考研數(shù)三2008真題+詳解

1、2008年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項 符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)(1)設函數(shù)f(X)在區(qū)間1,1上連續(xù)，則X0是函數(shù)g(x)的(A跳躍間斷點C無窮間斷點B可去間斷點D振蕩間斷點.(2)曲線段方程為yf (x)，函數(shù)f (x)在區(qū)間0, a上有連續(xù) 的導數(shù),則定積分aft(x)dx 等于)A曲邊梯形ABCD面積.B梯形ABCD面積.D三角形ACD面積.C曲邊三角形ACD面積.(3)已知 f (x, y) e " y"，則(B)fx (0,0) 不存在，fy (0,0)

2、存在(A)fx (0,0)，fy (0,0)都存在(C)fx (0,0)不存在，fy (0,0)不存在(D)fx (0,0)，fy (0,0)都不存在(4)設函數(shù)f連續(xù)，若f(u,v)y2)Duv¥2=*dy，；'X y其中Duv為圖中陰影部分，則v(C) vf(u) ( D) f (u)u()2(A)vf(u )v 2(B) 一 f (u )u(5 )設A為階非0矩陣E為階單位矩陣若 A30,則()A E A不可逆，E A不可逆.B E A不可逆，E A可逆.C E A可逆，E A可逆.D E A可逆，E A不可逆.1 2(6)設A則在實數(shù)域上域與 A合同矩陣為()2 12

3、112CD1221(7)隨機變量X,Y獨立同分布且X分布函數(shù)為F x ,則Z max()A F2x .B F x F yC 121 F x .D 1 F x1F y .(8)隨機變量XN 0,1 , YN1,4且相關系數(shù)XY1則()AP Y2X 11.BP Y 2X 11.CP Y :2X 11.DP Y 2X 11.X,Y分布函數(shù)為、填空題:9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上x2 1,)內(nèi)連續(xù)，則c(9)設函數(shù)f (x)2Jx、尢1 x x(10) 設 f (x)廠x 1 x(11) 設 D (X,y)x2 y222則 2 f (x)dx1，則(x2Dy)dxd

4、y(12 )微分方程xyy 0滿足條件y(1) 1的解y(13) 設3階矩陣A的特征值為1，2，2，E為3階單位矩陣，則 4A 1 E (14) 設隨機變量 X服從參數(shù)為1的泊松分布，則 P X EX2三、解答題:15- 23小題，共94分請將解答寫在答題紙指定的位置上解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟(15) (本題滿分10分)求極限lim Inx 0 x2sin xx(16) (本題滿分10分)設z z(x, y)是由方程x2 y2 zx y z所確定的函數(shù)，其中 具有2階導數(shù)且(1 )求 dz(2)記 u x, y(17)計算(18)（本題滿分max（xy,1）dxdy,其中 D （

5、x, y） 0D（本題滿分10分）11 分)x 2,0 y 2.X是周期為2的連續(xù)函數(shù),(1)證明對任意實數(shù)t，有dx2f x dx ；0(2)x證明G x2f0s ds dt是周期為2的周期函數(shù).（本題滿分10分）r（19）設銀行存款的年利率為第一年提取19萬元，第二年提取 28萬元，第n年提?。?0+9n）萬元，并能按此規(guī)律 一直提取下去，問（20）（本題滿分2a2a0.05，并依年復利計算，某基金會希望通過存款A萬元，實現(xiàn)A至少應為多少萬元?12分）設矩陣A2a，現(xiàn)矩陣A滿足方程AX1B，其中X(1)求證Aa為何值, a為何值,a22a n n(2)(3)(21)(本題滿分10分)方程組

6、有唯一解 方程組有無窮多解設A為3階矩陣，印包為A的分別屬于特征值1,1特征向量,向量a3滿足Aa3 a2 a3，(2 )令 P6總月3，求P 1AP .證明（1） a1,a2,a3線性無關;（22）（本題滿分11分）1設隨機變量X與Y相互獨立，X的概率分布為P X i i 1,0,1 , Y的概率密度3為fY y1崔1，記Z X Y0其它(1 )求 P Z 1 X 02(2)求Z的概率密度.(23)(本題滿分11 分)Xi,X2|,Xn 是總體N(,2)的簡單隨機樣本.記X - Xi ，n i 1S2匕(Xi X)2，n 1 i 11S2.n(1)證T是2的無偏估計量.(2)0,1 時，求

7、DT .2008年考研數(shù)學(三)真題解析一、選擇題【答案】B【詳解】lim g(x)x 0丿Xm0Xm0所以x 0是函數(shù)g(x)的可去間斷點.【答案】Caa【詳解】0 xf (x)dx o xdf (x) xf (x) aa0 f(x)dx其中af(a)是矩形曲邊三角形的面積.ABOC面積，0f (x)dx為曲邊梯形ABOD的面積，所以 0 xf (x)dx為【答案】Bf (x,0)f (0,0)x2 e04 1ex 1【詳解】fx(0,0)limlim -limx 0x0x 0xx 0 xex 1xe 1ex 1xe1limlim1 , limlim1x 0 xx 0xx 0xx 0 xaf

8、 (a)f(x)dxaa故 fx (0,0) 不存在.fy (0,0) lim f (0, y)y 0yf(0,0)002 y4.e lim y 0lim0 y2y_y所以fy (0,0)存在.故選B.【答案】A【詳解】用極坐標得F u, vvdv0u /f (r1 Mrdr2f (r )dr所以【詳解】(E A)(E AA2)A3 E , (E A)(EA2) EA3-vf u【答案】C故E A, E A均可逆.【答案】D【詳解】記D4,所以A和D有相同的特征多項式，所以 A和D有相同的特征值又A和D為同階實對稱矩陣，所以 A和D相似由于實對稱矩陣相似必合同，故D正確.【答案】A【詳解】FZ

9、 z PZ z P maxX,Y z2PXzPYzFZ z FZ zFZ z .(8)【答案】D【詳解】用排除法設丫 aX b，由XY 1知道X,Y正相關，得a0，排除A、C由 X N(0,1),Y N(1,4)，得 EX0,EY1,所以 E(Y) E(aX b) aEXb 1,所以b 1.排除B .故選擇2 x,xc【詳解】由題設知 c|x| 0，所以f(x)x2 1,cxc2x,xc因為lim f xlim( x2 1)c2 1，lim fxlim22x cx cx cx cxc又因為f(x)在(,)內(nèi)連續(xù)，f (x)必在x c處連續(xù)所以lim f xlim f xf (c)，即c212c

10、1.x cx cc(10)【答案】如3二、填空題(9)【答案】1【詳解】f1xX2x1xX1x，令ttt2 2所以dxx2 x2_dx21lnx2In 6In 2如3.【答案】-4x2 y)dxdy利用函數(shù)奇偶性x2 dxdyDy2 dxdy(12)【答案】y【詳解】由dydx，兩端積分得xIn y In x1G，所以-yC，又 y(1)1，所1y .x(13)【答案】【詳解】A的特征值為1,2,2 ,所以A 1的特征值為1,12,12 ,所以4A1E的特征值為4 112 112 1所以4B 13 113.(14)【答案】【詳解】由DXEX22 2(EX)，得 EXDX(EX)又因為X服從參數(shù)

11、為1的泊松分布，所以DXEX1,所以EX2所以12e2!三、解答題(15)【詳解】方法一 ： limglnsinxx 0 xlim ln 1x 0sin xsinx xcosx 1lim2x 0 3x2方法二：lim A"洛必達法則limx 0 x2 xxsi nx16x26洛必達法則limx 0(16)【詳解】(I)1 dzdzsi nx lim x 0 6xxcosx2xdx 2ydy dz2x dx2x dxz(II)由上一冋可知一x1所以 u x, y sin x2x2s in xy z dx2y dy2y dy 門2xxcosx sinx limx 02x3dydz(二二)

12、x y x y2x1宇)1 x y2y 2x1所以x2 (1 -)x212 (1212 (1 2x )312(1 2x)(17)【詳解】曲線xy 1將區(qū)域分成兩個區(qū)域D1和D2 D3，為了便于計算繼續(xù)對區(qū)域分割，最后為max xy,1DdxdyxydxdyqdxdyD2dxdyD32dx01dy121 dx x1dy0221 dx221 xydyx1 2ln 2154In 219 , c In 24方法二：(I)設F(t)t 2t f (x)dx，由于 F(t)f(t2)f(t)所以F(t)為常數(shù),而有 F(t) F(0).而 F(0)f(x)dx ，以 F(t)20f(x)dx ，即fxdx

13、f xdxfxdxfx dxtt02令xu，則t 2tt02fxdxf2 uduf u duf x dx200tt20202所以f xdxfxdxf xdxf x dxf x dxtt0t0t22x dx ，記 a2(II)由(1)知，對任意的t有2fxdxf0f x dx，0G(x)2xf u0duax.所.以，對任意的x，x2xG(x2)G(x)20fudua(x 2!) 2f u du0axx222xfu du2a2f0udu2a0所以Gx是周期1為2f的周期函數(shù)2則t，t 2(18)【詳解】方法一 ：(I)t 2由積分的性質(zhì)知對任意的實數(shù)02 2f (x)dx ° f (x)

14、dx .(II)由(1)知，對任意的t有xf x dx2f x dx ，記 a 0x 2f x dx，貝V0G(x) 2 0 fu duaxG(x2)20fu dua(x 2)由于對任意x ,G(x 2)2f(x 2)a 2 f (x)a ,G(x)2f (x) a所以G(x2)G(x)0從而G(x2)G(x)是常數(shù)即有G(x2)G(x)G(2)G(0)0所以G x是周期為2的周期函數(shù)(19)【詳解】9n)萬元的貼現(xiàn)值，則 A方法一：設An為用于第n年提取(10(1 r) n(10 9n)因為所以AAnn 1S(x)nS(x)10 9n1 (1、nr)10n 11(1 nr)9n1(1r)n

15、200n1 (1 r)nnnx1x(n 1x(1,1)(1 x)2(1,1)1-)S(r 1.05A 200 9 420 3980(萬元)，即至少應存入)420(萬元)3980萬元.方法二：設第t年取款后的余款是yt，由題意知%滿足方程yt(1 0.05) yt 1(10 9t),即 yt 1.05yt1(10 9t)(1)(1)對應的齊次方程yt1.05 yt 1 0的通解為yt C(1.05)t設(1)的通解為ytatb，代入(1)解得180， b 3980所以(1)的通解為ytC(1.05)t 180t3980由 y° a , yt0 得A C 3980故A至少為3980萬元.

16、(20)【詳解】(I)證法2a2 an 1 rn 證法二：記Dn2a2 a2a2a3a2a 12aarn 1 n|A| ,-3a .0 12a2 2a， 1a2 2aIII4a3F面用數(shù)學歸納法證明(n 1)aDn(n1)an .1)an2a2 a2a2 a2a2a2a3a22a1r2 -ar123a22 a2a2aIIIn 1 一arn n結(jié)論成立.當n 2時,D24a7(n 1)an色|(n 1)an3D12a ,2a2 a2a3a2,結(jié)論成立.假設結(jié)論對小于n的情況成立將 Dn按第1行展開得2aDn2aDn 12aDn 1|A| (n2a2a2Dn21)an2anan 1a2(n1)an

17、 2(n 1)an證法二：記Dn I A|，將其按第一列展開得Dn 2aDn 1 a Dn 2 ,2所以 Dn aDn 1 aDn 1 a Dn 2 a(Dn 1 aDn 2)a2(Dn 2 aDn 3)川 an2(D2 aDJ annn / n 1n2即Dn a aDn 1 a a(a aDn 2) 2a a Dn 2川(n 2)an an 2D2 (n 1)an an b(n 1)an an 1 2a (n 1)an(ll)因為方程組有唯一解，所以由Ax B知A 0,又A (n 1)an，故a 0 .由克萊姆法則，將Dn的第1列換成b，得行列式為112a102a12 a2a12 a2a&g

18、t;I* b2 a2a* * *hhDn 1 nab* *4I-1卜» 4N“ * 12 a2an na2 2a(n 1) (n 1)所以X1Dn 1nDn(n 1)a(Ill)方程組有無窮多解，由A0,有a0,則方程組為0 10 1pPX1X210d*401pXn100Xn0此時方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為n1，所以方程組有無窮多解，其通解為k 1 0 0 卅 0 丁 0 10Hl0, k為任意常數(shù).(21)【詳解】(I)證法一：假設!, 2, 3線性相關.因為1, 2分別屬于不同特征值的特征向量， 故1, 2線 性無關，則 3可由1, 2線性表出，不妨設 3 ll 1 I

19、2 2，其中l(wèi)l,2不全為零(若I1J2同 時為0，則3為0,由A 3 2 3可知2 0 ,而特征向量都是非 0向量，矛盾)-A 1 1, A 2 2A 3232 l11l22，又 A3 A(l11122)l11 l2211 1122211 1122，整理得：21丄 120則1,2線性相關，矛盾所以，1,2,3線性無關證法二：設存在數(shù)k1,k2,k3，使得k1 1 k2 2 k3 30(1)用A左乘的兩邊并由A 11, A 22得k1 1 (k2 k3) 2 k3 3 0(1) (2)得2k1 1 k3 20(3)因為1, 2是A的屬于不同特征值的特征向量，所以1, 2線性無關，從而k1 k3 0,代入得k2 20,又由于 20,所以k20,故1, 2, 3線性無關(II)記 P(1 , 2,!3)，貝y P可逆,AP A(1,2 ,3)(A 1 , A 2 , A3)(1,2,23 )100 100(1, 2,3) 011P 011001 001所以1AP(22)P(Z1-X0)P(X Y1-X 0)P(X20)-P(Y ?)Fz(z)PZzPXYzPX Y乙X1 PXY乙x0PXY乙x1