你中有我 動(dòng)靜相映

1、 你中有我 動(dòng)靜相映 談“函數(shù)與方程思想”專題復(fù)習(xí) 舒曉懿（湖北宜昌興山一中）摘要：函數(shù)與方程思想是高中重要思想方法之一，針對(duì)學(xué)生理解障礙的分析，探討幫助學(xué)生理解函數(shù)與方程思想方法的途徑，使得學(xué)生能夠把握這一思想方法的本質(zhì)并能熟練應(yīng)用這一思想方法求解數(shù)學(xué)試題。 關(guān)鍵詞：函數(shù)思想；方程思想；理解障礙；專題復(fù)習(xí)。 1997年開始將數(shù)學(xué)思想方法正式列入高考考試說明之中，函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想方法之一，也是歷年高考考查的考查重點(diǎn)，以2012年湖北數(shù)學(xué)高考考試題為例：思想方法科別客觀題（序號(hào)）解答題(序號(hào))函數(shù)思想文科1、6、14、1718、22理科3、9、13、1417、19、22方程思

2、想文科1、3、5、7、1220、21、22理科1、5、6、7、9、10、11、14、1618、21 函數(shù)與方程思想的內(nèi)涵及基本應(yīng)用屢見報(bào)刊，文1有很好的討論，本文不再贅述，本文主要從學(xué)生一些常見錯(cuò)誤根源入手，來(lái)談?wù)劰P者的看法，愿與同行商榷。一、多元表征，把握實(shí)質(zhì)準(zhǔn)確把握函數(shù)與方程思想應(yīng)用的基礎(chǔ) 在函數(shù)應(yīng)用中，很多學(xué)生狹隘的將定義為自變量，定義為變量；在方程應(yīng)用中，學(xué)生片面的認(rèn)為就是解方程、求零點(diǎn)等。關(guān)注所研究對(duì)象的非數(shù)學(xué)特征，對(duì)函數(shù)概念狹隘的理解，不能用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)抽象其數(shù)學(xué)本質(zhì)，是學(xué)生不能很好理解函數(shù)與方程思想的根源。例1：（經(jīng)典試題）設(shè)不等式對(duì)于滿足的一切的值都成立，求的取值范圍。解法

3、一：（變換主元法）設(shè)則恒成立等價(jià)于： 且 所以解法二：（分離變量法）將不等式轉(zhuǎn)化為或，再求解。 變式1：設(shè)不等式對(duì)于滿足的一切的值都成立，求的取值范圍。例題解析及教學(xué)建議：對(duì)于解法1，眾說紛紜：“此解法學(xué)生只停留在欣賞層面”、“此解法不具備通性，可以用分離變量法”（文2等）。等等不一而足，但文2指出這些評(píng)論都沒有回答一個(gè)事實(shí)：學(xué)生為何不能掌握這種解法？文3進(jìn)一步指出：把第一種方法抽象為原象集：，象集：負(fù)實(shí)數(shù)集；對(duì)應(yīng)法則為：。那么變式1和例題不僅形似，實(shí)質(zhì)也一樣了；解法2的實(shí)質(zhì)也就是求解函數(shù)的值域了。文3從如何解釋解法一、二進(jìn)行了深入的討論，筆者對(duì)例2進(jìn)行討論，筆者力圖尋找學(xué)生思維障礙形成的根源

4、。例2：（2012年浙江文科T21）已知aR，函數(shù). （1）略；（2）證明：當(dāng)時(shí)，。解析：原式有兩個(gè)變量，解題時(shí)學(xué)生習(xí)慣性將作為主元，作為參數(shù)進(jìn)行討論，此高考參考解法在此不再展開。那么，選擇作為主元，作為參數(shù)呢？就得到如下解法2：解2(文4)：要證明當(dāng)0x1時(shí)，f(x)+ 0，不妨設(shè) =因?yàn)?在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，因?yàn)樵僭O(shè)求導(dǎo)求得函數(shù)在是減函數(shù)，在是增函數(shù)所以，則命題得證。變式2：（2012年浙江理科T22）已知函數(shù) （1）證明：；（2）略。例題解析及教學(xué)建議：第一輪復(fù)習(xí)已經(jīng)完成，學(xué)生初步具備了理解數(shù)學(xué)的素材。在專題復(fù)習(xí)中，教師要將這些素材有機(jī)的結(jié)合在一起，進(jìn)一步從數(shù)學(xué)試題中抽象出數(shù)學(xué)概

5、念（如例1）的本質(zhì)，幫助學(xué)生建立知識(shí)與思想的網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學(xué)是由符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言構(gòu)成，長(zhǎng)期以來(lái)，教材、教師教學(xué)中多用x表示自變量，y表示變量,使學(xué)生形成了思維定勢(shì)，對(duì)變式1學(xué)生可以自然的選取“討論單調(diào)性法”、“分離變量法”來(lái)求解試題，而對(duì)例1卻一籌莫展或者只是記憶性的求解，認(rèn)為字母a,b,c等只能是參數(shù)，函數(shù)就是關(guān)于“字母x”的表達(dá)式，這是學(xué)生理解函數(shù)與方程思想障礙的根源之一，進(jìn)而妨礙了學(xué)生自覺應(yīng)用函數(shù)思想分析、求解試題。例2實(shí)測(cè)難度值為0.18，變式2的得分更低，這就是一個(gè)很好的例證。函數(shù)與方程都是分析和研究數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，例2有2個(gè)未知量，變式2有三個(gè)未知量，其實(shí)質(zhì)都是變量之

6、間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此，在專題復(fù)習(xí)中，幫助學(xué)生建立量與量的對(duì)應(yīng)思想，合理的選擇變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系有利于學(xué)生建立函數(shù)與方程思想。在例題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生思考：哪些是變量？那些不是變量？能否把變量看成變量的函數(shù)等？只有不唯x是自變量，對(duì)變式2才能展開深入分析，才能創(chuàng)造出新解法。二、目標(biāo)引領(lǐng)，構(gòu)建函數(shù)深入理解函數(shù)與方程思想求解的思路 在求解諸如單調(diào)性、對(duì)稱性、方程、求根等試題時(shí)學(xué)生可以自覺應(yīng)用函數(shù)與方程的思想與方法，學(xué)生思維往往只停留在試題的表面形態(tài)上，如下例3（1）解題困難在于學(xué)生思維只停留在數(shù)列方法中，對(duì)于（2）學(xué)生高度一致的選擇均值不等式來(lái)求解，求解（3）時(shí)想不起構(gòu)建函數(shù)，學(xué)生多將此題的難點(diǎn)歸結(jié)為

7、向量知識(shí)理解不透所致。例3、（1）（2010年浙江高考理科）設(shè)為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的取值范圍為 （2）（2011年浙江高考理科）設(shè)實(shí)數(shù)，若，則的最大值是 （3）（2009年安徽高考理科）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120°。如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng).若，其中，則x+y的最大值是 .解析：（1）學(xué)生應(yīng)用等差數(shù)列的基本公式將條件轉(zhuǎn)化為 面對(duì)表達(dá)式多數(shù)學(xué)生束手無(wú)策，從題目“的取值范圍”而言構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)應(yīng)該是解題方法之一，求根公式不失為一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而應(yīng)該考慮判別式不小于0，既有： 解得或，等號(hào)成立條件略。此題得分率為0.06，

8、據(jù)該試卷22道題中倒數(shù)第二位，與學(xué)生函數(shù)與方程思想的缺失不無(wú)關(guān)系。（2）文5采用“降元”、“升冪”、“換元”、“引入輔助向量”四個(gè)策略共17種方法進(jìn)行求解，但從學(xué)生課堂解答的情況來(lái)看，值得思考的是學(xué)生高度一致的應(yīng)用均值不等式來(lái)求解，如“2012年高考（浙江文）若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是 ”的求解也強(qiáng)化了學(xué)生這種習(xí)慣。為何會(huì)這樣呢？學(xué)生認(rèn)知缺陷是什么呢？究其原因，學(xué)生缺乏“變量的認(rèn)識(shí)”如把2x和y作為兩個(gè)變量，可以把2x與y理解為方程的兩個(gè)實(shí)根，見解法2；如把“2x+y”作為一個(gè)變量，就可以構(gòu)建這一變量的函數(shù)，見解法1；缺乏“目標(biāo)意識(shí)”求“最大值”構(gòu)造關(guān)于目標(biāo)的函數(shù)

9、是基本方法之一。現(xiàn)摘錄其中兩種解法：解法1：令得，代入已知條件得， 所以解得 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)右邊等號(hào)成立；同理時(shí)左邊等號(hào)成立。解法2： 由得 所以 的兩個(gè)實(shí)根 所以，后同解法1。（3）向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn),包含了代數(shù)(坐標(biāo)運(yùn)算)和幾何(平行四邊形法則、三角形法則)兩方面知識(shí)，眾多報(bào)刊對(duì)此進(jìn)行了討論。從學(xué)生反饋的情況來(lái)看，主要是在考慮幾何意義求解時(shí)陷入困境的，下面僅展示其中三種代數(shù)解法：法1：由條件兩邊平方得 后解略。法2：以為原點(diǎn)，直線為軸建立直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解。法3：設(shè) ，即所以變式3、（1）（08年天津理科）設(shè)，若僅有一個(gè)常數(shù)c使得對(duì)于任意的，都有滿足方程，這時(shí)，的取值的集合為

10、. （2）已知，判斷三角形解的個(gè)數(shù)。例題解析及教學(xué)建議：“數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)就在于做出正確的選擇”（彭加勒語(yǔ)）。學(xué)生思維定勢(shì)的形成與教師在教學(xué)中只注重試題解法的一招一式是分不開的，在數(shù)列教學(xué)中只選擇數(shù)列方法，向量教學(xué)中反復(fù)訓(xùn)練幾何意義，對(duì)于不同的解法只注重“呈現(xiàn)”，不講明“為何這樣思考”、“不同解法之間內(nèi)在聯(lián)系或者差異”，不能站在整個(gè)高中數(shù)學(xué)體系上對(duì)試題進(jìn)行分拆、重組、構(gòu)建，這是不利于學(xué)生思想方法形成。函數(shù)是分析和研究數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，探索變量之間的數(shù)量關(guān)系和最值問題是高考常見的題型之一，解決這類問題的基本策略就是運(yùn)用函數(shù)與方程思想。例3的載體雖然分別為數(shù)列、二元二次式、向量，但本質(zhì)是函數(shù)

11、與方程之間的互相轉(zhuǎn)化，那么在解法中出現(xiàn)、這些同樣的表達(dá)式就不是偶然的了。在二輪復(fù)習(xí)中，選擇“形同質(zhì)異”、“形異質(zhì)同” 變式題組幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法是可行的?？梢?，在二輪復(fù)習(xí)中教師要強(qiáng)化目標(biāo)意識(shí)，在指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生思考：只能用試題本身體現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)求解嗎？是否可以轉(zhuǎn)化為其它方法如函數(shù)與方程思想方法求解？只有具備了目標(biāo)意識(shí)，主動(dòng)分析量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系，變式3（1）就可以構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)求解，變3（2）就可以構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)求解！看透實(shí)質(zhì)才是解法的根源！三、圖形為線，具體入微準(zhǔn)確把握函數(shù)與方程思想的互相轉(zhuǎn)化是函數(shù)，是方程，這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系是函數(shù)與方程思想具體體現(xiàn)，這種轉(zhuǎn)化幾乎滲透到高中數(shù)學(xué)的每一

12、個(gè)章節(jié)，在每一年高考試題中都有大量的體現(xiàn)。例4 （2012年高考山東理科）設(shè)函數(shù)若的圖象與圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則下列判斷正確的是（）（A）當(dāng)時(shí), （B）當(dāng)時(shí), （C）當(dāng)時(shí), （D）當(dāng)時(shí),解法1：由，得，即。 由題意，是方程的兩個(gè)根，不妨設(shè)是方程的二重根。 由三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得（也可以由待定系數(shù)法得） 且 由于均不為0，故由式可得；由式得與同號(hào)。 （1）當(dāng)時(shí)， （2）當(dāng)時(shí)，解法2：,則方程與同解,故其有且僅有兩個(gè)不同零點(diǎn)。由得或。結(jié)合三次函數(shù)圖像得或,因?yàn)?，所以解?不妨設(shè),則，故,比較系數(shù)得,故。所以,由此知。 解法3:令可得.設(shè) 不妨設(shè),結(jié)合圖形可知,當(dāng)時(shí)如右圖,此時(shí),即,

13、此時(shí),，即;同理可由圖形經(jīng)過推理可得當(dāng)時(shí).答案選B.變式4：（1）（2012年高考浙江理科）設(shè)aR,若x>0時(shí)均有(a-1)x-1( x 2-ax-1)0,則a=_。 （2）（2006年高考湖北理科）關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；其中假命題的個(gè)數(shù)是(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3例題解析及教學(xué)建議：例4是山東卷理科選擇題的壓軸題，以反比例函數(shù)與二次函數(shù)為素材，考察兩個(gè)函數(shù)圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)的問題，入手較寬（文6）。部分文章

14、認(rèn)為解法1、2計(jì)算量大，“屬于下策”，這說明部份教師對(duì)解法的選取多傾向技巧性，對(duì)于計(jì)算量較大的往往不加分析利弊就舍棄。將函數(shù)圖像交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題是解決此類問題的通法，解法1利用根與系數(shù)的關(guān)系求解（實(shí)質(zhì)就是一種函數(shù)關(guān)系），抓住了問題的本質(zhì)，深刻展示了函數(shù)與方程的思想方法；解法2借助于“導(dǎo)數(shù)”這個(gè)強(qiáng)大的工具，將圖像的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，再一次將方程的根又轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)，深刻體現(xiàn)了“思想搭臺(tái)、圖形為線”的函數(shù)與方程思想！特別是函數(shù)問題借助“導(dǎo)數(shù)”這一重要工具，更增添了函數(shù)與方程思想的活力；中含有兩個(gè)參數(shù)，使得函數(shù)圖像變化豐富，難于有效的利用數(shù)形結(jié)合求解，解法3巧妙的將方程轉(zhuǎn)化為方程，再轉(zhuǎn)

15、化為相應(yīng)圖像的交點(diǎn)，調(diào)整結(jié)構(gòu)，重新構(gòu)造函數(shù)求解方程，很好的體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想。試題的“巧解”、“妙解”、“美解”，只有建立在通法分析的基礎(chǔ)上得出才具有生命力，故變式4（1）可以將解含參數(shù)的不等式問題轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)函數(shù)圖像的位置，變式4（2）通過換元將方程的根轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)。在“等”與“不等”的轉(zhuǎn)化中，在函數(shù)圖像交點(diǎn)與方程根的個(gè)數(shù)的轉(zhuǎn)化中，以圖形為“媒”，不正是函數(shù)與方程思想完美的體現(xiàn)嗎？！四、動(dòng)靜相映，你中有我融會(huì)貫通函數(shù)與方程思想的本質(zhì)聯(lián)系在高考試題中解析幾何、函數(shù)與不等式等已成為壓軸題的首選。對(duì)解析幾何的考察，主要是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，往往借助一元二次方程的韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求解，涉及

16、到圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)在某個(gè)條件下的變化過程中相互聯(lián)系、相互制約的關(guān)系，則可構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，然后應(yīng)用函數(shù)方程思想方法求解。學(xué)生對(duì)解析幾何有畏懼情緒，除了計(jì)算能力差以外，不能準(zhǔn)確將條件轉(zhuǎn)化為方程和函數(shù)關(guān)系仍然是主要根源。例5：（2012年高考湖北理科）設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn),是過點(diǎn)與軸垂直的直線,是直線與 軸的交點(diǎn),點(diǎn)在直線上,且滿足. 當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)M的軌跡為曲線.()求曲線的方程,判斷曲線為何種圓錐曲線,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo); ()過原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于,兩點(diǎn),其中在第一象限,它在軸上的射影為點(diǎn),直線交曲線于另一點(diǎn). 是否存在,使得對(duì)任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由。解

17、()如圖1,設(shè),則由, 可得,所以,. 因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng),所以. 將式代入式即得所求曲線的方程為. 因?yàn)?所以 當(dāng)時(shí),曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓,兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,; 當(dāng)時(shí),曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓,兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,. ()解法1:如圖2、3,設(shè),則, 直線的方程為,將其代入橢圓的方程并整理可得 . 依題意可知此方程的兩根為,于是由韋達(dá)定理可得 ,即. 因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上,所以. 于是,. 而等價(jià)于, 即,又,得, 圖2 圖3 圖1O D xyAM故存在,使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上,對(duì)任意的,都有. 解法2:如圖2、3,設(shè),則, 因?yàn)?兩點(diǎn)在橢圓上,所以 兩式相減可得 . 依題意,由點(diǎn)在第一象限可

18、知,點(diǎn)也在第一象限,且,不重合,故. 于是由式可得 . 又,三點(diǎn)共線,所以,即. 于是由式可得. 而等價(jià)于,即,又,得, 故存在,使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上,對(duì)任意的,都有 。變式5：（1）（2012年高考湖南文科）已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.若對(duì)一切xR,f(x) 1恒成立,求a的取值集合；在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1),B(x2, f(x2)(x1<x2), 記直線AB的斜率為k,證明:存在x0(x1,x2),使恒成立。（2）（2012年高考湖南理科）已知函數(shù)=,其中a0.若對(duì)一切xR,1恒成立,求a的取值集合.在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn),記直線AB的斜率為K,問:是否存在x0(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.例題解析及教學(xué)建議：在例5的解題過程中涉及到的轉(zhuǎn)化有：“是單位圓上的任意一點(diǎn)”點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓方程；“是直線與 軸的交點(diǎn)”令解方程；“點(diǎn)在