幾何基礎(chǔ)圖形——三角形的認(rèn)識(shí)

1、幾何基礎(chǔ)圖形一一三角形的認(rèn)識(shí)三角形的邊角分線三角形中的線毆 中線高三角形有關(guān)的角思路導(dǎo)航定義示例剖析三角形的定義：由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫做三 角形.三角形具有穩(wěn)定性. 表示法及讀法：三角形用符號(hào)”表示，頂點(diǎn)是 A、B、C的三角形記作 “ABC ”， 讀作主角形ABC”. ABC的三邊有時(shí)也用 a, b, c表示.A bZSc a頂點(diǎn)A的對(duì)邊a(BC)頂點(diǎn)B的對(duì)邊b(AC) 頂點(diǎn)C的對(duì)邊c (AB)三角形的內(nèi)角：三角形的每兩條邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.bZSc BCA, B, C是三 角形的內(nèi)角三角形的分類：,直角三角形：三角形中有一個(gè)內(nèi)角是

2、直角三角形（按角分類）J銳角三角形：三角形中三個(gè)內(nèi)角都是銳角斜三角形'I鈍角三角形：三角形中有一個(gè)內(nèi)角是鈍角r不等邊三角形：三條邊都不相等的三角形三角形（按邊分類）底邊和腰不相等的等腰三角形： 有兩邊相等的三角形等腰三角形 ，k 等邊三角形（正三角形）：三邊 都相等的三角形注意：每個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角，而至多有一個(gè)鈍角 .三角形的三個(gè)內(nèi)角 中，最大的一個(gè)內(nèi)角是銳角 （直角或鈍角）時(shí)，該三角形即為銳角三角形 （直 角三角形或鈍角三角形）.三角形三條邊的關(guān)系三角形三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.三角形三邊關(guān)系定理的推論：三角形任意兩邊之差小于第三邊 .即a、b、c三條線段可組

3、成三角形|b c| a b c 兩條較小的線段之和大于最大的線段.注意：在應(yīng)用三邊關(guān)系定理及推論時(shí)，可以簡化為：當(dāng)三條線段中最長的線段小于另兩條線段之和時(shí)， 或當(dāng)三條線段中最短的線段大于另兩條線 段之差時(shí)，即可組成三角形.例題精講銳角三角形直角三角形鈍角三角形不等邊三角形等腰三角形等邊三角形acb|ac|1 b，abc|ab1 c，bca|bc|a【引例】一個(gè)三角形的兩邊長分別為3和7,且第三邊長為整數(shù)，這樣的三角形的周長的最小值是（）A. 14B. 15C. 16D. 17典題精練【例1】 下列長度的三條線段能組成三角形的是A . 1cm, 2cm, 5cmC. 5cm, 8cm, 15cm

4、一 2 一一2, a 3 (a 0)下列線段能組成三角形的是 . 1 , 2 , 3 2 , 3 , 4 32, 42 , 52 a2 1, a2已知三角形三邊長分別為4,5, x,則x的取值范圍是 如圖，為估方t池塘岸邊 A、B兩點(diǎn)的距離，小方在池塘的一側(cè)選 取一點(diǎn)O,測(cè)得OA 15米，OB 10米，A、B間的距離不可 能是（）A. 5 米 B. 10 米C. 15 米 D. 20 米已知三角形的兩邊長分別為4cm和9cm ,則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是（）A . 13cm B . 6cm C. 5cmD . 4cm（人大附中期中考試）【例2】 若一個(gè)三角形的三邊長是三個(gè)連續(xù)的自然

5、數(shù)，其周長 m滿足10 m 22,則這樣的 三角形有（）A.4個(gè) B.5個(gè) C. 6個(gè) D.11個(gè)（北京二中分校期中考試）如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤 BC可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是（）A.三角形的穩(wěn)定性C.兩點(diǎn)確定一條直線B.兩點(diǎn)之間線段最短D.垂線段最短（北京八中期中考試）a b c a b c =10 ,求b的值.a、b、c為三角形的三邊長,已知三角形三邊長為 a, b,化簡a b cabcc,且 |ab c | abc|定義示例剖析ACB三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于 180 .三角形的外角：三角形的任意一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做三在4ABC中，A B C

6、180角形的外角.如圖， BAD, ACF , CBE是4ABC的外角.三角形內(nèi)角和定理的三個(gè)推論：推論1:直角三角形的兩個(gè)銳角互余.推論2:三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和推論3:三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角如：夕卜角 ABF 13BCD1 2CAE23ABF 1 ,ABF 3BCD 1 ,BCD 2CAE 2 ,CAE 3三角形的外角和：每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角再相加，叫三角形的外角和三角形的外角和等于 360 .注：三角形的外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，因?yàn)槊總€(gè)內(nèi)角均有兩個(gè)鄰補(bǔ)角，因此三角形共有六個(gè)外角，其中有三個(gè)與另外三個(gè)相等.每個(gè)頂點(diǎn)處的兩個(gè)外角是相等的.典題精

7、練【例3】 三角形一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，這個(gè)三角形是（A .直角三角形 C.鈍角三角形B.銳角三角形D.不屬于哪一類（十一學(xué)校期中考試）4ABC中，若 A：B：（27中期中考試）那么這個(gè)三角形是（若一個(gè)三角形的三個(gè)外角的度數(shù)之比為3： 4： 2 ,A .銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定（4）如圖，BD和CE是4ABC的高，BD和CE交于（人大附中期中考試）H ,已知 DBC 25° , ECB 40（八十中期中考試）DE/ BA.試探究 B與 ADE有【例4】 如圖，AD是 ABC的角平分線，BAC 2 B,何關(guān)系？并對(duì)你的結(jié)論加以說明.思路導(dǎo)航題型三：三角形

8、的角平分線、中線、高三角形中的重要線段三角形的角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn) 和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.注：每個(gè)三角形都有三條角平分線且相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角 形的內(nèi)心，而且它一定在三角形內(nèi)部 . 線段AD為4ABC的角平分線三角形的中線：在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的 中線.注：每個(gè)三角形都有三條中線，且相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形 的重心，而且它一定在三角形內(nèi)部. 三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊畫垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段 叫做三角形的高.注：每個(gè)三角形都有三條高且三條高所在的直線相交于一點(diǎn)，這個(gè) 點(diǎn)叫做三

9、角形的垂心. 銳角三角形的高均在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)也在三角形的內(nèi)部；鈍角三角形的高中有兩個(gè)垂足落在邊的延長線上，這兩條高落 在三角形的外部，三條高所在直線的交點(diǎn)也在三角形的外部；直角三角形有兩條高分別與兩條直角邊重合，三條高的交點(diǎn)是 三角形的直角頂點(diǎn).注：老師可視學(xué)生情況自行補(bǔ)充另外兩心.線段AD為BC邊上的高典題精練【例5】如圖，在鈍角 ABC中：畫4ABC的 ABC的角平分線，AB邊上的中線，AC邊上的高.畫出此三角形的三條高線，并畫出三角形的垂心?！纠?】如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)三角形是（A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無法判斷如右圖，

10、AC BC于C點(diǎn)，CD AB于D點(diǎn)，DE BC于E 點(diǎn)，下列說法中不正確 的是（）. A. AC是 ABE的高B. DE是4BCD的高C. DE是4ABE的高D. AD是4ACD的高（北京四中期中考試） 在4ABC中，AD是BC邊上的高，若BD 5, CD 3 ,則BC的長是.（北京八十中期中考試） 在 ABC中，D是直線 BC邊上的點(diǎn)，且BD:DC 2:1 , ABC的面積是36 ,則 ABD的面積是. 在等腰4ABC中，AB AC, 一腰上中線 BD將三角形周長分為 15和21兩部分， 則這個(gè)三角形的底長為 .（人大附中期中考試）在4ABC內(nèi)有一點(diǎn)P ,且P點(diǎn)到三角形三邊距離相等，已知三角

11、形周長15,面積為30,則P到4ABC三邊的距離是 .【例7】如圖，由圖1的4ABC沿DE折疊得到圖2,圖3,圖4.如圖2,猜想 BDA 并說明理由；如圖3,猜想 BDA和 并說明理由；如圖4,猜想 BDA和CEA與 A的關(guān)系，CEA與A的關(guān)系，圖3CEA與 A的關(guān)系，無需說明理由.真題賞析【例8】如圖，已知ABC 將BC邊上一點(diǎn)P （點(diǎn)B、C除外）向上移動(dòng)，使BP平分 B , CP平分 C,探究： A與P的關(guān)系. 將BC邊上一點(diǎn)P （點(diǎn)B、C除外）向下移動(dòng)，使 BP平分 B 的外角，CP平分 C的外角.探究：A與 P的關(guān)系.B的外角，CP平 將BC邊上一點(diǎn)P （點(diǎn)B、C除外）向左上方移動(dòng)，使 BP平分 分C,探究：A與P的關(guān)系.（北京二中分校期中考試）題型一三角形的邊鞏固練習(xí)【練習(xí)1】如圖所示，具有穩(wěn)定性的有（）(4)【練習(xí)2】若一個(gè)三角形的兩邊長分別是3和11,則周長l的取值范圍是（北京27中期中考試）【練習(xí)3】已知等腰三角形的兩邊長分