(完整版)高考數(shù)學(xué)圓錐曲線的經(jīng)典性質(zhì)50條

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)點P處的切線PT平分 PF1F2在點P處的外角.(必背的經(jīng)典結(jié)論)PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線 PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相離.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓 內(nèi)切.2 x 若P0(x0,y0)在橢圓一2 a2 x 右Po(X0, Yo)在橢圓 ay2b22 y b2XoX1上，則過Po的橢圓的切線方程是 一0r a1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為YoY b2P1、P2,1.則切點弦P1P2的直線方程是XoXy

2、6;y2,2ab1.2x2a2xab22 y b2(a>b> 0)的左右焦點分別為(a>b>0)的焦半徑公式:F" F2,點P為橢圓上任意一點F1PF2，則橢圓的焦點角形的面積為S F1 PF2b2 ,tan.2| MF1 | aexc|MF2| a ex0(F1( c,0)，F(xiàn)2(c,0) M(xo,y。).設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點,A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點 F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點,貝U MF XNF.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點 P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點， A1P和A2Q交于點M, A2

3、P和A1Q交于點N,貝U MFXNF.AB是橢圓即Kab22,2xyb1的不平仃于對稱軸的弦，M(x0,y0)為ab的中點，則kOM kAB abab2X02 oa V。12.若2 x Po(xo,yo)在橢圓 a2y ,、，_J 1內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是b222x°xy°yxoyob22,2ab13.若2 x Po(xo,yo)在橢圓 a22yx21內(nèi)，則過PO的弦中點的軌跡方程是 ba2 y_ b2x°x2 ayoy雙曲線1. 點P處的切線PT平分 PF1F2在點P處的內(nèi)角.2. PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線 PT上的射影H點的軌

4、跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線 相交.4.5.6.7.8.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓 相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)22x y 右 P0 (x0, y0)在雙曲線 一2 一2a b22x y 右P0(x0,y0)在雙曲線 -2 -2"a b22一，“、x y ,雙曲線 一2 -2- 1 (a>0,b>o) a b, xox yoy,1(a>0,b>0)上，則過Po的雙曲線的切線方程是一0r上表1.a b1 (a>0,b>0)外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2

5、,則切點弦P1P2的直線方程是 0-y02ya2b2的左右焦點分別為F1, F 2 ,點P為雙曲線上任意一點F1PF2,則雙曲線的焦點角形的面積為1.2,S f pf b co t . 1 2222x y雙曲線 % 1 (a>0,b>o)的焦半徑公式：(F1( c,0) , F2(c,0) a b當(dāng) M(x),y0)在右支上時，| MF11 ex0 a , | MF2 | ex0 a .當(dāng) M(x0,y°)在左支上時，|MFi| ex0 a,|MF2| ex0 a9. 設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點， 連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦

6、點 F的雙曲線準(zhǔn)線于 M、N兩點,貝U MF ±NF.10.11.12.13.1.2.3.過雙曲線一個焦點 F的直線與雙曲線交于兩點 P、Q,A1、A2為雙曲線實軸上的頂點,“小 x yAB是雙曲線 一2-2a b若P0(x0, y0)在雙曲線若P0(x0, y0)在雙曲線4.A1P和A2Q交于點M, A2P 和 A1Q 交于點 N,則 MF XNF.1 (a>0,b>0)的不平行于對稱軸的弦，M(X0, y0)為AB的中點，則KOM KABb X02a yO，即 Kabb X0a2y02 X 2 a1 (a>0,b>0)內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是1

7、(a>0,b>0)內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是XoX2a2Xa2 X0 -2 ay。橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-(會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論)高三數(shù)學(xué)備課組y 2b2XoX-2ayoy b222一一 x y橢圓2 2 1 (a> b>o)的兩個頂點為 A ( a,0) , A2(a,0),與y軸平仃的直線父橢圓于 a bP1、P2時 A1P1與A 2P2交點的軌跡方程是22x y2,2a b2 X 過橢圓a數(shù)).1.2 y ,21 (a>0, b>0)上任一點A(X0,y°)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且kBCb2X0a2y

8、022xya c .右p為橢圓-221(a>b>0)上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)1,F2是焦點，PF1F2,PF2F1,則 tan-cot-.aba c 222 X 設(shè)橢圓一2 a1 (a>b>0)的兩個焦點為F1、F2,P (異于長軸端點)為橢圓上任意一點，在PF1F2中，記F1PF2(常5.6.7.8.9.10.11.PF1F22x右橢圓asinF1F2 P，則有sin sin2y ,彳1 (a>b>0)的左、右焦點分別為b2準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項.Fi、22x y ,，P為橢圓 一2一21 (a>b>0)上任一點，F(xiàn)1,F2為二焦點,a

9、2 b2三點共線時，等號成立./、2 /、2(x %) (y y°)b21與直線Ax By CF2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)0<e& J2A為橢圓內(nèi)一定點，則2a0有公共點的充要條件是1時，可在橢圓上求一點 P,使得PF1是P到對應(yīng)IAF2I|PA|PFi| 2a| AFi |,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2,PB2b2(Ax。 By。C)2.x已知橢圓a的最大值為2x過橢圓a2 y_ b24a2 b22a22b21 (a>b>0), O為坐標(biāo)原點，P、Q為橢圓上兩動點，且 OP2b 2；(3) S opq的最小值是 a b ?.a2 b2OQ.(1)22|OP| |OQ|OP

10、|2+|OQ|2x已知橢圓a(a>b>0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P,則b21 ( a> b>0) ,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點 P(X0,0) ,則|PF I| MN |2 .2a bX02,2a b2 x 設(shè)p點是橢圓ab21 ( a>b>0)上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)1、F2為其焦點記F1PF2,則(1)| PF1 | PF2 |2b2.(2)1 cos12.c, 2 ,S pf1f2b tan 2.22設(shè)A、B是橢圓與 y-r 1a2b2（a> b>0）的長軸兩端

11、點，P是橢圓上的一點,PABPBABPA , c、e分別是橢圓的- 2, 2Q2a b ,S PAB , 22 cotb a2 .半焦距離心率，則有（1）|PA|2ab | cos|2-22 .(2) tan tan 1 e .(3)a c cos22xy13 .已知橢圓一2 一2 1（ a>b>0）的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點E ,過橢圓右焦點 F的直線與橢圓相交于 A、B兩點，點C在右準(zhǔn)線l上，且BC X ab軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.14 .過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直15 .過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線

12、交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16 .橢圓焦三角形中，內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點 .）17 .橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比 e.18 .橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)（會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）高三數(shù)學(xué)備課組雙曲線1.2.22一，x y雙曲線工 工2 1 (a>0,b>0)的兩個頂點為 a b22程是與 -y2 1.a b22、一，、xy過雙曲線2-21(a>0,b>o)上

13、任一點ab.b2x0kBC-2(吊數(shù)).a yoA( a,0) ,A2(a,0),與y軸平行的直線交雙曲線于A(xo, yo)任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于3.2 x 若P為雙曲線a2y21 ( a> 0,b> 0)右b(或左)支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點P1、P2時A 1P1與A 2P2交點的軌跡方B,C兩點，則直線 BC有定向且PF1F2PF2F1，貝uc a , c a ,、tan cot (或tan co t )c a 22 c a 224.2 x 設(shè)雙曲線a1 (a>0,b>0)的兩個焦點為Fi、F2,P (異于長軸端點)為雙曲線上任意一點

14、，在4PF1F2 中，記F1PF2PF1F2, F1F2 P，則有sin -e.(sin sin ) a22_5.若雙曲線一2一3 1 (a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)1<e& J21時，可在雙曲線上求一點P,使得PF1a b6.7.8.(1)9.10.11.12.是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項2 x P為雙曲線a三點共線且2 x 雙曲線一2 a已知雙曲線1-Z 2|OP|過雙曲線2y11 (a>0,b>0)上任一點，F(xiàn)1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點,b2則 |AF2| 2a |PA| | PF1 |,當(dāng)且僅當(dāng)

15、 A,F2, PP和A, F2在y軸同側(cè)時，等號成立.2 y b22xa2 y b22|OQ|2 x 2 a2 y b22x已知雙曲線a2.2a b x02 y b22 x 設(shè)P點是雙曲線一2 a(a> 0,b>0)與直線Ax By C0有公共點的充要條件是1 ( b> a >0), O為坐標(biāo)原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且11r4a2b2F )；(2) |OP|2+|OQ|2 的取小值為 f2； (3)a bb aS OPQ(a>0,b>0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于1 (a>0,b>0) ,A、B是雙曲線上的兩點，線段 ABA 2 2

16、2, 22A a B b C .OP OQ .的最小值是2, 2a b22 .b aM,N兩點，弦MN的垂直平分線與x，、一" I PF |的垂直平分線交x軸于P,則-1|MN |2a軸相交于點P(x0,0),則x0 2b2一或21 1 (a>0,b>0)上異于實軸端點的任一點，F(xiàn)1、F2為其焦點記 F1 PF2 b2b2,則(1)|PF1 IIPF2 | cos .2,S PF1F2b cot .2 x 設(shè)A、B是雙曲線一2 a2yy 1 (a>0,b>0)的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點, b2PABPBABPA , c、e 分別是雙曲線的半焦距離心率，則有2（2）tan tan 1 e .（3） | PA|S PAB2 .2ab |cos |222|a c cos |2, 22a b722b acot2x已知雙曲線a213.，1 （a>0,b>0）的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點E,過雙曲線右焦點F的直線與雙曲線相交于A、B兩點，點C在右準(zhǔn)線b2l上，且BC X軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中