定積分與微分基本定理

1、定積分與微積分基本定理一、目標(biāo)與策略e.明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及主要的學(xué)習(xí)方法是提高學(xué)習(xí)效率的首要條件，要做到心中有數(shù)！學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念、幾何意義直觀了解微積分基本定理的含義，并能用定理計(jì)算簡(jiǎn)單的定積分應(yīng)用定積分解決平面圖形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和變力作功等問題，在解決問題的過程中體驗(yàn)定積分的價(jià)值重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：正確計(jì)算定積分，利用定積分求面積.難點(diǎn)：定積分的概念，將實(shí)際問題化歸為定積分問題學(xué)習(xí)策略：運(yùn)用“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法，理解定積分的概念.求定積分主要是要找到被積函數(shù)的原函數(shù)，也就是說，要找到一個(gè)函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù)

2、求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算 .二、學(xué)習(xí)與應(yīng)用“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”?？茖W(xué)地預(yù)習(xí)才能使我們上課聽講更有目的性和針對(duì)知識(shí)回顧一一復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)新知識(shí)之前，看看你的知識(shí)貯備過關(guān)了嗎?常見基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1) f(x) C (C 為常數(shù))，則 f '(x) (2) f(x) xn (n 為有理數(shù))，則 f '(x) (3) f (x) sinx ,則 f '(x)(4) f (x) cosx ,貝U f '(x)(5) f(x)ex,貝Uf'(x)(6) f(x) ax,貝U f '(x)(7) f(x) lnx,貝U f'(x)(8) f

3、 (x) lOga X ,則 f '(X)_函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則設(shè)f(x) , g(x)均可導(dǎo)(1)和差的導(dǎo)數(shù)：f(x) g(x)'(2)積的導(dǎo)數(shù)：f(x) g(x)'(3)商的導(dǎo)數(shù)：f (x)(g(x) 0)g(x) 知識(shí)要點(diǎn)一一預(yù)習(xí)和課堂學(xué)習(xí)認(rèn)真閱讀、理解教材，嘗試把下列知識(shí)要點(diǎn)內(nèi)容補(bǔ)充完整，帶著自己預(yù)習(xí)的疑惑認(rèn)真聽課學(xué)習(xí)。課堂筆記或者其它補(bǔ)充填在右欄。預(yù)習(xí)和課堂學(xué)習(xí)更多知識(shí)點(diǎn)解析請(qǐng)學(xué)習(xí)網(wǎng)校資源ID: # tbjx6#233073知識(shí)點(diǎn)一：定積分的概念如果函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點(diǎn)a x0 x1 x2xn 1 xn b將區(qū)間a,b分為n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)

4、小區(qū)間xi 1,xi上任取一點(diǎn)i (i=1,2, 3，n),作nn和式 f( i) xbaf( i),當(dāng)n 時(shí)，上述和式無限趨近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)i 1i 1 nb常數(shù)叫做f(x)在區(qū)間a,b上的. 記作 即 f(x)dx=,這里，分別叫做積分下限與積分上限，叫做積分區(qū)間，叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.說明：(1)定積分的值是一個(gè)，可正、可負(fù)、可為零；(2)用定義求定積分的四個(gè)基本步驟： 知識(shí)點(diǎn)二：定積分的幾何意義設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b (a b)上連續(xù).b在a,b上，當(dāng)f (x) 0時(shí)，定積分f (x)dx在幾何上表示由曲線 y f(x)以a及直線x a,x b與x軸圍成的曲邊

5、梯形的；在a,b上，當(dāng)f(x)。時(shí)，由曲線y f(x)以及直線x a,x b與x軸圍成b的曲邊梯形位于x軸下方，定積分f(x)dx在幾何上表示曲邊梯形的；a在a,b上，當(dāng)f(x)既取正值又取負(fù)值時(shí)，曲線 y f(x)的某些部分在x軸的上 方，而其他部分在 x軸下方，如果我們將在 x軸上方的圖形的面積賦予正號(hào)，在 x軸 下方的圖形的面積賦予負(fù)號(hào)；b在一般情形下，定積分 f (x)dx的幾何意義是曲線y f(x),兩條直線 ax a,x b與x軸所圍成的各部分面積的知識(shí)點(diǎn)三：定積分的性質(zhì)(1) kf(x)dx( k 為常數(shù))ab(2) fl(x) f2(x) dx ab(3) f (x)dx(其中

6、 a c b)abb f (x)dxf (x)dx(4)利用函數(shù)的奇偶性求積分：若函數(shù)y f(x)在區(qū)(hb,b上是奇函數(shù)，則若函數(shù)yf (x)在區(qū)(0 b,b上是偶函數(shù)，則知識(shí)點(diǎn)四：微積分基本定理VI微積分基本定理(或牛頓-萊布尼茲公式)：b如果 f(x)在 a,b 上連續(xù)，且 F'(x) f(x),則 af(x)dx其中叫做f(x)的一個(gè)原函數(shù).注意：(1)求定積分主要是要找到被積函數(shù)的，也就是說，要找到一個(gè)函數(shù),它的 等于被積函數(shù).由此，求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為運(yùn)算.(2)由于F(x) c ' f(x), F(x) c也是f(x)的 函數(shù)，其中c為常數(shù). 知識(shí)點(diǎn)五：應(yīng)用

7、定積分求曲邊梯形的面積(一)如圖，由三條直線 x a, x b (a b) , x軸(即直線y g(x) 0 )及一條曲線y f (x)( f (x) 0)圍成的曲邊梯形的面積 S ;(二)如圖，由三條直線x a, x b (a b) , x軸(即直線y g(x) 0 )及一條曲線y f(x) ( f (x) 0)圍成的曲邊梯形的面積 S ;(三)由三條直線x a,x b(a c b),x軸及一條曲線y f(x)(不妨設(shè)在區(qū)間a, c上f(x) 0,在區(qū)間c,b上f (x) 0)圍成的圖形的面積 S (四)如圖，由曲線 yifi(x) y2 f2(x) fi(x) f2(x)及直線 x a,

8、x b (a b)圍成圖形的面積S .知識(shí)點(diǎn)六：定積分在物理中的應(yīng)用(一)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程S,等于其速度函數(shù)v v(t)(v(t) 0)在時(shí)間區(qū)間a,b上的,即S .(二)變力作功物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x a移動(dòng)到x b (a b),那么變力F(x)所作的功W 經(jīng)典例題-自主學(xué)習(xí)認(rèn)真分析、解答下列例題，嘗試總結(jié)提升各類型題目的規(guī)律和技巧，然后完成舉一反三。課堂筆記或者其它補(bǔ)充填在右欄。更多精彩內(nèi)容請(qǐng)學(xué)習(xí)網(wǎng)校資源ID: # jdlt 0#233073類型一：利用定積分的幾何定義求定積分例1.說明定積分2<7

9、"xdx所表示的幾何意義，并根據(jù)其意義求出定積分的值 0 -解：總結(jié)升華：舉一反三：【變式1】由y sinx, x 0, x 以及x軸圍成的圖形的面積寫成定積分是 2；【變式2】用定積分表示下列圖形的陰影部分的面積(不計(jì)算)(1)(2)【變式3】說明下列定積分所表示的幾何意義，并根據(jù)其意義求出定積分的值4(1) 0 (x 1)dx;4(2) 0 3dx;(3) (2010廣東模擬)2 44 x2dx2類型二：運(yùn)用微積分定理求定積分例2.運(yùn)用微積分定理求定積分2 2 el(1) 0xdx, 0 sinxdx,(3)1dx解：總結(jié)升華：舉一反三：【變式1】計(jì)算下列定積分的值：(1) 0

10、(sin x cosx)dx；(2) (x x2 )dx ； 1x，一、0 ,x、，(3) (cosx e )dx.【變式2】計(jì)算下列定積分的值：22(1) 0 (3x x 1)dx,(2) 2 (x sinx)dx,1(3) 0(8x x8)dx類型三：運(yùn)用積分的性質(zhì)求定積分3例3.求定積分：0 x 1dx ;解：總結(jié)升華：舉一反三： 244【變式1】設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，若0 f(x)dx 2,0 f(x)dx 3,則2 f (x)dx ;【變式2】已知函數(shù)f (x) x, 1 x 0,，計(jì)算1 f(x)dx. x2,0 x 1.1例 4.求定積分：1(xcosx 3X2)dx;解：總結(jié)升

11、華:舉一反三:【變式1】設(shè)f(x)是偶函數(shù)，若0 f (x)dx 2,則2 f (x)dx【變式2】求定積分：2 2 cos2:xdx 22類型四：利用定積分求平面圖形面積例5.求直線y 2x 3與拋物線y x2所圍成的圖形面積.解:總結(jié)升華:舉一反三:【變式1】求由曲線y19-x2 ( x 0), y x 0圍成的平面圖形的面積.44【變式2】求由曲線y x2,y x,y 2x圍成的平面圖形的面積2【變式3】求拋物線y x與直線x 2y 3 0所圍成的圖形的面積類型五：利用定積分解決物理問題例6.汽車以每小時(shí)36公里的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以勻減速度a 2米/秒2剎車，問從開始

12、剎車到停車，汽車走了多少距離？解：總結(jié)升華:舉一反三：【變式1】A,B兩地相距25千米，甲以速度仕)3t千米/小時(shí)從A到B直線行駛， 同時(shí)乙以速度V2(t) (t 5)千米/小時(shí)從B到A直線行駛，則甲、乙兩人從出發(fā)到 相遇所用的時(shí)間為()A . 60分鐘 B.100分鐘C.120分鐘D.150分鐘【變式2】由截面積為2cm2的水管往外流水，打開水管時(shí)，水流速度 _2,.一，、一，、V(t) 6t t(cm/s),那么從t 0(s)到t 6(s)這段時(shí)間內(nèi)流動(dòng)的水量是 (cm3).2t 4t 3(m/s)運(yùn)動(dòng)，則該質(zhì)【變式3】一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t 0(s)以速度V(t)點(diǎn)在時(shí)刻t 4(s)時(shí)運(yùn)

13、動(dòng)路程為()D. 8m總結(jié)與測(cè)評(píng)A . 4mB. 8 mC. 4m33m 三要想學(xué)習(xí)成績(jī)好，總結(jié)測(cè)評(píng)少不了！課后復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)不可或缺的環(huán)節(jié)，它可以幫助我們鞏固學(xué)習(xí)效果，彌補(bǔ)知識(shí)缺漏，提高學(xué)習(xí)能力?？偨Y(jié)規(guī)律和方法一一強(qiáng)化所學(xué)相關(guān)內(nèi)容請(qǐng)參看網(wǎng)校資源 ID: #tbjx13#233073（一）如何正確理解定積分的概念:abb(二) f(x)dx、|£(*)口*與| f (x)dx| 的幾何意義:baa（三）利用定積分求由兩條曲線圍成的平面圖形面積的步驟:成果測(cè)評(píng)現(xiàn)在來檢測(cè)一下學(xué)習(xí)的成果吧！請(qǐng)到網(wǎng)校測(cè)評(píng)系統(tǒng)和模擬考試系統(tǒng)進(jìn)行相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的測(cè)試。知識(shí)點(diǎn)：定積分與微積分基本定理測(cè)評(píng)系統(tǒng) 分?jǐn)?shù)： 模擬考試系統(tǒng) 分?jǐn)?shù)： 如果你的分?jǐn)?shù)在80分以下，請(qǐng)進(jìn)入網(wǎng)校資源 ID: #cgcp0#233073做基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)部分ID: #cgcp1#233073的練習(xí)，如果你 的分?jǐn)?shù)在80分以上，你可以進(jìn)行能力提升題目ID : #cgcp2#233073的測(cè)試。自我反饋學(xué)完本節(jié)知識(shí)，你有哪些新收獲？總結(jié)本節(jié)的有關(guān)習(xí)題，將其中的好題及錯(cuò)題分類整 理。如有問題，請(qǐng)到北京四中網(wǎng)校的“名師答疑”或“互幫互學(xué)”交流。我的收獲習(xí)題整理題目或題目出處所屬類型或知識(shí)點(diǎn)分析及注意問題好題錯(cuò)題注：本表格為建議樣式，請(qǐng)同學(xué)們單獨(dú)建立錯(cuò)題本，或