2020年泰州市高三數(shù)學(xué)5月二模試卷附答案解析

1、2020年泰州市高三數(shù)學(xué)5月二模試卷(滿分160分，考試時(shí)間120分鐘)2020. 05參考公式：錐體的體積公式：V = gsh,其中S為錐體的底面積，h為高.一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.1 .已知集合 A = 1 , 2, B = 2, 4, 8,則 AUB =.2 .若實(shí)數(shù)x, y滿足x+yi = 1 + (x y)i(i是虛數(shù)單位)，則xy =.3 .如圖是容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間6,18)內(nèi)的頻數(shù)為 While I<5I-I + 2S1 + 3End WhilePrint S (第 4 題)4 .根據(jù)如圖所示的偽代碼，可得輸出

2、 S的值為.225 .若雙曲線b2=1(a>0, b>0)的一條漸近線的方程為y = 2x,則該雙曲線的離心率為6 .將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有 1, 2, 3, 4, 5, 6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋 擲2次，這兩次出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)分別記為x, v,則|xy|=1的概率是.7 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離是它到y(tǒng)軸距離的3倍, 則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.8 .我國古代數(shù)學(xué)名著增刪算法統(tǒng)宗中有這樣一首數(shù)學(xué)詩：“三百七十八里關(guān)，初日健步不 為難.次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān). "它的大意是：有人要到某關(guān)口，路程為 378里，第

3、一天 健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到達(dá)目的地.那 么這個(gè)人第一天走的路程是 里.9 .若定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x + 4)=f(x) ,、1) = 1,則f(6) + f(7) + f(8)的值為.1110 .將半徑為R的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面.若圓錐的體積為9v3n，則R=x + a, x> a,11.若函數(shù)f(x)= 2只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是x2 1, x<a12 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn) A(x1，y。，B(x2, y2)在圓O: x2+y2=4上，且滿足xx2 + y1y2= 2,則

4、x1+x2+y1 +y2 的最小值是 .，.一.1. 一。 1之 一13 .在銳角二角形ABC中，點(diǎn)D, E, F分別在邊AB, BC, CA上.若AB=3AD, AC =入AF 且BC ED = 2EF ED = 6, |ED|=1,則實(shí)數(shù) 入的值為.BD14 .在4ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且滿足 AD = BD , 3tan2B 2tan A+3=0,則赤的取值也圍 CD是.二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15 .(本小題滿分14分)如圖，在三棱錐 PABC中，PA，平面 ABC, AB = AC,點(diǎn)D, E, F分別是 AB, AC

5、, BC的中 點(diǎn).求證：(1) BC /平面 PDE;(2)平面PAF，平面 PDE.16 .(本小題滿分14分)1 一 _已知函數(shù) f(x) =sin2x+sin xcos x 2, x C R.(1)求函數(shù)f(x)的最大值，并寫出相應(yīng)的 x的取值集合;(2)若 f(峭李 a C ( 一8, 385,求 sin 2 a 的值.17.(本小題滿分14分)某溫泉度假村擬以泉眼 于直徑AB對稱的兩點(diǎn)，以 中四邊形AEBD為溫泉區(qū),C為圓心建造一個(gè)半徑為 12米的圓形溫泉池，如圖，M, N是圓C上關(guān) A為圓心，AC為半徑的圓與圓 C的弦AM , AN分別交于點(diǎn)D, E,其I、n區(qū)域?yàn)槌赝庑菹^(qū)，田、

6、IV區(qū)域?yàn)槌貎?nèi)休息區(qū)，設(shè)/(1)當(dāng)0= y時(shí)，求池內(nèi)休息>區(qū)的總面積(田和IV兩個(gè)部分面積的和);(2)當(dāng)池內(nèi)休息區(qū)的總面積最大時(shí)，求 AM的長.18.(本小題滿分16分)22如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓M:1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A ,過點(diǎn)A的直線與橢圓M交于x軸上方一點(diǎn)B,以AB為邊作矩形ABCD ,其中直線CD過原點(diǎn)O.當(dāng)點(diǎn)B為橢圓M的 上頂點(diǎn)時(shí)， AOB的面積為b,且AB= 3b.(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求矩形ABCD的面積S的最大值；(3)矩形ABCD能否為正方形？請說明理由.19 .(本小題滿分16分)定義：若一個(gè)函數(shù)存在極大值，且該極大值為負(fù)

7、數(shù)，則稱這個(gè)函數(shù)為“ YZ函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)f(x)=1是否為“ YZ函數(shù)”，并說明理由； e(2)若函數(shù)g(x) = ln x mx(m 6 R)是“YZ函數(shù)"，求實(shí)數(shù) m的取值范圍；一，1 o 1 n .1一一(3)已知h(x) = 3x3+2ax2 + bx-3b,xC(0,十x), a,bC R,求證：當(dāng) a< 2,且 0Vbv1時(shí),函數(shù)h(x)是“YZ函數(shù)”.20 .（本小題滿分16分）已知數(shù)列 an , bn, Cn滿足 bn=an+2an, Cn=2an+l + an.（1）若數(shù)列an是等比數(shù)列，試判斷數(shù)列Cn是否為等比數(shù)列，并說明理由；（2）若an恰好是一個(gè)

8、等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（3）若數(shù)列bn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列 Cn是等差數(shù)列，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列.數(shù)學(xué)附加題（滿分40分，考試時(shí)間30分鐘）21.【選做題】 在A, B, C三小題中只能選做兩題，每小題 10分，共20分.若多做，則按作 答的前兩題計(jì)分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.A.（選修42:矩陣與變換）a已知列向量 在矩陣M =5對應(yīng)的變換下得到列向量b-2b，求M 1B.（選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為X = cos a , y= V3sin a（a為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)x軸的正半軸為極

9、軸建立極坐標(biāo)系，直線 l的極坐標(biāo)方程為p sin（+T4）=4j2,點(diǎn)P為曲線C上任 點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值.C.（選修45:不等式選講）2.22已知實(shí)數(shù) a, b, c 滿足 a> 0, b>0, c>0, += 3,求證：a+b+c<3.【必做題】 第22, 23題，每小題10分，共20分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或 演算步驟.22.如圖，在多面體 ABCDEF中，平面 ADE，平面ABCD ,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,一，一 ,_ 一 式 一一 ADE是等腰直角三角形，且/ ADE = , EFL平面ADE, EF=1.(1)求異面直線

10、AE和DF所成角的余弦值;(2)求二面角BDFC的余弦值.23 .給定n(n>3, nCN*)個(gè)不同的數(shù)1, 2, 3,，n,它的某一個(gè)排列 P的前k(kCN*, 1&k& n)項(xiàng)和為Sk,該排列P中滿足2Sk< Sn的k的最大值為kp.記這n個(gè)不同數(shù)的所有排列對應(yīng)的 kp之和 為Tn.(1)若 n=3,求 T3;(2)若 n=4l+1, lC N*,求證：對任意的排列 P,都不存在k(kC N*, 1<k<n)使得2Sk=Sn；求Tn(用n表示).數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)24 1,2, 4, 8 2. 1 3. 80 4. 8 5.率 6. 5 7. 1

11、 8.192 9. - 1 10. 625 18211. （8, 1U（0, 1 12. -272 13. 3 14.（1, 215 .證明：（1）在4ABC中，因?yàn)辄c(diǎn) D, E分別是AB, AC的中點(diǎn)，所以 DE II BC.（2 分）因?yàn)锽C?平面PDE, DE?平面PDE,所以BC /平面PDE.（6分）（2）因?yàn)镻AL平面 ABC, DE?平面PDE,所以PAX DE.在4ABC中，因?yàn)?AB=AC,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，所以AF±BC.(8分)因?yàn)?DE II BC,所以 DEXAF.因?yàn)?AFAPA=A, AF?平面 PAF, PA?平面 PAF,所以DE，平面PAF.(12

12、分)因?yàn)镈E?平面PDE,所以平面 PAF，平面 PDE.(14分)116 .解：(1)因?yàn)?f(x) =sin2x+sin xcos x萬，crts, 一、 1 cos 2x 111八所以 f(x) =2+ Sin 2x 2 = 2(sin 2x cos 2x)(2 分)J2式式J2式=T(sin 2xcos cos 2xsin ) =sin(2x ). (4 分)當(dāng) 2x ；=2kn + g (kCZ),即*=。+等(kCZ)時(shí)，f(x)取最大值唱, 4282所以f(x)的最大值為 ¥，止匕時(shí)x的取值集合為x x = k7t + 38L, kCZ .(7分)(2)因?yàn)?f(啟咎，

13、所以乎sin(2 f：) = *，即 sin(2 or-4)=1.因?yàn)?氐(-,十)，所以 2 a;4c (一。y),則 cos(2 >彳)=、八_sin2 (2a9)=、卜-(1) 2=2p, (10 分) 4:4 v 33兀 兀兀兀兀 兀所以 sin 2 a = sin(2 ) + = sin(2 -a-)cos-+cos(2 ot-)sin-41 虛2V2近4 + V2八=3' 學(xué)+ -T 乂 +=丁.(14 分)汽17 .解：(1)在 RtABM 中，因?yàn)?AB=24, 0 =,所以 MB = AM = 12yl2, MD = 24cos 4 12= 122- 12,所以

14、池內(nèi)休息區(qū)總面積 S=2X2MB DM = 12(122- 12)=144(2-72). (4 分)(2)在 RtABM 中，因?yàn)?AB=24, / MAB = 0,所以 MB = 24sin 0, AM = 24cos 0, MD = 24cos 0 - 12.,，I兀由 MB=24sin 0 >0, MD = 24cos 0 12>0 得 0C (0, §), (6 分)i、，一 r _1n則池內(nèi)休息區(qū)總面積 S = 2X2MB - DM =24sin 0 (24cos 0 12), 0C (0, y). (9 分)、r汽設(shè) f(吟sin 0 (2cos 8 1),

15、0 (0,).因?yàn)?f'(毛 Cos 8 (2cos 0 1) 2sin2 0 = 4cos2 0 cos 82=0? cos 0p 八 1 + J33 1又 cos 0 = -8>-,所以？ 8 0c (0,),使得 cos e 0 = 1+8/,則當(dāng) xc（0, e 0）時(shí)，r（e）of（痂（0, e 0）上單調(diào)遞增;. 支當(dāng)xc （虬5）時(shí)，y （兀e ）0f（痂（0,互）上單調(diào)遞減,即4 0）是極大值，也是最大值，所以 f（如以=f（%此時(shí) AM=24cos 0 0=3+3/33.(13分)答：（1）池內(nèi)休息區(qū)總面積為144（242）m2;（2）池內(nèi)休息區(qū)總面積最大時(shí) A

16、M的長為AM =（3+3/33）m.（14分）.a2+ b2 = >/3b,118.解：(1)由題意知 2ab=b,a2=b2+c2,解彳導(dǎo)a= 2, b= c=寸2,22所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為xj；+y2=1.（4分）（2）顯然直線AB的斜率存在，設(shè)為 k且k0,則直線 AB的方程為y=k(x + 2),即kx-y + 2k=0.y=k(x + 2),聯(lián)立 x2 y2得(1 + 2k2)x2+8k2x + 8k24 = 0,解得7+2=124k2xb =4k1 + 2k2' yB=1 + 2k2'/=7 4y 1 + k2所以 ab =yj (xb + 2)2+yB =

17、 12 .1十2k直線CD的方程為y=kx,即kx y=0,所以BC =|2k|2k所以矩形ABCD的面積S=4、1 k22k8k1 + 2k2 ' $76 =1+2k2=T-8- & -8=272, 1+2k R2 k所以當(dāng)且僅當(dāng)k=,矩形ABCD的面積S的最大值為2近.（11分）(3)若矩形ABCD為正方形，則 AB=BC,-4 . 1 + k22k即 1 + 2k2 =貝!)2k3-2k2+ k-2 = 0(k>0).令 f(k) = 2k3 2k2+ k 2(k>0),因?yàn)?f(1) = 1<0, f=8>0,又 f(k) =2k32k2+k 2

18、(k>0)的圖象不間斷，所以f(k) = 2k3 2k2 + k2(k>0)有零點(diǎn)，所以存在矩形 ABCD為正方形.(16分)19.(1)解：函數(shù)f(x)=A1是“YZ函數(shù)”，理由如下: e1 x因?yàn)?f(x) = 2X- 1,則 f '(冷 ee當(dāng) x<1 時(shí)，f' (x)>0；當(dāng) x>1 時(shí)，f' (x)<0,所以 f(x) = * 1 的極大值 f(1)=11<0,ee故函數(shù)f(x)=41是“ YZ函數(shù)”.(4分) e 解：定義域?yàn)?0, +8), g' (x)=1 m, x當(dāng)m&°時(shí)，g'

19、; (x) = 1 m>°，函數(shù)單調(diào)遞增，無極大值，不滿足題意;當(dāng)m>0時(shí)，當(dāng)0<x<時(shí)，g' (x)=1 m>0,函數(shù)單調(diào)遞增, mx當(dāng)x>41, g' (x) = -m<0,函數(shù)單調(diào)遞減， mx所以 g(x)的極大值為 g(m) = ln m-m *=-ln m 1.由題意知 g(m) = ln m1<0,解得 m>e.(10 分)證明：h' (x)x2+ax+b，因?yàn)?a<-2, 0<b<1,則 A= a24b>0,所以h' (x)=x2+ax+b = 0有兩個(gè)不等實(shí)根

20、，設(shè)為 xi, x2.xi + x2= a>0,因?yàn)樗訶i>0, x2>0,不妨設(shè)0<x1<x2,xix2= b>0,當(dāng)0Vx<X1時(shí)，h' (x)>0,則h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)xi<x<X2時(shí)，h' (x)<0 ,則h(x)單調(diào)遞減，所以 h(x)的極大值為 h(x1)=1x3+1ax2+bx1 1b.(13 分) 323由 h (X = x2+ ax + b = 0 得 x1=x1( ax1 b) = ax2 bx1.因?yàn)?a< 2, 0Vb<1,所以 h(x 1) = x1 + ax1 + bx

21、1 一b = (一 ax1 bx1) + -ax1 + bx1 一 b 323323=«axi + zbxi «b< oxi + obxi «b=式xl b)2 +«b(b1)<0. boo o o d oJ所以函數(shù)h(x)是“YZ函數(shù)”.(16分)(其他證法相應(yīng)給分)20. (1)解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q,則 Cn=2an+i + an=2anq+ ai= (2q+ 1)an, 1當(dāng)q= 5時(shí)，Cn=0,數(shù)列Cn不是等比數(shù)列.(2分)當(dāng)qw ；時(shí)，因?yàn)镃nWO,所以蜉=(禽3)：，所以數(shù)列Cn是等比數(shù)列.(5分)(2)證明：因?yàn)閍n恰

22、好是一個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以設(shè)這個(gè)等差數(shù)列為dn,公差為d.因?yàn)?3n = di + d2 +p dn,所以 an+1 = di + d2+ dn+dn+1,兩式相減得 8n+1 3n= dn+ 1.因?yàn)?an+2= an+ bn ,以 bn+ 1 - bn =(3n+ 3 3n+ 1)(3n+ 2 an) =(3n+ 3 3n+ 2)(3n+ 1 an) = dn + 3 dn+ 1 = 2d,所以數(shù)列bn是等差數(shù)列.(10分) 證明：因?yàn)閿?shù)列Cn是等差數(shù)列，所以 Cn+3-Cn+2=Cn+1-Cn.因?yàn)?Cn=23n+l + an,所以 29n + 4+&i + 3(2an +

23、3 + an+2)= 2&i+2+an+1(2an+ 1 d- 3n),即 2(an + 4 ai + 2)= (an + 3 31+1)+(an+2 ai),則 2bn+2= bn+1 + bn.b +1 | b因?yàn)閿?shù)列bn是等比數(shù)列，所以 b2n+1=bnbn+25則b?n+1 = bn J '即(bn+1 bn)(2b n+1 + bn) = 0.因?yàn)閿?shù)列bn各項(xiàng)均為正數(shù)，所以 bn + 1 = bn, (13分)貝I 3n+ 3- an+ 1 = an+2才)，即 3n+ 3= 8n+2 + 3n+1 31.又?jǐn)?shù)列C n是等差數(shù)列，所以Cn+ 2 + Cn = 25+1

24、,即(2an + 3 + an+ 2)+ (2an + 1 + 31) = 2(23n + 2 + &i+ 1),化簡得 2an+3+ an= 3an+2>將 an+3 = an+2+an + 1 an代入得 2(an+2+an+1 an) + an= 3an+2,化簡得an+2+an=2a1+i,所以數(shù)列an是等差數(shù)列.(16分)(其他證法相應(yīng)給分)數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)21. A.解:因?yàn)閎-23a+ 20 = b2a+ 10= b,解得a= 一 6b = 4.（4分）m= 13m+ 4n= 1即 3p + 4q = 0，-2m + 2n= 0解得p + 2q=1,P=

25、- 23q= 2，所以M1_(8分)一 b所以M 1a-216(10 分)B.解：由題可知，直線方程即為汽(sin 0 cos -4+ cossin十人4 2cos 8=x, p sin 8 = y得直線的直角坐標(biāo)方程為* + 丫8=0.（4分）設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(cos a ,，3sin a ),:點(diǎn)P到直線的距離d=汽 I 伍. ci |2sin ( a+三)81|cos a + M3sin a 8| I612+12.2，（8 分）當(dāng)oc+TtTt6- = 2kn一萬密Z）,即E= 2kn 尊（kCZ）時(shí)，d取得最大值572, 3 1此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一2,3一力(10 分)C.證明：由柯西

26、不等式,3(a+b+c) = (b+ c+ 噴 + b-+a)=(Vb)2+(vc)2+ 響2嗑)2+塌)2+2(5> (加金+ Vc 上 + afa -j)2= (a+ b+ c)2,所以 a+ b+ c< 3.(10 分)汽22.解：V 平面 ADE，平面 ABCD ,又/ ADE =萬，：DEXAD.DE?平面 ADE ,平面 ADE n平面 ABCD =AD , ：. DE，平面 ABCD.由四邊形ABCD為邊長為2的正方形，：DA, DC, DE兩兩互相垂直.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，dX , DC, 51為一組基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(2分)由EF，平面ADE,且EF=1,：D(0, 0, 0), A(2, 0, 0), E(0, 0, 2), C(0, 2, 0), B(2, 2, 0), F(0, 1, 2).(1) Ai = (-2, 0, 2), DF = (0, 1, 2),貝cos <AE, DF>屆4 回|AE|。行2或X* 5AE和DF所成角的余弦值為yio八5 (5 分)(2) DB = (2, 2, 0), DF = (0, 1, 2),設(shè)平面 BDF 的一個(gè)法向量為 n = (x, y, z),n DB=2x + 2y = 0,由 一取