數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題3__三角函數(shù)與平面向量

1、 專題一 三角函數(shù)與平面向量高考中，三角函數(shù)主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力、靈活運(yùn)用能力，在客觀題中，突出考察基本公式所涉及的運(yùn)算、三角函數(shù)的圖像基本性質(zhì)，尤其是對(duì)角的范圍及角之間的特殊聯(lián)系較為注重。解答題中以中等難度題為主，涉及解三角形、向量及簡(jiǎn)單運(yùn)算。三角函數(shù)部分，公式較多，易混淆，在運(yùn)用過(guò)程中，要觀察三角函數(shù)中函數(shù)名稱的差異、角的差異、關(guān)系式的差異，確定三角函數(shù)變形化簡(jiǎn)方向。平面向量的考察側(cè)重平面向量的數(shù)量積以及平面向量的平行、垂直關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算。向量是數(shù)學(xué)中的重要概念，并和數(shù)一樣，也能運(yùn)算。但同時(shí)，平面向量的工具性不容忽視。以向量的平行、垂直、所成角為載體，與三角、解析幾何、不等式等知識(shí)點(diǎn)的綜

2、合是我們值得注意的方向。關(guān)于三角向量命題方向：（1）三角函數(shù)、平面向量有關(guān)知識(shí)的運(yùn)算；（2）三角函數(shù)的圖像變換；（3）向量與三角的綜合運(yùn)用及解三角形。（4）與其它知識(shí)的結(jié)合，尤其是與解析幾何的結(jié)合。小題大都以考察基本公式、基本性質(zhì)為主，解答題以基礎(chǔ)題為主，中檔題可能有所涉及，壓軸題可能性不大。1、同角的三角函數(shù)關(guān)系：平方關(guān)系；倒數(shù)關(guān)系；商數(shù)關(guān)系 2、誘導(dǎo)公式可以概括為一句口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限。誘導(dǎo)公式用角度和弧度制表示都成立，記憶方法可以概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“變”與“不變”是相對(duì)于對(duì)偶關(guān)系的函數(shù)而言的，sin與cos對(duì)偶，“奇”、“偶”是對(duì)誘導(dǎo)公式中+的整數(shù)k來(lái)講的，象限

3、指+中，將看作銳角時(shí)，+所在象限，如將cos(+)寫(xiě)成cos（+），因?yàn)?是奇數(shù)，則“cos”變?yōu)閷?duì)偶函數(shù)符號(hào)“sin”，又+看作第四象限角，cos(+)為“+”，所以有cos(+)=sin。3、兩角和與差的三角函數(shù)（1）和（差）角公式（2）二倍角公式：；（3）經(jīng)常使用的公式升（降）冪公式：、；輔助角公式：（由具體的值確定）；正切公式的變形：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；切割化弦，異名化同名，異角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化簡(jiǎn)要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù)。三角函數(shù)的求值類型有三類

4、（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。4、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，函數(shù)最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖

5、象的對(duì)稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心由ysinx的圖象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開(kāi)這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無(wú)論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將ysinx的圖象向左(0)或向右(0平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(0)，便得ysin(x)的圖象途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將ysinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(0)，再沿x軸向左

6、(0)或向右(0平移個(gè)單位，便得ysin(x)的圖象。由yAsin(x)的圖象求其函數(shù)式：給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin（x+）的題型，有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)（，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置。對(duì)稱軸與對(duì)稱中心：的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；對(duì)于和來(lái)說(shuō)，對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系。求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、的正負(fù)利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過(guò)恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法五點(diǎn)法作y=A

7、sin（x+）的簡(jiǎn)圖：五點(diǎn)取法是設(shè)x=x+，由x取0、2來(lái)求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖。5、解三角形正、余弦定理正弦定理（是外接圓直徑）注：；。余弦定理：等三個(gè)；注：等三個(gè)。幾個(gè)公式:三角形面積公式：；內(nèi)切圓半徑r=；外接圓直徑2R=在使用正弦定理時(shí)判斷一解或二解的方法：ABC中，6、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問(wèn)題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過(guò)程中，借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋，有時(shí)甚至更簡(jiǎn)捷。向量運(yùn)算中的基本圖形：向量加減法則：三角形或平行四邊形；實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義共線；定比分點(diǎn)基本圖形起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。7、 向

8、量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語(yǔ)言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn) 算圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法+=-=記=(x1,y1)，=(x1,y2)則+=(x1+x2,y1+y2) -=（x2-x1,y2-y1）+=實(shí)數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個(gè)向量的數(shù)量積=|cos記=(x1,y1), =(x2,y2)則=x1x2+y1y28、 運(yùn)算律加法：+=+，(+)+=+(+)實(shí)數(shù)與向量的乘積：(+)=+；(+)=+，()

9、=() 兩個(gè)向量的數(shù)量積：=；()=()=()，(+)=+說(shuō)明：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算，例如()2=9、 重要定理、公式 （1）平面向量基本定理；如果+是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)數(shù)數(shù)1，2，滿足=1+2，稱1+2為，的線性組合。根據(jù)平面向量基本定理，任一向量與有序數(shù)對(duì)(1,2)一一對(duì)應(yīng)，稱(1,2)為在基底，下的坐標(biāo)，當(dāng)取，為單位正交基底，時(shí)定義(1，2)為向量的平面直角坐標(biāo)。向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x，y)，則

10、=（x,y）；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1) （2）兩個(gè)向量平行的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：若，則=坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè)=（x1,y1），=(x2,y2)，則(x1,y1)=(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0 （3）兩個(gè)向量垂直的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：=0坐標(biāo)語(yǔ)言：設(shè)=(x1,y1), =(x2,y2)，則x1x2+y1y2=0【名師點(diǎn)睛】給角求值問(wèn)題，利用誘導(dǎo)公式找到給定角和常見(jiàn)特殊角的聯(lián)系求出值；對(duì)于給值求值的問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是“齊次式”，求值時(shí)通常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，常數(shù)化為正弦和余弦的性質(zhì)，再把正弦

11、化為正切函數(shù)的形式.考點(diǎn)二 有關(guān)三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題例3：已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；（）若，求的值。解：（1）由，得所以函數(shù)的最小正周期為因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1（）由（1）可知又因?yàn)?，所以由，得從而所以【名師點(diǎn)睛】(1)求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三角函數(shù)的奇偶性，往往是在定義域內(nèi)，先化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，盡量化為yAsin(x)B的形式，然后再求解(2)對(duì)于形如yasin xbcos x型的三角函數(shù)，要通過(guò)引入輔助角化為ysin(x)(cos ，sin )的形式來(lái)求例4：設(shè)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）求

12、的解析式，并求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間（）若，其中是面積為的銳角的內(nèi)角，且，求和的長(zhǎng)解：（）函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) .4分函數(shù)的最小正周期.5分由可得的調(diào)遞增區(qū)間為7分（）因?yàn)?即 9分是面積為的銳角的內(nèi)角， .10分 .12分由余弦定理得： .13分【名師點(diǎn)睛】求函數(shù)yAsin(x)(或yAcos(x)，或yAtan(x)的單調(diào)區(qū)間(1)將化為正(2)將x看成一個(gè)整體，由三角函數(shù)的單調(diào)性求解例5：已知函數(shù).()求函數(shù)的最小正周期；()若函數(shù)在-，上的最大值與最小值之和為，求實(shí)數(shù)的值. 解：（）4分函數(shù)的最小正周期6分()，當(dāng)，即時(shí)，8分當(dāng)，即時(shí)， 10分由題意，有12分【名師點(diǎn)睛】求三角函數(shù)

13、式最值的方法(1)將三角函數(shù)式化為yAsin(x)B的形式，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解(2)將三角函數(shù)式化為關(guān)于sin x，cos x的二次函數(shù)的形式，進(jìn)而借助二次函數(shù)的性質(zhì)求解.考點(diǎn)三 三角函數(shù)的圖象變換例6：為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（A）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 （B）向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位（C）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 （D）向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位解=，=，所以將的圖像向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到的圖像，故選B.【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)圖象的變換規(guī)則是：平移時(shí)“左加右減，上加下減”，伸縮的倍數(shù)是，求三角函數(shù)的最值，一般要把三角函數(shù)化為f(x)=Asin(x+)+B的形式，有時(shí)還要注意x+的取值范圍例7：已

14、知函數(shù)的部分圖象如下圖所示：（1）求函數(shù)的解析式并寫(xiě)出其所有對(duì)稱中心；（2）若的圖象與的圖象關(guān)于點(diǎn) P（4，0）對(duì)稱，求的單調(diào)遞增區(qū)間解：（1）由圖可得。A=，所以，2分則此時(shí)，將點(diǎn)代入， 可得.4分； 對(duì)稱中心為 7分（2）由的圖角與的圖象關(guān)于點(diǎn) P（4，0）對(duì)稱，得,9分=,11分令.即單調(diào)遞增區(qū)間為13分【名師點(diǎn)睛】本題三角函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離正好是半個(gè)周期，從而確定參數(shù)，由最高點(diǎn)和最低點(diǎn)可確定振幅，代入某一點(diǎn)的坐標(biāo)到三角函數(shù)解析式可以確定初相；求給定區(qū)間上的三角函數(shù)的最值（或值域）問(wèn)題，一般思路是求的范圍，并作為一個(gè)整體，借助基本函數(shù)解決.由圖象求解析式時(shí),“

15、找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)”的確定很重要,盡量使A取正值.考點(diǎn)四 三角恒等變換例8：的值等于（ ）ABCD【解析】原式=，故選A。例9：若，是第三象限的角，則(A) (B) (C) 2(D) -2【名師點(diǎn)睛】給值求值、給值求角問(wèn)題. 發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”；尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系；合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化.例11：求值：【解析】原式【名師點(diǎn)睛】合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化.例12：已知, () 求的值；() 求的值.解:（）因?yàn)?又,所以（）根據(jù)（），得8分而,且,1故=【名師點(diǎn)睛】善于觀察條件中的角與欲求式中角的內(nèi)在聯(lián)

16、系，整體運(yùn)用條件中角的函數(shù)值可使問(wèn)題簡(jiǎn)化角的常見(jiàn)變換：2()，()()考點(diǎn)五 解三角形及實(shí)際應(yīng)用例13：在等比數(shù)列。 （）求的值；()若的值。解：（）依題意，由正弦定理及 ()由由（舍去負(fù)值）從而，由余弦定理，得代入數(shù)值，得解得【名師點(diǎn)睛】正弦定理、余弦定理都體現(xiàn)了三角形的邊角關(guān)系，解題時(shí)要根據(jù)具體題目合理選用，有時(shí)還需要交替使用例14：如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？解：由題意

17、知AB5(3)(海里)，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB中，由正弦定理得，DB10(海里)，又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcos DBC3001 20021020900，CD30(海里)，則需要的時(shí)間t1(小時(shí))答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)【名師點(diǎn)睛】將所求問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)或多個(gè)三角形問(wèn)題中運(yùn)用解三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為三角形中的已知元素，然后解三角形求之例15：。，輪船位于港口O北偏西且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時(shí)的航行速

18、度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小船沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇。（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由?！窘馕觥咳鐖D，由（1）得而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，故輪船與小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，設(shè)，OD=，由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為和，所以，解得，從而值，且最小值為，于是當(dāng)取得最小值，且最小值為。此時(shí)，在中，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸?/p>

19、偏東，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇?！久麕燑c(diǎn)睛】應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題需要下列四步：(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)，如坡度、仰角、俯角、視角、方位角等；(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出； (3)將所求問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過(guò)合理運(yùn)用正、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解(4)檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案考點(diǎn)六 向量的概念、向量的運(yùn)算、向量的基本定理例16：如圖，在四邊形ABCD中，則的值為（ ） A.2 B. C.4 D.解： 【名師點(diǎn)睛】:本題考查向量與實(shí)數(shù)的積，注

20、意積的結(jié)果還是一個(gè)向量，向量的加法運(yùn)算，結(jié)果也是一個(gè)向量，還考查了向量的數(shù)量積，結(jié)果是一個(gè)數(shù)字.例17： 已知向量，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)（）若 且 ，求向量與的夾角（）當(dāng)實(shí)數(shù) 變化時(shí)，求的最大值解：（）設(shè)它們的夾角為，則=，故（）=所以當(dāng)時(shí)，原式的最大值是；當(dāng)時(shí)，原式的最大值是【名師點(diǎn)睛】本題是平面向量和三角函數(shù)的交匯問(wèn)題，著重考查了根據(jù)圖象確定函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而確定圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的模、兩向量的夾角等知識(shí)考點(diǎn)七 向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題例18：已知向量，其中0，且，又的圖像兩相鄰對(duì)稱軸間距為.()求的值；() 求函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間.解： () 由題意 由題意，函數(shù)周期為3，又0，；() 由

21、()知 又x，的減區(qū)間是.【名師點(diǎn)睛】：向量與三角函數(shù)結(jié)合是高考命題的一大熱點(diǎn)，在解決有關(guān)向量的平行、垂直問(wèn)題時(shí)，先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，再利用平行、垂直的充要條件即可簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程例19：解：(1)由于，所以= =0，即4sin(+)-8cos(+)=0，所以tan=2. (2)因?yàn)?(sin+cos，4cos-4sin)，所以 =sin2+2sincos+cos2+16cos2-32cossin+16sin2=17-30sincos=17-15sin2.所以2的最大值為32，所以|的最大值為.(3)由=16，得sinsin=16coscos，即4cos4cos-sinsin=0，所以.【名師點(diǎn)

22、睛】：此題主要考查向量的模、兩向量平行和垂直的充要條件、向量的和、差、數(shù)乘、數(shù)量積等平面向量的基本概念和基本運(yùn)算，同時(shí)考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦公式、兩角和的正弦與余弦公式，具有較強(qiáng)的綜合性解決這類綜合性問(wèn)題，除了正確理解和掌握相關(guān)的知識(shí)以外，還需要具有較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力和推理論證能力熟練地掌握平面向量的四種運(yùn)算、向量的模以及兩向量平行與垂直的充要條件這些平面向量的核心內(nèi)容，是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵例20：已知中的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，定義向量，且（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）如果，求的面積的最大值【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)、三角形和平面向量是高考高頻題，綜合性強(qiáng)，但難度不大，考查的都是基礎(chǔ)

23、知識(shí)和基本運(yùn)算.以三角形為載體，以向量為工具，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值是高考熱點(diǎn).例21：已知點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（）若,求的值；（）若實(shí)數(shù)滿足,求的最大值?！久麕燑c(diǎn)睛】：向量與三角函數(shù)的綜合，實(shí)質(zhì)上是借助向量的工具性。（1）解決這類問(wèn)題的基本思路方法是將向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算；（2）常用到向量的數(shù)乘、向量的代數(shù)運(yùn)算，以及數(shù)形結(jié)合的思路。考點(diǎn)八.向量與函數(shù)問(wèn)題的交匯例22：已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在實(shí)數(shù)k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，試求函數(shù)的關(guān)系式kf(t)；(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論，確定kf(t)的單調(diào)區(qū)間.解：（1）法一：由題意知x(

24、,), y(tk，tk)，又xy故x y（tk）(tk)0.整理得：t33t4k0，即kt3t. 法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t (2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（，1）和（1，）.【名師點(diǎn)睛】：第1問(wèn)中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見(jiàn)的方法：一是先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得兩個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過(guò)程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達(dá)到

25、同樣的求解目的（但運(yùn)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化，值得注意）。第2問(wèn)中求函數(shù)的極值運(yùn)用的是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識(shí)交匯點(diǎn)處的綜合運(yùn)用.例23：向量滿足，.(1)求關(guān)于k的解析式；(2)請(qǐng)你分別探討和的可能性,若不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由,若可能,求出k的值；(3)求與夾角的最大值. 【名師點(diǎn)睛】：此題主要考查向量的模、兩向量平行和垂直的充要條件、向量的和、差、數(shù)乘、數(shù)量積等平面向量的基本概念和基本運(yùn)算熟練地掌握平面向量的四種運(yùn)算、向量的模以及兩向量平行與垂直的充要條件這些平面向量的核心內(nèi)容，是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵三角函數(shù)1要區(qū)別正角、負(fù)角、零角、銳角、鈍角、區(qū)間角、象限角、終邊相同角的概念頭腦中要有一根弦：角的范圍已

26、經(jīng)擴(kuò)展了，系列角如何表示，相關(guān)角如何表示。2在已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意題設(shè)中角的范圍，并對(duì)不同的象限分別求出相應(yīng)的值在應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡(jiǎn)、求值時(shí)，應(yīng)注意公式中符號(hào)的選取3單位圓中的三角函數(shù)線，是三角函數(shù)的一種幾何表示，利用三角函數(shù)線進(jìn)行求角和解三角不等式，有時(shí)候會(huì)更簡(jiǎn)單。4要善于將三角函數(shù)式盡可能化為只含一個(gè)三角函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)式”，或者換元后成為一個(gè)初等函數(shù)式（換元后注意定義域的確定），進(jìn)而可求得某些復(fù)合三角函數(shù)的最值、最小正周期、單調(diào)性等對(duì)函數(shù)式作恒等變形時(shí)需特別注意保持定義域的不變性5函數(shù)的單調(diào)性是在給定的區(qū)間上考慮的，只有屬于同一單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)函

27、數(shù)值才能由它的單調(diào)性來(lái)比較大小，要注意單調(diào)區(qū)間是一個(gè)連續(xù)區(qū)間。6三角函數(shù)很好地體現(xiàn)了對(duì)稱性和周期性的關(guān)系，要把這種關(guān)系拓展到一般函數(shù)。對(duì)稱性用處：對(duì)稱軸和最值對(duì)應(yīng),對(duì)稱點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)應(yīng).7熟練三角函數(shù)圖象的作圖方法，注意定義域有限制的作圖訓(xùn)練。通過(guò)作圖去體驗(yàn)和鞏固圖象間的變換關(guān)系。8熟悉公式的記憶和運(yùn)用（1）誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號(hào)看象限；（2）兩角和差的正弦、余弦、正切公式的正面運(yùn)用和逆用；（3）倍角公式以及變形，體會(huì)降冪和和差化積的意圖；（4）合一變形:asinx+bsinx=。但要控制難度，限制在是特殊角的范圍內(nèi)。提醒:一些常見(jiàn)的變形技巧:(1)化切為弦；(2)遇公因式提取公因式;(3)湊

28、角(不要盲目用一些公式展開(kāi),關(guān)鍵是看已知角和所求角有沒(méi)有特殊關(guān)系。比如相差180度,90度等)9關(guān)注三角函數(shù)在三角形中的應(yīng)用，結(jié)合平面幾何的性質(zhì)尋找邊角關(guān)系，要特別重視正弦定理和余弦定理在解三角形中的計(jì)算，掌握三角形面積公式的多種計(jì)算方法。三角函數(shù)這部分內(nèi)容在高考中的難度要求是不高的，所以在復(fù)習(xí)的時(shí)候要控制難度，但由于公式多，性質(zhì)復(fù)雜，變形有一定的技巧，所以要花較多的時(shí)間加強(qiáng)訓(xùn)練，學(xué)習(xí)時(shí)注意化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想的滲透，注意易錯(cuò)點(diǎn)。平面向量1透徹理解向量的概念。向量概念的兩大要素“方向和長(zhǎng)度”使向量既有“形”又有“數(shù)”的特征，既聯(lián)系幾何又聯(lián)系代數(shù)，是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)，是數(shù)形結(jié)合的重

29、要載體。要抱著這樣的觀點(diǎn)去學(xué)習(xí)向量知識(shí)。2先從向量的幾何特征進(jìn)行學(xué)習(xí)，包括向量相等，向量共線的概念，平面向量的基本定理，以及向量的加減、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積等運(yùn)算的幾何表示，目的是給向量建立一個(gè)系統(tǒng)的幾何體系。3向量的坐標(biāo)運(yùn)算使得幾何問(wèn)題可以通過(guò)代數(shù)運(yùn)算加以解決，在對(duì)向量的幾何特征掌握透徹的前提下，理解記憶相關(guān)公式。如：向量共線、垂直的充要條件，向量的數(shù)量積運(yùn)算，線段定比分點(diǎn)公式、平移公式等。4向量的數(shù)量積運(yùn)算是平面向量的重要內(nèi)容，它與實(shí)數(shù)之間積的運(yùn)算既有區(qū)別又聯(lián)系，要辨別清楚。向量的數(shù)量積運(yùn)算是采取幾何運(yùn)算公式還是坐標(biāo)運(yùn)算公式，要甄別清楚；兩個(gè)公式同時(shí)運(yùn)用，又可構(gòu)造出一個(gè)等式。要會(huì)靈

30、活應(yīng)用向量的數(shù)量積公式求向量的模和兩點(diǎn)間的距離。5要把平面幾何的性質(zhì)、定理遷移到平面向量來(lái)，使得平面向量的幾何推導(dǎo)成為可能，但題目的難度要有所控制。如：在平行四邊形中，若，則，即菱形模型。若，則，即矩形模型。在中，是的外心；一定過(guò)的中點(diǎn)；通過(guò)的重心；，是的重心；，是的垂心；通過(guò)的內(nèi)心；則是的內(nèi)心；1、設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且3+3-3=4bc .() 求sinA的值；()求的值.解：（）由余弦定理得又故（）原式2、在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且（）求的大??；（）若，試判斷的形狀.解：（）由已知，根據(jù)正弦定理得即由余弦定理得故（）由（）得又，得因?yàn)?，故所以是等腰的鈍角三角形。3

31、、在ABC中，。（）證明B=C：（）若=-，求sin的值。解（）證明：在ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因?yàn)?，從而B(niǎo)-C=0. 所以B=C.（）由A+B+C=和（）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.又02B,于是sin2B=.從而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=.所以4、已知函數(shù)。(1) 當(dāng)m=0時(shí)，求在區(qū)間上的取值范圍；(2) 當(dāng)時(shí)，求m的值。解：（1）當(dāng)m=0時(shí)， ，由已知，得從而得：的值域?yàn)椋?）化簡(jiǎn)得：當(dāng)，得：，代入上式，m=-2.5、（）證明兩角和的余弦公式； 由推導(dǎo)兩角

32、和的正弦公式.（）已知ABC的面積，且，求cosC.解：(1)如圖，在執(zhí)教坐標(biāo)系xOy內(nèi)做單位圓O，并作出角、與，使角的始邊為Ox，交O于點(diǎn)P1，終邊交O于P2；角的始邊為OP2，終邊交O于P3；角的始邊為OP1，終邊交O于P4. 則P1(1,0),P2(cos,sin)，P3(cos(),sin(),P4(cos(),sin()由P1P3P2P4及兩點(diǎn)間的距離公式，得cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2展開(kāi)并整理得：22cos()22(coscossinsin)cos()coscossinsin4分由易得cos()sin,sin()cossin()cos()cos(

33、)() cos()cos()sin()sin() sincoscossin6分(2)由題意，設(shè)ABC的角B、C的對(duì)邊分別為b、c則SbcsinAbccosA30 A(0, ),cosA3sinA又sin2Acos2A1，sinA,cosA由題意，cosB,得sinBcos(AB)cosAcosBsinAsinB 故cosCcos(AB)cos(AB)12分purpose is help construction personnel learning fire, and fire, and refuge, and dangerous goods transfer, various security evacuation knowledge and should method, improve construction personnel on fire, and explosion occurred Shi of psychological bear capacity and strain force, once occur