隨機數(shù)學模型基礎(chǔ)篇

1、 數(shù)學模型 - 115 -第三章 隨機數(shù)學模型§3.1 多元回歸與最優(yōu)逐步回歸一、數(shù)學模型設(shè)可控或不可控的自變量；目標函數(shù)，已測得的n組數(shù)據(jù)為： (1.1)系統(tǒng)其中是系統(tǒng)的測試數(shù)據(jù)，相當于如下模型：設(shè)多目標系統(tǒng)為： 為簡化問題，不妨設(shè)該系統(tǒng)為單目標系統(tǒng)，且由函數(shù)關(guān)系，可以設(shè)： (1.2)可得如下線性模型 (1.3)為測量誤差，相互獨立，。令可得 (1.4)(1.4) 稱為線性回歸方程的數(shù)學模型。 利用最小二乘估計或極大似然估計，令 使，由方程組 (1.5)可得系數(shù)的估計。令 方陣可逆，由模型可得：即有 (1.6)可以證明(1.6)與(1.5)是同解方程組的解，它是最優(yōu)線性無偏估量，滿

2、足很多良好的性質(zhì)，另文補講。二、模型的分析與檢驗設(shè)目標函數(shù)的平均值，則由公式可計算得總偏差平方和，回歸和剩余平方和： (1.7)假設(shè)檢驗： 至少有一個不為零結(jié)論是：當 當被拒絕以后，說明方程(2)中系數(shù)不全為零，方程配得合理。否則在被接受以后，說明方程配得不合適，即變量對目標函數(shù)都沒有影響，則要從另外因素去考慮該系統(tǒng)。三、回歸方程系數(shù)的顯著性檢驗假設(shè) 備選假設(shè) 可以證得： (1.8)或者 的對角線元素。當 時，顯著不為零，方程(1.2)中第j個變量作用顯著。若有某一個系數(shù)假設(shè)被接受，則應(yīng)從方程中剔除。然后從頭開始進行一次回歸分析工作。四、回歸方程進行預(yù)測預(yù)報和控制 經(jīng)過回歸分析得到經(jīng)驗回歸方程

3、為 (1.9)設(shè)要在某已知點上進行預(yù)測，可得點估計： (1.10)下面對預(yù)測預(yù)極值進行區(qū)間估計，可以證得其中 得的預(yù)測區(qū)間為： (1.11)五、最優(yōu)逐步回歸分析 在線性回歸分析中，當經(jīng)過檢驗，方程(1.2)作用顯著，但為顯著,說明不起作用，要從方程中剔除出去，一切都要從頭算起，很麻煩。這里介紹的方法是光對因子逐個檢驗，確認它在方程中的作用的顯著程度，然后依大到小逐次引入變量到方程，并及時進行檢驗，去掉作用不顯著的因子，依次循環(huán)，到最后無因子可以進入方程，亦無因子被從方程中剔除，這個方法稱為最優(yōu)逐步回歸法。從方程(1.2)中,為方便計,設(shè)變量個數(shù),記可得 (1.12)此時仍可得是回歸估計值回歸方

4、程為 (1.13)分別是的系數(shù)估計。為了減少誤差積累與放大，進行數(shù)據(jù)中心化標準化處理： (1.14)可得數(shù)學模型為： (1.15)經(jīng)推導(dǎo)可得：，稱為系數(shù)相關(guān)矩陣 由此可得經(jīng)驗回歸方程： (1.16)然后以變換關(guān)系式代入可得 (1.17)將(17)式與(13)式進行比較，可得： (1.18)只要算得(16)式的即可。注意到， ，其中是對于因子的偏回歸平方和，可以證明線性方程中對變量的多元線性回歸方程中的偏回歸平方和為（是原方程中的偏回歸平方和）： 把系數(shù)矩陣R變成加邊矩陣，記為比較,設(shè),則相應(yīng)變量作用最大，但是否顯著大，要進行顯著性檢驗，可以證得當時，可將變量引入方程中去。 現(xiàn)將這個循環(huán)步驟介紹

5、如下：第一步：挑選第一個因子1. 對 計算的偏回歸和2. 找出 決定 3. F檢驗 當時引入，一般總可以引入的。 第二步：挑選第二個因子首先變換加邊矩陣則 ， 因子的偏回歸平方和 記 決定可否引入步驟：1. 對，計算的偏回歸平方和。 2. 找出中最大的一個，記為。 3. 對作顯著性檢驗：當時，要引入。第三步：當引入時，是否要剔除呢？即已有方程：檢驗的偏回歸平方和：當 時因子不剔除。同樣的方法以 時因子不剔除。第四步：重復(fù)進行第二步到第三步。一直到?jīng)]有可引入的新因子，也沒有可剔除的因子。最后方程為： (1.19)并把(1.19)式換算成類似的(1.13)式。§3.2 主成份分析與相關(guān)分

6、析一、數(shù)學模型這是一個將多個指標化為幾個少數(shù)指標進行統(tǒng)計分析的問題，設(shè)有維總體有個隨機指標構(gòu)成一個維隨機向量，它的一個實現(xiàn)為；而且這個指標之間往往相互有影響，是否可以將它們綜合成少數(shù)幾個指標，使它們盡可能充分反映原來的個指標。例如加工上衣，有袖長、身長、胸圍、肩寬、領(lǐng)圍、袖口、袖深，等指標，是否可以找出主要幾個指標，加工出來就可以了呢？例如主要以衣長、胸寬、型號(肥瘦)這樣三個特征。設(shè)為維隨機向量，為期望向量, 為協(xié)方差矩陣，其中設(shè)將綜合成很少幾個綜合性指標，如，不妨設(shè) 則有 要使盡可能反映原來的指標的作用，則要使盡可能大，可以利用乘子法:要對a加以限制,否則加大,增大無意義。令 設(shè) 并使 (

7、2.1)可得方程組(2.1)的解為 (2.2)以左乘(2.2)之兩邊，得 即 由(2.2)式可得 (2.3)要使?jié)M足(2.3)的a非零，應(yīng)有即入是的特征根，設(shè)是的個特征根，只要取 ，再由，求出V的屬于的特征向量，在條件是唯一的維特征向量。于是得(2.4)二、主成份分析 一般協(xié)方差方陣為非負定，對角線上各階主子式都大于等于零，即特征值有：設(shè)前m個都大于零，依次為，相應(yīng)的特征向量為，則，即為第一,第二,第個主成份，由線性代數(shù)知識可知，不同的特征根對應(yīng)的不同的特征向量線性無關(guān)，由于V是實對稱陣，則，變換后的各主成份相互無關(guān)。即對進行了一次正交變換。在實際應(yīng)用中，V陣往往是未知的，需要用V的估計值來代

8、替，設(shè)有組觀測值 則取 (2.5) (2.6)其中是的子樣方差，的子樣協(xié)方差。需要求出的特征值。 由于不同的度量會產(chǎn)生量綱問題，一般建議作如下變換： 用標準變量代替以前的，即可以運算。此時的協(xié)方差矩陣即相關(guān)矩陣從R出發(fā)，可求主成份。三、主成份的貢獻率為了盡可能以少數(shù)幾個主成份來代替P個指標，那么要決定取多少個主成份才夠呢？ 由于則可得是的方差，可得亦是V的全部特征值之和：由于 , 則令 表明方差在全部方差中所占的比重，稱是第i個主成份的貢獻率，顯然有,不妨取一個閾值為d(0d1)，當時，即舍去，此時可取 為主成份。以貢獻率來決定它的個數(shù)。§3.3 判別分析一、數(shù)學模型 根據(jù)所研究的個

9、體的觀察指標來推斷個體所屬于何種類型的一種統(tǒng)計分析方法，稱為判別分析。 例如某精神病院有精神病患者256名，診斷結(jié)果將它們分成六類(相當于6個總體)設(shè) 服從三維聯(lián)合正態(tài)分布i=1,2,6，其中，為協(xié)方差矩陣，一般這六種類型可分為焦慮狀、癔病、精神病、強迫觀念型、變態(tài)人格、正常，若有如下子樣： 子樣 子樣 子樣注意到每個子樣都是三維向量?，F(xiàn)有一個新的精神病患者前來就醫(yī)，測得三個指標：試判斷該患者病情屬于哪一類。(一) 兩點的距離 設(shè)維空間中有兩點, 則其歐氏距離為 (3.1)由于數(shù)據(jù)的量綱不同，不采用歐氏距離, 用馬氏距離有： 定義1：設(shè)X,Y是從總體G中抽取的樣品,G服從P維正態(tài)分布，,定義X

10、,Y兩點間的距離為馬氏距離： (3.2)定義2：X與總體G的距離為D(X，G)為 (3.3)(二)距離判別法 設(shè)有兩個協(xié)方差相同的正態(tài)總體，且對于一個新的樣品，要判定它來自哪一個總體，有一個很直觀的方法：計算若(三)線性判別函數(shù) 由令 記 則有：當時，否則當 為已知時，令， 可得： (3.4)稱為線性判別函數(shù)，a為判別系數(shù),因為，即,解線性方程組可得解 此時的判別規(guī)則為： (3.5)X是新的一個點,將其代入即可判別。二、關(guān)于計算中應(yīng)注意的問題 實際上均未知,要用樣本值的估計公式來計算出。其方法如下: 設(shè)子樣來自總體,子樣來自,可由(在本節(jié)的開頭的例子中P=3)得到 (3.6) (3.7)判別函

11、數(shù)為 (3.8)判別系數(shù)為三、關(guān)于誤判率及多個總體的判別 這里提及一個回報的誤判率問題。在構(gòu)造判別函數(shù)W(X)時,是依據(jù)樣本,現(xiàn)在已知均屬于,從道理上來說,經(jīng)過判別公式(3.8),可得出,但也可能出來某幾個不屬于,這便是誤判。若有存在,使得,說明,這就產(chǎn)生了一個誤判。所謂誤判率,即是出現(xiàn)誤判的百分數(shù),我們應(yīng)該有所控制。 當兩個總體的協(xié)方差不相等時,可用如下方法: (3.9) (3.10)當,當未知時,用下列估計代替: 在個總體時，均值為協(xié)方差陣為(維) 設(shè)都已知時,X為樣品計算選擇一個最小的值例如 ， 則 設(shè)未知,但獨立，可以分別以估計值來計算。當上述未知,但時，亦可以用上述類似方法。上述解決

12、方法中，可以擴展到非正態(tài)分布。§3.4 聚類分析 物以類聚，人以群分，社會發(fā)展和科技的進步都要求對于某些物體進行分類。由于早期的定性分類已不能滿足需要，于是數(shù)值分類學便應(yīng)運而生。一、數(shù)學模型某種物品有n個：它有m個數(shù)值量化指標，如何將其分成若干類，基本的思路是把距離較近的點歸成一類。這里的距離可分為如下三類：1.距離 的距離,本文中的距離常用歐氏或馬氏距離，公式在前幾節(jié)中已述，還有一種用絕對距離：應(yīng)該提及馬氏距離可以克服數(shù)據(jù)相關(guān)性的困難。 2.數(shù)據(jù)正規(guī)化處理 當?shù)姆至恐袀€指標量綱不一致時，相差很大，要經(jīng)過正規(guī)化標準化處理，令 (4.1)其中 (4.2) (4.3)將經(jīng)過(1)式處理的

13、數(shù)據(jù)重新視作(為記號上的方便) 3. 相似系數(shù)法 的相關(guān)系數(shù) (4.4)可以將相關(guān)愈密切的歸成一類。 4.最短距離聚類法(系統(tǒng)聚類法，逐步并類法)先將n個樣本各自為一類，計算它們之間的距離，選擇距離小的二個樣本歸為一個新類，再計算這個新類與其它樣本的距離，選擇距離小的二個樣本(或二個新類)歸為一個新類，每次合并縮小一個以上的類，直到所有樣本都劃為一個類為止。這里規(guī)定兩點間距離為：兩類間的距離，即的距離為：步驟如下： 1.數(shù)據(jù)正規(guī)化處理 要視各指標的量綱是否一致，相差是否太大，并選擇一種距離計算法，為了方便計，一般都選擇歐氏距離法。 2.計算各樣本間的兩兩距離,并記在分類距離對稱表中,并記為D(

14、0),第0步分類,此時(每一個樣本點為一個類) 3.選擇表D(0)中的最短距離,設(shè)為,則將合并成一個新類,記為 (4.5) 4.計算新類與其它類之間的距離,定義 (4.6) 表示新類與類之間的距離。 5.作D(1)表,將D(0)中的第p,q行和p,q列刪去,加上第r行,第r列。第r行,第r列與其它類的距離按(4.6)式判斷后記上,這樣得到一個新的分類距離對稱表,并記為D(1), D(1)表示經(jīng)過一次聚類后的距離表,要注意的是Dr類是由哪兩類聚類得到應(yīng)在D(1)表下給以說明。 6.對D(1)按3,4,5重復(fù)類似D(0)的聚類工作,得D(2)。 7.一直重復(fù),直到最后只剩下兩類為止,并作聚類圖。二

15、、應(yīng)用類例 現(xiàn)有8個樣品,每個樣品有2個指標(m=2,2維變量),它們的量綱相同,(否則要經(jīng)過正規(guī)化處理)編號123456782244-4-2-3-15343322-3 試用系統(tǒng)聚類方法對這8個樣品進行聚類。解:采用歐氏距離 (1)最短距離法,首先用表格形式列出D(0)D(0)G1G2G3G4G5G6G7G8G10G22.00G32.22.20G42.32.01.00G56.36.08.18.00G65.04.16.36.12.20G75.85.17.27.11.41.00G88.56.78.67.86.75.15.40 表示第i個樣品,i=1,2,8在D(0)中,最小值是1.0,相應(yīng)的距離是

16、D(3.4),與D(6,7)。則合并為新類,把合并成。(2)把D(0)中去掉 并計算得下表,后兩行重算,其余照D(0)照抄。D(1)G1G2G5G8G9G11G10G22.00G56.36.00G88.56.76.70G92.22.08.07.80G105.04.11.45.18.10 視D(1)中,最小值為1.4, 相應(yīng)的是D(5,10)將合并成新類。3)同法構(gòu)造D(2)表D(2)G1G2G8G9G10G10G22.00G88.56.70G92.22.07.80G115.04.15.16.10 其中，在D(2)中,最小值D(1,2)=D(2,9)=2.0，則把D(3)G8G11G12G80G

17、115.10G126.74.10 其中，在D(3)中,最小值D(11,12)=4.1， 因此把D(4)G8G13G80G135.10 (見D(0)第8行) 3.把上述聚類過程用聚類圖表示: 0 1 1.4 2 T 3 4 5 說明：聚類到一定程度即可結(jié)束一般可以選取一個閾值T，到D(K)中的所有非零元素都大于T，即結(jié)束(表中的值T值)設(shè)T=2.5：則到D(3)時結(jié)束，此時的共聚為三類： 如下圖：×5×7×6×1 ×3×2 ×4×8§3.5 模糊聚類分析一、問題的提出 客觀事物分成確定性和不確定性兩類,處理

18、不確定性的方法為隨機數(shù)學方法。在進行隨機現(xiàn)象的研究時,所表現(xiàn)的現(xiàn)象是不確定的,但對象事物本身是確定的。例如投一個分幣,出現(xiàn)哪一面是隨機的,但分幣本身是確定的。如果所研究的事物本身是不確定的,這就是模糊數(shù)學所研究的范疇。 例如,一個人年齡大了,稱年老,年小,或年青,但到底什么算年老,什么算年青呢? 又如兒子象父親,什么是象?象多少? 再說兒子象父親,兒子又象母親(部分象),難道父親象母親?1965年由I.A.Zadeh提出模糊數(shù)學,它可以廣泛地應(yīng)于圖象識別,聚類分析,計算機應(yīng)用和社會科學。例如洗衣機和空調(diào)器已用上模糊控制,本節(jié)將把模糊數(shù)學的一套方法引入聚類分析中來,稱為模糊聚類分析。二、數(shù)學模型

19、設(shè)E為分明集(集合)1.定義: 稱為隸屬度函數(shù)(分得很清楚)要末是,要末不是對A為不分明集, 可以取0到1之間的任意一個實數(shù)值.當愈接近于1.則的程度愈大. 愈接近于0.則的程度愈小.2.模糊數(shù)學的運算法則 如A和B為不分明集,則有: 并,記為, 交,記, 補,記為,3.模糊聚類 模糊聚類同于一般聚類法(相似系數(shù)法或最小距離法)以相似系數(shù)(相關(guān)系數(shù))法為例:思路: 先算相似系數(shù)矩陣(相似矩陣) 將相似矩陣改造成模糊矩陣:即將原相似矩陣的元素壓縮到0,1之間 改造成模糊等價矩陣,取不同的標準,可以得到不同的聚類標準.計算步驟: 第一步:計算相似的系數(shù) 先將 數(shù)據(jù)標準化 令得到標準化的數(shù)據(jù)為 顯然

20、 (標準化數(shù)據(jù)的平均值一定為0)得標準化后比數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為 相似矩陣 第二步:將相似系數(shù)壓縮到0,1之間 令 建立模糊矩陣 第三步:建立模糊等價矩陣 由于上述模糊矩陣不具有傳遞性:即要通過褶積將模糊矩陣改造成模糊等價矩陣: 矩陣的褶積與矩陣乘法類似,只是將數(shù)的加、乘運算改成并和交: 則褶積為:, 于是有: 于是有: 一直到為止此時即滿足模糊等價矩陣,具有傳遞性 此時記它為:CR第四步:進行聚類: 將矩陣CR的元素依大小次序排列,從1開始,沿著自大到小依次取值,定義: 可以得到若干個0,1元素構(gòu)成的CR矩陣,其中之1的表示這二個樣本劃為一類三、一個實例 = -上海4月平均氣溫; -北京3月雨量

21、 -5月地磁指數(shù); -5月500毫巴W型環(huán)流型日數(shù) 予報對象: 華北五站(北京、天津、營口、太原、石家莊)7-8月降水量,僅用61-67年 7年的資料(略)第一步:計算相似系數(shù) 經(jīng)過標準化計算相似系數(shù)矩陣R )第二步:建立模糊矩陣 將相似系數(shù)壓縮到0,1之間 得 第三步:建立模糊等價矩陣 按上式計算: 例如 得到 , 發(fā)現(xiàn) , 當取0.92時: 將,當取0.65時有: 又將 合并成一類, 當取0.64時,有 此時將1,3,再與4,6并為一類,可分成三類 再取=0.63時 這次再將,只有二類: , 聚類圖:0.630.640.650.990.92 說明: (1)當=0.65時,共分成四類: (2

22、)當=0.64時,共分成三類: (3)當=0.63時,共分成二類: 這是以按年份為基本類的分類圖§3.6 馬爾可夫鏈及其應(yīng)用一、隨機過程 描述一種隨機現(xiàn)象的變量,一般稱為隨機變量,記為,而隨著時間參數(shù)t或其它參數(shù)變化而變化的隨機變量,稱為隨機過程。 定義1 在給定的概率空間(,F,P)及實數(shù)集T,其中為樣本空間,F為分布函數(shù),P為概率, 對于每一個, 有定義在,F,P)上的隨機變量與之對應(yīng),則稱為隨機過程,一般簡化為。 定義2 (馬爾可夫過程) 設(shè)隨機過程,如果在已知時間t系統(tǒng)處于狀態(tài)x的條件下,在時刻(>t)系統(tǒng)所處狀態(tài)和時刻t以前所處的狀態(tài)無關(guān),則稱為馬爾可夫過程。 從定義

23、2可知馬氏過程只與t時刻有關(guān),與t時刻以前無關(guān)。 定義3 (馬爾可夫鏈) 設(shè)隨機過程只能取可列個值把稱為在時刻系統(tǒng)處于狀態(tài)若在已知時刻系統(tǒng)處于狀態(tài)的條件下,在時刻 () 系統(tǒng)所處的狀態(tài)情況與t時刻以前所處狀態(tài)無關(guān),則稱為時間連續(xù),狀態(tài)離散的馬氏過程。而狀態(tài)的轉(zhuǎn)移只能在發(fā)生的馬氏過程稱為馬爾可夫鏈。 從定義3可知,馬氏鏈是狀態(tài)離散,時間離散的馬爾可夫過程。 定義4 (轉(zhuǎn)移概率) 設(shè)系統(tǒng)的離散狀態(tài)為設(shè)表示第次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)表示系統(tǒng)開始處于狀態(tài)。 則稱 (6.1)為系統(tǒng)在k-1次轉(zhuǎn)移到狀態(tài),而第k次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率由定義可知 (6.2) 定義5 若(2)式中有: (6.3)則稱為均勻馬氏鏈 (與第幾

24、次轉(zhuǎn)移無關(guān)) 即 定義6 轉(zhuǎn)移概率與轉(zhuǎn)移矩陣 令轉(zhuǎn)移概率 為矩陣的第 行,第j列元素則有 (6.4)稱為馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣,其中 例:一個分子在兩個附著壁之間的隨機游動,如圖1所示1 2 3 -1 Sx軸滿足以下條件: (1) 這個分子在x軸上1,2,S的位置上任意一點,且只能在這S個位置上. (2)當分子在1與S兩端點時,分子被吸收,不再游動(吸收壁) (3)分子每轉(zhuǎn)移一次,只移動一步,且必須移動若時刻時,分子在處(),在一個單位時間后它轉(zhuǎn)移到i+1點處的概率為P(向右移動),它轉(zhuǎn)移到i-1點處的概率為向左移動)。 問:在初始位置于i處,經(jīng)過5次轉(zhuǎn)移它落在j處的概率是多少? 分析:該系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移

25、概率為: 這個均勻馬氏鏈系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為 二、馬爾可夫方程和步轉(zhuǎn)移矩陣 設(shè)表示一個均勻馬氏鏈經(jīng)過步轉(zhuǎn)移由狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率,當時討論(二步轉(zhuǎn)移)令 事件B=“系統(tǒng)經(jīng)由二次轉(zhuǎn)移,由轉(zhuǎn)移到” =“系統(tǒng)由轉(zhuǎn)移到,再由轉(zhuǎn)移到” k=1,2,因此, 兩兩互不相容事件 (只與狀態(tài)時的時刻有關(guān))類似可證: (6.5)(5)式稱切普曼一柯爾莫哥洛夫方程由代數(shù)知識:A= 可見 于是 (6.6) 類似可證得 (6.7)上例要求: 只要 例 這個元素的值即可.三、遍歷性與平穩(wěn)分布 定義7 設(shè)為均勻馬氏鏈(與第n次轉(zhuǎn)移無關(guān)),對一切狀態(tài)i及j(或稱,存在不依賴于i的常數(shù),使得 (6.8) 則稱均勻馬氏鏈有遍歷性

26、遍歷意義: 遍歷性說明不論系統(tǒng)自那一個狀態(tài)出發(fā),當轉(zhuǎn)移次數(shù)n充分大時,轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的概率近似于某個常數(shù)。 定理1:對有限個狀態(tài)的均勻馬氏鏈,若存在一正整數(shù),使對一切有 (6.9)則此馬氏鏈是遍歷的且(8)中的是如下方程組 (6.10)在條件 下的唯一解 證 略 定義8 (平穩(wěn)性)：設(shè) 為有限s個狀態(tài)的均勻馬氏鏈,若初始概率 滿足全概率公式： 則稱為平穩(wěn)的,稱為的一個平穩(wěn)分布 表示第k次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的絕對概率 為初始狀態(tài)概率 可以證明: 結(jié)論: 當馬氏鏈是平穩(wěn)時,初始概率等于絕對概率 平穩(wěn)均勻馬氏鏈在任一時刻處于狀態(tài)的概率都相等,說明平穩(wěn)。1 2 3例2:例1一樣: 沒有附著壁的隨機游動其余同例1 設(shè) 二次轉(zhuǎn)移矩陣為 則 對任意說明是遍歷的。由定理1可知: 馬氏鏈是平穩(wěn)的 即有: 由 : 得 當 時,游動時前進一步與后退一步是等可能的,說明系統(tǒng)處于任一狀態(tài)的概率明顯相等四、馬氏鏈的應(yīng)用應(yīng)用題1: 機器生產(chǎn)零件時,機器處于兩種可能狀態(tài)的: =“可調(diào)整狀態(tài)”-稱良好狀態(tài) =“不可調(diào)整狀態(tài)”-稱不良狀態(tài)機器使用一天,它的轉(zhuǎn)移概率為 問:在n天以后機器處于不良狀態(tài),良好狀態(tài)的概率為多少? 若有100臺機器: 問配備多少個機修工人才能使機器待修的可能性至多為10%?(一天工人