非慣性系中動力學(xué)問題的討論

1、包頭師范學(xué)院本 科 畢 業(yè) 論 文論文題目： 非慣性系中動力學(xué)問題的討論 院 系： 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 專 業(yè)： 物 理 學(xué) 姓 名： 王 文 隆 學(xué) 號： 0809320007 指導(dǎo)教師： 魯毅 二 一二 年 三 月摘 要綜述了近幾十年來國內(nèi)外學(xué)者對非慣性系動力學(xué)方面的研究情況 ,以及對非慣性系動力學(xué)的實際應(yīng)用情況。介紹了在非慣性系中建立動力學(xué)方程的方法 ,慣性系中拉格朗日方程在非慣性系中的轉(zhuǎn)換形式 ,以及非慣性系中的能量定理和能量守恒定律的應(yīng)用等研究成果。最后 ,概述了一些運用非慣性系動力學(xué)的方法來解決非慣性系中的理論和實際工程應(yīng)用兩方面的文獻(xiàn) ,并且對非慣性系的研究和應(yīng)用進(jìn)行了展望。 關(guān)

2、鍵詞：非慣性系；慣性力；動力學(xué)方程；拉格朗日方程；動量定理; 動能定律;守恒定律AbstractAnd under classical mechanics frame, the conservation law, leads into the inertial force concept according to kinetic energy theorem , moment of momenum theorem , mechanical energy in inertia department, equation having infered out now that the sort ha

3、ving translation , having rotating is not that inertia is to be hit by dynamics, priority explains a few representative Mechanics phenomenon in being not an inertia department.Key words：Non- inertia Inertial force Kinetic energy theorem Mechanical energy conserves Apply目 錄引 言11非慣性系概述21.1非慣性系21.2 慣性力

4、22 動力學(xué)方程32.1 質(zhì)點動力學(xué)方程32.2 拉格朗日方程43 能量問題54 應(yīng)用研究舉例55 研究展望6參考文獻(xiàn)7致謝8非慣性系中動力學(xué)問題的討論引 言實際工程中有許多系統(tǒng)處于非慣性系內(nèi)工作 ,如航空航天、 天文和外星空探索等領(lǐng)域的許多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。許多文獻(xiàn)對非慣性系內(nèi)的動力學(xué)問題進(jìn)行了深入的研究 ,筆者將對此進(jìn)行綜述 ,內(nèi)容包括在非慣性系中非慣性力的引入,牛頓運動定律及拉格朗日方程的應(yīng)用 ,非慣性系運動學(xué)方程的建立 ,以及在非慣性系中的能量定理、 能量守恒定律等的應(yīng)用問題。1非慣性系概述1.1非慣性系為了研究宏觀物體的機(jī)械運動，首先應(yīng)確定該物體在空間的位置。但因物體的位置只能相對的確定，因

5、此有因該首先找出另外一個物體作為參考，這種作為參考的物體叫做慣性參考系或慣性參照系。在研究地面上物體的運動時，為了研究問題的方便 ,人們通常取地球作為慣性參照系。凡相對慣性系作變速運動的參照系就是非慣性參照系。兩者惟一的差別就是在非慣性系中存在一個引力場。研究在慣性參照系下機(jī)械運動所遵循的規(guī)律的力學(xué)被稱之為“經(jīng)典力學(xué)”,因此牛頓力學(xué)只有在慣性參照系中才能成立，即式（1-1）式中是作用在質(zhì)點上的合外力，是質(zhì)點的質(zhì)量，而則為在慣性參照系中所觀察到的質(zhì)點的加速度即絕對加速度。絕對加速度，牽連加速度和相對加速度的關(guān)系為：式（1-2）在不同參照系中觀察同一物體的運動,所得的描述物體運動的結(jié)論并不相同。但

6、是，可以通過在非慣性參照系中引進(jìn)一個假設(shè)的力慣性力，牛頓運動定律在非慣性參照系中便能成立了。11.2 慣性力在上文中提到了將慣性力引入非慣性系中 ,慣性力和以前所講的外力有很大的區(qū)別，這一點我們應(yīng)當(dāng)清晰地了解。第一，當(dāng)我們以前提到力時，都必須明確指明是哪一個物體作用于哪一個物體的力，因為力是物體間相互作用所產(chǎn)生的。至于說到質(zhì)點所受到的慣性力，卻無從指出是哪一個物體作用于這個質(zhì)點的，他沒有施力者，只不過反映參照系并非慣性參照系而已。質(zhì)點之所以具有牽連加速度也只不過表示質(zhì)點是被參照系“牽帶”著運動這一事實。第二，物體作用都是相互的，每一個力都有他的反作用力，慣性力并不是物體之間的相互作用，它沒有施

7、力者，因而也就不存在慣性力的反作用力。但對于慣性力 ,在許多研究著作中還存在爭議 ,即慣性力到底是真實力還是虛擬的力。從力的效應(yīng)以及大量各種非慣性系中慣性力的效應(yīng)實例出發(fā) ,可以論證慣性力是實力2。也有認(rèn)為慣性力是不符合牛頓力的定義的 ,只有將牛頓力的概念加以推廣后 ,慣性力才屬于力的范疇3。因此 ,在慣性力的研究中,既不宜將慣性力簡單說成是“假想的力” ,也不應(yīng)片面說成是“真實的力” ,需進(jìn)行全面的討論和分析。當(dāng)在非慣性系中引入慣性力后 ,還必須考慮在非慣性系中動量定律、 動能定理以及各守恒定律的情況 ,即慣性系中的動力學(xué)方程與守恒定律是否還可以適用于非慣性系的情形4。2 動力學(xué)方程2.1

8、質(zhì)點動力學(xué)方程在非慣性系中解決質(zhì)點的運動問題與在慣性系中一樣是根據(jù)牛頓運動定律,只是用非慣性系中測得的質(zhì)點的坐標(biāo)、速度和加速度來表述。從慣性系到非慣性系的坐標(biāo)變換來考慮,建立一般性的非慣性系中質(zhì)點的動力學(xué)方程,它對特定的非慣性系就能給出該系中質(zhì)點的動力學(xué)方程。用直角坐標(biāo)系代表一個慣性系。質(zhì)點的質(zhì)量為，它的坐標(biāo)和所受合力的分量用單列矩陣表示為：在慣性系中，質(zhì)點的動力學(xué)方程為：式（2-1）式中坐標(biāo)對時間t的微商表示為。為質(zhì)點的加速度分量。質(zhì)點所受的力和合力及它的加速度對所有的慣性系都相同，它們的分量取決于坐標(biāo)系的選取。用直角坐標(biāo)系代表一個非慣性系。質(zhì)點的坐標(biāo)和所受合力的分量表示為：在非慣性系中，質(zhì)

9、點所受的力和合力與慣性系中的相同（分量和一般不相等）。根據(jù)方程（2-2），通過坐標(biāo)變換,可建立非慣性系中質(zhì)點的動力學(xué)方程（分量形式）。系到系的坐標(biāo)變換取為式（2-2）式中為矩陣，表示系相對于系的轉(zhuǎn)動。的逆矩陣等于的轉(zhuǎn)置矩陣，且行列式。為系的坐標(biāo)原點在系中的坐標(biāo)。力的分量變換為：式（2-3）求式（2-2）對時間的微商得：式（2-4）式（2-5）將式（2-5）和(2-3)的和F代入方程（2-1）得：以左乘上式兩邊得式（2-6）方程（2-6）就是非慣性系中質(zhì)點的動力學(xué)方程。在非慣性系中引用慣性力：式（2-7）則方程（2-6）可寫為式（2-8）利用拉格朗日方程也可推導(dǎo)出非慣性系運動方程 ,且拉格朗日方

10、程在解決力學(xué)問題上優(yōu)于牛頓運動定律。另外，對在平動 /轉(zhuǎn)動非慣性系及兩者合成下的任意慣性系中的動力學(xué)方程的推導(dǎo)，以及非慣性系中兩體問題的動力學(xué)方程的推導(dǎo)也有不少研究。152.2 拉格朗日方程利用基本形式的拉氏方程 ,既可以解決慣性系動力學(xué)問題 ,也可以解決非慣性系動力學(xué)問題 ,但在采用基本形式的拉氏方程解決非慣性系動力學(xué)問題時 ,動能必須是相對于慣性系的。而非慣性系的動能表達(dá)式比較復(fù)雜、 計算困難 ,為此可通過建立非慣性系中的拉氏方程以尋找解決非慣性系動力學(xué)問題的另一種方法6。從第二類拉格朗日方程出發(fā) ,通過引入慣性力、廣義勢的概念 ,可以推導(dǎo)出受理想完整約束的有勢力學(xué)系統(tǒng)相對于非慣性系的La

11、grange函數(shù)和Lagrange方程 ,并且還可發(fā)現(xiàn) ,非慣性系受理想完整約束有勢 (包括有勢慣性力 )力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)方程與慣性系中的動力學(xué)方程是等價的7。而對于非完整力學(xué)的研究 ,文獻(xiàn)8直接從非慣性系運動微分方程出發(fā) ,利用廣義勢的概念導(dǎo)出相對于非慣性系的拉格朗日函數(shù)和第二類拉格朗日方程 ,從而推導(dǎo)出在非慣性系中指定系統(tǒng)受一階非線性非完整約束時的拉格朗日方程式 ,并指出其與受理想完整約束時的拉格朗日方程式相似。文獻(xiàn)9則從非慣性系動力學(xué)方程出發(fā) ,不僅導(dǎo)出非慣性系中的 Lagrange 方程 ,還導(dǎo)出Nielsen方程和 Appell方程 ,而且還可以由非慣性系拉格朗日方程導(dǎo)出完整、 保守

12、和穩(wěn)定的力學(xué)體系中能量積分的條件和表達(dá)式。這種方法物理意義明確 ,且處理某些非慣性系動力學(xué)也較簡便。3 能量問題在經(jīng)典力學(xué)中運用牛頓運動定律可以導(dǎo)出動力學(xué)的基本守恒定律。在非慣性系中 ,牛頓第二定律寫成如下形式:該作者認(rèn)為 ,在原則上可利用此式解決非慣性系中的問題 ,但在解決一些復(fù)雜問題時 ,此種方法顯得較為繁瑣 ,故此文中探討了動量守恒定律、動量矩守恒定律和機(jī)械能守恒定律在非慣性系中的推廣表達(dá)式。對此進(jìn)行了推論 ,導(dǎo)出非慣性系中動量定理、 角動量定理、 動量矩定理 ,以及動能定理和機(jī)械能守恒定律。另外 ,也可從各自的角度質(zhì)點組、 定軸勻角速度轉(zhuǎn)動體和兩體問題論述了機(jī)械能的守恒。許多文獻(xiàn)中都論

13、述了非慣性系中機(jī)械能的守恒 ,但對于是不是在任何情況下 ,非慣性系中機(jī)械能都是守恒的問題 ,文獻(xiàn) 10在引入慣性力等效勢能概念后 ,討論了在慣性系中機(jī)械能守恒的條件。而文獻(xiàn)11則認(rèn)為:非慣性系的坐標(biāo)原點在不變加速度平動或作有心加速度平動 ,同時又以不變加速度矢量轉(zhuǎn)動的情況下 ,如果只有牛頓有勢力和慣性有勢力對力學(xué)系做功 ,而無牛頓耗散力和慣性耗散力做功 ,則非慣性系的機(jī)械能是守恒的。文獻(xiàn)12從非慣性質(zhì)心系出發(fā) ,推導(dǎo)了非慣性質(zhì)心系中質(zhì)點組動能定理、 功能原理和機(jī)械能守恒定律 ,從而為上述機(jī)械能守恒條件提供了例證。對于非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的研究 ,近些年來 ,許多文獻(xiàn)給出了各自的論述。而對于

14、單面完整、非完整系統(tǒng) ,也給出了相對于非慣性系的 Noether定理及逆定理。對于單面非 Chetaev型非完整系統(tǒng)相對于非慣性系的Lie對稱性與守恒量的研究 ,可首先利用微分方程在無限小變換下的不變性建立 Lie對稱性所滿足的確定方程和限制方程 ,給出結(jié)構(gòu)方程和守恒量 ,再來討論系統(tǒng)的 Lie對稱逆問題。13144 應(yīng)用研究舉例對非慣性系的理論研究應(yīng)用最為典型的就是非慣性系中單擺周期的研究,其關(guān)鍵點為引入牛頓力的概念 ,運用牛頓第二定律建立動力學(xué)運動微分方程 ,便可求出各個物理量。運用能量定理及守恒定律解決非慣性系中的比較特殊的質(zhì)點運動 ,尤其是指兩質(zhì)點的相對速度問題 ,比運用動力學(xué)方程簡捷

15、和方便得多。對于非慣性系中理想流體的動力學(xué)方程問題,在近些年來也有研究。在非慣性系中引入慣性力和等效勢能的概念 ,或是運用非慣性系中流體動力學(xué)方程,都可推導(dǎo)出非慣性系中伯努利方程的等效形式 ,用以解決流體動力學(xué)問題。15同樣 ,通過研究發(fā)現(xiàn) ,在慣性系中適用的阿基米德定律 ,在非慣性系中也可以用來解決流體動力學(xué)問題和流體流溢的邊界條件問題。另外,對于非慣性系下的旋轉(zhuǎn)葉片系統(tǒng)、 平面機(jī)構(gòu)力學(xué)問題、 柔性體系統(tǒng)動力學(xué)問題、 彈性梁動力學(xué)問題以及彈性薄 /厚板動力學(xué)問題的研究,到目前為止也有較大成就,且在非慣性系下的電磁力學(xué)和量子力學(xué)等領(lǐng)域,國內(nèi)外一些學(xué)者也有不少發(fā)現(xiàn)。近幾年國外學(xué)者在直升機(jī)轉(zhuǎn)子等航

16、空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子的動力學(xué)研究中 ,應(yīng)用的仍主要是非慣性系動力學(xué)的理論知識。國內(nèi)也有一些學(xué)者在研究飛行器機(jī)動飛行時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性 ,所建數(shù)學(xué)模型也大多根據(jù)第二類拉格朗日方程 。5 研究展望對于非慣性系的研究已經(jīng)從傳統(tǒng)的理論教學(xué)擴(kuò)展到實際生活應(yīng)用領(lǐng)域 ,從宏觀研究深入到微觀領(lǐng)域。筆者相信 ,隨著生活領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大 ,對非慣性系動力學(xué)問題的研究會越來越深入 ,尤其是在軍事、 航空航天、 外星空探索和量子力學(xué)等領(lǐng)域 ,對非慣性系下的元器件動力學(xué)行為 ,特別是非線性動力學(xué)行為的研究還有很大的空間。當(dāng)考慮航空和航天飛行器的復(fù)雜機(jī)動飛行時 ,轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的建模應(yīng)顧及體和柔性轉(zhuǎn)子的特點。殷切希望此文能給致力于此

17、方面研究的專家學(xué)者一些幫助或啟發(fā)。參考文獻(xiàn)1 周衍柏.理論力學(xué)教程.高等教育出版社,1986,32 鄭曉光.對慣性力的認(rèn)識.吉林師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,20033 李天珍.關(guān)于慣性力的討論. 彭城大學(xué)學(xué)報,1995,104 蘇華,孔令宜.對慣性力和非慣性系中守恒定律的認(rèn)識J.承德民族師專學(xué)報,19995 王振陸. 非慣性系中質(zhì)點的動力學(xué)方程. 鎮(zhèn)江師專學(xué)報.19876 范寶同.用拉格朗日方法處理非慣性系動力學(xué)問題探討.太原教育學(xué)院學(xué)報,2001,197 王世來.拉格朗日方程在非慣性系中的推廣及應(yīng)用J.浙江海洋學(xué)院學(xué)報,1996(3):57 - 59 .8 楊俊生.非慣性系中受一階非線性非完整約束的拉氏方程.成都師專學(xué)報,1996(1):47-50 .9 李海東,梁景輝.分析力學(xué)中相對運動微分方程.山西師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,1995,9(4)10尹析明.非慣性系中質(zhì)點的動能定理及機(jī)械能守恒條件J.電子科技大學(xué)學(xué)報,199711劉樹信.某些非慣性系中機(jī)械能守恒定律.煙臺師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,1996,12(3)12許鐘城.在非慣性質(zhì)心參考系中的能量規(guī)律J.河池師專學(xué)報:自然科學(xué)版,1999,19(4)13梁景輝,李元成.單面完整系統(tǒng)相對于非慣性系的Lie對稱性與守