彈性力學(xué)及有限單元基礎(chǔ)試卷

1、第一題以平面應(yīng)力彈性力學(xué)問題為例，說明彈性力學(xué)的所研究問題的數(shù)學(xué)模型，并導(dǎo)出彈性力學(xué)位移法與應(yīng)力法的數(shù)學(xué)模型。（20分）答：（一）以無限薄板為例對(duì)平面應(yīng)力彈性力學(xué)問題進(jìn)行力學(xué)分析，如圖1-1：1-1平面應(yīng)力彈性力學(xué)問題 (1) 首先簡(jiǎn)化為平面彈性力學(xué)問題1.假設(shè)薄板的前后兩個(gè)截面均為自由截面，因此在這兩個(gè)截面上無應(yīng)力，于是在這兩個(gè)截面上有： 2.由于薄板很薄，可以近似認(rèn)為應(yīng)力不隨厚度而變化，于是在整個(gè)彈性體有： 3.由第二步的結(jié)果可以看出，在給定的XOY坐標(biāo)平面內(nèi)，應(yīng)力函數(shù)縮減為3 個(gè)二維函數(shù)。4.根據(jù)Hooked定理得，二維應(yīng)力場(chǎng)產(chǎn)生的應(yīng)變場(chǎng)也是二維的，對(duì)平面彈性力學(xué)問題彈性體中任意一點(diǎn)，其

2、位移場(chǎng)也在XY平面內(nèi)，即:(2) 微元平衡方程的建立：（剪力互等原理）（3）物理方程（Hooke定理）： 其中，剪切彈性模量； E :Yang氏彈性模量；：Possion比。（4） 幾何方程：X向正應(yīng)變?yōu)閄向單位伸長(zhǎng)量同理可得： Y向正應(yīng)變?yōu)閅向單位伸長(zhǎng)量，切應(yīng)變的位移表示：由于，的變化很小，所以：，且， 故：。（二）得平面應(yīng)力彈性力學(xué)的數(shù)學(xué)模型為： （1）平衡方程： （2）物理方程： 其中，（3）幾何方程： （三）彈性力學(xué)位移法的物理模型以位置函數(shù)作為基本未知量，消去其他未知量，其基本過程為：將 ， ， 代入，得：將平衡方程代入上式，得：（四）彈性力學(xué)應(yīng)力法的物理模型 以應(yīng)力函數(shù)為基本未知量

3、，消去其他未知量，其基本過程如下： （1）幾何方程： （2）將物理方程代入上式得， （3）平衡方程： ； 第二題采用半逆解法求解下面薄壁梁（其參數(shù)為厚度t，高度h，長(zhǎng)度為L(zhǎng),彈性模量E，泊松比等）的變形后的應(yīng)力、應(yīng)變和位移？（20分）答：根據(jù)實(shí)際模型建立圖示的坐標(biāo)系，應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件如圖所示，F(xiàn)是一合力的形式給出的，其邊界條件表示如圖2-1圖所示：（一）變形后的應(yīng)力求解（1）推測(cè)應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式： 將上式代入得： （2）應(yīng)力的求解（3）驗(yàn)證，引入應(yīng)力邊界條件（二）變形后的應(yīng)變的求解（三）變形后的位移的求解第三題以平面應(yīng)力彈性力學(xué)問題為例說明最小位能原理（能量法泛函極值）對(duì)問題的描述完全

4、等價(jià)于第一題中的位移法描述（微分形式）。（20分）答：以平面應(yīng)力彈性力學(xué)為例，如圖3-1圖所示：由于能量變分法得到的最終結(jié)果是虛位移原理，那么上述問題就變換為證明虛位移原理同原來位移法微分?jǐn)?shù)學(xué)模型等價(jià)。虛位移原理（最小位能原理）由于 所以有：由于（1）（2）+（3）所以+）+從而有：于是+結(jié)論：平面應(yīng)力彈性力學(xué)模型微分法建立的數(shù)學(xué)模型位移解法微分模型（1）我們證明：上面兩種描述方式是等價(jià)的。也就是說從彈性力學(xué)位移解法上說我們是要求解滿足用位移法中的2個(gè)平衡方程，以及應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件；從能量法上說我們是要求解所有滿足位移邊界條件的位移函數(shù)中的使位能泛函取極值的極值位移宗量。兩種提法是等

5、價(jià)的。（2）可以證明：上述求得的位移解（彈性體的實(shí)際位移）代入位能泛函使得位能取最小值（該極值是極小值并是最小值），所以該（位移）能量法又稱最小位能原理。第四題說明有限單元法的基本思想與基本步驟。要求：必須準(zhǔn)確說明采用有限元法解題的每一步（不必計(jì)算），如你認(rèn)為有必要，可以結(jié)合例子說明。（20分）答：有限單元法的基礎(chǔ)是變分原理。有限元解法就是把連續(xù)體離散化成小單元經(jīng)過單元分析再集合，代替原連續(xù)體，再進(jìn)行總體分析，求得近似值的方法。（一）基本思想：（1）將連續(xù)的結(jié)構(gòu)分割成數(shù)目有限的小單元體，這些小單元體彼此之間只在數(shù)目有限的節(jié)點(diǎn)上相互連接。用這些小單元體組成的集合體來代替原來的連續(xù)結(jié)構(gòu)。（2）再把

6、每個(gè)小單元體上實(shí)際作用的外載荷按彈性力學(xué)中的虛功等效原理分配到單元的節(jié)點(diǎn)上，構(gòu)成等效節(jié)點(diǎn)力，并按結(jié)構(gòu)實(shí)際約束情況決定受約束節(jié)點(diǎn)的約束。這一過程稱為結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化。（3）對(duì)每個(gè)小單元體選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來近似地表示其位移分量的分布規(guī)律，并按彈性力學(xué)中的變分原理建立起單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系（即單元?jiǎng)偠确匠蹋?。?）把全部單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系組集起來，就得到了一組以結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移為未知量的代數(shù)方程組（總體剛度方程）。（5）考慮結(jié)構(gòu)的約束情況，消去那些結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移為零的方程，再由最后的代數(shù)方程組就可求得結(jié)構(gòu)上有限個(gè)離散節(jié)點(diǎn)的各位移分量。（6）求得了結(jié)

7、構(gòu)上各節(jié)點(diǎn)的位移分量之后，即可按單元的幾何方程和物理方程求得各單元的應(yīng)變和應(yīng)力分量。有限元法的實(shí)質(zhì)就是把具有無限個(gè)自由度的連續(xù)體理想化有限個(gè)自由度的單元的集合體，使問題簡(jiǎn)化為適合于數(shù)值解法的結(jié)構(gòu)型問題也可以這樣理解：把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。在有限元方法中，把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看

8、為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的，則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。（二）基本步驟：1.建立積分方程。根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。2.離散化。進(jìn)行有限元分析的前提是離散化。離散化就是根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。3.選擇單元基函數(shù)。根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元

9、方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。 4.單元特性分析：（1）依照應(yīng)變與位移之間的幾何關(guān)系，根據(jù)所選擇的單元位移函數(shù)，建立單元應(yīng)變與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式。在求出節(jié)點(diǎn)位移后，可以求得單元應(yīng)變。（2）依據(jù)物理關(guān)系，建立單元應(yīng)力與單元節(jié)點(diǎn)的位移之間的關(guān)系式。在求出節(jié)點(diǎn)位移后，可以求得單元應(yīng)力。（3）根據(jù)虛位移原理或最小勢(shì)能原理建立單元?jiǎng)偠确匠?，即建立單元?jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式。5.外載荷處理。把結(jié)構(gòu)離散為有限個(gè)單元，并經(jīng)過單元特性分析以后，將各個(gè)單元聯(lián)系在一起的是節(jié)點(diǎn)。因此需要將外載荷等效移植到節(jié)點(diǎn)上。6.總體合成。在得出單元有

10、限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。7.邊界條件的處理。一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件、自然邊界條件、混合邊界條件。對(duì)于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。8.解有限元方程。根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。第五題談一談你對(duì)有限元法的認(rèn)識(shí)，說明有限單元法在工程上的應(yīng)用，并舉出兩個(gè)以上的你有興趣的工程實(shí)例。說明今后有限元法的發(fā)展趨勢(shì)與方向。（20分）答：（一）我對(duì)有限元法的認(rèn)

11、識(shí)：1960年，Clough在求解平面彈性問題時(shí)，第一次提出了“有限單元法”的概念，從此，有限元誕生并成為一門新興的學(xué)科。有限元法是計(jì)算力學(xué)中的一種重要的方法。有限元法最初應(yīng)用在工程科學(xué)技術(shù)中, 用于模擬并且解決工程力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)等物理問題。對(duì)于過去用解析方法無法求解的問題和邊界條件及結(jié)構(gòu)形狀都不規(guī)則的復(fù)雜問題, 有限元法則是一種有效的分析方法。有限元法作為一種離散化的數(shù)值解法，也已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支。有限元法概念淺顯容易掌握，可以在不同的水平上建立起對(duì)該法的理解，既可以通過非常直觀的物理解釋，也可以建立基于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析的理論。它不僅對(duì)結(jié)構(gòu)物的復(fù)雜幾何形狀有很強(qiáng)的適應(yīng)性，也能應(yīng)用

12、于結(jié)構(gòu)物的各種物理問題，如靜力問題、動(dòng)力問題、非線性問題、熱應(yīng)力問題等。還能處理非均質(zhì)材料、各向異性材料，以及復(fù)雜邊界條件等難題。因此，有限元法已經(jīng)被公認(rèn)為是工程分析的有效工具，受到普遍重視。有限元法作為一種求解偏微分方程的數(shù)值計(jì)算方法。它具有通用性和實(shí)用性。有限元數(shù)值計(jì)算方法有：位移有限單元法、應(yīng)力有限元法和雜交有限元法。最傳統(tǒng)的有限元法為位移有限單元法，以位移作為基本求解。對(duì)于一個(gè)力學(xué)問題的描述有兩種方法：（1）微元分析法；（2）能量法（即虛位移原理）。彈性力學(xué)數(shù)學(xué)模型的求解問題可以等價(jià)為求解某個(gè)泛函指標(biāo)的極值宗量問題。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)

13、值模擬。到目前為止，有一大批的有限元分析軟件，如ANSYS，ABAQUS等。現(xiàn)在這些大型有限元通用軟件已經(jīng)可以解決比較復(fù)雜的問題了。（二）有限單元法在工程上的應(yīng)用1. 利用有限單元求其位移、應(yīng)力與應(yīng)變。例如：已知如附件圖5-1圖所示的L形工件，其材質(zhì)為45號(hào)鋼，厚度為t（較?。?，所受面力載荷為黃色區(qū)域的均布載荷，q1KN/m；考慮重力。求其位移、應(yīng)力與應(yīng)變。2. 利用有限單元分析連桿的受力狀態(tài)。例如：如附件圖5-2圖所示為汽車連桿的幾何模型，連桿的厚度為0.5in，和在小頭孔的內(nèi)側(cè)90度范圍內(nèi)承受P=1000psi的面載荷作用，試?yán)糜邢拊治鲈撨B桿的受力狀態(tài)。連桿的材料屬性為：楊氏模量E=3

14、0X100000psi,泊松比為0.3。元算法才能解決。3.增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能 早期有限元分析軟件的研究重點(diǎn)在于推導(dǎo)新的高效率求解方法和高精度的單元。隨著數(shù)值分析方法的逐步完善,尤其是計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度的飛速發(fā)展,整個(gè)計(jì)算系統(tǒng)用于求解運(yùn)算的時(shí)間越來越少,而數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和運(yùn)算結(jié)果的表現(xiàn)問題卻日益突出。因此，目前幾乎所有的商業(yè)化有限元程序系統(tǒng)都有功能很強(qiáng)的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理模塊。在強(qiáng)調(diào)可視化的今天,很多程序都建立了對(duì)用戶非常友好的GUI,使用戶能以可視圖形方式直觀快速地進(jìn)行網(wǎng)格自動(dòng)劃分,生成有限元分析所需數(shù)據(jù),并按要求將大量的計(jì)算結(jié)果整理成變形圖、等值分布云圖,便于極值搜索和所需數(shù)

15、據(jù)的列表輸出。4. 與CAD軟件的無縫集成當(dāng)今有限元分析系統(tǒng)的另一個(gè)特點(diǎn)是與通用CAD軟件的集成使用,即在用CAD軟件完成部件和零件的造型設(shè)計(jì)后,自動(dòng)生成有限元網(wǎng)格并進(jìn)行計(jì)算,如果分析的結(jié)果不符合設(shè)計(jì)要求則重新進(jìn)行造型和計(jì)算,直到滿意為止,從而極大地提高了設(shè)計(jì)水平和效率。今天,工程師可以在集成的CAD和FEA軟件環(huán)境中快捷地解決一個(gè)在以前無法應(yīng)付的復(fù)雜工程分析問題。所以當(dāng)今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開發(fā)了CAD軟件的接口。 5. 在Wintel平臺(tái)上的發(fā)展早期的有限元分析軟件基本上都是在大中型計(jì)算機(jī)上開發(fā)和運(yùn)行的,后來又發(fā)展到以工程工作站為平臺(tái),它們的共同特點(diǎn)都是采用UNIX操作系統(tǒng)。PC機(jī)的出現(xiàn)使計(jì)算機(jī)的應(yīng)用發(fā)生了根本性的變化,工程師渴望在辦公桌上完成復(fù)雜工程分析的夢(mèng)想成為現(xiàn)實(shí)。因此，當(dāng)前國(guó)際上著名的有限元程序研究和發(fā)展機(jī)構(gòu)都紛紛將他們的軟件移植到Wintel平臺(tái)上。為了將在大中型計(jì)算機(jī)和EWS上開發(fā)的有限元程序移植到PC機(jī)上,常常需要采用Hummingbird公司的一個(gè)仿真軟件Exceed。這樣做的結(jié)果比較麻煩,而且不能充分利用PC機(jī)的軟硬件資源。所以最近有些公司開始在Windows平臺(tái)上開發(fā)有限元程序,稱作Native Windows版本,同時(shí)還有在PC機(jī)上的Linux操作系統(tǒng)環(huán)境中開發(fā)的有限元程序包。 在