2022秋九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法 2用配方法解一元二次方程教學(xué)設(shè)計(jì)（新版）蘇科版

1、精品文檔§22 配方法課時(shí)安排 3課時(shí)沉著說(shuō)課 配方法是繼探索一元二次方程近似解的根底上研究的一種求精確解的方法它是一元二次方程的解法的通法因?yàn)橛门浞椒ń庖辉畏匠瘫葦M麻煩，一個(gè)一元二次方程需配一次方，所以在實(shí)際解一元二次方程時(shí)，一般不用配方法但是，配方法是導(dǎo)出求根公式的關(guān)鍵，且在以后的學(xué)習(xí)中，會(huì)常常用到配方法因此，要理解配方法，并會(huì)用配方法解一元二次方程. 本節(jié)的重點(diǎn)、難點(diǎn)是配方法根據(jù)課程的特點(diǎn)，以及學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，本節(jié)內(nèi)容分三課時(shí) 在教學(xué)時(shí)，首先從前面兩節(jié)課的實(shí)例引入求精確解.因?yàn)槲覀円呀?jīng)能解形如(x+a)2=b(b0)的方程，所以想到要求一個(gè)一元二次方程的精確解時(shí)，是否可

2、把方程轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能解的方程，這時(shí)引入了一元二次方程的解法配方法 配方法的關(guān)鍵是正確配方，而要正確配方就必須熟悉完全平方式的特征 教學(xué)方法主要是學(xué)生自主探索、發(fā)現(xiàn)的方法課 題§22.2 配方法教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1會(huì)用開(kāi)平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程 2理解一元二次方程的解法配方法 (二)能力訓(xùn)練要求 1會(huì)用開(kāi)平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程；理解配方法 2體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法 3能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性 (三)情感與價(jià)值觀要求 通過(guò)師生的共同活動(dòng)，學(xué)生的進(jìn)一步操作來(lái)增強(qiáng)其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力教學(xué)重點(diǎn) 利用配方法解一元二次方程教學(xué)難點(diǎn) 把一

3、元二次方程通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為(x+m)2n(n0)的形式教學(xué)方法 講練結(jié)合法教具準(zhǔn)備 投影片六張： 第一張：?jiǎn)栴}(記作投影片§221 A) 第二張：議一議(記作投影片§ 221 B) 第三張：議一議(記作投影片§ 221 C) 第四張：想一想(記作投影片§221 D) 第五張：做一做(記作投影片§221 E) 第六張：例題(記作投影片§221 F)教學(xué)過(guò)程 創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情景，引入新課 師前面我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過(guò)平方根的意義及其性質(zhì)，現(xiàn)在來(lái)回憶一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性質(zhì)? 生甲如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根。 用式子表示

4、：假設(shè)x2=a，那么x叫做a的平方根 生乙平方根有以下性質(zhì)： (1)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根是互為相反數(shù)的 (2)零的平方根是零 (3)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根 師很好，那你能求出適合等式x2=4的x的值嗎? 生由x24可知，x就是4的平方根因此x的值為2和-2 師很好；下面我們來(lái)看上兩節(jié)課研究過(guò)的問(wèn)題(出示投影片§221 A)如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10 m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 m，如果梯子的頂端下滑1 m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米? 師由前節(jié)課的分析可知：梯子底端滑動(dòng)的距離x(m)滿足x2+12x-150上節(jié)課我們已求出了x的近似值，那么你能設(shè)法求出它的精確值嗎

5、? 這節(jié)課我們就來(lái)研究一元二次方程的解法 講授新課 師我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義及有關(guān)概念，現(xiàn)在同學(xué)們來(lái)討論一下：你能解哪些一元二次方程? 生甲等式x2=4就是一元二次方程，像這樣類型的方程我們就能解. 生乙方程(x+3)29，我們也可以解，即是要求(x+3)，使它的平方等于9，而9的平方根是3和-3，所以(x+3)就等于3或-3，因此x0或x-6 師乙同學(xué)分析得很好，大家聽(tīng)清楚了沒(méi)有?好，下面大家看大屏幕(出示投影片§ 221 B)你會(huì)解以下一元二次方程嗎?你是怎么做的?(1)x25； (2)3x20；(3)x2-40； (4)2x2-500；(5)(x+2)25； (6)(

6、x-3)26；(7)2x2+500 生甲方程(1)的解為 ，-，因?yàn)閤是5的平方根 方程(2)的解為0，因?yàn)榉匠?x20可以化為x20，即x是0的平方根 生乙方程(3)可以通過(guò)移項(xiàng)化為方程(1)的形式，即x24，所以方程(3)的根為2，-2 方程(4)也可以通過(guò)移項(xiàng)化為方程(2)的形式，即2x250，然后再化為x225，因此方程(4)的根為5，-5 生丙解方程(5)和(6)時(shí)，只要把(x+2)和(x-3)當(dāng)作整體看待，其形式就如方程(1)，這樣方程(5)和(6)即可求解 方程(5)就是求(x+2)，使它的平方為5，那么x+2就等于 或- ，因此，x就等于-2+或-2- 方程(6)就是求(x-3

7、)，使它的平方為6，那么(x-3)就等于 或- ，因此，x等于3+ 或3- 生丁方程(7)通過(guò)移項(xiàng)得2x2-50而由平方根的性質(zhì)可知：負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以沒(méi)有一個(gè)實(shí)數(shù)適合這個(gè)方程 師同學(xué)們分析得真棒，大家利用平方根的定義求解了一類一元二次方程，這種解一元二次方程的方法叫做直接開(kāi)平方法其中適合方程(7)的實(shí)數(shù)x不存在，所以原方程無(wú)實(shí)數(shù)解 從剛剛的解題過(guò)程中，我們知道了一元二次方程如果有解，那么它有兩個(gè)根，這兩個(gè)根可以是相等的，如方程(2)；也可以是不相等的，如方程(1)、(3)、(4)、(5)、(6)，所以我們?cè)跁?shū)寫時(shí)，通常用x1、x2表示未知數(shù)為x的一元二次方程的兩個(gè)根 注意： (1)方程3x

8、20有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即x1=0，x2=0這與一元一次方程3x=0有一個(gè)根x0是有區(qū)別的 (2)剛剛我們解的一元二次方程，可用形式ax2+c=0來(lái)表示當(dāng)a、c異號(hào)時(shí)，方程ax2+c0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a、c同號(hào)時(shí)，ax2+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根 好，接下來(lái)同學(xué)們來(lái)看大屏幕(出示投影片§221 C)。分組討論討論判斷以下方程能否用開(kāi)平方法來(lái)求解?如何解?(1)x2-4x+42；(2)x2+12x+365 生甲方程(1)能用開(kāi)平方法求解因?yàn)榉匠?1)的左邊正好是一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)正數(shù)，所以它可以化為(x-2)22這樣利用直接開(kāi)平方法可得x-2=±，即x1=2+，x2=

9、2-. 生乙方程(2)也能用平方法來(lái)解，方法同解方程(1)，即原方程化為(x+6)2=5兩邊分別開(kāi)平方，得x+6±， 即x1-6+，x2-6- 師很好，同學(xué)們根本了解了解一元二次方程的根本思路，誰(shuí)來(lái)給大家表達(dá)一下呢? 生解一元二次方程的根本思路是：把原方程變?yōu)?x+m)2n，然后兩邊同時(shí)開(kāi)平方，這樣原方程就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程 師真棒，實(shí)際上解一元二次方程的關(guān)鍵是要設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即將原方程“降次，“降次也是一種數(shù)學(xué)方法 下面我們來(lái)看能否求出方程x2+12x-15=0的精確值，同學(xué)們先來(lái)想一想：(出示投影片§221 D)解方程x2+12x-15=0的困難在哪里

10、?你能將方程x2+12x-150轉(zhuǎn)化成(x+m)2=n的形式嗎? 生解方程x2+12x-150的困難就是：怎么樣能把x2+12x-15=0的左邊變成一個(gè)完全平方形式，右邊變成一個(gè)非負(fù)數(shù) 師噢，那想一想完全平方式的特征是什么? 生完全平方公式是:a2±2ab+b2(a±b)2 師好，下面大家來(lái)做一做(出示投影片§221 E)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使以下等式成立(1)x2+12x+ (x+6)2；(2)x2-4x+ =(x- )2；(3)x2+8x+ (x+ )2 生甲(1)的左邊應(yīng)填上：36 (2)的左邊應(yīng)填上4，右邊填；2 (3)的左邊應(yīng)填上16，右邊填：4 生乙老師，我

11、看出來(lái)了，這三個(gè)等式的左邊填的常數(shù)是：一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；而右邊填的是：一次項(xiàng)系數(shù)的一半是嗎? 師大家說(shuō)呢? 生齊聲是 師好，我們理解了完全平方式的特征后，把方程；x2+12x-150轉(zhuǎn)化為(x+m)2n的形式 師生共析x2+12x-150， 可以先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得 x2+12x15 兩邊都加上62(一次項(xiàng)系數(shù)12的一半的平方)，得 x2+12x+62=15+62， 即(x+6)251 師接下來(lái)能否求出方程x2+12x-150的精確值，即梯子底端滑動(dòng)的距離呢? 生齊聲能，給方程兩邊開(kāi)平方，得 x+6±， 即x+6或x+6- 所以x1-6+,2-6- 師噢，所以梯子底端滑動(dòng)

12、了(-6+)m或(-6-)m 生老師，梯子底端滑動(dòng)的距離是正數(shù)，不能是負(fù)數(shù)，所以x1是原問(wèn)題的解，而x2不是 師大家說(shuō)，對(duì)嗎? 生齊聲對(duì) 師很好，x1，x2是方程x2+12x-150的根，但x2不是原問(wèn)題的解，所以應(yīng)舍去 我們通過(guò)配成完全平方式的方法得到了一元二次方程x2+12x-150的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法(Solving by completing the square) 下面同學(xué)們來(lái)看一例題：(出示投影片§221 F) 例題解方程x2+8x-90 師大家能獨(dú)立解這個(gè)方程嗎? 生齊聲能 解：可以把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得 x2+8x9 兩邊都加上16，得 x2+

13、8x+169+16， 即(x+4)2=25 開(kāi)平方，得 x+4±5， 即x+4=5或x+4-5 所以x11，x2-9 師很好，由此我們可以知道：由配方法解一元二次方程的根本思路是將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2n的形式，它的一邊是一個(gè)完全平方式，另一邊是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)n0時(shí)，兩邊開(kāi)平方便可求出它的根 注；因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)任何非負(fù)數(shù)都有平方根，所以當(dāng)n0時(shí)，方程有解；當(dāng)n<0時(shí)，左邊是一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，因此方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解 接下來(lái)，通過(guò)做練習(xí)來(lái)進(jìn)一步穩(wěn)固本節(jié)所學(xué)的內(nèi)容 課堂練習(xí) 課本P49隨堂練習(xí) 1 1解以下方程 (1)x2-10x+257；(2)x2+6x1 解：(1

14、)x2-10x+257， (x-5)27， x-5=±， 即x-5=或x-5=-， 所以x15+，x25- (2)x2+6x1， x2+6x+91+9， (x+3)210， x+3±， 即x+3或x+3- 所以x1-3+，x2-3- 課時(shí)小結(jié) 這節(jié)課我們研究了一元二次方程的解法： (1)直接開(kāi)平方法 (2)配方法 課后作業(yè) (一)課本P49習(xí)題23 1、2 (二)1預(yù)習(xí)內(nèi)容P49P52 2預(yù)習(xí)提綱 如何利用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1或一次項(xiàng)系數(shù)不為偶數(shù)的一元二次方程 活動(dòng)與探究 1解以下關(guān)于x的方程： (1)1(a>0)； (2)x2-a0(a0)； (3)(x-a)2

15、b2； (4)(ax+c)2d(d0，a0) 過(guò)程通過(guò)對(duì)此題的探究，讓學(xué)生了解字母系數(shù)的一元二次方程的解法與數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的解法一樣，因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，因此只有在判明了方程的兩邊均是非負(fù)數(shù)時(shí)，才能開(kāi)平方此題的(1)、(2)方程經(jīng)過(guò)變形后，可得x2a，因?yàn)榻o了條件a0或d0，所以可以對(duì)a進(jìn)行開(kāi)平方；方程(3)中，兩邊都是完全平方式，可以同時(shí)開(kāi)平方；方程(4)是給了條件d0，所以也可以直接開(kāi)平方 結(jié)果 解：(1)化簡(jiǎn)為x2=a 因?yàn)閍0， 所以兩邊同時(shí)開(kāi)平方，得x±， 即x1=，x2- (2)化簡(jiǎn)為x2=a 因?yàn)閍0， 所以兩邊同時(shí)開(kāi)平方，得x±， 即x1=，x2- (3)兩邊同時(shí)開(kāi)平方，得