：先畫出如圖 6所示的圖形，將 BCD畫在小圓上，找出 BCD和 ABD的外心Hi和H2；第二步：過(guò)Hi和H 2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心 O,連接OE,OC ;第三步：解 OEH1,算出0Hl，在Rt OCH1中，勾股定理： 0Hl2 CH12 OC2注：易知O, Hi, E,H 2四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，

21、證略 .例6 （1）三棱錐P ABC中，平面PAC 平面ABC , APAC和4 ABC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐 P ABC外接球的半 徑為.解：如圖，2r1 2r2_， r1sin 60:31. 3R2O2H2,153法二:02 H1O1H. 31.3'AHR2AO2AH2 01H2OQ2,15丁 '(2)在直角梯形 ABCD中，AB/CD ,45 , AB AD 1,沿對(duì)角線BD折成四面體A BCD,使平面ABD平面BCD ,若四面體A BCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則該項(xiàng)球的表面積為(2)題-1解：如圖，易知球心在 BC的中點(diǎn)處，S表4(3)在四面體S ABC中，A

22、B BC, ABBC五，二面角SAC B的余弦值為3 r，則四3面體S ABC的外接球表面積為解：如圖，法一： cos SQB cos( OO1O2mo 3sin OO1O2 ,cos OO1O23OO1O_cos OO1O2_2 R22 ' R13c， _, S 42 2R2 6 ；法二：延長(zhǎng) BO1 D 使 DO1 BO11,由余弦定理得SB 6,SD亞，大圓直徑為2Rsb V6 ；(4)在邊長(zhǎng)為2丁3的菱形ABCD中， BAD 60 ,沿對(duì)角線BD折成二面角A BD C為120的四面體ABCD ,則此四面體的外接球表面積為 28A(4)題圖CBD的外心01,02解：如圖，取BD的

23、中點(diǎn)M , ABD和 CBD的外接圓半徑為r1b2, ABD和到弦BD的距離（弦心距）為 di d2 1 ,法一：四邊形 001Mo2的外接圓直徑 OM 2, R J7, S 28 ；法二：00i 內(nèi)，R 姮;法三：作出 CBD的外接圓直徑 CE,則AM CM 3, CE 4, ME 1, AE7 16 2713 3AC 3 3cos AEC , sin AEC , 2R 一 2 <7 42.72. 7 sin AEC 3. 32、, 7在四B ABCD中,BDA 120 , BDC 150 , AD BD 2, CD .3,面角A BD C的平面角的大小為120 ,則此四面體的外接球的

24、體積為解：如圖，過(guò)兩小圓圓心作相應(yīng)小圓所在平面的垂線確定球心,(5)題解答圖-1(5)題解答圖-2AB 2,3,2,弦心距 O2M <3 , BCr1 、'石，弦心距 01M 25O1O2.21, 0MOl022.7,116 . 29sin 120R2 OD2 MD2 OM 2 29, R .29,222法一：OO2 OMO2M25 ,2222R OD r2 OO229, R . 29 ,、，116 29V球3類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同，也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐)模型P題設(shè)：如圖7, APB ACB 90 ,求三棱錐P ABC外接球半徑(分析：取公共的斜邊

25、的中點(diǎn)O, _1連接OP,OC ,則OA OBOCOP -AB,。為三棱錐P ABC外接球球心，然后在 OCP中2求出半徑)，當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無(wú)關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值.例7 (1)在矩形 ABCD中，AB 4, BC 3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角 B AC D ,則四向體ABCD的外接球的體積為()125125125125A.B.C.D.12963-543 4125 125解：(1) 2R AC 5, R V - R3 ，選 C23386(2)在矩形ABCD中，AB 2, BC 3,沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC ,所得三棱錐 A

26、BCD 的外接球的表面積為 .解：BD的中點(diǎn)是球心O, 2R BD 而，S 4 R2 13 .第四講多面體的內(nèi)切球問(wèn)題模型類型八、錐體的內(nèi)切球問(wèn)題1 .題設(shè)：如圖8-1 ,三棱錐P ABC上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個(gè)三角形的外心；一 ,_1 _第二步：求 DH -BD , PO PH r, PD是側(cè)面 ABP的高； 3OE PO 一第三步：由 POE相似于 PDH ,建立等式： ，解出rDH PD2 .題設(shè)：如圖8-2 ,四棱錐P ABC是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O, H三點(diǎn)共線；一 ,1第二步：求FH BC,

27、PO PH r , PF是側(cè)面 PCD的高； 2OG PO 第三步：由 POG相似于 PFH ,建立等式： ，解出HF PF3 .題設(shè)：三棱錐 P ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第一步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r ,建立等式：VpABCVOABCVOPAB VO PACVOPBCSPACS PBC ) r11111VPABC二 SABC r二 SPABr二SPACr二SPBCr二(S ABC S PAB33333第三步：解出r3Vp ABCABCOO PABSO PACPBC例8 (1)棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球表面積是解：設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為r ,將正四面體放入棱長(zhǎng)為a.2又Vp ABC4331 a a=".3 2,26、2,14 -Sr3413內(nèi)切球的表面積為的正方體中(即補(bǔ)形為正方體)題2S表4 r2 (注：還有別的方法，此略) 6(2)正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為3,則其內(nèi)切球的半徑為解：如圖，正四棱錐S ABCD的高h(yuǎn)J7 ,正四棱錐S ABCD的體積為Vs abcd側(cè)面斜高h(yuǎn)1 2 <2 ,正四棱錐S