統(tǒng)計(jì)學(xué)常用公式

1、公式一1. 眾數(shù)【 MODE 】（ 1） 未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的計(jì)算未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。（ 2） 組距分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的計(jì)算對(duì)于組距分組數(shù)據(jù)，先找出出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值所在組，即為眾數(shù)所在組，再根據(jù)下面的公式計(jì)算計(jì)算眾數(shù)的近似值。下限公式：M0 =L+1i1 +2式中： M 0 表示眾數(shù)； L 表示眾數(shù)的下線；1 表示眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差；2 表示眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差；i 表示眾數(shù)組的組距。2上限公式：M 0 =U-i1+2式中： U 表示眾數(shù)組的上限。2中位數(shù)【 MEDIAN 】（ 1）未分組數(shù)據(jù)中中位數(shù)的計(jì)算根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位

2、數(shù)時(shí)，要先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定中位數(shù)的位置。設(shè)一組數(shù)據(jù)按從小到大排序后為X 1X 2X N ，中位數(shù) M e ，為則有：M e =X（ N+1）當(dāng)N為奇數(shù)21M e =XN+X N當(dāng)N為偶數(shù)22+1（ 2）分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算時(shí)，要先根據(jù)公式 N / 2 確定中位數(shù)的位置，并確定中位數(shù)所在的組，然后采用下面的公式計(jì)算中位數(shù)的近似值：Nfii =1-Sm-12M e =L+df m式中： M e 表示中位數(shù)； L 表示中位數(shù)所在組的下限；Sm-1 表示中位數(shù)所在組以下各組的累計(jì)次數(shù)； f m 表示中位數(shù)所在組的次數(shù)；d 表示中位數(shù)所在組的組距。3均值的計(jì)算【 AVERAG

3、E 】（ 1）未經(jīng)分組均值的計(jì)算未經(jīng)分組數(shù)據(jù)均值的計(jì)算公式為：（ 2）分組數(shù)據(jù)均值計(jì)算分組數(shù)據(jù)均值的計(jì)算公式為：nx = x1 +x2 +xn = i 1 xinnkx1 f1 +x2 f 2 +L+xk f kxi fi=i 1x=+fkkf1 f 2 +Lfii 14幾何平均數(shù)【 GEOMEAN 】幾何平均數(shù)是 N 個(gè)變量值乘積的N 次方根，計(jì)算公式為：nG= n x1x2xn = nxii -1式中： G 表示幾何平均數(shù)；表示連乘符號(hào)。5調(diào)和平均數(shù)【 HARMEAN 】調(diào)和平均數(shù)是對(duì)變量的倒數(shù)求平均， 然后再取倒數(shù)而得到的平均數(shù)， 它有簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)與加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種計(jì)算形式。簡(jiǎn)單調(diào)和

4、平均數(shù) ：H=n1 = nn111+x1x2xni1 xinm1 +m2 + +mnmi加權(quán)調(diào)和平均數(shù) ：i 1H= m1m2mn= n mi+x1x2xni 1 xi式中： H 表示調(diào)和平均數(shù)。6極差【 Range】極差也稱全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，即R= max x-minxii式中： R 表示極差； max x和 minx分別表示一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值。ii7平均差【 Mean Deviation 】平均差是各標(biāo)志值與其平均數(shù)的絕對(duì)離差的算術(shù)平均。nxi -x（1） 根據(jù)未分組資料的計(jì)算公式 ：AD= i 1nn（2） 根據(jù)分組資料的計(jì)算公式 ：AD= i 1xi -x f

5、 infii 1式中： AD 表示平均差8方差【 Variance 】和標(biāo)準(zhǔn)差【 Standard Deviation 】方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。要求掌握方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法。未分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為：分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為：n2xx2i1nn2xixfi2i1nfii 1式中：2 表示方差。方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差，其相應(yīng)的計(jì)算公式為：n2x x未分組數(shù)據(jù) ：i 1nn2xx fii分組數(shù)據(jù) ：i 1nfii1式中：表示標(biāo)準(zhǔn)差。9離散系數(shù)離散系數(shù)通常是就標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)計(jì)算的，因此，也稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)。其計(jì)算公式

6、為：Vx式中： V 表示離散系數(shù)。10偏態(tài)【 SKEW 】偏態(tài)是對(duì)分布偏斜方向及程度的測(cè)度。 利用眾數(shù)、中位數(shù)和均值之間的關(guān)系就可以判斷分布是左偏還是右偏。顯然，判別偏態(tài)的方向并不困難，但要測(cè)度偏斜的程度就需要計(jì)算偏態(tài)系數(shù)了。EXCEL 中偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算公式為：n3n x -xin-1n-2i 1s11峰值【 KURT 】EXCEL 中峰值系數(shù)的計(jì)算公式為：n n 142nx -x3 n 1in 1 n 2 n 3 i 1sn 1 n 3式中： s 表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差。公式二1均值估計(jì)（ 1）樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差， 即為樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差， 又稱為樣本均值的抽樣平均誤差 ,它反映的是所

7、有可能樣本的均值與總體均值的平均差異程度，反映了所有可能樣本的實(shí)際抽樣誤差水平。樣本均值的抽樣平均誤差計(jì)算公式為：重復(fù)抽樣方式 ：x2nn不重復(fù)抽樣方式 ：x2NnnN1通常情況下，當(dāng) N 很大時(shí)，（N-1）幾乎等于 N ，樣本均值的抽樣平均誤差的計(jì)算公式也可簡(jiǎn)化為：2nx1nN在公式中， 是總體標(biāo)準(zhǔn)差。但實(shí)際計(jì)算時(shí)，所研究總體的標(biāo)準(zhǔn)差通常是未知的，在大樣本的情況下，通常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S 代替。（ 2）大樣本均值的極限誤差xZ 2x（ 3）大樣本下總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的置信度為（ 1 ）的置信區(qū)間：xz 2xxz 2x即 xz 2xz 2nn（ 4）總體方差未知，小樣本正態(tài)總體均值的區(qū)間

8、估計(jì)總體均值的置信度為（ 1 ）的置信區(qū)間：xt 2xxt2x即ssx t 2x t 2nn2比例估計(jì)（ 1）樣本比例的抽樣平均誤差樣本比例的抽樣平均誤差為：重復(fù)抽樣下 ：pp 1pn上式中， p 應(yīng)為總體比例，實(shí)際計(jì)算時(shí)通常用樣本比例p 代替。不重復(fù)抽樣下 ：p 1 pNnp 1 pnpN1n1nN（ 2）樣本比例的抽樣極限誤差PZ2p（ 3）總體比率的區(qū)間估計(jì)總體比例 P 的置信度為（ 1）的置信區(qū)間為：pPppP即pZ 2pppZ 2p3總體均值檢驗(yàn)（ 1） 單一總體均值檢驗(yàn)正態(tài)總體（總體方差已知）或大樣本均值檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 Z 為：x0Zn正態(tài)總體（總體方差未知）小樣本均值檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)

9、量 t 為：x0tns（ 2） 兩個(gè)總體的均值檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)兩個(gè)總體方差已知或大樣本Z 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：x1 x2 -12Z2212n1n2大樣本下對(duì)兩個(gè)總體均值進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)， 在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下， 可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行計(jì)算，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不變。兩個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)（小樣本）兩個(gè)總體方差未知但相等T 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：x1 x2 -12Z1 1 sp n1 n2n1 1 s12n2 1 s22spn22n122其中：s121n11n2xi x1 ；s22xix2n11 i 1n21 i 14總體比例檢驗(yàn)（ 1） 單一總體的比例檢驗(yàn)Z 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：pp0Zp0 1p0n（ 2）

10、兩個(gè)總體比例的檢驗(yàn)?檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為：Zp1p2? 1? 1?ppppn1n2?n1 p1n2 p2，為當(dāng)其中： ?ppn2p1p2 時(shí) p1 和 p2的聯(lián)合估計(jì)值。n15總體方差假設(shè)檢驗(yàn)（ 1） 單一正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：2 n 1 s220n22xix2其中： si 1為的估計(jì)量。n 1（ 2） 兩個(gè)正態(tài)總體的方差假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：F s12 s22n12n22xxxx2i 1i2i 1i其中：；。s1n11s2n21公式三1.單因素方差分析設(shè)總體共分為k 種處理進(jìn)行觀察，第j 種處理試驗(yàn)了容量為n j 的樣本。（ 1） 計(jì)算各項(xiàng)離差平方和在單因素方差分析中，需要計(jì)算的離差

11、平方和有 3 個(gè)，它們分別是總離差平方和， 誤差項(xiàng)離差平方和以及水平項(xiàng)離差平方和?？傠x差平方和 ，用 SST（ Sum ofSquares for Total ）代表：n j2kSSTxij xi 1j 1式中： x 表示全部樣本觀測(cè)值的總均值。其計(jì)算公式為：xxijn誤差離差平方和 ，用 SSE（Sum of Squares for Error）代表：n j2kSSExijxji 1j 1njxij式中： xj 表示第 j 種水平的樣本均值，xji 1n j水平項(xiàng)離差平方和 。為了后面敘述方便，可以把單因素方差分析中的因素稱為 A 。于是水平項(xiàng)離差平方和可以用 SSA（ Sum of Squ

12、ares for Factor A）表示。n j2kSSA 的計(jì)算公式為：SSAxjxi1j1（ 2） 計(jì)算平均平方用離差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。對(duì)SST 來(lái)說(shuō)，其自由度為（ n-1）；對(duì) SSA 來(lái)說(shuō)，其自由度為（ r-1），這里 r 表示水平的個(gè)數(shù)；對(duì) SSE 來(lái)說(shuō)，其自由度為（ n-r）。與離差平方和一樣， SST、SSA、 SSE之間的自由度也存在著如下的關(guān)系：n-1=（r-1）+（n-r）對(duì)于 SSA，其平均平方 MSA （組間均方差）為：SSAMSA1r對(duì)于 SSE，其平均平方 MSE （組內(nèi)均方差）為：SSEMSErn（ 3） 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 F

13、MSAFMSE2兩因素方差分析設(shè)兩個(gè)因素 A 、B 分別有 k 個(gè)水平和 n 個(gè)水平，共進(jìn)行nk 次試驗(yàn)。（ 1） 計(jì)算各項(xiàng)離差平方和在兩因素方差分析中，需要計(jì)算的離差平方和有 4 個(gè)，它們分別是總離差平方和， 誤差項(xiàng)離差平方和以及水平 A 、 B 項(xiàng)離差平方和。2總離差平方和 ，用 SST（ Sum of Squares for Total）代表：SSTxijx式中： x 表示全部樣本觀察值的總均值，其計(jì)算公式為：1nkxijxnk i 1j 1水平項(xiàng)離差平方和 可以分別用 SSA（ Sum of Squares for Factor A）和 SSB（Sum of Squares for F

14、actor B）表示。nk2SSA 的計(jì)算公式為：SSAx? jxi 1 j 1式中：1nx? jxijn i1nk2SSB 的計(jì)算公式為：SSBxi? xi 1j 1式中：1kxijxi ?kj1誤差離差平方和 ，用 SSE（Sum of Squares for Error）代表：nk2SSExijxi ? x? j xi 1j 1（ 2） 計(jì)算平均平方用離差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。對(duì) SST 來(lái)說(shuō)，其自由度為（ nk-1）；對(duì) SSA 來(lái)說(shuō)，其自由度為（ k-1），這里 k 表示水平 A 的個(gè)數(shù)；對(duì) SSB 來(lái)說(shuō)，其自由度為（ n-1），這里 n 表示水平 B 的個(gè)數(shù)；對(duì) SSE 來(lái)說(shuō)，其自由度為（ n-1）（k-1）。這樣，把各