幾種常用數(shù)值積分方法的比較

1、學(xué)科分類號(hào) 110.3420 本 科 畢 業(yè) 論 文 題 目 幾種常用數(shù)值積分方法的比較 姓 名 潘曉祥 學(xué) 號(hào) 1006020540200 院 （系） 數(shù) 學(xué) 與 計(jì) 算 機(jī) 科 學(xué) 學(xué) 院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí) 2010 級(jí) 指導(dǎo)教師 雍 進(jìn) 軍 職 稱 講 師 二一四年五月貴州師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）誠信聲明本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)），是本人在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果，成果不存在知識(shí)產(chǎn)權(quán)爭議，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體均已在文中以明確方式標(biāo)明。

2、本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 本科畢業(yè)論文作者簽名： 年 月 日貴州師范學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))任務(wù)書畢業(yè)設(shè)計(jì)題目幾種常用數(shù)值積分方法的比較作 者 姓 名潘曉祥學(xué)號(hào)1006020540200年級(jí)2010級(jí)所屬學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)四班指導(dǎo)教師簽名雍進(jìn)軍 講師職稱講師開題日期2013年7月10日主要目標(biāo) 1了解什么數(shù)值積分基本思想和一些常用的數(shù)值積分方法；2對(duì)各種數(shù)值積分方法的誤差以及代數(shù)精度進(jìn)行分析；3對(duì)各積分方法進(jìn)行比較總結(jié)出優(yōu)缺點(diǎn)。主要要求 通過對(duì)幾種常用的數(shù)值積分方法進(jìn)行了的分析，并用這幾種方法對(duì)被積函數(shù)是普通函數(shù)做了數(shù)值積分，并在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

3、數(shù)值積分是計(jì)算方法或數(shù)值分析理論中非常重要的內(nèi)容，數(shù)值積分方法也是解決實(shí)際計(jì)算問題的重要方法，對(duì)幾種常用數(shù)值積分方法的分析很必要。主要內(nèi)容 本文通過對(duì)復(fù)化求積公式, NewtonCotes求積公式, Romberg求積公式,高斯型求積公式進(jìn)行分析討論并在計(jì)算機(jī)上積分實(shí)驗(yàn),從代數(shù)精度,求積公式誤差等角度對(duì)這些方法進(jìn)行分析比較，并總結(jié)出每種求積分法的優(yōu)缺點(diǎn)以及實(shí)用性。 貴州師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報(bào)告書論 文 題 目幾種常用數(shù)值積分方法的比較作 者 姓 名潘曉祥學(xué)號(hào)1006020540200年級(jí)2010級(jí)所屬學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)數(shù)本（4）班指導(dǎo)教師姓名雍進(jìn)軍職稱講

4、師預(yù)計(jì)字?jǐn)?shù)5000.00字題目性質(zhì)應(yīng)用研究日期2013年7月05 日選題的原由：研究意義:數(shù)值積分是數(shù)學(xué)上的重要課題之一,是數(shù)值分析中的重要內(nèi)容之一,也是數(shù)學(xué)的研究重點(diǎn).并在實(shí)際問題及應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用.常用于科學(xué)與工程的計(jì)算中,如涉及到積分方程,工程計(jì)算,計(jì)算機(jī)圖形學(xué),金融數(shù)學(xué)等應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域都有著相當(dāng)重要的應(yīng)用,所以研究數(shù)值積分問題有很重要的意義. 數(shù)值積分是研究如何求出一個(gè)積分的數(shù)值.這一課題的起源可追溯到古代,其中一個(gè)突出的例子是希臘人用內(nèi)接與外接正多邊形推算出圓面積的方法.也正是此法使阿基米德得以求出值得上界與下界,若干世紀(jì)以來,尤其是十六世紀(jì)后,已提出了多種數(shù)值積分方法,其中有矩形

5、求積法,內(nèi)插求積法,牛頓科特斯公式,復(fù)化求積公式,龍貝格求積公式,高斯型求積公式.但各種方法都有特點(diǎn),在不同的情況下試用程度不同,我們將著重從求積公式的代數(shù)精度和余項(xiàng)等角度對(duì)這些方法進(jìn)行分析比較.研究動(dòng)態(tài):這些年來,有關(guān)數(shù)值積分的研究已經(jīng)成為一個(gè)很活躍的研究領(lǐng)域,歷史上,阿基米德,牛頓,歐拉,高斯,切比雪夫等人都對(duì)此有過貢獻(xiàn).研究出各種各樣的數(shù)值求積公式,但一個(gè)好的數(shù)值求積公式應(yīng)該滿足:計(jì)算簡單,誤差小,代數(shù)精度高.我們將對(duì)矩形求積法,內(nèi)插求積法，牛頓科特斯公式,化求積公式,貝格求積公式,斯型求積公式進(jìn)行比較.對(duì)數(shù)值求積公式能有進(jìn)一步的了解和學(xué)習(xí).主要內(nèi)容：1 數(shù)值積分方法的基本思想2 幾類常

6、用數(shù)值積分方法的基本分析2.1 NewtonCotes求積公式2.2 復(fù)化求積公式2.3 Romberg求積公式2.4 高斯型求積公式3 幾類數(shù)值積分方法的簡單比較評(píng)述4 利用MATLAB編程應(yīng)用對(duì)幾類求積算法的分析比較研究方法：本論文主要通過對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)和書籍的參考,合自己的見解,復(fù)化求積公式,NewtonCotes求積公式,Romberg求積公式,高斯型求積公式進(jìn)行討論并進(jìn)行上機(jī)實(shí)驗(yàn)，從代數(shù)精度,求積公式誤差等角度對(duì)這些方法進(jìn)行分析比較.完成期限和采取的主要措施：本論文計(jì)劃用6個(gè)月的時(shí)間完成,階段的任務(wù)如下:(1)7月份查閱相關(guān)書籍和文獻(xiàn);(2)8月份完成開題報(bào)告并交老師批閱;(3

7、)9月份完成論文初稿并交老師批閱;(4)10月份完成論文二搞并交老師批閱;(5)11月份完成論文三搞;(6)12月份定稿.主要措施:考相關(guān)書籍和文獻(xiàn),合自己的見解,老師的指導(dǎo)下和同學(xué)的幫助下完成主要參考文獻(xiàn)及資料名稱：1 關(guān)治. 陸金甫. 數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)（第二版） M. 北京:等教育出版社.2010.72 胡祖熾. 林源渠. 數(shù)值分析 M 北京:等教育出版社.1986.33 薛毅. 數(shù)學(xué)分析與實(shí)驗(yàn) M 北京:業(yè)大學(xué)出版社 2005.34 徐士良. 數(shù)值分析與算法 M. 北京:械工業(yè)出版社2007.15 王開榮. 楊大地. 應(yīng)用數(shù)值分析 M 北京:等教育出版社 2010.76 楊一都. 數(shù)值計(jì)算方

8、法M. 北京:等教育出版社 . 2008.47 韓明. 王家寶. 李林. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（MATLAB）版M. 上海:濟(jì)大學(xué)出版社 2012.18 圣寶建. 關(guān)于數(shù)值積分若干問題的研究J. 南京信息工程大學(xué). 2009.05.01. : 429 劉緒軍. 幾種求積公式計(jì)算精確度的比較J. 南京職業(yè)技術(shù)學(xué)院. 2009.10 史萬明.吳裕樹.孫新.數(shù)值分析M. 北京理工大學(xué)出版社.2010.4.指導(dǎo)教師意見：  簽 名： 年 月 日 開 題 報(bào) 告 會(huì) 紀(jì) 要時(shí)間2013年8月26日地點(diǎn)寧靜樓229教師辦公室與會(huì)人員姓 名職務(wù)（職稱）姓 名職務(wù)（職稱）姓 名職務(wù)（職稱）雍進(jìn)軍導(dǎo)師（講師）鄧喜

9、才副教授李晟副教授龍林林組長會(huì)議記錄摘要：指導(dǎo)小組針對(duì)課題二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用提問了以下問題以及報(bào)告人的回答：雍老師問:選擇此題目的目的?潘曉祥答:隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算方法的飛速發(fā)展,幾乎所有學(xué)科都走向定量化和精確化,計(jì)算數(shù)學(xué)中的數(shù)值計(jì)算方法則是解決“計(jì)算”問題的橋梁和工具。鄧?yán)蠋焼?對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行研究有什么實(shí)際的意義? 潘曉祥答:計(jì)算方法既有數(shù)學(xué)類課程中理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性,又有實(shí)用性和實(shí)驗(yàn)性的技術(shù)特征,計(jì)算方法是一門理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)的學(xué)科.在科學(xué)研究和工程技術(shù)中都要用到各種計(jì)算方法.例如,在航天航空、地質(zhì)勘探、汽車制造、橋梁設(shè)計(jì)、 天氣預(yù)報(bào)和漢字字樣設(shè)計(jì)中都有計(jì)算方法的蹤影。李老師問:對(duì)這

10、個(gè)問題你有什么自己的看法?潘曉祥答:隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和普及,現(xiàn)在計(jì)算方法課程幾乎已成為所有理工科學(xué)生的必修課程.我們知道,計(jì)算能力是計(jì)算工具和計(jì)算方法的效率的乘積,提高計(jì)算方法的效率與提高計(jì)算機(jī)硬件的效率同樣重要.科學(xué)計(jì)算已用到科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域中.所以,研究數(shù)值計(jì)算方法可以讓數(shù)學(xué)的應(yīng)用更大更廣。會(huì)議主持人簽名：記錄人簽名：年 月 日指導(dǎo)小組意見負(fù)責(zé)人簽名： 年 月 日學(xué) 院 意 見負(fù)責(zé)人簽名： 年 月 日貴 州 師 范 學(xué) 院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué) 學(xué)院指導(dǎo)教師指導(dǎo)本科畢業(yè)論文情況登記表論文（設(shè)計(jì)）題 目幾種常用數(shù)值積分方法的比較用學(xué)生姓名潘曉祥學(xué)號(hào)1006020540200年

11、級(jí)2010級(jí)所屬學(xué)院數(shù)計(jì)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)四班指導(dǎo)教師姓名雍進(jìn)軍職 稱講師學(xué) 歷碩士指導(dǎo)時(shí)間指導(dǎo)地點(diǎn)指 導(dǎo) 內(nèi) 容指導(dǎo)教師簽名備 注2013年06月10日致遠(yuǎn)樓416論文選題，資料準(zhǔn)備面授2013年06月22日網(wǎng)上確定畢業(yè)論文選題電子郵件2013年06月26日網(wǎng)上怎樣撰寫畢業(yè)論文開題報(bào)告電子郵件2013年06月28日網(wǎng)上指導(dǎo)學(xué)生撰寫開題報(bào)告電子郵件2013年07月14日網(wǎng)上幫助學(xué)生查找有關(guān)參考文獻(xiàn)電子郵件2013年07月17日手機(jī)如何構(gòu)思自己的畢業(yè)論文手機(jī)飛信2013年08月21日手機(jī)聽取學(xué)生畢業(yè)論文寫作進(jìn)展情況匯報(bào)手機(jī)飛信2013年08月28日網(wǎng)上解答學(xué)生在論文寫作中遇到的疑惑電子郵

12、件2013年9月09日網(wǎng)上幫助學(xué)生查找有關(guān)參考文獻(xiàn)電子郵件2013年11月28日網(wǎng)上如何規(guī)劃自己的論文電子郵件2013年12月04日手機(jī)怎樣寫好論文引言手機(jī)飛信2013年12月08日網(wǎng)上怎樣寫好論文引言電子郵件2013年12月12日網(wǎng)上怎樣寫論文摘要電子郵件2013年12月16日網(wǎng)上怎樣選取論文關(guān)鍵詞電子郵件2013年12月20日網(wǎng)上怎樣編輯論文中的公式電子郵件2014年01月05日手機(jī)督促學(xué)生在寒假中寫好論文的初稿電子郵件2014年02月27日寧靜樓219檢查學(xué)生論文完成情況面授2014年03月03日寧靜樓219對(duì)學(xué)生的論文初稿提出修改時(shí)意見面授2014年03月07日寧靜樓219解答學(xué)生在修

13、改時(shí)的困惑面授2014年03月11日寧靜樓219指導(dǎo)學(xué)生修改論文面授貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）交叉評(píng)閱表學(xué)院（蓋章）：學(xué)號(hào)1006020540200姓名潘曉祥專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)論文（設(shè)計(jì)）題目幾種常用數(shù)值積分方法的比較班級(jí)四班指導(dǎo)教師意見評(píng)語： 該同學(xué)在論文撰寫過程中對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)閱讀范圍廣泛，方法正確，內(nèi)容完整，能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題。畢業(yè)論文撰寫過程中態(tài)度端正，勤奮刻苦。論文研究了NewtonCotes求積公式、復(fù)化求積公式、Romberg積分、高斯積分方法，通過算例分析，得出幾種常用數(shù)值積分方法是解決實(shí)際計(jì)算問題的重要方法。論文結(jié)構(gòu)合理，符合邏輯，文章

14、層次分明，語言準(zhǔn)確，文字通順，達(dá)到規(guī)范性要求，建議作為學(xué)士論文答辯。成績： （滿分100分） 指導(dǎo)教師（簽名）： 年 月 日評(píng)閱教師意見評(píng)語：該同學(xué)具備較好的基礎(chǔ)理論與專業(yè)知識(shí)，學(xué)習(xí)態(tài)度認(rèn)真，閱讀教師指定的參考資料、文獻(xiàn)，較好的完成了任務(wù)書規(guī)定的工作量。論文研究了NewtonCotes求積公式、復(fù)化求積公式、Romberg積分、高斯積分方法，通過算例分析，得出幾種常用數(shù)值積分方法是解決實(shí)際計(jì)算問題的重要方法。論文結(jié)構(gòu)合理，符合邏輯，文章層次分明，語言準(zhǔn)確，文字通順，達(dá)到本科畢業(yè)論文相關(guān)要求。同意參加答辯。成績： （滿分100分） 評(píng)閱教師（簽名）： 年 月 日貴州師范學(xué)院本科畢業(yè)論文答辯記錄表

15、論文題目幾種常用的多項(xiàng)式插值方法作者姓名潘曉祥學(xué)號(hào)1006020540200年級(jí)2010級(jí)所屬學(xué)院數(shù)計(jì)專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)本科（四）班指導(dǎo)教師姓名、職稱雍進(jìn)軍 講師答 辯 會(huì) 紀(jì) 要時(shí)間2014年 5 月11 日地點(diǎn)致遠(yuǎn)樓406答辯小組成員姓 名職務(wù)（職稱）姓 名職務(wù)（職稱）姓 名職務(wù)（職稱）左羽教授崔忠偉副教授廖玉梅講師答辯中提出的主要問題及回答的簡要情況記錄：1自己做的有哪些？答：第11頁至第12頁，總結(jié)進(jìn)行比較。2程序運(yùn)行過沒有？答：運(yùn)行過。320頁程序代碼中，if后的是什么符號(hào)？答：連接作用的符號(hào)。4解釋一下什么時(shí)候用分號(hào)，什么時(shí)候不用？答：回答不清。5摘要中英文拼寫有錯(cuò)答辯后修改答

16、辯小組負(fù)責(zé)人簽名：左羽記錄人簽名：梅林林2014年 5 月11 日 答辯小組意見評(píng)語：該生能在規(guī)定時(shí)間敘述論文的主要內(nèi)容，對(duì)提出的問題一般能回答，無原則錯(cuò)誤。答辯小組經(jīng)過充分討論，根據(jù)該生論文質(zhì)量和答辯中的表現(xiàn)，同意評(píng)定論文成績?yōu)椤爸械取?。評(píng)定成績：77 負(fù)責(zé)人（簽名）：左羽 2014 年 5月11日貴州師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）目 錄摘 要1Abstract21 前 言32 數(shù)值積分方法的基本思想33 幾類常用數(shù)值積分方法的簡單分析53.1 NewtonCotes求積公式53.2 復(fù)化求積公式633 Romberg求積公式734 高斯型求積公式84 幾類數(shù)值積分方法的簡單比較評(píng)述95 利用MA

17、TLAB編程應(yīng)用對(duì)幾類求積算法的分析比較10結(jié)束語13致 謝14附 錄15摘 要 我們?cè)谇蠛瘮?shù)的積分時(shí)，往往因?yàn)樵瘮?shù)非常復(fù)雜以至于難以求出或用初等函數(shù)表示，這讓我們計(jì)算起來非常困難，所以我們只能想辦法求它的近似值，因此直接借助牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分的情況是非常少見的。這時(shí)候數(shù)值積分就是解決這種問題的一種很好很有效的方法。本文從數(shù)值積分問題的產(chǎn)生出發(fā)，詳細(xì)介紹了一些數(shù)值積分的常用方法（NewtonCotes求積公式，復(fù)化求積公式，Romberg求積公式，高斯型求積公式）并對(duì)其進(jìn)行了簡要的分析，在探討了這些數(shù)值積分算法的優(yōu)缺點(diǎn)的理論之外，我們還將這些數(shù)值積分算法在計(jì)算機(jī)上通過matlab軟

18、件編程實(shí)現(xiàn)應(yīng)用，并分別用各自求積公式進(jìn)行運(yùn)算，以此來分析比較各種求積公式的代數(shù)精度和計(jì)算誤差。關(guān)鍵詞 :數(shù)值積分;求積公式;代數(shù)精度Abstract function is very complex that it is difficult to find the elementary functions, which makes u We in the function for the integration, often because the original s very difficult to calculate, so we can only think of a way to

19、find the approximate value, thus directly with Newton - Leibniz formula calculating definite integral situation is very rare. When numerical integration is to solve this problem in a very effective method. From the numerical integration problem, introduces some methods of numerical integration (Newt

20、on - Cotes quadrature formula, composite quadrature formulas, Longbei lattice quadrature formula, Gauss type quadrature formulas) and has carried on brief analysis, discusses the advantages and disadvantages of these numerical integration algorithm theory, we will these numerical integration algorit

21、hm in the computer by MATLAB software programming application, and separately with their respective quadrature formula for computing, in order to analyze the algebraic calculation precision and error comparison of various quadrature formulas.Keywords: Numerical integration; Calculationmeth; numerica

22、l analysis1 前 言微積分的發(fā)明是世界數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)輝煌的成就。但在實(shí)際求積問題的時(shí)候，求解積分卻有著非常多局限性。比如對(duì)于定積分在求某函數(shù)的定積分時(shí)，在一定條件下，雖然有牛頓-萊布里茨公式可以計(jì)算定積分的值，但在很多情況下的原函數(shù)不易求出或非常復(fù)雜。被積函數(shù)的原函數(shù)很難用初等函數(shù)表達(dá)出來，例如等；有的函數(shù)的原函數(shù)存在，但其表達(dá)式太復(fù)雜,計(jì)算量太大，有的甚至無法有解析表達(dá)式。因此能夠借助牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分的情形是不多的。另外，許多實(shí)際問題中的被積函數(shù)往往是列表函數(shù)或其他形式的非連續(xù)函數(shù)對(duì)這類函數(shù)的定積分，也不能用不定積分方法求解，只能設(shè)法求其近似值。因此，探討近似計(jì)算的數(shù)值積

23、分方法是有明顯的實(shí)際意義的即有必要研究定積分的數(shù)值計(jì)算方法，以解決定積分的近似計(jì)算。而數(shù)值積分就是解決此類問題的一種有效的方法，它的特點(diǎn)是利用被積函數(shù)在一些節(jié)點(diǎn)上的信息求出定積分的近似值。在很多實(shí)際應(yīng)用中，只能知道積分函數(shù)在某些特定點(diǎn)的取值比如天氣測(cè)量中的氣溫、濕度、氣壓等，醫(yī)學(xué)測(cè)量中的血壓、濃度等等。通過研究，我們將會(huì)更熟練掌握一些數(shù)值積分方法去計(jì)算一些特定條件的數(shù)值計(jì)算，以便我們得到自己想要的結(jié)果。2 數(shù)值積分方法的基本思想在數(shù)學(xué)分析中，計(jì)算連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的積分是通過f(x)的原函數(shù)F(x),由下列定積分公式 得到的。但由于大量被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，因此，很難

24、用求原函數(shù)的公式得到積分；有些被積函數(shù)不是明顯知道的，例如由數(shù)值表給出它的離散值，或者是它被定義為某個(gè)微分方程的解，而這個(gè)微分方程是不能顯示解出的。這說明，按公式計(jì)算定積分是有很大局限性的。 因而常常采用在電子計(jì)算機(jī)上很有效的數(shù)值積分方法。我們從定積分的定義 出發(fā)。推導(dǎo)出兩個(gè)簡單的數(shù)值積分公式。式的幾何意義，就是把整塊曲線梯形的面積積分成若干個(gè)小曲邊梯形面積的和，當(dāng)無限細(xì)分時(shí)這個(gè)和取極限就是真正曲邊梯形面積。去掉取極限這一步，用有限個(gè)小曲邊梯形面積的和，代替整塊的曲邊梯形面積，從而求得一個(gè)近似值，這就是數(shù)值積分的基本思想。根據(jù)小區(qū)間的不同分割方法和各分點(diǎn)f()值的不同選擇，就得到不同的數(shù)值積分

25、公式。 數(shù)值求積公式是取上若干個(gè)點(diǎn)處的高度，通過加權(quán)后，再求和 從而得到積分的近似值。數(shù)值求積公式寫成一般形式式中稱求積節(jié)點(diǎn)，稱求積系數(shù)，也稱伴隨節(jié)點(diǎn)的權(quán)。當(dāng)積分區(qū)間確定后，求積系數(shù)僅僅與節(jié)點(diǎn)的選取有關(guān)，而不依賴被積函數(shù)的具體形式。記把稱為求積公式的截?cái)嗾`差或余項(xiàng)。 數(shù)值求積方法的特點(diǎn)是直接利用積分區(qū)間上一些離散節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行線性組合來近似計(jì)算定積分的值，從而將定積分的計(jì)算歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算，這就避開了牛頓-萊布尼茲公式需要尋求原函數(shù)的困難，并為計(jì)算機(jī)求積分提供了可行性。 3 幾類常用數(shù)值積分方法的簡單分析3.1 NewtonCotes求積公式 常用的梯形公式和Simpson公式是低階的牛頓

26、-柯特斯公式，牛頓-柯特斯公式是積分區(qū)間上等距節(jié)點(diǎn)的插值求積公式。插值求積公式在積分區(qū)間上，所取節(jié)點(diǎn)是等距時(shí)稱為牛頓-柯特斯公式，即 其中為Cotes求積公式的系數(shù)，是n和k的函數(shù)。當(dāng)n=1時(shí)，為梯形公式：梯形公式的代數(shù)精度為1，有兩個(gè)積分節(jié)點(diǎn)。當(dāng)n=2時(shí)，為Simpson公式：Simpson公式的代數(shù)精度為3，有三個(gè)積分節(jié)點(diǎn)。 由于只增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，其代數(shù)精度增加2，由此可知，Simpson公式比梯形公式代數(shù)精度高。當(dāng)n=4時(shí)，NewtonCotes求積公式為Cotes公式：Newton-Cotes公式的代數(shù)精度為5，有5個(gè)積分節(jié)點(diǎn)。 所以對(duì)于Newton-Cotes積分公式，n為偶數(shù)時(shí)的代數(shù)

27、精度要比n為奇數(shù)時(shí)的積分公式效果比較優(yōu)越。但并不是n的值越大越好，當(dāng)n過大時(shí)（n=8），求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性不好。3.2 復(fù)化求積公式 由于Newton-Cotes的節(jié)點(diǎn)n越大對(duì)應(yīng)的精度就越高，但是n=8時(shí)公式的數(shù)值是不穩(wěn)定的，因此就不能用增加求積節(jié)點(diǎn)的方法來提高精度，因此，我們常常將求積區(qū)間a,b分成若干小區(qū)間，然后在每個(gè)小區(qū)間上采用數(shù)值穩(wěn)定的Cotes公式求小區(qū)間上的積分，然后把每個(gè)小區(qū)間上的結(jié)果加起來作為原定積分的近視值，這種方法構(gòu)造的求積公式就叫做復(fù)化求積公式。常用的復(fù)化求積公式有：復(fù)化梯形公式： 變步長梯形公式為：復(fù)化Simpson公式：變步長復(fù)化Simpson公式：3.3 Romb

28、erg求積公式 Romberg積分方法也叫做逐次分半加速法，它是在復(fù)化梯形公式誤差估計(jì)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用線性外推的方法構(gòu)造出的一種加速算法。 將積分區(qū)間分成n等分和2n等分時(shí)，求得積分近似值和，并沒有誤差估計(jì)式 積分近似值的誤差大致等于，當(dāng)用對(duì)進(jìn)行修正時(shí)，與之和比更接近于真值,故是對(duì)誤差的一種補(bǔ)償，因此可以期望下式是一個(gè)更好的結(jié)果，即 下面說明即是分成n等分時(shí)Simpson公式的值。將復(fù)化梯形公式梯形變步長求積公式代入上式表達(dá)式得 這就是說，用梯形法二分前后兩個(gè)梯形值和作線性外推，結(jié)果得到Simpson法的積分值。將誤差由變?yōu)?，從而提高了逼近精度?再考察Simpson法。其截?cái)嗾`差與成正比，因此

29、，若將步長折半，則誤差減至，即有 由此得 不難驗(yàn)證，上式右端的值其實(shí)等于，就是說，用Simpson法二分前后的兩個(gè)積分值與,按上式再作線性外推，結(jié)果得到柯特斯法的積分值，即有這時(shí)將誤差由變?yōu)?，逼近精度又一次得以提高?同樣的方法，依據(jù)柯特斯法的誤差公式，可進(jìn)一步導(dǎo)出下列龍貝格公式 逼近積分值的誤差為，這樣Romberg公式將誤差由變?yōu)椋平仍俅蔚靡蕴岣?。Romberg公式有7次代數(shù)精度，這表明該公式不是牛頓-柯特斯公式。 在步長二分的過程中運(yùn)用、表達(dá)式加工三次，就能將粗糙的積分值逐步加工成精度較高的Romberg值，或者說，將收斂緩慢的梯形值序列加工成收斂迅速的Romberg值序列，這種加

30、速方法稱Romberg算法。3.4 高斯型求積公式 前面介紹的個(gè)節(jié)點(diǎn)的 Newton -Cotes求積公式，其特征是節(jié)點(diǎn)是等距的。這種特點(diǎn)使得求積公式便于構(gòu)造，復(fù)化求積公式易于形成。但同時(shí)也限制了公式的精度。是偶數(shù)時(shí)，代數(shù)精度為，是奇數(shù)時(shí)，代數(shù)精度為；我們知道個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精確度不低于。能不能在區(qū)間上適當(dāng)選擇個(gè)節(jié)點(diǎn) 使插值求積公式的代數(shù)精度高于呢？ 答案是肯定的，適當(dāng)選擇節(jié)點(diǎn)，可使公式的精度最高達(dá)到，這就是所學(xué)的高斯型求積公式。 不失一般性，將求積公式的求積區(qū)間轉(zhuǎn)換成的形式。 對(duì)任意求積區(qū)間作變換 可以變換到區(qū)間上，這時(shí)其中。 高斯-勒讓德求積公式在這里簡稱高斯公式，它是在區(qū)間上

31、進(jìn)行討論的。4 幾類數(shù)值積分方法的簡單比較評(píng)述 由于我們?cè)谟?jì)算實(shí)際問題是往往要考慮到代數(shù)精度和計(jì)算量，所以不同類型的求積公式有著不同的特點(diǎn)： Simpson積分方法和梯形積分方法雖然計(jì)算簡便，但是精度比較差，不理想。但對(duì)于光滑性較差的被積函數(shù)有時(shí)會(huì)比高精度的積分方法更為有效。特別是梯形積分方法對(duì)被積函數(shù)是周期函數(shù)的求積效果更為突出。n>7時(shí)，NewtonCotes公式是不穩(wěn)定的，然而復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式不僅保留了低階公式的優(yōu)點(diǎn)還能夠獲得比較較高的精度，所以在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)用得最為廣泛。 Romberg積分方法的算法簡單，方便編程的實(shí)現(xiàn)。收斂速度快、計(jì)算精度較高，但是計(jì)算量較

32、大。 Gauss積分方法的精度較高，數(shù)值穩(wěn)定、收斂速度較快，但因?yàn)槠涔?jié)點(diǎn)不規(guī)則，計(jì)算比較麻煩。5 利用MATLAB編程應(yīng)用對(duì)幾類求積算法的分析比較 在簡單的認(rèn)識(shí)積分方法比且理論比較之后，則要進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，因此就要通過matlab軟件對(duì)各種積分方法進(jìn)行編程并運(yùn)算，然后對(duì)其各種方法的運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行分析比較，掌握和理解各方法的優(yōu)缺點(diǎn)。 規(guī)定各個(gè)程序都以為例子進(jìn)行運(yùn)算。原積分的精確值為例 分別用不同的方法計(jì)算積分，并作比較。 用以上介紹的幾類積分方法分別計(jì)算積分，得出誤差，并進(jìn)行比較：1、用Newton-Cotes公式當(dāng)n=1時(shí)，即用梯形公式，用程序一 （程序見附錄） 在MATLAB命令窗口中輸

33、入>> NCotes(0,1,1,2) 得0.92703549240395 0.01904757796323當(dāng)n=2時(shí), 即用Simpson公式,用程序一 （程序見附錄） 在MATLAB命令窗口中輸入>> NCotes(0,1,2,2)得0.94614588227359 0.000062811906407當(dāng)n=4時(shí), 即用科特斯公式，用程序一 （程序見附錄） 在MATLAB命令窗口中輸入>> NCotes(0,1,4,2)得0.94608300406367 0.0000000663035132、用復(fù)化梯形公式 令h=1/8=0.125，用程序二 （程序見附錄

34、） 在MATLAB命令窗口中輸入>> trapr1('f',0,1,8),得=0.94569086352700.0003922068401823、用復(fù)化 Simpson 公式 令h=1/8=0.125，用程序三 （程序見附錄） 在MATLAB命令窗口中輸入>> simpr1('f',0,1,8),得 =0.94608308538495 0.000000015017767 4、用Romberg公式 用程序四 （程序見附錄） 在MATLAB命令窗口中輸入>> romber('f',0,1,5,0.5*(10(-8)

35、，得0.94608307036718 0.0000000000000025、用高斯-勒讓德求積公式 令，（1） 用2個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss公式0.94604115827633（2） 用3個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss公式，用程序五 （程序見附錄） 在MATLAB命令窗口中輸入>> GuassLegendre (0,1,2,2)，得0.946083134078473 0.000000063711290算法比較:1.原積分的精確值為：2.由例題的各種求積算法可知：（1）對(duì)Newton-cotes公式，當(dāng)n=1時(shí)只有1位有效數(shù)字，當(dāng)n=2時(shí)有3位有效數(shù)字，當(dāng)n=4時(shí)有7位有效數(shù)字。（4）用復(fù)化梯形公式有

36、2位有效數(shù)字，對(duì)復(fù)化Simpson公式有7位有效數(shù)字。（5）用復(fù)化梯形公式，對(duì)積分區(qū)間二分11次用了2049個(gè)函數(shù)值，才可以得7位有效數(shù)字。（6）用Romberg公式對(duì)區(qū)間二分3次用了9個(gè)函數(shù)值，就可以得到7位有效數(shù)字；二分4次用了14個(gè)函數(shù)值，卻可以得到14位有效數(shù)字。（7）用高斯-勒讓德求積公式僅僅用了3個(gè)函數(shù)值，就能得到比較精確的6位有效數(shù)字。結(jié)束語 本文主要研究了常用的幾類數(shù)值積分的求積算法并通過例題計(jì)算積分進(jìn)行分析比較。Newton-Cotes積分方法是一種非常普遍的積分方法，然而梯形積分方法的誤差最大，近似效果最差，Simpson積分方法的精度比梯形積分方法高了一個(gè)數(shù)量級(jí)；Cote

37、s積分方法精度比Simpson積分方法高兩個(gè)數(shù)量級(jí)。則Cotes代數(shù)精度比較高。由此可知一般情況下，積分公式代數(shù)精度越高，計(jì)算精度也越高。但是高階的Cotes積分方法收斂性沒有保證，因此實(shí)際應(yīng)用中很少用。復(fù)化梯形積分方法比梯形積分方法精度高，同樣的，復(fù)化Simpson積分方法比Simpson積分方法精度高，高了差不多7個(gè)數(shù)量級(jí)，所以復(fù)化積分方法比較優(yōu)越。Romberg積分方法收斂速度快、計(jì)算精度較高，但是計(jì)算量較大。Gauss積分方法精度高、數(shù)值穩(wěn)定、收斂速度較快，但是計(jì)算麻煩。經(jīng)研究可以知道Newton-Cotes方法的代數(shù)精度越高，數(shù)值積分的效果越好、越精確。當(dāng)積分區(qū)間比較大的時(shí)候，積分?jǐn)?shù)

38、值不穩(wěn)定，這個(gè)時(shí)候可以利用復(fù)化積分方法效果會(huì)更好；Romberg積分方法可以利用變步長復(fù)化積分公式得到更為精確的數(shù)值結(jié)果，是比較好的積分方法。高斯求積方法精確度高，收斂性快，比其他積分方法優(yōu)越。具有很廣泛的運(yùn)用。參考文獻(xiàn)1 關(guān)治. 陸金甫. 數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)（第二版） M. 北京:等教育出版社.2010.72 胡祖熾. 林源渠. 數(shù)值分析 M 北京:等教育出版社.1986.33 薛毅. 數(shù)學(xué)分析與實(shí)驗(yàn) M 北京:業(yè)大學(xué)出版社 2005.34 徐士良. 數(shù)值分析與算法 M. 北京:械工業(yè)出版社2007.15 王開榮. 楊大地. 應(yīng)用數(shù)值分析 M 北京:等教育出版社 2010.76 楊一都. 數(shù)值計(jì)算

39、方法M. 北京:等教育出版社 . 2008.47 韓明. 王家寶. 李林. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（MATLAB）版M. 上海:濟(jì)大學(xué)出版社 2012.18 圣寶建. 關(guān)于數(shù)值積分若干問題的研究J. 南京信息工程大學(xué). 2009.05.01. : 42 9 劉緒軍. 幾種求積公式計(jì)算精確度的比較J. 南京職業(yè)技術(shù)學(xué)院.2009.10 史萬明.吳裕樹.孫新.數(shù)值分析M. 北京理工大學(xué)出版社.2010.4.致 謝 行文至此，我的這篇論文已接近尾聲；歲月如梭，我四年的大學(xué)時(shí)光也即將敲響結(jié)束的鐘聲。離別在即，站在人生的又一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)上，心中難免思緒萬千，一種感恩之情油然而生。首先感謝貴州師范學(xué)院四年來對(duì)我的培養(yǎng)，是博

40、學(xué)的老師們教會(huì)了我學(xué)習(xí)的方法、鍛煉了我思考的能力、指明了我未來奮斗的方向，從而使我進(jìn)一步明確了人生的目標(biāo)。其次，我要感謝我的指導(dǎo)老師雍進(jìn)軍老師，他的嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣；他的循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪。在撰寫整個(gè)畢業(yè)論文的過程當(dāng)中，他為我們考慮到了每一個(gè)細(xì)節(jié)，從開題報(bào)告到畢業(yè)論文的擬定修改上，雍老師更是不厭其煩的為我們做好每一步的細(xì)心指導(dǎo)。對(duì)此，我表示衷心地感謝。沒有雍老師，我的論文也不可能這么順利的完成。同時(shí)，我也要感謝每一位給過我?guī)椭睦蠋熀屯瑢W(xué)，在我撰寫論文的過程當(dāng)中同樣給了我大量有益的建議，在此一并向他們表示真誠的感謝，感謝他們對(duì)我的支

41、持和幫助。最后感謝這篇論文所涉及到的各位學(xué)者，本文引用了數(shù)位學(xué)者的研究文獻(xiàn)，如果沒有各位學(xué)者的研究成果帶給我的的幫助和啟發(fā)，我將很難完成本篇論文的寫作。由于我的學(xué)術(shù)水平有限，所寫論文難免有不足之處，懇請(qǐng)各位老師和學(xué)友批評(píng)指正。最后，衷心感謝評(píng)閱論文及參加答辯的各位老師！附 錄1 NewtonCotes求積公式的MATLAB實(shí)現(xiàn) 先用M文件定義一個(gè)名為f1.m的函數(shù)：% i是要調(diào)用第幾個(gè)被積函數(shù)g(i)，x是自變量function f=f1(i,x) g(1)=sqrt(x);if x=0 g(2)=1;elseg(2)=sin(x)/x;endg(3)=4/(1+x2);f=g(i);程序一：

42、function C,g=NCotes(a,b,n,m)% a，b分別為積分的上下限；% n是子區(qū)間的個(gè)數(shù)；% m是調(diào)用上面第幾個(gè)被積函數(shù)；% 當(dāng)n=1時(shí)計(jì)算梯形公式；當(dāng)n=2時(shí)計(jì)算辛浦生公式，以此類推； i=n; h=(b-a)/i; z=0;for j=0:i x(j+1)=a+j*h; s=1; if j=0 s=s; elsefor k=1:j s=s*k;endendr=1;if i-j=0 r=r;elsefor k=1:(i-j) r=r*k;endendif mod(i-j),2)=1 q=-(i*s*r);else q=i*s*r;endy=1;for k=0:i if k=

43、j y=y*(sym('t')-k); endendl=int(y,0,i);C(j+1)=l/q; z=z+C(j+1)*f1(m,x(j+1);endg=(b-a)*z1）當(dāng)輸入，時(shí)，即在MATLAB命令窗口輸入>> NCotes(0,1,1,2)即可得用梯形公式的積分值和相應(yīng)科特斯系數(shù)如圖1.12）當(dāng)輸入，時(shí)，即在MATLAB命令窗口輸入>> NCotes(0,1,2,2)即可得用辛浦生公式的積分值和相應(yīng)科特斯系數(shù)如圖1.23）當(dāng)輸入，時(shí)，即在MATLAB命令窗口輸入>> NCotes(0,1,4,2)即可得用科特斯公式的積分值和相應(yīng)科

44、特斯系數(shù) 如圖1.3 圖 1.1圖 1.2圖1.32 復(fù)化梯形求積公式的MATLAB實(shí)現(xiàn)通過的個(gè)等步長節(jié)點(diǎn)逼近積分其中,程序二：function s=trapr1(f,a,b,n)% f是被積函數(shù)；% a,b分別為積分的上下限；% n是子區(qū)間的個(gè)數(shù)；% s是梯形總面積；h=(b-a)/n;s=0;for k=1:(n-1) x=a+h*k; s=s+feval('f',x);endformat long s=h*(feval('f',a)+feval('f',b)/2+h*s;先用M文件定義一個(gè)名為f.m的函數(shù)：function y=f(x)if

45、 x=0 y=1;else y=sin(x)/x;end若取子區(qū)間的個(gè)數(shù)在MATLAB命令窗口中輸入>> trapr1('f',0,1,8) 回車得到 如圖2.1圖2.13 復(fù)化Simpson求積公式的MATLAB實(shí)現(xiàn)程序三：function s=simpr1(f,a,b,n)% f是被積函數(shù)；% a,b分別為積分的上下限；% n是子區(qū)間的個(gè)數(shù)；% s是梯形總面積,即所求積分?jǐn)?shù)值；h=(b-a)/(2*n);s1=0;s2=0;for k=1:n x=a+h*(2*k-1); s1=s1+feval('f',x);endfor k=1:(n-1) x=a+h*2*k; s2=s2+feval('f',x);ends=h*(feval('f',a)+feval('f