單因素方差分析的計(jì)算步驟

1、單因素方差分析的計(jì)算步驟假定實(shí)驗(yàn)或觀察中只有一個(gè)因素（因子）A,且A有m個(gè)水平，分別記為 A,A2,Am,在每一種水平下，做 n次實(shí)驗(yàn)，在每一次試驗(yàn)后可得一實(shí)驗(yàn)值，記做 x表示在第j個(gè)水平下的第i個(gè)試驗(yàn)值i =1,2,n; j =1,2/ m。結(jié)果如下表3.1:表3.1單因素方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表觀測值水平AA2Am1X11X12X1 m2X22X22X2mnXn1Xn2Xnm為了考察因素 A對實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否有顯著性影響，我們把因素A的m個(gè)水平A, A2,Am看成是m個(gè)正態(tài)總體，而xij i =1,2/ n； j =1,2/ m看成是取自第j總體的第i個(gè)樣品，因 此，可設(shè) xij N aj 2 ,i

2、 =1,2, n； j =1,2, m。可以認(rèn)為aj - ；j, ；j是因素A的第j個(gè)水平Aj所引起的差異。因此檢驗(yàn)因素 A的各水平之間是否有顯著的差異，就相當(dāng)于檢驗(yàn)：H 0 :印二 a2 二二 am 二.i 或者Ho ： ；1 = ；2 二二 m =0具體的分析檢驗(yàn)步驟是:（一）計(jì)算水平均值令xj表示第j種水平的樣本均值,njXijnjXj式中，Xj是第j種水平下的第i個(gè)觀察值，nj表示第j種水平的觀察值次數(shù)(二) 計(jì)算離差平方和在單因素方差分析中， 離差平方和有三個(gè)，它們分別是總離差平方和，組內(nèi)離差平方和以及組間平方和。首先，總離差平方和，用 SST代表，則，2SST 八 X (Xj -x

3、)Xij其中X,它反映了離差平方和的總體情況。n其次，組內(nèi)離差平方和，用 SSE表示，其計(jì)算公式為:SSE二 'j其中Xj反映的是水平內(nèi)部或組內(nèi)觀察值的離散狀況，即反映了隨機(jī)因素帶來的影響。最后，組間平方和，用 SSA表示，SSA的計(jì)算公式為:SSA八 ' Xj -X 八 nj 為 _x用各組均值減去總均值的離差的平方，乘以各組觀察值個(gè)數(shù)，然后加總，即得到SSA?？梢钥闯?，它所表現(xiàn)的是組間差異。其中既包括隨機(jī)因素，也包括系統(tǒng)因素。根據(jù)證明，SST, SSE, SSA之間存在著一定的聯(lián)系，這種聯(lián)系表現(xiàn)在:SST 二 SSE SSA因?yàn)椋汗ざ?Xij八、'-Xij -Xj

4、Xj=Xij _Xj !亠二 二 iXj - x 2二二伙” _ Xj Xj _ x在各組同為正態(tài)分布，等方差的條件下，等式右邊最后一項(xiàng)為零，故有，二二(xij -x)2 = a 7 (Xjj -Xj)2 亠二二(Xjx)2即SST 二 SSE SSA（三）計(jì)算平均平方用離差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。對SST來說，其自由度為n - 1,因?yàn)樗挥幸粋€(gè)約束條件，即、 （Xjj -X） =0。對SSA來說，其自由度是 m 1，這里m表示水平的個(gè)數(shù)，SSA反映的是組間的差異，它也有一個(gè)約束條件，即要求：' nj（Xj -x） = 0對SSE來說，其自由度為 n - m,因?yàn)閷γ恳?/p>

5、種水平而言，其觀察值個(gè)數(shù)為nj，該水平下的自由度為nj -1，總共有m個(gè)水平，因此擁有自由度的個(gè)數(shù)為 m（nj -1）= n-m。與離差平方和一樣，SST, SSA SSE之間的自由度也存在著關(guān)系，即n _1 二（m1） （nm）這樣對SSA，其平均平方MSA為:MSA空m -1對于SSE，平均平方MSE為：SSEMSE =n m（四）方差分析表由F分布知，F(xiàn)值的計(jì)算公式為:_ _組間方差 _ MSA組內(nèi)方差 MSE為了將方差分析的主要過程表現(xiàn)的更加清楚，通常把有關(guān)計(jì)算結(jié)果列成方差分析表如下表 3.2 :表3.2方差分析表方差來源離差平方和（SS）自由度（df）平均平方（MS）F值組間SSAm TMSAMSA/ MSE組內(nèi)SSEn mMSE總差異SSTn T（五）作出統(tǒng)計(jì)判斷對于給定的顯著性水平 ，由F分布表查出自由度