2015高考數(shù)學（理）（第五章 5.2平面向量基本定理及坐標表示）一輪復習題

1、§5.2平面向量基本定理及坐標表示1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，存在唯一一對實數(shù)1、2，使a1e12e2.我們把不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內所有向量的一組基底2平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標表示設a(x1，y1)

2、，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底(×)(2)在ABC中，向量，的夾角為ABC.(×)(3)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內的任何一個向量都可被這組基底唯一表示()(5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.(×)(6)已知向量a(1sin ，1)，b(，1sin )，若ab，則等于45°.(×)2已知點A(6,2)，B(1,

3、14)，則與共線的單位向量為()A(，)或(，)B(，)C(，)或(，)D(，)答案C解析因為點A(6,2)，B(1,14)，所以(5,12)，|13，與共線的單位向量為±±(5,12)±(，)3已知A(3,0)，B(0,2)，O為坐標原點，點C在AOB內，|2，且AOC，設 (R)，則的值為()A1 B.C.D.答案D解析過C作CEx軸于點E(圖略)由AOC，知OECE2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.4在ABCD中，AC為一條對角線，(2,4)，(1,3)，則向量的坐標為_答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5)5在平面直角坐標系中，O為坐標原點，

4、A、B、C三點滿足，則_.答案解析，()，.題型一平面向量基本定理的應用例1在ABC中，點P是AB上一點，且，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，又t，試求t的值思維啟迪根據(jù)題意可選擇，為一組基底，將，線性表示出來，通過t建立關于t的方程組，從而求出t的值解，32，即22，2，即P為AB的一個三等分點(靠近點A)，如圖所示A，M，Q三點共線，設x(1x)(x1)，而，(1).又，由已知t可得，(1)t()，解得t.思維升華平面向量基本定理表明，平面內的任意一個向量都可用一組基底唯一表示，題中將同一向量用同一組基底的兩種形式表示出來，因此根據(jù)表示的“唯一性”可建立方程組求解如圖，在ABC中，P

5、是BN上的一點，若m，則實數(shù)m的值為_答案解析設|y，|x，則，×y×x得，令，得yx，代入得m.題型二平面向量的坐標運算例2已知A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(1)求23；(2)設3，2，求及M、N點的坐標思維啟迪(1)先計算、的坐標，然后再運算；(2)根據(jù)向量的坐標相等列方程求點M，N的坐標解(1)A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(21,32)(3,5)，(22,31)(4,2)，(32,21)(1,1)，23(3,5)2(4,2)3(1,1)(383,543)(14,6)(2)3，2，2323，由A、B、C、D點坐標可

6、得(3,2)(1，2)(2,4)2(1,1)3(2,4)(4,10)設M(xM，yM)，N(xN，yN)又3，3()，(xM，yM)(3,2)3(1，2)(3,2)(6，12)xM3，yM10，M(3，10)又2，即2，(xN，yN)(3,2)2(1,1)，xN1，yN0，N(1,0)思維升華向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實數(shù)m，n；(3)求M、N的坐標及向量的坐標

7、解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)設O為坐標原點，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)題型三向量共線的坐標表示例3(1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為_(2)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，則k_.思維啟迪(1)根據(jù)向量共線列式求相關點的坐標；(2

8、)根據(jù)向量共線求參數(shù)答案(1)(2,4)(2)5解析(1)在梯形ABCD中，DC2AB，2.設點D的坐標為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得，故點D的坐標為(2,4)(2)依題意得ac(3,1)(k,7)(3k，6)，又(ac)b，故，k5.思維升華(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10；若ab(a0)，則ba.(2)向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐

9、標對應成比例來求解(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實數(shù)，(ab)c，則等于()A.B.C1 D2(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若點A、B、C能構成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是_答案(1)B(2)m解析(1)a(1,2)，b(1,0)，ab(1,2)(1,0)(1，2)，由于(ab)c，且c(3,4)，4(1)60，解得.(2)因為(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m)由于點A、B、C能構成三角形，所以與不共線，而當與共線時，有，解得m，故當點A、B、C能構成三角形時實數(shù)m滿足的條件是m.忽視平行四邊形的多樣性致誤典

10、例：(12分)已知平行四邊形三個頂點的坐標分別為(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四個頂點的坐標易錯分析此題極易出現(xiàn)思維定勢，認為平行四邊形只有一種情形，在解題思路中出現(xiàn)漏解實際上，題目條件中只給出平行四邊形的三個頂點，并沒有規(guī)定順序，可能有三種情形規(guī)范解答解如圖所示，設A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)，D(x，y)2分若四邊形ABCD1為平行四邊形，則，而(x1，y)，(2，5)由，得D1(3，5)5分若四邊形ACD2B為平行四邊形，則2.而(4,0)，(x1，y5)D2(5，5)8分若四邊形ACBD3為平行四邊形，則.而(x1，y)，(2,5)，D3(1,5)11分綜上所述，

11、平行四邊形第四個頂點的坐標為(3，5)或(5，5)或(1,5)12分溫馨提醒(1)本題考查向量坐標的基本運算，難度中等，但錯誤率較高，典型錯誤是忽視了分類討論此外，有的學生不知道運用平行四邊形的性質，找不到解決問題的切入口(2)向量本身就具有數(shù)形結合的特點，所以在解決此類問題時，要注意畫圖，利用數(shù)形結合的思想求解方法與技巧1平面向量基本定理的本質是運用向量加法的平行四邊形法則，將向量進行分解向量的坐標表示的本質是向量的代數(shù)表示，其中坐標運算法則是運算的關鍵2平面向量共線的坐標表示(1)兩向量平行的充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是ab，這與x1y2x2y10在本質

12、上是沒有差異的，只是形式上不同(2)三點共線的判斷方法判斷三點是否共線，先求由三點組成的任兩個向量，然后再按兩向量共線進行判定失誤與防范1要區(qū)分點的坐標和向量的坐標，向量坐標中包含向量大小和方向兩種信息；兩個向量共線有方向相同、相反兩種情況2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2x2y10.A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)一、選擇題1(2012·廣東)若向量(2,3)，(4,7)，則等于()A(2，4) B(2,4)C(6,10) D(6，10)答案A解析由于(2,3)，(4,7)，所以(2,3)(4，7)

13、(2，4)2在ABC中，點P在BC上，且2，點Q是AC的中點，若(4,3)，(1,5)，則等于()A(2,7) B(6,21)C(2，7) D(6，21)答案B解析33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)3設向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，則“a(4,2)”是“ab”成立的()A充要條件 B必要不充分條件C充分不必要條件 D既不充分也不必要條件答案C解析若a(4,2)，則|a|2，且ab都成立；因ab，設ab(2，)，由|a|2，知42220，24，±2，a(4,2)或a(4，2)因此“a(4,2)”是“ab”成立的充分不必要條件4已知a(1,1)，b(1，1)，c(

14、1,2)，則c等于()AabB.abCabDab答案B解析設cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab.5如圖，在OAB中，P為線段AB上的一點，xy，且2，則()Ax，yBx，yCx，yDx，y答案A解析由題意知，又2，所以()，所以x，y.二、填空題6已知A(3,0)，B(0，)，O為坐標原點，C在第二象限，且AOC30°，則實數(shù)的值為_答案1解析由題意知(3,0)，(0，)，則(3，)，由AOC30°知以x軸的非負半軸為始邊，OC為終邊的一個角為150°，tan 150°，即，1.7已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv

15、，則實數(shù)x的值為_答案解析因為a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)，又因為uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.8ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，則角C_.答案60°解析因為pq，則(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，結合余弦定理知，cos C，又0°<C<180°，C60°.三、解答題9已知A(1,1)、B(3，1)、C(a，b)(1)若A、B、C三點共線

16、，求a、b的關系式；(2)若2，求點C的坐標解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)A、B、C三點共線，2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)，解得，點C的坐標為(5，3)10如圖，G是OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動點，且P，G，Q三點共線(1)設，將用，表示；(2)設x，y，證明：是定值(1)解()(1).(2)證明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB的重心，×().而，不共線，由，得解得3(定值)B組專項能力提升(時間：30分鐘)1已知a，b是不共線的向量，ab，ab，R，那么A、B、C三點共線的充要條件為()

17、A2 B1C1 D1答案D解析A、B、C三點共線，存在實數(shù)t，滿足t，即abtatb，又a，b是不共線的向量，1.2已知ABC中，點D在BC邊上，且2，rs，則rs的值是()A.B.C3 D0答案D解析，.又rs，r，s，rs0，故選D.3已知A(7,1)、B(1,4)，直線yax與線段AB交于C，且2，則實數(shù)a_.答案2解析設C(x，y)，則(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得.C(3,3)又C在直線yax上，3a·3，a2.4給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上運動若xy，其中x，yR，求xy的最大值解以O為坐標原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(1,0)，B(，)，設AOC(0，)，則C(cos ，sin )，由xy，得，所