偽譜最優(yōu)控制方法

1、偽譜最優(yōu)限制方法,又稱為正交配置法,主要利用Lagrange插值多項式近似離散最優(yōu) 限制問題中的狀態(tài)變量和限制變量,將連續(xù)型最優(yōu)限制問題轉化成離散形式的非線性規(guī)劃(NLP)問題,然后利用相應的 NLP算法求解.根據(jù)配置點的不同,偽譜法主要分為 Legendre 偽 譜 法1、Gauss偽 譜 法2-3和 Radau偽 譜法4-5 3種.為了利用最優(yōu)限制理論研究串聯(lián)式混合動力的能量治理策略,需要建立動力總成和各個能量源的數(shù)學模型.文中忽略動力系統(tǒng)傳動部件的效率損失.串聯(lián)混合動力驅動系統(tǒng)的能量治理為復雜的非線性系統(tǒng),其最優(yōu)限制問題是尋找最優(yōu)限制序列使得給定的性能指標能夠達到最小,同時,也要滿足一定

2、的機械和電氣約束.本文研究重點在最優(yōu)限制理論的應用,采用較簡單的模型進行混合動力車輛能量治理的研究.整車能量治理問題作為最優(yōu)限制問題求解,需要形成通用形式表達的最優(yōu)限制問題.非線性最優(yōu)限制問題(Optimal Control Problem,OCP層指性能指標、狀態(tài)方程或者約束條件中存在非線性函數(shù)項的最優(yōu)限制問題,通用的表述形式為確定狀態(tài)x,限制 u(t)使性能泛函 J取得最小值：J二中出巾),仙,3)4)+ 卜),1|1)威2其中狀態(tài)方程為:雙.一= 0 酸( 2,2)邊界條件為工= 0 e !Ky(23)路徑約束為工0 e R*(24)狀態(tài)盤和限制量的上下限約束如下式；x(z) xi/)

3、x(rh f e 加(2.5)u(Z) M u(/) W u(0, / e mm,箕中.此處的性能泛函J由兩局部組成,第一項反響對終端性能的要求,稱為終 端指標函數(shù),如果目標性能泛函僅僅包含第項,稱為純端型或苫梅耶型目標泛函 假設僅僅包占第二項的形式的性能指標稱為枳分型或者拉格朗口型口標泛函口如式24 所示的為綜合型或者BHza型目標泛函.其中的梅耶項幻*可以通過 變換轉化為拉格朗日項,u(f)分別為系統(tǒng)狀態(tài)量和限制量,狀態(tài)方程和邊界條 件亦可以看作是施加于系統(tǒng)的等式的束,此處電池模型果用的是簡單的內阻模型叫 如圖工6所示.圖2.6電池電路模型根據(jù)魚池的電路模型可知當電池輸出功率為尸風,輸出電

4、壓為九,兩者表達式可由電路模型得到:(2-8)幾=%-兀%尸M Ubui - itw從數(shù)學上看,混合動力汽車能量治理問題就是利用一系列離散限制使一定時間圍車輛行 駛的的性能指標到達最優(yōu),故可將能量治理問題抽象為最優(yōu)限制問題,其核心任務就是獲得最優(yōu)的限制律.直接法理論優(yōu)化問題一般分為參數(shù)優(yōu)化離散、靜態(tài)和過程優(yōu)化連續(xù)、動態(tài)兩大類.最優(yōu)限制問 題本質上是一個連續(xù)、動態(tài)的過程優(yōu)化問題, 采用動態(tài)優(yōu)化方法求解,比方變分法和極大值原理.但現(xiàn)代計算技術的高速開展使得靜態(tài)/動態(tài)、離散/連續(xù)的界限越來越模糊.目前基于求解非線性規(guī)劃問題的參數(shù)優(yōu)化方法越來越多應用于求解類似于最優(yōu)限制問題或者動態(tài)軌 跡優(yōu)化問題,這就

5、是軌跡優(yōu)化中的直接法.直接法通過引入時間離散網格,將限制變量和/或狀態(tài)變量離散,并將動態(tài)約束條件轉化為代數(shù)約束條件,最終使原來的連續(xù)軌跡優(yōu)化問題轉化為一個離散參數(shù)優(yōu)化問題即非線性 規(guī)劃問題Nonlinear Programing, NLP,結合非線性規(guī)劃求解器即可獲得最優(yōu)解.優(yōu)化變量通 常包含離散網格點上的限制變量序列和/或狀態(tài)變量序列直接法根據(jù)離散化變景的不同可分為三類口第類方法為自接配點法,同時將狀 態(tài)變量和限制變母禽散化,微分方程便轉化為代數(shù)約束條件,比方通過引入離散網格 可以將微分方程占氏.在某離散時間節(jié)點li處采用梯形積分公式得到 gx + 0,5*i+/x力相當于是通過有限差分法來

6、近似導致項,此處 /=/依,科明.進而將高散的動態(tài)約束條件改號成殘值形式,即 = + 1-*-0.5由/ + 1+/取 +.離散的動態(tài)約束條件就等階于要求殘值凡在節(jié) 點上為零.優(yōu)化的過程就是不停調整狀態(tài)和限制量使這些殘值趨于零,同時也要滿足 邊界條件,并使性能指標最小.這樣,這些殘值表達式和原最優(yōu)限制問題中的其他約 束一起構成配點法中非線性規(guī)劃問題的約束條件.這一類算法收斂速度快,并且收斂 半處增大.是目前應用較多的求解最優(yōu)限制問題的的方法之一.第二類方法是數(shù)值積分法只離散限制變景,對澈分方程進行顯式數(shù)值積分,同 忖得到狀志變顯序列,進而得到終端時刻的狀態(tài).優(yōu)化的過程就是不斷調整限制變 最序列

7、,使得終端差束條件得到滿足并使性值指標取極值.這種方法需要進行數(shù)值積 分,收點是計算屬較大,代及算法是直接單步或多步打靶法.第三類方法,是只離散狀態(tài)變最的微分包含法,該方法通過求解局部狀態(tài)方程將 詫制變最消去,并將余下的狀態(tài)方程進行離散從而轉化為殘值形式余下的思路和配 點法類似,只不過此處優(yōu)化變量只有狀態(tài)變埴序列.依據(jù)以上所述不同的變盤進行離散后的連續(xù)最優(yōu)限制問眄轉化為非線性規(guī)劃問 題,求解NLP的算法已經相對較成熟,主要有罰函數(shù)法、SQPm Sequence Quadratic法、內立法和信賴域法,口前存在的求解軟件包自以稀疏SQP算法為根底 為 SNORRSparse Monlinear

8、Uptimizur軟件包以內點法為根底的 IPOPTClnlerior Point Optimizer、以囊括了兩種內點法和 種線性SQP方法為根底的KNITRO,等等口克接法的形式有很多.優(yōu)化變最的選擇和動態(tài)約束的離散方法有很大的員活性. 假設將假分包含法看成特殊的配點法,那么可以用略地將直接法分成直接配點法和直接打 靶法兩大類.早期的直接配點法采用固定階分段多項式近似狀態(tài)量,求解收斂速度較 低*目前正交卷項苴被用來近似狀態(tài)和限制最,不僅梃高了計算精度,也同時加速了 收斂速度T又被稱為偽譜法.因此,偽譜法在越來越多的澳際問題中表現(xiàn)出很好的優(yōu) 勢,為求解復雜的非線性最優(yōu)限制問題提供一個方向.基

9、于MMab環(huán)境下采用直接法 求解最優(yōu)限制問題的軟件包也日漸增名,代表性的軟件包有GPOPS, RIOTS、DIDO, DIRECT. PROPT 串偽譜法偽譜法與普通足點法最大的差利在它使用數(shù)值微分來近似導數(shù)項,采用基F Lagrange插低的全局近似或者局部近似,從而得到節(jié)點上的離散動力學方程,也即殘 值表達式；而普通配點法采用數(shù)值積分或有限差分方法得到微分方程,即動態(tài)約束在 典散節(jié)點上的殘值.構造偽譜法離散網格點行兩個特點,第一,它們不是任給的均勻 澗格點,而是正交多項式或其蛆合的零點；第二,它們通常是Gmiss積分點,也就是 根據(jù)相應權函數(shù)可以利用被積函數(shù)在偽譜網格點上的值來求積分值J常

10、用正交驀項式 仃Legendre多項式、Chebyshev多項式和Jocobi多項式,而每一種正交卷項式可以 時應不同的 _iau55 枳分點!l|l Gauss-LobaTto 節(jié)點、Gauss T.和 GamRn出u】H 點： 這三類Tauss枳分點儂次包含兩個時間邊界節(jié)點、不含時間邊界守點和一個時間邊 界節(jié)點.利用不同正交多項式和Gauss積分點組合口I構造出多種偽譜法格式,常見 偽譜法格式存 Chebyshev-Gauss-Lobalco (CGL) * Ixcndre-Gauss 、 LG)Lcgcndrc-Gauss-Radau(LGR). Legendre-Gmu監(jiān)工曲3(1.億

11、仃)等“偽潛法與大局部 同接法相比.有個理論上的亮點,即可以利用其結果來估計間接法中的協(xié)態(tài)變量曲 絕大局部的宜接法,由于沒有利用最優(yōu)限制所誘導的一階最優(yōu)必要條件,因此很難保 證結果的最優(yōu)特性.而在偽譜法中,偽譜法禽散原連續(xù)軌跡優(yōu)化問題轉化為非線性規(guī) 劃問題,這個小線性規(guī)劃問題的一階必要條件網(即心皿h-Kuh+Tu&cr或KKT條 件)可以證實H最優(yōu)限制所誘導的最優(yōu)必要條件足等價的.即乘子等價映射.如圖4.1 所示,這一結果溝通了直接法和間接法即最優(yōu)限制理論的聯(lián)系.推導詳見第六章.其 中KKT條件是建立乘了等價映射的第一步是推導H線性規(guī)劃問題的一階必要條件, 推導如下.對于式(44)所述非線性

12、規(guī)劃問題： niin/(x) si. = 0 f = .抑 儂、)0 j = 12/口)xe R其中N Xd為口維優(yōu)化變量,/為目標函數(shù).等式約束 而=01 = 1,2明和不等式約束或富)WO = 12.3都足夠光滑,其中my,可以 將上述等式約束和不等式約束分別記為冊D = 0( = 12m)和M、) = 0.U = l2 p), 引入Lagnmg0函數(shù)和未知Lgran爐乘廣可將上述的帶有約束的優(yōu)化問題變?yōu)闊o約束極 正響題,這樣便可以得到上述非畿性規(guī)劃問題的KKT條件：定義Lagrange函數(shù)L為:(4.2)其中 H(sO；力心)= 0.(,= 1,2加卜 G(x):(x)0.(7 = 1,

13、2p)其中入=和rYr.W網VO是分別與等式約束和不等式約束相對應的Lagran吃乘已 當為 非線性規(guī)劃問題(4.1)的極小值點時,需要滿足一階必要條件,即KKT條件.如下：守=入-口H(/) 書?(十)=0* V(爐AR = *) = 0(4.3)jiG(i*) = 0tg0上式中的微分算符U, = %,%-底L的化M雎化 偽譜法禽戚后的MP優(yōu)化XLP 的 KKT 條T融子儕映射離散為兩點總值問題圖41桑/書價映射示意BB乘子等價映射在LGL、LGR. LG和CGL偽譜法格式中已經建立并得到證實, 在應用上,乘子等價映射可以用來估計間接法中的協(xié)態(tài)變房*同時也可以想據(jù)估計的 Hamiltoio

14、函數(shù)來判斷結果的最優(yōu)性能.關于偽譜法.以式(2+1)到(2.5)所述最優(yōu)限制問題為例,上述的BNza問跑忖 間取值范圍是加外 好入歸一化時間變量V 1,將原最優(yōu)限制問題轉化為區(qū)間 口上的標掂最優(yōu)限制問超：仃一 V + Fozrd-將式(4J)代入到(2.1) - (25) o時間區(qū)間變?yōu)閃K,Bolza問題轉 化為以下適合偽譜法的標本Bolza問題：min二例j L(K(T)/(!)#T * -IJ工;加幻,t e-1J(4.5)(46)(451也幻 0. r e-IJ(4.8)本章第三節(jié)所采用例子是基于Radau偽譜法進行求解的.針對以上經過時間 變換得到的品優(yōu)限制問題簡單介紹Radau的求

15、解過程口狀態(tài)和限制變量離散化Radau偽講法求解最優(yōu)限制問題的根本思路為：將未知的狀態(tài)變量和限制變量在 一系列Lugundru.(iaus-Rathu( LGR)點上離散化,然后采用Lagrange插值多項式逼 近真實的狀態(tài)變量與限制受量,再通過對被近似的狀態(tài)變量表達式求導代替狀態(tài)微分 方程.LQR點為多項式尸=+P+)的零點,有N“個離散點是位于區(qū)同卜1.1內, 其中右側端點-1也為一個的配置點.其中尸為用階以趾nd%多項式,表達式及其 遞推公式為二IFG = R7；LQ-IW(4 2 A J dr汽*力=1.產】(r) r.(4.10)(川4】)融*仃片(2川十肌人白)川小一小)(4.11

16、)其中配置點記為仁1,2其中門=1,在配置點處有離散狀態(tài)呈工和離散控 制量U,*用Lagmnge插值多頊式的線性綱合來近似狀態(tài)變量/和限制變量U可 得到如卜表達式：jUt)為 X(r) = E 乙(門乂(匚)=(4J2) J-lEl乙E二 n 1-IL (2,N)(4J3)門14.14)(4.15)粹*U(T)之 1= Z /T)U(h)=工上(工)1 jiri出F r %)= n 廣島向f 0 一匯其中工,為LflglFC印插值多項式.甚于上述狀態(tài)變量和限制變量的離散化結果, 需要進一步時狀態(tài)方程和溝束條件等進行轉化計完j微 分 矩 陣 與 導 數(shù) 近 似 系統(tǒng)的狀態(tài)方程含有狀態(tài)變量對時間的

17、導數(shù)項,此處勸導數(shù)的近似一股是指整體 近似.在偽譜法中,函數(shù)的Lagran圖插值基函數(shù)是全局定義的,而導致的偽譜近似 是通過對Lagrange插值多地式求溫分得到的,因此它屬于整體近似方法;除比之外, 通常的有限差分法屬局部近似,依賴于Ugrange局部插值近似.對Lagrange插值 名項式(4J2)求導可得:匕i(r)片支(門=Z L(r)X(4J6)只考虐LGR配點上的狀態(tài)變異的導數(shù)值,令二門,代入上可得： 其.虱G)制 X(TO = L(g)X,二Z DX,(4J 7)Ii-l其中,XI2-,V4, D為一個(N-l)xN的矩陣.稱為狀態(tài)微分矩陣口 那么狀態(tài)方程(4.6)可以由下面的約

18、束條件代替：* Dg K r *;風廿, k = 127N7(4 J 8)i-i2萬一1v hi( x( n ).u(nX 門；他 “i1|lrV-.|(4.19)其中.A是Ga嶺枳分公式中的積分權重,也可以事先計價出AMii(r),r；hi, ft) =s 工門),)*1v i(4.19)A m jtAfXi. Ih. ri:.)*T其中,H4,gl2M,是Uhusb枳分公式中的枳分權重,也可以事先“算出NLP問題的形成通過把路在的束在LGR點上進行離散化以及將狀態(tài)變吊限制變呆近似多頂式代 人(4,5)fij(4.8)可以得到離散形式的非戰(zhàn)性規(guī)劃問題,如所a minJ J =中(X j露 X.v, “) + 二 Z w必.Ik,門;地 “卜(4.20)IA-ljsx E Dl龍-“X1.5,國田)=0,* = 1