九年級(jí)數(shù)學(xué)垂徑定理

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)垂徑定理、圓心角、弧、弦、弦心距間的關(guān)系九年級(jí)數(shù)學(xué)垂徑定理、圓心角、弧、弦、弦心距間的關(guān)系人教版人教版【本講教育信息本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容： 垂徑定理、圓心角、弧、弦、弦心距間的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 理解由圓的軸對(duì)稱(chēng)性推出垂徑定理，概括理解垂徑定理及推論為“知二推三” 。 （1）過(guò)圓心， （2）垂直于弦， （3）平分弦， （4）平分劣弧， （5）平分優(yōu)弧。已知其中兩項(xiàng)，可推出其余三項(xiàng)。注意：當(dāng)知（1）（3）推（2） （4） （5）時(shí)，即“平分弦的直徑不能推出垂直于弦，平分兩弧。 ”而應(yīng)強(qiáng)調(diào)附加“平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦且平分弦所對(duì)的兩弧” 。 2. 深入理解垂徑定理及推論

2、，為五點(diǎn)共線(xiàn)，即圓心 O，垂足 M，弦中點(diǎn) M，劣弧中點(diǎn) D，優(yōu)弧中點(diǎn)C，五點(diǎn)共線(xiàn)。 （M 點(diǎn)是兩點(diǎn)重合的一點(diǎn)，代表兩層意義） C O A B M D 3. 應(yīng)用以上定理主要是解直角三角形AOM，在 RtAOM 中，AO 為圓半徑，OM 為弦 AB 的弦心距，AM 為弦 AB 的一半，三者把解直角形的知識(shí)，借用過(guò)來(lái)解決了圓中半徑、弦、弦心距等問(wèn)題。無(wú)該 RtAOM 時(shí)，注意巧添弦心距，或半徑，構(gòu)建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中點(diǎn)到弦的距離，明確由定義知只要是弓形的高，就具備了前述的（4） （2）或（5）（2）可推（1） （3） （5）或（1） （3） （4） ，實(shí)際可用垂徑定理及推論解決

3、弓形高的有關(guān)問(wèn)題。 5. 圓心角、弧、弦、弦心距四者關(guān)系定理，理解為：（1）圓心角相等， （2）所對(duì)弧相等， （3）所對(duì)弦相等， （4）所對(duì)弦的弦心距相等。四項(xiàng)“知一推三” ，一項(xiàng)相等，其余三項(xiàng)皆相等。源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性。即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖象完全重合。 ( )( )( )( )1234 O B M A B M A 6. 應(yīng)用關(guān)系定理及推論，證角等，線(xiàn)段等，弧等，等等，注意構(gòu)造圓心角或弦心距作為輔助線(xiàn)。 7. 圓心角的度數(shù)度數(shù)與弧的度數(shù)度數(shù)等，而不是角等于弧。二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 垂徑定理及其推論，圓心角，弧，弦，弦心距關(guān)系定理及推論的應(yīng)用?！镜湫屠}典型例題】 例 1.

4、已知：在O 中，弦 AB12cm，O 點(diǎn)到 AB 的距離等于 AB 的一半，求：AOB 的度數(shù)和圓的半徑。 點(diǎn)悟：點(diǎn)悟：本例的關(guān)鍵在于正確理解什么是 O 點(diǎn)到 AB 的距離。 解：解：作 OEAB，垂足為 E，則 OE 的長(zhǎng)為 O 點(diǎn)到 AB 的距離，如圖所示： O A E B OEABcm1212126 () 由垂徑定理知：AEBEcm 6 AOE、BOE 為等腰直角三角形 AOB90 由AOE 是等腰直角三角形 OAAE6 26， 即O 的半徑為6 2cm 點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：作出弦（AB）的弦心距（OE） ，構(gòu)成垂徑定理的基本圖形是解決本題的關(guān)鍵。 例 2. 如圖所示，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦

5、AB，交小圓于 C、D 兩點(diǎn)，設(shè)大圓和小圓的半徑分別為a，b。 求證：ADBDab22 A C E D B O 證明：證明：作 OEAB，垂足為 E，連 OA、OC 則OAaOCb， 在中，Rt AOEAEOAOE222 在中，Rt COECEOCOE222 AECEOAOEOCOE222222 OAOCab2222即AECEAECEab22BDACEDCE,ADEDAECEAEBDACCEAE即22baBDAD 點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：本題應(yīng)用垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，再由勾股定理解題，很巧妙。 例 3. O 的直徑為 12cm，弦 AB 垂直平分半徑 OC，那么弦 AB 的長(zhǎng)為（ ） A. B. 6c

6、mC. D. 3 3cm6 3cm12 3cm（2001 年遼寧） 解：解：圓的半徑為 6cm，半徑 OC 的一半為 3cm，故弦的長(zhǎng)度為 2 632 3 216 32222()cm 故選 C。 例 4. 如圖所示，以 O 為圓心，AOB120，弓形高 ND4cm，矩形 EFGH 的兩頂點(diǎn) E、F 在弦AB 上，H、G 在上，且 EF4HE，求 HE 的長(zhǎng)。AB D H M G A B O E F N 解：解：連結(jié) AD、OG AODAOB121212060 OAOD AOD 為等邊三角形 ODAN NOND4cm ODOG8cm 設(shè)，則HExMGxMOxcm24， 在中，由得：Rt OMGM

7、GOMOG222 xx42822 解得：（舍去）xx121254 ， HE 的長(zhǎng)為cm125 點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：借助幾何圖形的性質(zhì)，找出等量關(guān)系，列出方程求解，這是解決幾何計(jì)算題的常用方法。 例 5. 已知，AB 是O 的弦，半徑 OCAB 于點(diǎn) D，且，則 DC 的長(zhǎng)為（ ABcmOCcm85，） A. 3cmB. 2.5cmC. 2cmD. 1cm（2001 年北京東城區(qū)） 解：解：OD 54322 DCcm532 () 故選 C。 常見(jiàn)錯(cuò)誤：將 DC 錯(cuò)算為 OD，即算出 OD 就不再計(jì)算 DC 了，從而錯(cuò)選 A。這種錯(cuò)誤十分常見(jiàn)，一定要注意慎重的計(jì)算完全。 例 6. 在O 中，那么（ ）AB

8、AC2 A. B. ABACABAC 2 C. D. ABAC 2ABAC 2 解：解：如圖所示，連結(jié) BC。 C A B O ABAC2 ACBC ACBC 在ABC 中，ABACBC AB2AC 故選 D。 點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：本題考察弦、弧、圓心角之間的關(guān)系，要正確理解三者之間的關(guān)系定理。 例 7. 已知O 的半徑是 10cm，是 120，那么弦 AB 的弦心距是（ ）AB A. 5cmB. C. D. 5 3cm10 3cm523cm A B O C 解：解：如圖所示，AOB120OAcm 10 AOCAOB1260 在 RtACO 中， COAOAOCcmcos()10125 故選 A。 點(diǎn)

9、撥：點(diǎn)撥：本題考察弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系，要正確構(gòu)造三角形，靈活運(yùn)用。 例 8. 等腰ABC 的頂角 A120，腰 ABAC10，ABC 的外接圓半徑等于（ ） A. 20B. 15C. 10D. 5 解：解：如圖所示，連結(jié) OA、OB A B C O D ABAC10 ABAC 由垂徑定理的推論，得 OA 垂直平分 BC，垂足為 D 又BAC120 ABCACB30 BAO60 又OAOB AOB 是等邊三角形 半徑 OAOBAB10 故選 C。 點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：垂徑定理及其推論是很重要的性質(zhì)，主要解題思路是構(gòu)造特殊的三角形，然后應(yīng)用定理解題。 例 9. 點(diǎn) P 為半徑是 5 的O 內(nèi)

10、一點(diǎn)，且 OP3，在過(guò)點(diǎn) P 的所有弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的弦一共有（ ） A. 2 條B. 3 條C. 4 條D. 5 條（2002 年山東） 解：解：選 C。 點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故與 P 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)有一個(gè)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)有 2 個(gè)。因此，長(zhǎng)度為整數(shù)弦一共有 4 條。 例 10. 如圖所示，M、N 分別是O 的弦 AB、CD 的中點(diǎn)，ABCD。 求證：AMNCNM A C M N B D O 點(diǎn)悟：點(diǎn)悟：由弦 ABCD，想到利用弧，圓心角、弦、弦心距之間的關(guān)系定理，又 M、N 分別為AB、CD 的中點(diǎn)，如連結(jié) OM、ON，則有 OMON，OMAB，ONCD，故易得結(jié)論。 證明

11、：證明：連結(jié) OM、ON O 為圓心，M、N 分別為弦 AB、CD 的中點(diǎn) OMAB，ONCD ABCD OMON OMNONM AMN90OMN CNM90ONM AMNCNM 點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：有弦中點(diǎn)，常用弦心距利用垂徑定理及圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系定理來(lái)證題。 例 11. 在與中，分別有 40的和，那么：O1O2MNM N11 （1）與相等嗎？MNM N11 （2）與相等嗎？MO N1M O N121 錯(cuò)解：（1）因?yàn)榕c都是 40的弧MNM N11 所以MNM N11 （2）與相等，所以MNM N11M O NM O N11121 常見(jiàn)錯(cuò)誤：（1）誤以為弧的度數(shù)相等弧亦相等，兩弧相等必

12、須是在同圓或等圓的前提下，看它們是否“重合” ；（2）應(yīng)該知道圓心角是角，它的大小是可以用度數(shù)來(lái)衡量的，度數(shù)相同的角就相等?？梢?jiàn)它不受所對(duì)的弧相等與否來(lái)制約。 正解：正解：（1）不一定相等。 （2）相等。【模擬試題模擬試題】 （答題時(shí)間：30 分鐘）一. 選擇題。 1. 下列命題中，正確的命題是（ ） A. 平分一條弦的直徑，垂直平分這條弧所對(duì)的弦 B. 平分弦的直徑垂直于弦，并平分弦所對(duì)的弧 C. 在O 中，AB、CD 是弦，若，則 ABCDACBD D. 圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是圓的每一條直徑 2. 已知 P 為O 內(nèi)一點(diǎn)，且 OP3cm，如果O 的半徑是 4cm，那么過(guò) P 點(diǎn)的最短弦等

13、于（ ） A. 2cmB. 3cmC. cmD. cm72 7 3. 弓形弦長(zhǎng) 24，弓形高為 8，則弓形所在圓的直徑是（ ） A. 10B. 26C. 13D. 5 4. 在直徑是 10cm 的O 中，為 60，則弦 AB 的弦心距是（ ）AB A. B. C. D. 10 3cm1523cm5 3cm523cm 5. AB、CD 分別為大小不同圓的弦，共 ABCD，那么的關(guān)系是（ ）ABCD、 A. B. ABCDABCD C. D. 不確定ABCD二. 填空題。 6. 已知 AB 為O 直徑，AC 為弦，ODBC 交 AC 于 D，AC6cm，則 DC_。 7. 直角三角形外接圓的圓心在

14、_，它的半徑為_(kāi)一半。 8. 若一個(gè)圓經(jīng)梯形 ABCD 四個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)梯形是_梯形。 9. 弦 AB 把O 分 3：7，則AOB_。 10. 若O 半徑是 4，P 在O 內(nèi)，PO2，則過(guò) P 點(diǎn)的最短的弦所對(duì)劣弧是_度。 11. O 中，弦 AB 垂直直徑 CD 于點(diǎn) P，半徑 OA4cm，OP2cm，則AOB_，ADC_，度數(shù)為_(kāi)，ADC 周長(zhǎng)為_(kāi) cm。BD三. 解答題。 12. 如圖，O 的兩弦 AB，CD 互相垂直于 H，AH4，BH6，CH3，DH8，求O 半徑。 C A H B O D 13. 已知：如圖，C 為O 直徑 AB 上一點(diǎn)，過(guò) C 點(diǎn)作弦 DE，使 CDCO，若度數(shù)為 50，求AD的度數(shù)。BE D B O C A E 試題答案試題答案一. 選擇題。 1. A2. D3. B4. D5. D二. 填空題。 6. 3cm 7. 斜邊中點(diǎn)，斜邊長(zhǎng) 8. 等腰 9.