2019年高考全國(guó)卷Ⅲ理數(shù)試題解析

1、絕密啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2 .回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需 改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě) 在本試卷上無(wú)效。3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的。一 ,一 一2 1 .已知集合 A1,0,1,2 , Bx x 1 ,則 AI B ()A. 1,0,1B. 0,1C. 1,1D. 0,1,2【答

2、案】A【解析】【分析】先求出集合B再求出交集.【詳解】Q x2 1,1x1,B x 1 x 1 ,則 AI B 1,0,1 , 故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的求法，是基礎(chǔ)題2 .若 z(1 i) 2i ,則 z ()A. 1 iB. 1+iC. 1 iD. 1+i【答案】D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求解即可2i(1 i)(1 i)(1 i)2i【詳解】z -1 i【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的商的運(yùn)算，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取運(yùn)算法則法，利用方程思想解題.3.西游記三國(guó)演義水滸傳和紅樓夢(mèng)是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了 100學(xué)生，

3、其中閱讀過(guò)西游記或紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)西游記且閱讀過(guò)紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為()A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題先求出閱讀過(guò)西游記的人數(shù)，進(jìn)而得解【詳解】由題意得，閱讀過(guò)西游記的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70 ,則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70+100=0.7 .故選C.【點(diǎn)睛】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.C. 4D. 2ai , q ,再利用通項(xiàng)公式即可求得a3的值23a1 a1q a1qa

4、1q15,4 c 2)a1q 3alq4al5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)和為15,且a5 3a3 4a1,則a3A. 16B. 8【答案】C【解析】【分析】利用方程思想列出關(guān)于 a1 , q的方程組，求出【詳解】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列 an的公比為q,則ai 1,2解得，a3 a1q4,故選C.q 26.已知曲線yaex xln x在點(diǎn)1, ae處的切線方程為 y 2x b ,A. ae,bB. a e,b通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式,【詳解】詳解:aex In1,k y |x 1 ae將（1,1）代入y2x1,b【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵得到含有 a, b的等式，利用2x3八 八八M7

5、.函數(shù)y 在 6,6的圖像大致為2x 2 *則（,bC. a求得b .1 ,故1 , D. a e , b1 e1,將點(diǎn)的坐標(biāo)戔上得到方程關(guān)系?！军c(diǎn)睛】本題利用方程思想求解數(shù)列基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵。A.【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù),f (4)的近似值即可得出結(jié)果.2X3,設(shè) y f(x)及/，則 f( x)2( X)32 x ?x2x2x ;f (x),所以f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，排除選項(xiàng)C.又f(4)2 4324 2 40,排除選項(xiàng)D ； f(6)2 6 67 ,排除選項(xiàng)22A,故選B.【點(diǎn)睛】本題通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍

6、，通過(guò)計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇.本題較易, 注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.8.如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心， ECD為正三角形，平面 ECD 平面ABCD ,M是線段ED的中點(diǎn)，則()/ /口匕QA. BM EN ,且直線BM , EN是相交直線B. BM EN ,且直線BM,EN是相交直線C. BM EN ,且直線BM , EN是異面直線D. BM EN ,且直線BM ,EN是異面直線【答案】B【解析】【分析】利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問(wèn)題.【詳解】如圖所示，作EO CD于O,連接ON ,過(guò)M作MF OD于F.連BF , Q平面CDE 平面ABCD .EO CD, E

7、O 平面 CDE , EO 平面 ABCD , MF 平面 ABCE ,2,MFB與 EON均為直角三角形.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,易知EO 瓜 ON 1 ENMF ,BF 5, BM 此 BM EN ,故選 B.22【點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力和計(jì)算能力,解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角性。9 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的為0.01 ,則輸出s的值等于（）I, j 0否2足胞II"/結(jié)束1 A. 2 241B. 2 251C. 2 726D.127【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，結(jié)合循環(huán)關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算，可得結(jié)果【詳解】輸入的為 0.01,1.1,0.5 0.01?不滿足條件;1一 0.0

8、078125 0.01?滿足條件128_12 -6 5故選C.261輸出S 1 2116-2 1 2627【點(diǎn)睛】解答本題關(guān)鍵是利用循環(huán)運(yùn)算,根據(jù)計(jì)算精確度確定數(shù)據(jù)分析.F ,點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若PO = PF，則 PFO. .一 x210 .雙曲線C：42=1的右焦點(diǎn)為2的面積為A. 3_14B 3.2B. 2C. 2 2D- 3.2本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法,滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取公式法,利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題.【詳解】由a2,b.2 ,c a2 b2V6,Q POPFxp又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在 y名上,2

9、2ofyp1而定WI,故選A.224【點(diǎn)睛】忽視圓錐曲線方程和兩點(diǎn)間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的高，便可求三角形面積.11.設(shè)f x是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在 °，單調(diào)遞減，則（）r 1 rA. f 10g3f 24B.10g3 4二 二iC. f 2 2 f 2 3 f 10g3 4231D. f 2 3 f 2 2 f 10gL4,，一， .,1由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把f 10g3 一432f 2 2 , f 2召，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，再比較大小.1【詳解】Q f x是R的偶函數(shù)， f log 3 f log 3 4 . 42323Q 1og34

10、 10g33 1,1 20 2 3 2 萬(wàn)，1og34 2 三 2萬(wàn)，又f x在（0, +8詳L調(diào)遞減，2 3f 1og34 f 2 3 f 2 2 ,3 21f 2 2 f 2 3 f 10g3,故選 C.4【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，解題關(guān)鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值.12.設(shè)函數(shù)f x =sin （ x ） （ >0）,已知f x在0,2 有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論: 5f x在（0,2 ）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)f x在（0,2 ）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)f x在（0, ）單調(diào)遞增10的取值范圍是”,空）5 10其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A.B.C.D.【答案】

11、【解析】【分析】本題為三角函數(shù)與零點(diǎn)結(jié)合問(wèn)題，難度大，通過(guò)整體換元得析得出答案.52 一 6 ,結(jié)合正弦函數(shù)的圖像分5當(dāng) x? 0,2 時(shí),. f (x)在0,2 有且僅有5個(gè)零點(diǎn),5 6，29-，故正確,10由 52 6,知 x , 2時(shí),5555-59_令 x , 時(shí)取得極大值， 正確；52 22極小值點(diǎn)不確定，可能是 2個(gè)也可能是3個(gè)，不正確;因此由選項(xiàng)可知只需判斷是否正確即可得到答案,當(dāng)x 0,一時(shí),10_ (2)5，10若f (x)在0,單調(diào)遞增，10229-，故正確.10則(一2-,即 <3 ,1012 一5故選：D.【點(diǎn)睛】極小值點(diǎn)個(gè)數(shù)動(dòng)態(tài)的，易錯(cuò)，正確性考查需認(rèn)真計(jì)算，易

12、出錯(cuò)，本題主要考查了整體換元的思想解三角函數(shù)問(wèn)題，屬于中檔題.、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分r rrrr r13.已知a,b為單位向重，且 a b=0,若c 2a J5b ,則cos a,c-2【答案】2.3【解析】【分析】 根據(jù)|c |2結(jié)合向量夾角公式求出Iv |,進(jìn)一步求出結(jié)果【詳解】因?yàn)?v 2v屆，v v 0 ,所以 vV 2v2,5vb 2,|c|2 4|v |2 4娟 v 5|v|2 9,所以 |1 3, , r r 所以cos a,c使用轉(zhuǎn)化思想【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角.滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng).r S103ai,則一S5得出答案.14

13、 .記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，aw0, a?4.根據(jù)已知求出&和的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得結(jié)果.【詳解】因a2 3al,所以a1 d 3al,即2al d ,10 9人所以S0S510al df2100al- 45a =d25a2【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算.滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).使用轉(zhuǎn)化思想得出答 案.x V15 .設(shè)F1, F2為橢圓C: +L 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若AMFiF2為等腰三角形, 36 20則M的坐標(biāo)為【答案】3, ,15M的坐標(biāo).22 一a b 16, c 4,根據(jù)橢圓的定義分別求出MFi、MF2 ,設(shè)出M的坐

14、標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出【詳解】由已知可得a2 36, b2 20, c2MFiF1F22c 8. . MF24.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 , y0 x0 0, y0IS MF1F21 4,82 224、元，x 厭 1 ,解得X0 3 ( X03620八八1 一0.2MF1F2 2 F1F2 V0 4y。，4y0 4*5,解得 y0 壓，3舍去),M的坐標(biāo)為3,JT5【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直 觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).16 .學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用 3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體 ABCD AB1C1D1挖去四棱錐O E

15、FGH后所得的幾何體，其中 O為長(zhǎng)方體的中心， E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB= BC = 6cm, AA 二 4cm , 3D打印所用原料密度為0.9g /cm3,不考慮打印損耗，制作該模型所需原 料的質(zhì)量為 g .【答案】118. 8【解析】 【分析】根據(jù)題意可知模型的體積為四棱錐體積與四棱錐體積之差進(jìn)而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量1 2【詳解】由題意得，Sefgh 4 6 4 - 2 3 12cm2,213四棱錐 O-EFG 的圖 3cm, ，VO EFGH - 12 3 12cm3 .3 3又長(zhǎng)萬(wàn)體ABCD A1B1c1D1的體積為V2 4 6 6 144cm ,2所以該模

16、型體積為 V V2 Vl 144 12 132cm ,其質(zhì)量 0.9 132 118.8g.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積問(wèn)題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17 .為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成 A,B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算

17、出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到 P C的估計(jì)值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)【答案】(1) a 0.35, b 0.10; (2) 4.05, 6.【解析】【分析】(1)由P(C) 0.70及頻率和為1可解得a和b的值；(2)根據(jù)公式求平均數(shù).【詳解】(1)由題得a 0.20 0.15 0.70,解得a 0.35,由 0.05 b 0.15 1 P(C) 10.70 ,解得b 0.10.

18、(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為4.05,0.35 6 0.20 7 0.15 8 60.15 2 0.20 3 0.30 4 0.20 5 0.10 6 0.05 7乙離子殘留百分比的平均值為0.05 3 0.10 4 0.15 5【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖和平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題AC.18 . ABC的內(nèi)角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asin bsinA.2(1)求ABC為銳角三角形，且c 1,求ABC面積的取值范圍. B -;(2)(3' 8(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中等式,得到關(guān)于 B三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得B - .(2)

19、3根據(jù)三角形面積公式SVABCABC1-ac sin B ,又根據(jù)正弦定理和 c 1得到Svabc關(guān)于C的函數(shù)，由于 2是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于一來(lái)計(jì)算C的定義域，最后求解 SVABC (C)的值域.2A C .(1)根據(jù)題意asin bsinA,由正弦定理得 sin Asi2A_C2故 sin A0,消去sin A得sin因?yàn)楣蕇in B。不成立，所以(2)因?yàn)?ABC是銳角三角形，由(1)知B A3,因?yàn)?sin BsiABC_ AB或者CBC，所以B33B0 C -故20 C3又應(yīng)用正弦定理sin Asin C由三角形面積公式有:SvABC1 ac sinB2.2 sin c

20、osC3二c2a sinBcoc sg sin C2 sin A . sin B sinC_34sin(C)sinCsinC(sin2 13 tanCcos)33 1 _J.8 tanC 8又因一6C -,tanC28 tanCS -3SVABC2故 S/ABC取值范圍是【點(diǎn)睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，和正弦定理或者余弦定理的使用(此題也可以用余弦定理求解)，最后考查 ABC是銳角三角形這個(gè)條件的利用?？疾榈暮苋?，是道很好的考題19.圖1是由矩形ADEB, Rt和菱形BFGC一個(gè)平面圖形， 其中AB=1 , BE=BF=2,/ FBC=60 °,將其沿AB, BC折起使得(

21、1)證明：圖2中BCGE;(2)求圖2中的二小.B-CG-A寫(xiě)B(tài)F事合，連結(jié)如圖2.點(diǎn)共面,【答案】(1)見(jiàn)詳解;K2) 30°.【解析】【分析】(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦?ABED, RtVABC和菱形BFGC內(nèi)部 夾角，所以AD/BE , BF/CG依然成立，又因 E和F粘在一起，所以得證.因?yàn)锳B是平面BCGE垂線，所以易證 .(2)在圖中找到B CG A對(duì)應(yīng)的平面角，再求此平面角即可.于是考慮B關(guān)于GC的垂線，發(fā)現(xiàn)此垂足與 A的連線也垂直于CG .按照此思路即證.【詳解】 證：Q AD/BE , BF/CG ,又因?yàn)镋和F粘在一起.AD/CG , A, C, G, D 四

22、點(diǎn)共面.又Q AB BE,AB BC .AB 平面BCGE , Q AB 平面ABC , 平面ABC 平面BCGE,得證.(2)過(guò)B作BH GC延長(zhǎng)線于H,連結(jié)AH,因?yàn)锳B 平面BCGE,所以AB 而又BH GC,故GC 平面HAB ,所以AH GC .又因?yàn)锽H GC所以B CG A的平面角，而在ZXBHC中 BHC 90°,又因?yàn)?FBC 60o故 BH BC sin 6003 .而在VABH中 ABH 90°, tan BHA幽 / 置，即二面角B CGBH 33【點(diǎn)睛】很新穎的立體幾何考題。首先是多面體粘合問(wèn)題，考查考生在粘合過(guò)程中哪些量是不變的。再者 粘合后的多

23、面體不是直棱柱，建系的向量解法在本題中略顯麻煩，突出考查幾何方法。最后將求二面角轉(zhuǎn) 化為求二面角的平面角問(wèn)題考查考生的空間想象能力。一 ，一，,一 ._ 32.20.已知函數(shù) f(x) 2x ax b.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間0,1的最小值為1且最大值為1?若存在，求出a,b的所有值；若不存在，說(shuō)明理由a 0a 4【答案】見(jiàn)詳解；(2)或b1b 1【解析】【分析】(1)先求f (x)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)a的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性;(2)根據(jù)a的各種范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行最大值和最小值的判斷，最終得出a ,b的值.322a【詳解】 對(duì)f(x) 2x ax

24、 b求導(dǎo)得f'(x) 6x 2ax 6x(x 一).所以有 3當(dāng)a 0時(shí)，(，a)區(qū)間上單調(diào)遞增，(旦,0)區(qū)間上單調(diào)遞減，(0,)區(qū)間上單調(diào)遞增;33當(dāng)a 0時(shí)，(，)區(qū)間上單調(diào)遞增；)區(qū)間上單調(diào)遞增當(dāng)a 0時(shí)，(，0)區(qū)間上單調(diào)遞增，(0,且)區(qū)間上單調(diào)遞減，(a, 33(2)若f (x)在區(qū)間0,1有最大值1和最小值-1,所以若a 0,(，亙)區(qū)間上單調(diào)遞增，(a,0)區(qū)間上單調(diào)遞減，(0,)區(qū)間上單調(diào)遞增； 33此時(shí)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，所以f (0)1, f(1) 1代入解得b 1, a 0,與a 0矛盾，所以a 0不成立.若 a 0,()區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間0,1.所以

25、f (0)1, f(1) 1代入解得aa.若0 a 2, (,0)區(qū)間上單調(diào)遞增，(0,)區(qū)間上單調(diào)遞減，(一，)區(qū)間上單調(diào)遞增33一 aaa即f(x)在區(qū)間(0, a)單調(diào)遞減，在區(qū)間(a,1)單調(diào)遞增，所以區(qū)間0,1上最小值為f(-)333而f(0) b, f(1) 2 a b f(0),故所以區(qū)間0,1上最大值為f(1).2(學(xué)噂22 a b 11 相減得23_2,即 a(a 373)( a 3 73)0,又因?yàn)?027a 2,所以無(wú)解.若2 a 3, (,0)區(qū)間上單調(diào)遞增,(0,2)區(qū)間上單調(diào)遞減，(旦，)區(qū)間上單調(diào)遞增. 33a即f(x)在區(qū)間(0,一)單調(diào)遞減，在區(qū)間3(一，1)

26、單調(diào)遞增，所以區(qū)間30,1上最小值為f(-) 3而f(0) b, f(1) 2 a b f(0),故所以區(qū)間0,1上最大值為f (0).口 2(a)3a(a)2b 1, “ a3即 33相減得J2,解得x 32,又因?yàn)? a 3,所以無(wú)解.b 127若a 3, （,0）區(qū)間上單調(diào)遞增，（0,芻）區(qū)間上單調(diào)遞減，（區(qū),）區(qū)間上單調(diào)遞增.33所以有f（x）區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，所以區(qū)間0,1上最大值為f（0）,最小值為f（1）a 4解得1 b 1綜上得【點(diǎn)睛】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少?？疾榈暮瘮?shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計(jì)算。思考量不大，由計(jì)算量補(bǔ)充。

27、221.已知曲線C: y= , D為直線y=21 ,一上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A, B.2（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn):5 （2）右以E（0,一）為圓心的圓與直線2AB相切，且切點(diǎn)為線段 AB的中點(diǎn)，求四邊形 ADBE的面積.【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2） 3或4vL(1)可設(shè)“為*), B(X2,y2), D(t,11,萬(wàn)）然后求出A,B兩點(diǎn)處的切線萬(wàn)程，比如AD ：必 - X（X1 t）,又因?yàn)锽D也有類似的形式，從而求出帶參數(shù)直線AB方程，最后求出它所過(guò)的定點(diǎn)uuuv uuv -,（2）由（1）得帶參數(shù)的直線 AB方程和拋物線方程聯(lián)立， 再通過(guò)M為線段AB的中點(diǎn)，EM AB

28、得出t的uuiuv值，從而求出 M坐標(biāo)和EM的值，d1,d2分別為點(diǎn)D,E到直線AB的距離，則d142 1, d22,結(jié)合弦長(zhǎng)公式和韋達(dá)定理代入求解即可,t21,1、1 2【詳解】(1)證明：設(shè) D(t, ),A(x,y1),則 y -X12o221 2又因?yàn)閥 x ,所以y'x.則切線DA的斜率為Xi,2-1故 yi - Xi(x t),整理得 2txi 2yi 1 0.設(shè) B%, y2),同理得 2txi 2yi i 0.A(Xi,yi),B(X2,y2)都滿足直線方程 2tx 2y i 0.于是直線2tx 2y i 0過(guò)點(diǎn)A, B,而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線AB方程為2

29、tx 2y i 0.即 2tx ( 2y i) 0,i當(dāng)2x 0, 2y i 0時(shí)等式恒成立。所以直線 AB恒過(guò)定點(diǎn)(0,).2i(2)由(i)得直線AB的萬(wàn)程為y tx -.221 tx2 22，可得 x2 2tx i 0，x22于是 xi x2 2t,xix2i,yi y2 t(xi x2) i 2t i| AB|i-t2 |x x2 |t2 '(%x2)2422 2(t2 i).設(shè)di,d2分別為點(diǎn)D,E到直線AB的距離，則di H，d22.、.t i因此，四邊形 ADBE的面積S | AB 1dl d2 t2 3 Jt2 i .22 i設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M t,t ,-u

30、uuu uuin - uuur 由于EM AB，而EM2i.2 uuu2t,t 2 , AB與向量(i,t)平行，所以t t 2 t 0,解得t 0或t當(dāng)t 0時(shí)，S 3;當(dāng)t i時(shí)S 4亞因此，四邊形 ADBE的面積為3或4質(zhì).【點(diǎn)睛】此題第一問(wèn)是圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題和第二問(wèn)是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班的求解就 可以。思路較為清晰，但計(jì)算量不小。（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第 一題計(jì)分。22.如圖，在極坐標(biāo)系 Ox 中，a（2,o）, b（V2, ）, c（J5,7），dq,）,弧 Ab，？c，Cd 所在圓的 圓心分別是（i,0）,（i,-）,（i,）,曲線Mi是弧ab,曲線M2是弧？c，曲線M3是弧Cd.（1）分別寫(xiě)出Mi, M2, M3的極坐標(biāo)方程；（2）曲線M由Mi , M2, M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP| J3,求P的極坐標(biāo).33【答案】（1） 2cos （0,）, 2sin （-,） , 2cos （一，）,44 44【解析】（1）將三個(gè)過(guò)原點(diǎn)的圓方程列出，注意題中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范圍（2）根據(jù)條件后逐個(gè)方程代入求解，最后解出P點(diǎn)的極坐標(biāo).【詳解】（1）由題意得，這三個(gè)圓的直徑都是2,并且都過(guò)原點(diǎn)M1: 2cos （0,-）,433M2 : 2cos（一） 2si