全等三角形證明專題

1、數(shù)學(xué)思維方法講義之一年級：九年級§第1講證實三角形專題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、牢記三角形的有關(guān)性質(zhì)及其判定；2、運用三角形的性質(zhì)及判定進(jìn)行有關(guān)計算與證實.【例3】4ABC中,AB=AC D為BC的中點,以 D為頂點作/ MDN = B.1如圖1當(dāng)射線DN經(jīng)過點A時,DM交AC邊于點E,不添加輔助線,寫出圖中所有與 ADE相似的三角形.2如圖2,將/MDNgg點D沿逆時針方向旋轉(zhuǎn), DM DN分別交線段 AC, AB于E, F點點【考點透視】E與點A不重合,不添加輔助線,寫出圖中所有的相似三角形,并證實你的結(jié)論.1、全等三角形的性質(zhì)與判定；2、等腰等邊三角形的性質(zhì)與判定;1 3在圖2中,假設(shè)A

2、B=AC=10 BC=12,當(dāng) DEF的面積等于 ABC的面積的時,求線段 43、直角三角形的有關(guān)性質(zhì),勾股定理及其逆定理;4、相似三角形的性質(zhì)與判定.EF的長.【精彩知識】專題一 三角形問題中的結(jié)論探索【例1】如下圖,兩塊完全相同的含30.角的直角三角形疊放在一起,且/ DAB=30.有以下四個結(jié)論： AF,BC;AD等4ACF O 為 BC的中點；AG: DE=J3: 4,其中正確結(jié)論的序號是:變式練習(xí)1 .如圖, ABD與4AEC都是等邊三角形,ABAC以下結(jié)論中：BE=DC /BOD=60 ; 3 ABOtD ACOE 正確的序號是 .考點感悟：D專題二三角形中的平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換問

3、題探索【例 2】如圖1 , RtABC中,ZACB= 90° ,CDLAB,垂足為 D. AF 平分/ CAB交 CD于點E,交CB于點F1求證：CE=CF2將圖1中的 ADE沿AB向右平移到 A' D' E'的位置,使點E'落在BC邊上, 其它條件不變,如圖2所示.試猜測：BE'與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?青證實你的結(jié)論.圖1圖2考點感悟:考點感悟:變式練習(xí)：如圖,O是正4ABC一點,OA=3 OB=4 OC=5將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中央逆時針旋轉(zhuǎn) 60° 得到線段BO ,以下結(jié)論：ABO A可以由BOC繞點B逆時針旋月轉(zhuǎn)60°

4、;得到；點O與O'的距離為4;/AOB=15 0; S四邊形 AOBO =6+36 ； SvaOC SVAOB 6+-4 其中正確的結(jié)論是【】月仁A. B . C . D .【例4】如圖1, 4ABC是等腰直角三角形,四邊形 ADEF是正方形,D> F分別在AB AC邊 上,此時 BD=CF BDL CF成立.(1)當(dāng)正方形 ADE噪點A逆時針旋轉(zhuǎn) 0 (0° V.<90° )時,如圖2, BD=CF成立嗎？假設(shè)成 立,請證實；假設(shè)不成立,請說明理由.(2)當(dāng)正方形 ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時,如圖3,延長BD交CF于點G專題三幾何動態(tài)問

5、題【例5】如圖,在 ABC中,AB= AC= 10 cn1 BC= 12 cm 點D是BC邊的中點.點 P從點B出發(fā),以a cm/s(a > 0)的速度沿BA勻速向點A運動；點Q同時以1 cm/s的速度從點D出發(fā),沿DB勻速向點B運動,其中一個動點到達(dá)端點時,另一個動點也隨之停止運動,設(shè)它們運動的時間 為t s.(1)假設(shè) a=2, ABPQABD/A 求 t 的值；(2)設(shè)點M在AC上,四邊形PQCM；平行四邊形.5右a= 2 ,求PQ的長；是否存在實數(shù)a,使得點P在/ACB的平分線上?假設(shè)存在,請求出a的值；假設(shè)不存在,請說明理由.求證：BDL CF;當(dāng)AB=4, AD12時,求線段

6、 BG的長.考點感悟:變式練習(xí)：C PD線段AB=6, C. D是AB上兩點,且 AC=DB=1 P是線段CD上一動點,在 AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF, G為線段EF的中點,點P由點C移動到點D時,G點移動的路徑長度為考點感悟:與x之間專題四幾何與函數(shù)結(jié)合問題【例6】如下圖,在形狀和大小不確定的ABC中,BG6, E、F分別是AB AC的中點,P在EF或EF的延長線上,BP交CE于D, Q在CE上且BQ平分/ CBP設(shè)BP=y , PE=x.1(1)當(dāng) X EF 時,求 S dpe : S dbc 的值； 3,1,、,一,、一,(2)當(dāng)CRCE時,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式

7、；(3)當(dāng)CR1CE時,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)CRCE ( n為不小于2的常數(shù))時,求直接 y的函數(shù)關(guān)系式.【例7】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD勺三個頂點B (1, 0), C(3, 0), D (3,. 24).以A為頂點的拋物線 y=ax+bx+c過點C.動點P從點A出發(fā),沿線段 AB向點B運動.同時 動點Q從點C出發(fā),沿線段 CD向點D運動.點P, Q的運動速度均為每秒 1個單位.運動時間為 t秒.過點P作PE! AB交AC于點E.(1)直接寫出點 A的坐標(biāo),并求出拋物線的解析式；(2)過點E作EF,AD于F,交拋物線于點 G,當(dāng)t為何值時, ACG勺面積最大？最大值為

8、多少？(3)在動點P, Q運動的過程中,當(dāng)t為何值時,在矩形ABCD包括邊界)存在點H,使以C, Q E, H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值.別交AB BC于點E, F,連接EF 如圖.1當(dāng)點E與點B重合時,點F恰好與點C重合如圖 ,求PC的長；2探究：將直尺從圖 中的位置開始,繞點 P順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點 E和點A重合時停止.在 這個過程中,請你觀察、猜測,并解答：_PFpE的值是否發(fā)生變化？請說明理由;直接寫出從開始到停止,線段圖考點感悟:【課后測試】一、選擇題：1、以下判斷正確的選項是A.有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 B.有兩邊對應(yīng)相等,且有一角為30.的兩個等腰三

9、角形全等C.有一角和一邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等D.有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等2、在平面直角坐標(biāo)系 xoy中,A 2, - 2,在y軸上確定點P 使4AOP為等到腰三角形,那么符合條件的點P共有A.2個B.3 個 C. 4 個 D.5 個二、填空題：3、在銳角三角形 ABC中,BC=4 J2 , /ABC=45 , BD平分/ ABCM N分別是BD. BC上的動點,那么 CM+MNJ最小值是 .5、在矩形ABCDh點P在AD上,AB= 2, AP= 1.將直角尺的頂點放在 P處,直角尺的兩邊分(1)(2)4、如圖,RtABC的邊BC位于直線l上,AC=J3, / ACB=90

10、, Z A=30° .假設(shè)RtABC由現(xiàn)在的位置向右滑動地旋轉(zhuǎn),當(dāng)點A第3次落在直線l上時,點A所經(jīng)過的路線的長為 結(jié)果用含有 兀的式子表示6、如圖1,將菱形紙片 ABE CDF沿對角線BD ED剪開得到 ABDF口 ECF固定 ABD 并把 ABD ECF疊放在一起.1操作：如圖2,將 ECF的頂點F固定在 ABD勺BD邊上的中點處, ECF繞點F在 BDi上方左右旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)時FC交BA于點H H點不與B點重合.FE交DA于點G G點不2與D點重合.求證：BHG9BF2操作：如圖3, 4ECF的頂點F在 ABD勺BD邊上滑動F點不與R D點重合,且CF始終經(jīng)過A,過點A作AG/

11、CE交FE于點G,連接DG探究：FNDG.請予證adef=1 - EF.吟：.EF24 =12,EF=5學(xué)生對本次課的評價：.特別滿意.滿意 .一般.不怎么樣家長意見或建議： 家長簽字：局部答案：【例3】解：1圖1中與 ADE相似的有 ABD AACID DCE例3變式：A【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),勾股定理的逆定理.【分析】正ABC AB=CB /ABC=60°.線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中央逆時針旋轉(zhuǎn) 60°得到線段BO , .BO=BO, /O' AO=60°. ./O' BA=6J/ ABO=OBA .BO

12、 A ABOG.BO A可以由BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到.故結(jié)論正確.(2) ABDFACEDADEf 證實如下: /B+/ BDF吆 BFD=180 , / EDF吆 BDF吆 CDE=180 ,又 /EDF至 B,/BFD至 CDE.AB=AC,/B=/ Co .BDFsCEDBD 二 DFCE - ED. BD=CDCD DF 目口 CD CE=,即=CE ED DF ED BO=BO , /O' AO=6C0,.OB.是等邊三角形. ,OO =OB=4 故結(jié)論 正 確.在4AQO中,三邊長為 O' A=OC=5 OO =OB=4 OA=3是一組勾股數(shù),.

13、AOO是直角三角形./AOBWAOO + /O' OB =90 0+600=150°.故結(jié)論正確.又"=/ EDF .CEDADEf BDF< ACEtD ADEFc0c1S四邊形AOBOS AOO S OBO -(3)連接AD過D點作DGL EF, DHL BF,垂足分別為 G H. AB=AC D是 BC的中點,ADL BC BD=1 BC=6 2在 RtABD中,AD2=AB"- BD2,即 AD2=102- 62,.AD=8S aabc=1?BC?AD= 1x12X8=48, 22Sadef= SaabcF X 48=12.44又 1 ?AD

14、?BD= 1?AB? DH DH 22,.BDFADEf,/DFB至 EFD. DHL BF, DGL EF, . / DHFW DGFX / DF=DF .,.DHFADGF( AAS)oAD BD 8 6 24AB 105DH=DG-.5點O旋轉(zhuǎn)至O'點.直角三角形.貝U S AOC S AOB SaOCO S COO故結(jié)論正確.如下圖,將 AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)易知 AOO是邊長為3的等邊三角形,1f-r- 、一3 4+- 4 2 3 6+4J 3.故結(jié)論錯誤.2c11S aoo 3 4+22c 3 3 c 9 33=6+.24綜上所述,正確的結(jié)論為：.應(yīng)選A.【例4】解：1 B

15、D=CF立.理由如下：ABC是等腰直角三角形,四邊形 ADEF是正方形,.AB=AC AD=AF /BACW DAF=90 ./ BADW BAO / DAC / CAFh DAF- / DACBADW CAF在 BAD和 CAF 中, AB=AC / BADW CAF(2)過點P作PHBC于E,.BADACAF (SAS. . BD=CF.四邊形PQCM；平行四邊形,(2)證實：設(shè)BG交AC于點MPM/ CQ PQ/ CM PQ=CM. BA*4CAF (已證),ABM= GCMPB: AB=CM ACo又. / BMA=CMG . BMAACMG. AB=AC PB=CM PB=PQ/ B

16、GC= BAC=90 . BDLCE過點F作F業(yè)AC于點No.在正方形ADE葉,AD=DE=2 ,AE AD2+DE222+222.1.AN=FN= AE=1.2在等腰直角 ABC中,AB=4, . CN=AC AN=3, BC AB 2 +AC 2在 RtFCN 中,tanFN 1FCN CN 3在 RtABM中,tanFCN tan ABMAMAB1.AM= AB3c c4.CM=AC AM=43BMAB 2 +AM 242+ 434 10 O3. BM/VACMGBMBACM,即CG4 10348cvCG4 10 CG=5在 RtBGC中,BG BC2 CG224 10 28 10【例5

17、】解：(1) ABC 中,AB=AC=10BC=12)D是BC的中點,.,. a=2,BP=2t,DQ=t.BQ=BD QD=6- t.BPM ABDABPBQt6 t,即-,BDAB610解得:18t二 O13B42 +424 2.1 2八1. BD=CD= BC=&2一 1 . 1 ,c ,、BE= BQ=- (6 t).2- a=4f ,2PB=5-t.,. ADL BCPE/ AD . . PR AB=BE, 一 3解得,t= 一 .2PQ=PB=1-t=竺(cm).24不存在.理由如下:5tBD,即 210.四邊形PQCW平行四邊形,PM/ CQ PQ/ CMPB: AB=C

18、M ACo. AB=AC PB=CM PB=PQ假設(shè)點P在/ACB的平分線上,那么/ PCQgPCM. PIM/ CQ,/PCQgCPM,/CPM=PCM.PM=CM,四邊形 PQCM1菱形. PQ=CQPB=CQ1產(chǎn)t)6PQ=CMPB=at, CQ=BD+QD=6+1 . . PM=CQ=6+1 AP=AB- PB=10- at ,且 at=6+t ._ _ _ _6 t 10 at. PM/ CQ PM BC=AP AE把代入得,t=-111210,化簡得：6at+5t=30.,不存在實數(shù)a,使得點P在/ACB的平分線上.【例6】【解析】平行、角平分線、等腰三角形、相似、對應(yīng)邊成比例解：

19、(1) E、F 是 AB AC中點EF/ BC EF=0.5 BC=31EP=x -EF =13. EF/ BC. DPEADBCEP B(=1： 6,拋物線的解析式為 y= - (x-1) 2+4,即y= - x2+2x+3o(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,. A (1, 4), C (3, 0),k b 一口,解得3k b一S DPEDBC =1 :36(2)延長BQ射線EF于點G EF/ BC/ G=ZGBC又 / GBC/GBP. G=/GBPPGBP=y即 EGx+y. EF/ BCS ACG S AEG直線AC的解析式為y= - 2x+6o;點 P (1, 4-t),將y=

20、4-t代入y=-2x+6中,解得點E的橫坐標(biāo)為x 1 - o2t,一,一 t2.點G的橫坐標(biāo)為1 一,代入拋物線的解析式中,可求點G的縱坐標(biāo)為4 一 .2422t2t2 * GE= (4 ) - (4-t) = t o又點A到GE的距離為-,C到GE的距離為2,22S CEG EG 221tt 12EG (2 -)=EG=t = t 2 +1.2244. AQEGAQCB. EQ Q(=EG BC=1 x+y=6 即 y= - x+6 同(2)中 QEGAQCBEQ QGEG BC=2x+y=2X 6y= - x+12N= - x+6(n - 1) 當(dāng)t=2時,SaACG的最大值為1.(3)2

21、0 f “ c t=.或 t=20 875.【考點】二次函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法,曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì),矩形【例7】解：(1) A (1, 4).由題意,設(shè)拋物線解析式為 y=a (x-1) 2+4和菱形的性質(zhì).【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可以寫出點 A得到坐標(biāo)；由頂點 A的坐標(biāo)可設(shè)該拋物線的頂點式方 程為y=a (x-1) 2+4,然后將點C的坐標(biāo)代入,即可求得系數(shù)a的值(利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式).(2)利用待定系數(shù)法求得直線 AC的方程y=-2x+6;由圖形與坐標(biāo)變換可以求得點P的坐標(biāo);拋物線過點 C (3, 0),0=a (3-1) 2+4,解得,a=-1.B

22、GPA(1, 4-t),據(jù)此可以求得點 E的縱坐標(biāo),將其代入直線 AC方程可以求得點 E或點G的橫坐標(biāo)；t2t小 L然后結(jié)合拋物線方程、圖形與坐標(biāo)變換可以求得 G曰t 、點A到GE勺距離為,C到GE的距42 t 12.離為2 5 ；最后根據(jù)三角形的面積公式可以求得S ACG S AEG S CEG = - t 2 +1 ,由二次函數(shù)的最值可以解得 t=2時,Saacg的最大值為1.(3)由于菱形是鄰邊相等的平行四邊形,所以點H在直線EF上.分CE是邊和對角線兩種情況討論即可. 20綜上所述,當(dāng)t=有或t=20 8%： 5時,在矩形ABCD(包括邊界)存在點 H,使以C,Q E, H為頂點的四邊形為菱形.5、解：(1)在矩形 ABCDfr, / A= Z D= 90 ° ,AP= 1, CD= AB= 2,貝U PB=木. Z AB曰 Z APB= 90°又. / BPC= 90° / AP中 / DPC= 90°(第 23題圖) . / ABP= / DPC. APBADCPAP PB 1'5CD = PC 即 W = PCPC= 2 -'5一 PF,(2) pg勺值不變理由：過F作FGLA