最新考研數(shù)學(xué)公式手冊隨身看

1、目 錄一、高等數(shù)學(xué)1(一) 函數(shù)、極限、連續(xù)1(二) 一元函數(shù)微分學(xué)5(三)一元函數(shù)積分學(xué)13(四) 向量代數(shù)和空間解析幾何20(五)多元函數(shù)微分學(xué)29(六)多元函數(shù)積分學(xué)35(七)無窮級(jí)數(shù)40(八)常微分方程48二、線性代數(shù)53(一) 行列式53(二)矩陣54(三) 向量57(四)線性方程組60(五)矩陣的特征值和特征向量62(六)二次型63三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)66(一)隨機(jī)事件和概率66(二)隨機(jī)變量及其概率分布70(三)多維隨機(jī)變量及其分布72(四)隨機(jī)變量的數(shù)字特征75(五)大數(shù)定律和中心極限定理78(六)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念79(七)參數(shù)估計(jì)81(八)假設(shè)檢驗(yàn)84經(jīng)常用到的初等數(shù)學(xué)公式

2、86平面幾何91最新 精品 Word 歡迎下載 可修改一、高等數(shù)學(xué)(一) 函數(shù)、極限、連續(xù)考試內(nèi)容公式、定理、概念函數(shù)和隱函數(shù)函數(shù)：設(shè)有兩個(gè)變量和，變量的定義域?yàn)?，如果?duì)于中的每一個(gè)值，按照一定的法則，變量有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量為變量的函數(shù)，記作：基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關(guān)系的建立：基本初等函數(shù)包括五類函數(shù):1冪函數(shù):;2指數(shù)函數(shù)(且);3對(duì)數(shù)函數(shù):( 且);4三角函數(shù):如等;5反三角函數(shù):如等.初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算與有限此復(fù)合步驟所構(gòu)成，并可用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)，函數(shù)的左極限與右極限1

3、23(保號(hào)定理),無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系，無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較是同階無窮小， 無窮小的性質(zhì)（1） 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮?。?） 有限個(gè)無窮小的乘積為無窮小（3） 無窮小乘以有界變量為無窮小Th 在同一變化趨勢下，無窮大的倒數(shù)為無窮??；非零的無窮小的倒數(shù)為無窮大極限的四則運(yùn)算(1)；極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限：1 2單調(diào)有界定理：單調(diào)有界的數(shù)列必有極限3兩個(gè)重要極限： 重要公式：4幾個(gè)常用極限特例 函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)間斷點(diǎn)的類型：初等函數(shù)的連續(xù)性：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)：(1) (連續(xù)函數(shù)的有界性)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),則在上有

4、界,即常數(shù)，對(duì)任意的,恒有 .(2) (最值定理)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),則在上至少取得最大值與最小值各一次,即使得:；.(3) (介值定理)若函數(shù)在上連續(xù),是介于與(或最大值與最小值)之間的任一實(shí)數(shù),則在上至少一個(gè),使得(4) (零點(diǎn)定理或根的存在性定理)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且,則在內(nèi)至少一個(gè),使得(二) 一元函數(shù)微分學(xué)考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念導(dǎo)數(shù)和微分的概念左右導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義1：（1） 或 （2）2函數(shù)在處的左、右導(dǎo)數(shù)分別定義為：左導(dǎo)數(shù)： 右導(dǎo)數(shù)： 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，平面曲線的切線和法線Th1: 函數(shù)在處可微在處可導(dǎo)Th2: 若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處連續(xù)，反之則不成立

5、.即函數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo).Th3: 存在導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算，初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，四則運(yùn)算法則:設(shè)函數(shù)，在點(diǎn)可導(dǎo)則(1) (2) (3) 基本導(dǎo)數(shù)與微分表(1) （常數(shù)） (2) (為實(shí)數(shù)) (3) 特例 (4) 特例 (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) 復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法，1反函數(shù)的運(yùn)算法則: 設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào)連續(xù)，在點(diǎn)處可導(dǎo)且，則其反函數(shù)在點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的處可導(dǎo)，并且有2復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算法則:若在點(diǎn)可導(dǎo),而在對(duì)應(yīng)點(diǎn)()可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),且3隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法一般有三種方法：(1)方程

6、兩邊對(duì)求導(dǎo)，要記住是的函數(shù)，則的函數(shù)是的復(fù)合函數(shù).例如，等均是的復(fù)合函數(shù).對(duì)求導(dǎo)應(yīng)按復(fù)合函數(shù)連鎖法則做.(2)公式法.由知 ,其中，分別表示對(duì)和的偏導(dǎo)數(shù)(3)利用微分形式不變性高階導(dǎo)數(shù)，一階微分形式的不變性，常用高階導(dǎo)數(shù)公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）萊布尼茲公式：若均階可導(dǎo)，則 ，其中，微分中值定理，必達(dá)法則，泰勒公式Th1(費(fèi)馬定理)若函數(shù)滿足條件：(1)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，并且在此鄰域內(nèi)恒有或,(2) 在處可導(dǎo),則有 Th2 (羅爾定理) 設(shè)函數(shù)滿足條件：(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)一個(gè)，使 Th3 (拉格朗日中值定理) 設(shè)函數(shù)滿足條件：(1)在上連續(xù)；(2)

7、在內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)一個(gè)，使 Th4 (柯西中值定理) 設(shè)函數(shù)，滿足條件：(1)在上連續(xù)；(2)在內(nèi)可導(dǎo)且，均存在，且則在內(nèi)一個(gè)，使 洛必達(dá)法則：法則 (型)設(shè)函數(shù)滿足條件： ; 在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)(在處可除外)且;存在(或).則法則 (型)設(shè)函數(shù)滿足條件：;一個(gè),當(dāng) 時(shí),可導(dǎo),且;存在(或).則法則(型) 設(shè)函數(shù)滿足條件：; 在 的鄰域內(nèi)可導(dǎo)(在處可除外)且;存在(或).則同理法則(型)仿法則可寫出泰勒公式: 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn)，在與之間至少一個(gè)，使得 其中 稱為在點(diǎn)處的階泰勒余項(xiàng).令，則階泰勒公式(1)其中 ，在0與之間.(1)式稱為麥克勞林公式常用五種函數(shù)

8、在處的泰勒公式 或 或 或 或 或 函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)的圖形的凹凸性，拐點(diǎn)及漸近線，用函數(shù)圖形描繪函數(shù)最大值和最小值，1函數(shù)單調(diào)性的判斷：Th1設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果對(duì)，都有（或），則函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增加的（或單調(diào)減少）Th2 （取極值的必要條件）設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且在處取極值，則.Th3 （取極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)可微，且（或在處連續(xù)，但不存在.）(1)若當(dāng)經(jīng)過時(shí)，由“+”變“-”，則為極大值；(2)若當(dāng)經(jīng)過時(shí)，由“-”變“+”，則為極小值；(3)若經(jīng)過的兩側(cè)不變號(hào)，則不是極值.Th4 (取極值的第二充分條件)設(shè)在點(diǎn)處有，且，則 當(dāng)時(shí)，為極大值；當(dāng)時(shí)，為極小值

9、.注：如果，此方法失效.2漸近線的求法：(1)水平漸近線 若，或，則稱為函數(shù)的水平漸近線.(2)鉛直漸近線 若，或，則稱為的鉛直漸近線.(3)斜漸近線 若，則稱為的斜漸近線3函數(shù)凹凸性的判斷：Th1 (凹凸性的判別定理）若在I上（或），則在I上是凸的（或凹的）.Th2 (拐點(diǎn)的判別定理1)若在處，（或不存在），當(dāng)變動(dòng)經(jīng)過時(shí)，變號(hào)，則為拐點(diǎn).Th3 (拐點(diǎn)的判別定理2)設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有三階導(dǎo)數(shù)，且，則為拐點(diǎn)弧微分，曲率的概念，曲率半徑1.弧微分：2.曲率：曲線在點(diǎn)處的曲率對(duì)于參數(shù)方程3.曲率半徑：曲線在點(diǎn)處的曲率與曲線在點(diǎn)處的曲率半徑有如下關(guān)系：(三)一元函數(shù)積分學(xué)考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念

10、原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)基本性質(zhì)1 （為常數(shù)）23求導(dǎo)： 或微分：4或 （是任意常數(shù)）基本積分公式 （） 重要公式 定積分的概念和基本性質(zhì)，定積分中值定理1 定積分的基本性質(zhì)積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，牛頓萊布尼茲公式Th1Th2Th3的原函數(shù)，則不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法1不定積分：分部積分法：選擇u，dv的原則：積分容易者選作dv，求導(dǎo)簡單者選為u換元積分法：2 定積分換元法:，則分部積分公式 3 定積分不等式證明中常用的不等式 (3)柯西不等式：有理函數(shù)，三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分，廣義積分和定積分的應(yīng)用1 三角函數(shù)代換函數(shù)含根式所作代換三角形示意圖

11、有理函數(shù)積分（）4 廣義積分（1） 無窮限的廣義積分（無窮積分）（2） 無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）(四) 向量代數(shù)和空間解析幾何考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念向量的概念，向量的線性運(yùn)算，1.向量：既有大小又有方向的量，又稱矢量.2.向量的模：向量的大小.記為.3.向量的坐標(biāo)表示：若向量用坐標(biāo)表示，則4向量的運(yùn)算法則：加減運(yùn)算 設(shè)有矢量，則.數(shù)乘運(yùn)算 數(shù)乘運(yùn)算矢量與一數(shù)量之積， 設(shè)，則向量的數(shù)量積和向量積，向量的混合積，1矢量的數(shù)積（點(diǎn)積，內(nèi)積）：矢量與的數(shù)量積設(shè)，則2矢量的向量積（叉積，外積）：設(shè)有兩個(gè)向量與，若一個(gè)矢量，滿足如下條件（1）；（2），即垂直于，所確定的平面；（3），成右手系.則

12、稱矢量為矢量與的矢量積，記.設(shè)，則3混合積：設(shè)有三個(gè)矢量，若先作，的叉積，再與作點(diǎn)積，則這樣的數(shù)積稱為矢量，的混合積，記為，即設(shè)，則兩向量垂直、平行的條件，兩向量的夾角，向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算，單位向量，方向數(shù)與方向余弦，1向量之間的位置關(guān)系及結(jié)論設(shè)，（1）；（2）；其中之中有一個(gè)為“0”，如，應(yīng)理解為；（3），不共線不全為零的數(shù)使；（4）矢量與的夾角，可由下式求出；（5），共面不全為零的數(shù)，使或者2單位向量：模為1的向量. 向量的單位向量記作，3向量的方向余弦：其中為向量與各坐標(biāo)軸正向的夾角.4單位向量的方向余弦：顯然，且有曲面方程和空間曲線方程的概念，平面方程，直線方程，平面與平面、平面

13、與直線、直線與直線的以及平行、垂直的條件，點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離1平面方程(1)一般式方程 ，法矢量，若方程中某個(gè)坐標(biāo)不出現(xiàn)，則平面就平行于該坐標(biāo)軸，例如 平面軸(2)平面的點(diǎn)法式方程 為平面上已知點(diǎn)，為法矢量(3)三點(diǎn)式方程 ,為平面上的三個(gè)點(diǎn)(4)截距式方程 ，分別為平面上坐標(biāo)軸上的截距，即平面通過三點(diǎn) 2直線方程一般式方程(兩平面交線)：平面與平面的法矢量分別為， ， 直線的方向矢量為(2)標(biāo)準(zhǔn)式方程 為直線上已知點(diǎn)，為直線的方向矢量(3)兩點(diǎn)式方程 其中，為直線上的兩點(diǎn)(4)參數(shù)式方程 為直線上已知點(diǎn)，為直線的方向矢量3平面間的關(guān)系設(shè)有兩個(gè)平面：平面：平面：(1)平面平面(2)平面平

14、面(3)平面與平面的夾角，由下式確定 4平面與直線間關(guān)系直線平面：(1)(2)(3)與的夾角，由下式確定 5直線間關(guān)系設(shè)有兩直線：直線 直線(1)(2)(3)直線與的夾角，由下式確定 6點(diǎn)到平面的距離：到平面的距離為 7點(diǎn)到直線的距離：到直線距離為球面，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面，旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，常用的二次曲面方程及其圖形，空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程.準(zhǔn)線為各種形式的柱面方程的求法(1) 準(zhǔn)線為,母線軸的柱面方程為 ,準(zhǔn)線為,母線軸的柱面方程為 ,準(zhǔn)線為,母線軸的柱面方程為 .(2) 準(zhǔn)線為,母線的方向矢量為的柱面方程的求法首先,在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)

15、,則過點(diǎn)的母線方程為 其中為母線上任一點(diǎn)的流動(dòng)坐標(biāo),消去方程組 中的便得所求的柱面方程常見的柱面方程名稱方程圖形圓柱面橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面標(biāo)準(zhǔn)二次方程及其圖形名稱方程圖形橢球面(均為正數(shù))單葉雙曲面(均為正數(shù))雙葉雙曲面(均為正數(shù))橢圓的拋物面(為正數(shù))雙曲拋物面(又名馬鞍面)(均為正數(shù))二次錐面 (為正數(shù))(五)多元函數(shù)微分學(xué)考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義，二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念，二元函數(shù)連續(xù)，可導(dǎo)（兩偏導(dǎo)存在）與可微三者的關(guān)系如下：可導(dǎo)可微函數(shù)連續(xù)“”表示可推出用全微分定義驗(yàn)證一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的可微性，只需驗(yàn)證：有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，多元函數(shù)偏

16、導(dǎo)數(shù)和全微分，全微分存在的必要條件和充分條件，基本原理多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法，二階偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)和梯度，1復(fù)合函數(shù)微分法注：復(fù)合函數(shù)一定要設(shè)中間變量，抽象函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)，其中間變量用數(shù)字1，2，3表示更簡潔.2隱函數(shù)微分法來求解方向?qū)?shù)和梯度Th1設(shè)在處可微，則在點(diǎn)沿任意方向 存在方向?qū)?shù)且在平面上除了用方向角表示外也可用極角表示：，此時(shí)相應(yīng)的方向?qū)?shù)的計(jì)算公式為 Th2設(shè)三元函數(shù)在處可微，則在點(diǎn)沿任意方向存在方向?qū)?shù)且有 梯度：在點(diǎn)的方向?qū)?shù)計(jì)算公式可改寫成這里向量成為在點(diǎn)的梯度(向量)即沿梯度方向時(shí)，方向?qū)?shù)取最大值空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，1 曲線的切線及法平

17、面方程法線方程：2 空間曲面在其上某點(diǎn)處的切平面和法線方程二元函數(shù)的二階泰勒公式，多元函數(shù)的極值和條件極值，多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用1多元函數(shù)的極值定義：若對(duì)于該鄰域內(nèi)異于 (極大值) 2無條件極值解題程序：；3條件極值（拉格朗日乘數(shù)法） 解題程序:(六)多元函數(shù)積分學(xué)考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用1二重積分：幾何意義：2三重積分：物理意義：3性質(zhì)(只敘述二重積分的性質(zhì)，三重積分類似)(1)(2)(3)的構(gòu)成子域且任兩個(gè)子域沒有重迭部分(5)（比較定理）(8)二重積分的對(duì)稱性原理這個(gè)性質(zhì)的幾何意義見圖(a)、(b)注：注意到二重積分積分域D的

18、對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性，一方面可減少計(jì)算量，另一方面可避免出差錯(cuò)，要特別注意的是僅當(dāng)積分域D的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性兩者兼得時(shí)才能用性質(zhì)8.兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算，兩類曲線積分的關(guān)系，格林公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，1平面曲線積分與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)條件設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則與路徑無關(guān)為一簡單分段光滑封閉曲線存在函數(shù)使且2格林公式：設(shè)平面上的有界閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)在有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有或者二元函數(shù)全微分的原函數(shù)，兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算，兩類曲面積分的關(guān)系，高斯公式，斯托克斯公式，1高斯(Gauss)公式設(shè)是空間中的有界閉區(qū)域，

19、由分塊光滑的曲面所圍成，函數(shù)在由連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則這里是的整個(gè)邊界的外側(cè)(即取外法向)，是上點(diǎn)處的外法向量的方向余弦.2斯托克斯公式設(shè)為分段光滑的又向閉曲線，是以為邊界的分塊光滑有向曲面，的正向與的側(cè)(即法向量的指向)符合右手法則，函數(shù)在包含的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有或散度和旋度的概念及計(jì)算，曲線積分和曲面積分的應(yīng)用1散度的計(jì)算公式設(shè)均可導(dǎo)，則在點(diǎn)處的散度為2旋度的計(jì)算公式設(shè)有矢量場，其中均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則旋度為：(七)無窮級(jí)數(shù)考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件1級(jí)數(shù)的性質(zhì)：注：添加或去消有限項(xiàng)不影響

20、一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則對(duì)其各項(xiàng)任意加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)以及他們的收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，正項(xiàng)級(jí)數(shù)（）的判斂法 (2)兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù) (3)比值判別法（達(dá)朗貝爾準(zhǔn)則）（適用于通項(xiàng)中含有n！或最新n的若干連乘積形式） 交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茲定理，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，1 交錯(cuò)級(jí)數(shù) 的判斂法萊布尼茲準(zhǔn)則：則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，其和其n項(xiàng)余和的絕對(duì)值函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念，冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑，收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，1冪級(jí)數(shù)：2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域的求法步驟： 冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，

21、初等冪級(jí)數(shù)展開式1冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)： (1)且在（-R，R）內(nèi)絕對(duì)收斂(2)(3) 利用多項(xiàng)式的長除法可得：2冪級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)：(1)(2)(3)3函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù) 4常見的冪級(jí)數(shù)展開式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (隨的不同而不同，但在(-1，1)總有意義)函數(shù)的傅立葉系數(shù)與傅立葉級(jí)數(shù)，狄利克雷定理，函數(shù)在上的傅立葉級(jí)數(shù)23函數(shù)在上的正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù).1為上的非周期函數(shù)，令：則（余弦級(jí)數(shù)），其中：（n=0，1，2，）2為上的非周期函數(shù)，令：則除x=0外在區(qū)間上為奇函數(shù)則（正弦級(jí)數(shù)），其中：（n=1，2，）(八)常微分方程考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念常微分方程的基

22、本概念，變量可分離的微分方程1常微分方程 含有自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)的方程式稱微分方程，而當(dāng)未知函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)稱為常微分方程.2可分離變量方程解法：兩邊同除，得 奇次微分方程，一階線性微分方程，伯努利方程，全微分方程，1齊次方程解法：令，則，于是，原方程2可化為齊次型的方程 解法：(1)當(dāng)時(shí) 屬于(2)(2)即則令，則屬于（1）(3)不全為0 解方程組求交點(diǎn)令則原方程屬于（2）3一階線性方程解法：用常數(shù)變易法求(1)求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解(2)令原方程的解為(3)代入原方程整理得(4)原方程通解 4貝努里方程，其中解法：令，則方程，屬于35全微分方程為全微分方程.通解為可用簡單的

23、變量代換求解的某些微分方程，可降階的高階微分方程，線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理注：這里只限于討論二階線性方程，其結(jié)論可推廣到更高階的方程，二階線性方程的一般形式為 (8.1)其中均為連續(xù)函數(shù)，當(dāng)右端項(xiàng)時(shí)，稱為二階線性齊次方程，否則稱為非齊次方程.解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)(以下性質(zhì)可推廣到任意高階的線性方程)分以下幾種：1若為齊次方程 (8.2)的兩個(gè)特解，則其線性組合仍為(8.2)的解，特別地，若線性無關(guān)，則(8.2)的通解為2設(shè)為非線性方程(8.1)的兩個(gè)特解，則其差為相應(yīng)齊次方程(8.2)的特解3設(shè)為非齊次方程(8.1)的一個(gè)特解，為齊次方程(8.2)的任意特解，則其和為(8.1)的解，特別地

24、，若為(8.2)兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則(8.1)的通解為 ，其中為任意常數(shù).二階常系數(shù)奇次線性微分方程，高于二階的某些常系數(shù)奇次線性微分方程1二階常系數(shù)線性齊次方程 (1) 其中均為常數(shù)解法：特征方程：（I）當(dāng)為相異的特征根時(shí)，方程(1)通解為（II）當(dāng)時(shí)，通解為（III）當(dāng)（復(fù)根）時(shí)，通解為2 階常系數(shù)齊次線性方程此種方程的一般形式為 ()，其中為常數(shù)，相應(yīng)的特征方程為特征根與通解的關(guān)系同二階方程的情形相類似，具體結(jié)果為：(1)若是個(gè)相異實(shí)根，則方程()的通解為(2)若為特征方程的重實(shí)根，則()的通解中含有：(3)若為特征方程的重共軛復(fù)根，則()的通解中含有：由于我們不能求出一般的三次以上代

25、數(shù)方程的根，也就是說對(duì)于三次以上的特征方程一般不能得到齊特征根，自然也就不能求出三階以上常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，能夠求出的只是某些特殊情形簡單的二階常系數(shù)非奇次線性微分方程，歐拉方程，微分方程簡單應(yīng)用1二階常系數(shù)線性非齊次方程 (2)其中均為常數(shù)解法：通解的求法程序(1)求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解(2)求出(2)的特解 (3)方程(2)的通解方程(2)特解的求法有三種：微分算子法、常數(shù)變易法、待定系數(shù)法.2形如的方程成為歐拉方程.二、線性代數(shù)(一) 行列式考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念行列式的概念和基本性質(zhì)、行列式按行（列）展開定理行列式按行（列）展開定理(1)或即 其中 (2)設(shè)為階方陣，則

26、但不一定成立(4)但(6)范德蒙行列式設(shè)A是n階方陣，是A的n個(gè)特征值，則(二)矩陣考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念矩陣的概念，矩陣的線性運(yùn)算，矩陣的乘法，矩陣：稱為矩陣，簡記為則稱是階矩陣或階方陣.矩陣的線性運(yùn)算1矩陣的加法 設(shè)是兩個(gè)矩陣，則矩陣稱為矩陣 與的和，記為2矩陣的數(shù)乘 設(shè)是矩陣，是一個(gè)常數(shù)，則矩陣稱為數(shù)與矩陣的數(shù)乘，記為.3矩陣的乘法 設(shè)是矩陣，是矩陣，那么矩陣，其中稱為的乘積，記為方陣的冪，方陣乘積的行列式，矩陣的轉(zhuǎn)置，逆矩陣的概念和性質(zhì)，矩陣可逆的充要條件，伴隨矩陣，1三者之間的關(guān)系但不一定成立， 但不一定成立2有關(guān)A*的結(jié)論3)若可逆，則4)若為階方陣，則3有關(guān)的結(jié)論矩陣的初等

27、變換，初等矩陣，矩陣的秩，矩陣等價(jià)，分塊矩陣及其運(yùn)算1有關(guān)矩陣秩的結(jié)論1）秩r（A）=行秩=列秩；2）3）；4）5）初等變換不改變矩陣的秩6）特別若 則7）若存在 若存在 若 若8）只有零解2分塊求逆公式； 這里A，B均為可逆方陣(三) 向量考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念向量的概念，向量的線性組合和線性表示，向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)1有關(guān)向量組的線性表示(1)線性相關(guān)至少有一個(gè)向量可以用其余向量線性表示.(2)線性無關(guān)，線性相關(guān)可以由惟一線性表示.(3)可以由線性表示）2有關(guān)向量組的線性相關(guān)性(1)部分相關(guān)，整體相關(guān)；整體無關(guān)，部分無關(guān).(2) n個(gè)n維向量n個(gè)n維向量線性相關(guān) n+1個(gè)n維向量

28、線性相關(guān). 若線性無關(guān)，則添加分量后仍線性無關(guān)；或一組向量線性相關(guān)，去掉某些分量后仍線性相關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組，等價(jià)向量組，向量組的秩1有關(guān)向量組的線性表示(1)線性相關(guān)至少有一個(gè)向量可以用其余向量線性表示.(2)線性無關(guān)，線性相關(guān)可以由惟一線性表示.(3)可以由線性表示向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系，向量空間及相關(guān)概念1設(shè)，則的秩與的行列向量組的線性相關(guān)性關(guān)系為：(1)若，則的行向量組線性無關(guān).(2)若，則的行向量組線性相關(guān).(3)若，則的列向量組線性無關(guān).(4)若，則的列向量組線性相關(guān)n維向量空間的基變換和坐標(biāo)變換，過渡矩陣1基變換公式及過渡矩陣若與是向量空間的兩組基，則基變換公式為其

29、中是可逆矩陣，稱為由基到基的過渡矩陣2坐標(biāo)變換公式若向量在基與基的坐標(biāo)分別是，即，則向量坐標(biāo)變換公式為其中是從基到基的過渡矩陣向量的內(nèi)積，線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法內(nèi)積：Schmidt正交化若線性無關(guān)，則可構(gòu)造使其兩兩正交，且僅是的線性組合，再把單位化，記，則是規(guī)范正交向量組.其中， 規(guī)范正交基，正交矩陣及其性質(zhì)1正交基及規(guī)范正交基向量空間一組基中的向量如果兩兩正交，就稱為正交基；若正交基中每個(gè)向量都是單位向量，就稱其為規(guī)范正交基(四)線性方程組考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念線性方程組的克萊姆法則，奇次線性方程組有非零解的充分必要條件1克萊姆法則線性方程組，如果系數(shù)行列式，則方程組有唯一解，

30、其中是把中第列元素?fù)Q成方程組右端的常數(shù)列所得的行列式.2 n階矩陣可逆只有零解.總有唯一解，一般地， 只有零解.非奇次線性方程組有解的充分必要條件，線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)1設(shè)A為矩陣，若，則對(duì)而言必有從而有解.2設(shè)為的解，則當(dāng)時(shí)仍為的解；但當(dāng)時(shí)，則為的解.特別為的解；為的解.3非齊次線性方程組無解不能由的列向量線性表示.奇次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解，解空間，非奇次線性方程組的通解.1齊次方程組恒有解(必有零解).當(dāng)有非零解時(shí)，由于解向量的任意線性組合仍是該齊次方程組的解向量，因此的全體解向量構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為該方程組的解空間，解空間的維數(shù)是，解空間的一組基稱為齊次方程組的基礎(chǔ)解系.

31、2 是的基礎(chǔ)解系，即(1) 是的解；(2) 線性無關(guān)；(3) 的任一解都可以由線性表出.是的通解，其中是任意常數(shù).(五)矩陣的特征值和特征向量考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，1設(shè)是的一個(gè)特征值，則有一個(gè)特征值分別為且對(duì)應(yīng)特征向量相同（例外）.2若為的n個(gè)特征值，則從而沒有特征值.3設(shè)為的s個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為，若則相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)，1若，則(1)(2)(3)對(duì)成立矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件及相似對(duì)角矩陣，1設(shè)為n階方陣，則可對(duì)角化對(duì)每個(gè)重根特征值，有2設(shè)可對(duì)角化，則由有，從而3重要結(jié)論(1)若，則.(2)若，則，其中為最新階方陣的多項(xiàng)式.(

32、3)若為可對(duì)角化矩陣，則其非零特征值的個(gè)數(shù)(重根重復(fù)計(jì)算)秩()實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量及相似對(duì)角陣1相似矩陣：設(shè)為兩個(gè)階方陣，如果存在一個(gè)可逆矩陣，使得成立，則稱矩陣相似，記為.2相似矩陣的性質(zhì)如果則有(1)(2)(3)(4)(5)(6)(六)二次型考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念二次型及其矩陣表示，合同變換與合同矩陣，二次型的秩1個(gè)變量的二次齊次函數(shù)，其中，稱為元二次型，簡稱二次型. 若令這二次型可改寫成矩陣向量形式.其中稱為二次型矩陣，因?yàn)?，所以二次型矩陣均為?duì)稱矩陣，且二次型與對(duì)稱矩陣一一對(duì)應(yīng)，并把矩陣的秩稱為二次型的秩.慣性定理，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形1慣性定理對(duì)于任一二次型，不論選

33、取怎樣的合同變換使它化為僅含平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)型，其正負(fù)慣性指數(shù)與所選變換無關(guān)，這就是所謂的慣性定理.2標(biāo)準(zhǔn)形 二次型經(jīng)過合同變換化為稱為的標(biāo)準(zhǔn)形.在一般的數(shù)域內(nèi)，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，與所作的合同變換有關(guān)，但系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)由唯一確定.3規(guī)范形 任一實(shí)二次型都可經(jīng)過合同變換化為規(guī)范形，其中的秩，為正慣性指數(shù)，為負(fù)慣性指數(shù)，且規(guī)范型唯一.用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，二次型及其矩陣的正定性1設(shè)正定正定；A可逆；，且2 ，B正定A+B正定，但AB，BA不一定正定3 A正定 A的各階順序主子式全大于零 A的所有特征值大于零 A的正慣性指數(shù)為n 可逆陣P使 存在正交矩陣Q，使其中正定正定

34、；可逆；，且三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(一)隨機(jī)事件和概率考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)概念、定理、公式隨機(jī)事件與樣本空間，事件的關(guān)系與運(yùn)算，完全事件組1事件的關(guān)系與運(yùn)算(1)子事件：，若A發(fā)生，則B發(fā)生.(2)相等事件：A=B，即，且.(3)和事件：（或A+B），A與B中至少有一個(gè)發(fā)生.(4)差事件：A-B，A發(fā)生但B不發(fā)生.(5)積事件：（或AB），A與B同時(shí)發(fā)生.(6)互斥事件（互不相容）：=.(7)互逆事件（對(duì)立事件）：2運(yùn)算律：(1)交換律：(2)結(jié)合律：；(3)分配律：3德摩根律：4完全事件組: 兩兩互斥，且和事件為必然事件，即概率的概念，概率的基本性質(zhì)，古典概率，幾何型概率1概率：事件發(fā)生的可能性大小的

35、度量，其嚴(yán)格定義如下：概率為定義在事件集合上的滿足下面3個(gè)條件的函數(shù)：(1)對(duì)任何事件A，(2)對(duì)必然事件，(3)對(duì)2概率的基本性質(zhì)(1)(2)(3)特別，當(dāng)時(shí)，且；(4)若兩兩互斥，則3古典型概率: 實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果只有有限個(gè)，且每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相同，其概率計(jì)算公式：4幾何型概率: 樣本空間為歐氏空間中的一個(gè)區(qū)域，且每個(gè)樣本點(diǎn)的出現(xiàn)具有等可能性，其概率計(jì)算公式：概率的基本公式，事件的獨(dú)立性，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1概率的基本公式:(1)條件概率: (2)全概率公式：(3) Bayes公式：注：上述公式中事件的個(gè)數(shù)可為可列個(gè).(4)乘法公式：2事件的獨(dú)立性(1)A與B相互獨(dú)立(2)A，B，C兩兩獨(dú)立

36、(3)A，B，C相互獨(dú)立 3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn): 將某試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)n次，若每次實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則n次試驗(yàn)中A發(fā)生k次的概率為：4重要公式與結(jié)論 (5)條件概率滿足概率的所有性質(zhì)，例如：. (6)若相互獨(dú)立，則 (7)互斥、互逆與獨(dú)立性之間的關(guān)系：A與B互逆A與B互斥，但反之不成立，A與B互斥（或互逆）且均非零概率事件A與B不獨(dú)立.(8)若相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立，其中分別表示對(duì)相應(yīng)事件做任意事件運(yùn)算后所得的事件，另外，概率為1（或0）的事件與任何事件相互獨(dú)立.(二)隨機(jī)變量及其概率分布考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、概念、定理隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的分部函數(shù)的概念及其性質(zhì)1隨機(jī)變量及概率分布: 取值帶有隨

37、機(jī)性的變量，嚴(yán)格地說是定義在樣本空間上，取值于實(shí)數(shù)的函數(shù)稱為隨機(jī)變量，概率分布通常指分布函數(shù)或分布律2分布函數(shù)的概念與性質(zhì)定義：性質(zhì)：(1) (2)單調(diào)不減(3)右連續(xù) (4)離散型隨機(jī)變量的概率分布，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度性質(zhì)1離散型隨機(jī)變量的概率分布2連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度概率密度非負(fù)可積，且(1)(2)(3)常見隨機(jī)變量的概率分布，隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布1常見分布(1) 0-1分布：(2) 二項(xiàng)分布： (3) Poisson分布： (4) 均勻分布U（a，b）：(5) 正態(tài)分布 (6)指數(shù)分布(7)幾何分布(8)超幾何分布2隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布(1)離散型：則(2)連續(xù)型：則， 3

38、重要公式與結(jié)論(5)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為階梯間斷函數(shù)；連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，但不一定為處處可導(dǎo)函數(shù).(6)存在既非離散也非連續(xù)型隨機(jī)變量.(三)多維隨機(jī)變量及其分布考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、概念、定理多維隨機(jī)變量及其分布，二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布1二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布由兩個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的隨機(jī)向量（X，Y），聯(lián)合分布為2二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布、邊緣分布、條件分布(1)聯(lián)合概率分布律 (2) 邊緣分布律 (3) 條件分布律 二維連續(xù)性隨機(jī)變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度1聯(lián)合概率密度(1) (2)2分布函數(shù)：3邊緣概率密度： 4條件概率密度：

39、 隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性，常用二維隨機(jī)變量的分布1常見二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布(1)二維均勻分布： ,(2)二維正態(tài)分布：2隨機(jī)變量的獨(dú)立性和相關(guān)性X和Y的相互獨(dú)立，X和Y的相關(guān)性：相關(guān)系數(shù)時(shí)，稱X和Y不相關(guān)，否則稱X和Y相關(guān)兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布1兩個(gè)隨機(jī)變量簡單函數(shù)的概率分布(1)離散型：(2)連續(xù)型：，2重要公式與結(jié)論(1) 邊緣密度公式： (2)(3)若（X，Y）服從二維正態(tài)分布則有X與Y相互獨(dú)立，即X與Y不相關(guān).X最新Y=y的條件分布為： Y最新X=x的條件分布為： (4)若X與Y獨(dú)立，且分別服從則(5)若X與Y相互獨(dú)立，為連續(xù)函數(shù)，則也相互獨(dú)立.(四)隨機(jī)變量的數(shù)字

40、特征考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)概念、定義、定理、公式隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）、方差和標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì)1數(shù)學(xué)期望離散型：；連續(xù)型：性質(zhì)：(1)(2)(3)若X和Y獨(dú)立，則(4)2方差：3標(biāo)準(zhǔn)差：，4離散型：5連續(xù)型：性質(zhì)：(1)(2)X與Y相互獨(dú)立，則(3)(4)一般有(5)(6)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，矩、協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)的數(shù)字特征1隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(1)對(duì)于函數(shù)為離散型：；為連續(xù)型：(2) ;2協(xié)方差 3相關(guān)系數(shù) ,k階原點(diǎn)矩 ;k階中心矩 性質(zhì)：(1)(2)(3)(4)(5) 4重要公式與結(jié)論（1）（2）（3）且 （4）下面5個(gè)條件互為充要條件：注：X與Y獨(dú)立為上述5個(gè)條件中任何一個(gè)成立的充分條件

41、，但非必要條件.(五)大數(shù)定律和中心極限定理考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)概念、定理、重要公式切比雪夫（Chebyshev）不等式，切比雪夫大數(shù)定律1切比雪夫不等式：或2切比雪夫大數(shù)定律：設(shè)相互獨(dú)立，且則對(duì)于任意正數(shù)，有伯努利大數(shù)定律，辛欽（Khinchine）大數(shù)定律1伯努利大數(shù)定律設(shè)相互獨(dú)立，同0-1分布，則對(duì)任意正數(shù)，有2辛欽大數(shù)定律設(shè)相互獨(dú)立同分布，則對(duì)于任意正數(shù)，有隸莫弗拉普拉斯（De Movire-Laplace）定理，列維林德伯格（Levy-Undbe）定理1棣莫弗-拉普斯定理設(shè)（即相互獨(dú)立且同服從0-1分布）則有2列維-林德伯格定理設(shè)相互獨(dú)立分布，則(六)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、概念

42、、定理總體，個(gè)體，簡單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量，樣本均值，樣本方差和樣本矩總體：研究對(duì)象的全體，它是一個(gè)隨機(jī)變量，用X表示個(gè)體：組成總體的每個(gè)基本元素簡單隨機(jī)樣本：來自總體X的n個(gè)相互獨(dú)立且與總體同分布的隨機(jī)變量稱為容量為n的簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本統(tǒng)計(jì)量：設(shè)是來自總體X的一個(gè)樣本，）是樣本的連續(xù)函數(shù)，且中不含任何未知參數(shù)，則稱為統(tǒng)計(jì)量樣本均值：樣本方差：樣本矩：樣本k階原點(diǎn)矩：樣本k階中心矩：分布，t分布，F(xiàn)分布，分位數(shù)分布：，其中相互獨(dú)立，且同服從t分布： 其中且X，Y相互獨(dú)立F分布：，其中且X，Y相互獨(dú)立分位數(shù)：若則稱為的分位數(shù)正態(tài)總體的常用樣本分布1設(shè)為來自正態(tài)總體的樣本，則(1)(2)(3)(

43、4)重要公式與結(jié)論（1）對(duì)于，有（2）對(duì)于，有；（3）對(duì)于，有（4）對(duì)于任意總體，有(七)參數(shù)估計(jì)考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、概念、定理點(diǎn)估計(jì)的概念，估計(jì)量與估計(jì)值，矩估計(jì)法，最大似然估計(jì)法1為的矩估計(jì)，g（x）為連續(xù)函數(shù)，則g（）為g（）的矩估計(jì).2為的極大似數(shù)估計(jì)，g（x）為單調(diào)函數(shù)，則為的極大似然估計(jì)3即，分別為總體的無偏估計(jì)量.4由大數(shù)定律易知，也分別是的一致估量.5若則為的一致估計(jì).估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間估計(jì)的概念1估計(jì)量的選取標(biāo)準(zhǔn)：無偏性、有效性、相合性2為的置信度是的置信區(qū)間，g（x）為單調(diào)增加（或單調(diào)減少）函數(shù)，則為的置信度是的置信區(qū)間單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的區(qū)間估計(jì)，兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體均值與方差