近世代數(shù)試題庫(kù)

1、，棚總由感囪1,WAHF 23)5BH2 36)7)W A BH ()A，123)4 B ，2367C 223 D ，1 235627 C2,藁當(dāng)輯3萬(wàn)>輯川洲用毒三池( )> B sssp D ，巨kaNMGO嘔咨AT宅>篋吊塞三池()A，n 濟(jì)M>輯 pm 與西 n 一 b C 萬(wàn)>當(dāng)M淞aD 嘔咨A*f®*m>篋小用意三池(A，Mf aH-bHaH bH B， aH H a HQ aH bH a b HD， 巨kaMD，麟當(dāng)M池a，巨kaNM)w H池GmN輯)工及MaH bH5、設(shè)A=R （實(shí)數(shù)域），B=R+ （正實(shí)數(shù)域）f :a-10aa

2、 A 則 f是從A到8的（）、滿射、既非單射也非滿射A單射BC 、一一映射D答案： D6、有限群中的每一個(gè)元素的階都（ ）A有限B、無(wú)限C為零D、為 1答案： A整環(huán)（域）的特征為（:）A WB、無(wú)限C有限D(zhuǎn)、或素?cái)?shù)或無(wú)限答案： D8、若S是半群，則（）A 任意 a，b，c S，都有 a（bc）=（ab）c B 、任意 a，b S，都有 ab=baC必有單位元D、任何元素必存在逆元答案： A9、在整環(huán)Z 中， 6 的真因子是（ ）A、1, 6B、2, 3C、1, 2D、3, 6答案： B10、偶數(shù)環(huán)的單位元個(gè)數(shù)為（）G 2個(gè)D、無(wú)數(shù)個(gè)答案：A11、設(shè)A3A2,，人和D都是非空集合，而f是Ai

3、AAn到D的一個(gè)映射，那么（）A、集合Ai,A2, , An,D中兩兩都不相同；B、A,A2, , An的次序不能調(diào)換；C、A A2An中不同的元對(duì)應(yīng)的象必不相同；D、一個(gè)元a1,a2, ,an的象可以不唯一。答案：B12、指出下列那些運(yùn)算是二元運(yùn)算（）A在整數(shù)集Z上，a b U;abB、在有理數(shù)集Q上，a b f|ab| ;G在正實(shí)數(shù)集R上，a b alnb；D在集合n Z n 0上，a b a b。答案：D13、設(shè) 是整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算，其中a b max a,b （即取a與b中的最大者），那么在Z中（）A、不適合交換律；B、不適合結(jié)合律；C、存在單位元；D 、每個(gè)元都有逆元。答案：C1

4、4、設(shè)G,為群，其中G是實(shí)數(shù)集，而乘法：ab a b k,這里k為G中固定的常數(shù)。那么群 G,中的單位元e和元x的逆元分別是（）A 0 和 x； B 、1和 0；C 、 k和 x 2k; D 、 k 和（x 2k）。答案：D15、設(shè)a,b,c和x都是群G中的元素且x2a bxc 1,acx xac ,那么x （）A、bc 1a 1 ； B 、c 1a 1 ； C 、a 1bc 1; D 、b 1ca。答案：A1&設(shè)H是群G的子群，且G有左陪集分類(lèi)H,aH,bH,cH。如果6,那么G的階 G|（）A、6;B、24;C、10;D、12。答案：B17、設(shè)f：G G2是一個(gè)群同態(tài)映射，那么下列

5、錯(cuò)誤的命題是（）A、f的同態(tài)核是G1的不變子群；B、G2的不變子群的逆象是Gi的不變子群；C、Gi的子群的象是G2的子群；D、Gi的不變子群的象是G2的不變子群。答案：D1&設(shè)f : RiR2是環(huán)同態(tài)滿射，f （a） b ,那么下列錯(cuò)誤的結(jié)論為（）A、若a是零元，則b是零元；B、若a是單位元，則b是單位元；C、若a不是零因子，則b不是零因子；D、若R2是不交換的，則Ri不交換。答案：C19下列正確的命題是（）A、歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán);B、主理想環(huán)必是歐氏環(huán);C、唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；D、唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。答案：A20、若I是域F的有限擴(kuò)域，E是I的有限擴(kuò)域，那么（）AE : I

6、E:II:F;B、F:EI:FE:I;GI:FE:FF:I；D、 E:FE: I I : F答案：D二、填空題1、集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系需滿足自反性、對(duì)稱(chēng)性和（）。答案：傳遞性2、設(shè)A,B都為有限集，且A m，B n，則A B （）.答：mn3.設(shè)R是集合A= 平面上所有直線上的關(guān)系：l1Rl2l1 / l2nEl1 l2（l1,l2 A）i（JR（）等價(jià)關(guān)系。答：是4、設(shè)群G中的元素a的階為m,則an e的充要條件是（）。答：mn5、群G的非空子集H作成G的一個(gè)子群的充要條件是（）。答： a,b H ,有ab 1 H6、n次對(duì)稱(chēng)群Sn的階是（）。答：n!7、設(shè)G是有限群，H是G的子群，且H在G

7、中的指數(shù)為nUG （）8、設(shè)G是一個(gè)群,e是G的單位元，若a G，且a=a，則()答：a=e9、最小的數(shù)域是()。答：有理數(shù)域10、設(shè)集合 A=1,2,則 AXA= () ,2A= ()0答：(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), ,1,，1, 211 C11、設(shè)f是A的一個(gè)變換，S A，則f fS ()f f S12、設(shè)R1，R2是集合A上的等價(jià)關(guān)系，R1答：是13、若群G中每一個(gè)元素x都適合方程xn答：交換群14、n階群G是循環(huán)群的充要條件是(答：G中存在n階的元素15、設(shè)G，G1是有限循環(huán)群，G m，G1( nm )。答：nm16、如果環(huán)R的乘法滿足交換律，即 a

8、，b答：交換環(huán)17、數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法和乘法作成的環(huán)叫做答：數(shù)環(huán)R2 ()等價(jià)關(guān)系e ,則G是()群n，則G1是G的同態(tài)象的充要條件是R，有ab ba,則稱(chēng)R為()環(huán))環(huán)。18、設(shè)有限域F的階為81,則的特征p (答：319、已知群G中的元素a的階等于50,則a4的階等于()。答：2520、一個(gè)有單位元的無(wú)零因子()稱(chēng)為整環(huán)。答：交換環(huán)21、如果710002601a是一個(gè)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書(shū)號(hào)，那么a ()。答：622.剩余類(lèi)加群Z12有()個(gè)生成元.答：623、設(shè)群G的元a的階是n,則ak的階是()答：n/(k,n)(k,n)表示k和n的最大公約數(shù))24、6階循環(huán)群有()個(gè)子群.答：326、模8的剩余類(lèi)

9、環(huán)乙的子環(huán)有()個(gè).答：627、設(shè)集合 A1,0,1 ; B 1,2 ,則有 B A ()。答：1, 1 , 1,0, 1,1 2, 1, 2,0, 2,128、如果f是A與A間的映射，a是A的一個(gè)元，則f 1 f a (答：a那么29、設(shè)集合A有一個(gè)分類(lèi)，其中 A與Aj是A的兩個(gè)類(lèi)，如果 Ai Aj ,A Aj ()31、凱萊定理說(shuō)：任一個(gè)子群都同一個(gè)（）同構(gòu)。答：變換群32、給出一個(gè)5-循環(huán)置換（31425）,那么1（）。答：1352433、若I是有單位元的環(huán)R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表達(dá)為（ ）。答：xayi,X,yi R34、若R是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，I是R的一個(gè)理想，

10、那么 %是一個(gè)域當(dāng)且僅當(dāng)I是（ ）o答：一個(gè)最大理想35、整環(huán)I的一個(gè)元p叫做一個(gè)素元，如果（）。答：p既不是零元，也不是單位，且 q只有平凡因子36、若域F的一個(gè)擴(kuò)域E叫做F的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域，如果（）。答：E的每一個(gè)元都是F上的一個(gè)代數(shù)元三、判斷題1、設(shè)A與B都是非空集合，那么A B xx A且x B。（ X ）2、設(shè)A、B、D都是非空集合，則A B到D的每個(gè)映射都叫作二元運(yùn)算。（X ） 3、只要f是A到A的映射，那么必有唯一的逆映射f 1。（V ）4、如果循環(huán)群G a中生成元a的階是無(wú)限的，則G與整數(shù)加群同構(gòu)。（V ）5、如果群G的子群H是循環(huán)群，那么G也是循環(huán)群6、群G的子群H是不變子群的

11、充要條件為g G, h H;g 1Hg H。（，）7、如果環(huán)R的階2,那么R的單位元10。（，）8、若環(huán)R滿足左消去律，那么R必定沒(méi)有右零因子。（V ）9、F（x）中滿足條件 p（ ） 0的多項(xiàng)式叫做元在域F上的極小多項(xiàng)式。（X ）1R若域E的特征是無(wú)限大，那么E含有一個(gè)與Z/p同構(gòu)的子域，這里Z是整數(shù)環(huán)，p是由素?cái)?shù)p生成的主理想。（X ）四、解答題1、A=數(shù)學(xué)系的全體學(xué)生,規(guī)定關(guān)系R:a，b A，aRb a與b同在一個(gè)班級(jí)，證明R是A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。答案：自反性： 自己與自己顯然在同一個(gè)班級(jí)對(duì)稱(chēng)性：若a與b同在一個(gè)班級(jí)，顯然b與a同在一個(gè)班級(jí)傳遞性：若a與b同在一個(gè)班級(jí)，b與c同在一個(gè)班級(jí)，

12、顯然a與c同在一個(gè)班級(jí).2、在R中的代數(shù)運(yùn)算 是否滿足結(jié)合率和交換率?a b a b ab（等式右邊指的是普通數(shù)的運(yùn)算）答：因?yàn)閷?duì)于 a,b,c R,有abc ababca b ab c a b abc a b ab c ac bc abc, abc a b c bc a b c bc a b c bca b ab c ac bc abc根據(jù)實(shí)數(shù)的加法與乘法的運(yùn)算率得a b c a b c 0又 abababbababa。所以，R的代數(shù)運(yùn)算 既滿足結(jié)合率，又滿足交換率3、設(shè)集合 A a，b，c，d，B c，d，e ,求 aUb,AB,A B,(A B#(B A)。 答案：aJb c,d ,Ap

13、B a,b,c,d,e ,A B a,b ,(A B)U(B A) a,b,e4、設(shè)G S31,12,13,23,123,132 , H 1,12 ,求 g關(guān)于子群 h 的左陪集分解。答：1H (12)H H,13 H (123)H13, 12323 H (132) H23, 132 o因而，G關(guān)于子群H的左陪集分解為G H 13 H (23)H o5、設(shè)半群S,?既有左單位元e,又有右單位元f ,證明e f ,而且是S的唯一 單位元。答：證明ef e (因f是右單位元)，ef f (因e是左單位元)，得e f ;若S還有單位元e1,則e ee e1,故e是S的唯一單位元。6、對(duì)于下面給出的Z

14、到Z的映射f,g,h12 ,3X3X3XHHHXXX計(jì)算 f 0g,g；f,g(h，hg,fg0h。答案：f 0g : x P 9x 3g： f : x.9x 1,g Oh : x |-9x 7;h0g : xp9x 5, f 0g Oh: x |")27x 21.7、設(shè)H是G的不變子群，則 a G,有aHa1 H。答：因H是G的不變子群，故對(duì)于 a G ,有aH Ha ,于是 , 11, ,1 ,1, ,aHaaHa Ha aHaa HeHo8、設(shè)0是環(huán)R的零元，則對(duì)于 a R, 0 a a 0 0。答：因?yàn)閍 R,有0a (0 0)a0a0a由于R關(guān)于加法作成群，即R對(duì)于加法滿足

15、消去律，在上式中兩邊同時(shí)消去 0 a,得0 a 0。同理可得a 0 0019、如果半群G有一個(gè)左單位元e ,并且對(duì)于a G ,存在左逆元a G ,使得a 1a e,則G是一個(gè)群。11.1答：a G ,由條件知，有左逆兀a G,使得a a e,而對(duì)于a在G中也1.一存在左逆兀a ,使得a a e ,則有11/ '11 '11'1'1aa e aa (a a )(aa ) a a a a a ea a a e一一 11所以，a的左逆兀a也是a的右逆兀，即a在G中有逆兀a , 11又由于ae aa a aa a ea a,知e是G的單位元。故G是一個(gè)群。10、證明R為

16、無(wú)零因子環(huán)的充分必要條件是在環(huán) R中關(guān)于乘法左消去律成立。答：設(shè)環(huán)R沒(méi)有左零因子，如果有ab ac,則有ab ac a(b c) 0當(dāng)a 0時(shí)，由于R沒(méi)有左零因子，得b c 0,即b c, R中關(guān)于乘法左消去 律成立。反之，若在R中關(guān)于乘法左消去律成立，如果a 0,有ab 0,即a b 0 a 0,左消去a得b 0,即R中非零元均不是左零因子，故 R為 無(wú)零因子。11、若I1，I2是R的兩個(gè)理想，則I1 I2 x1 x2 x1 I1，x2 I2 也是 R 的一個(gè)理想。答：x，y I1 I2，r R,則有x x1 x2,y y1 y2, (xm I1；x2,y2 I2),從而x y (X1 y1

17、) (X2 y2) I1 I2.?rxr(x1x2)rx1rx2I1I2 .?xr(x1x2)rx1rx2rI1I 2 o所以，I1 I2是R的一個(gè)理想。12、設(shè) GS3(1),(12),(13),(23),(123),(132), H (1),(12),則 h是 G 的一個(gè)子群，寫(xiě)出G關(guān)于H的所有左陪集的分解.答案： (1)H(12)H H ,(13) H (13), (123) (123)H ,(23)H ( 23), (132) (132)H ,因而，G關(guān)于H的左陪集的分解為.G H (13) H (23)H13、在 Q 中的代數(shù)運(yùn)算是否滿足結(jié)合率和交換率？a b b22222答：取 a

18、 1,b 2,c 3, 則 1 2 3 22 3 32 9 ， 1 2 31 32 92 8122又1 2 22 4,2 1 12 1。所以，Q的代數(shù)運(yùn)算 既不滿足結(jié)合率，又不滿足交換率。14、設(shè)G S31,12,13,23,123,132 H 1,12 ,求G 關(guān)于子群 H 的右陪集分解。答： H 1 H (12)1 , 12 ，H 13H(132)13, 132，H 23 H (123)23 , 123 。因而， G 關(guān)于子群 H 的右陪集分解為G H H 13 H (23) 。15、設(shè)S是有單位元e的半群，a S,若a有左逆元a又有右逆元a2 ,則a是可逆元，且a1 a2 是 a 的唯一

19、的逆元。a1e a1 ,答：證明由條件知，a1a e, aa2e, 則有a2ea2a1a a2a1 aa2若 b, c 都是 a 的逆元，同理有b be b ac ba c ec c故 a 有唯一的逆元。(ab)16、設(shè)R 是環(huán)，則 a, b R ，有 ( a)b a( b)答：由 ( a)b ab ( aa)b 0 b0，得(ab) ( a)b，a( b) ab a( b b) a 0 0 ，得(ab) a( b)17、設(shè)H是G的子群，若對(duì)于a G,h H ，有 aha 1 H ，則H是G的不變子群。答：任取定a G ，對(duì)于 ah aH ，由于 ahaH ，則存在 h1 H1aha h1 a

20、h h1 a Ha aH Ha；1111ha Ha ，由于 aha a h(a )H ，故存在h2H ，使得1a ha h2ha ah2 aH Ha aHa G ，有 aH Ha 。故 H 是 G 的不變子群。18、如果G是半群，則G是群的充分必要條件是：a，b G,方程ax在G中有解。111答：必要性。因 G 是群，則 a G 在 G 中有逆元 a 1 ，則 a b, ba入方程 ax b 和 ya b ，有1111a a b aa b eb b ba a b a a be bb 和 ya bG ，分別代11,即a 3ba分別為方程ax b和ya b的解。充分性。因G是半群，則是非空集合，取

21、定a G,則方程ya a在G中有解e, 即存在G中的元素e ,使得ea a。下證e是G的左單位元。a，b G，方程ax b和在G中有解c，即ac b, 于是eb eac eac ac b，則e是G的一個(gè)左單位元。又a G,方程ya e在G中有解a,即aa e,得a是a的一個(gè)左逆兀。從而得G中的每一個(gè)元素a都有左逆元。故G是群。19、證明R為無(wú)零因子環(huán)的充分必要條件是在環(huán) R中關(guān)于乘法右消去律成立。答：設(shè)環(huán)R沒(méi)有左零因子，則也無(wú)右左零因子。于是由 ba ca,得ba ca (b c)a當(dāng)a 。時(shí)，由于R沒(méi)有右零因子，得b c 0,即b c, R中關(guān)于乘法右消去 律成立。反之，若在R中關(guān)于乘法右消

22、去律成立，如果a 0,有ba 0,即b a 0 0 a ,右消去a得b 0,即R中非零元均不是右零因子，故 R為 無(wú)零因子。20、設(shè)R為交換環(huán)，a R, Ia x Rax 0 ,證明：1a是R的理想。答：(1) a,b Ia,則ax 0,bx 。，從而 ax bx 0, (a b)x 0即 a b Ia。(2) a Ia，r R,有ax 0,由于 R為交換環(huán)，從而 rax r0 axr 0r 0, 即 a* Ia。因此I a是R的理想。21、G= (z, +) , )CtG 規(guī)定結(jié)合法 “aJb a b 2證明(G,3是一個(gè)群。證明：”為G的一個(gè)二元運(yùn)算顯然，設(shè)a，b，c是G中任意三個(gè)元， V(a：；b)：c (a b 2)：c (a b 2 c) 2 U VV=a (b 2 c) 2 aj(b c 2) ajj吟c)。G中結(jié)合法&