三種碰撞真的遵從動量守恒定律嗎

1、三種碰撞真的遵從動量守恒定律嗎?柏青山（退休教師）吉林大學物理學院 公共物理教學中心 長春 130026 Email：摘要：質點是一個非常嚴謹?shù)母拍睿橇W規(guī)律成立的條件，而碰撞遵從動量守恒定律又是在質點系不受外力作用的條件下，由牛頓的第二、第三定律給出的結論。由于三種碰撞都不能看成質點間的碰撞，那么在教材中對它們給出遵從動量守恒定律的結論就值得懷疑。在此，筆者對完全彈性碰撞、完全非彈性和非完全彈性碰撞給出不遵從動量守恒定律的證明，以便與諸位討論。關鍵詞：質點概念 動量和能量守恒定律 彈性波1。重申質點概念質點是具有物體全部質量的幾何點，它是物體的力學模型。由于這個模型只有物體的質量，排除了物

2、體其它所有性質，也就指明了質點動力學所研究的是作用力與物質慣性的關系，是力學規(guī)律得到揭示及其數(shù)學表述能嚴格化的條件。但由于在真實的世界中并不存在質點，質點就變成應用力學規(guī)律時對物體的要求，即要求物體無轉動、無變形和無內能。對于后兩條換種提法，就是要求物體接受外力作用要有同時性、整體性，即要求物體內對外力作用要有無窮大的傳播速度。也就是說，只有對近似滿足這些條件的一類物體，才能看成質點，才能應用力學規(guī)律來近似地解決它們的運動問題。然而，我們對這個最基本的質點概念缺少深刻而嚴謹?shù)恼J識，以至在應用力學規(guī)律上出現(xiàn)了三種碰撞遵從動量守恒定律的錯誤。2。三種碰撞遵從動量守恒定律嗎？在任何一本力學的教材中，

3、都把碰撞問題當作一種重要的作用類型來介紹。對于兩體的完全彈性碰撞、完全非彈性和非完全彈性碰撞都僅在體系不受外力作用的條件下，就直接作出遵從動量守恒定律的結論。我們知道，物體碰撞遵從動量守恒定律的結論，是對質點體系在不受外力作用的條件下，由牛頓第二、第三定律作出的。因此，兩個物體的碰撞能否遵從動量守恒定律，就要依據(jù)這兩個物體能否近似看成質點和該體系是否有外力作用來判定。可是，完全彈性碰撞的物體有變形過程、有內能，它不能看成質點間的碰撞，因為能看成質點的物體只能是近似的剛體而不是彈性體；完全非彈性和非完全彈性碰撞的物體都有不能恢復的變形、有內能，也不能近似成質點。可見，僅就它們的稱呼而論，都叫出了

4、與質點的不同，也就否定了它們是質點間的碰撞。兩個條件缺一，我們又怎能從理論上對這三種碰撞作出遵從動量守恒定律的結論？這一結論是來自大量實驗總結嗎？在牛頓的時代根本不具備廣泛作這類實驗的條件，如今也不見有人提供這方面大量的實驗證據(jù)。在愚者所看到的大部分實驗類的書中，盡管有完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞的氣墊實驗，但認真推敲之時就會發(fā)現(xiàn)，完全彈性碰撞實驗并不是兩個彈性物體直接碰撞，而是加上了彈簧作為碰撞的中間媒介；完全非彈性碰撞實驗也沒有一個是真正的非彈性物體，而是在彈性物體上加了彼此能銜住的裝置或粘合物。對于完全彈性碰撞實驗，根據(jù)前面指明的一個物體能看成質點，“就是要求物體接受外力作用要有同時性、

5、整體性，即要求物體內對外力作用要有無窮大的傳播速度”。這對一個指定的物體而言，就變?yōu)閷ν饬ψ饔玫囊?。在一般情況下，它要求外力作用在物體中傳播的時間內能看作是個常量，在外力作用總的時間上要比任意時刻的外力作用在物體中的傳播時間相對漫長，只有近似滿足這兩個條件的外力在對物體作用效果上才不失觀測上的平均意義。就是說，只有在這樣平緩外力作用下的彈性物體才能看成質點。而這個實驗中的彈簧所起的作用就是將彈性物體間的碰撞力變成了平緩的推力，把彈性物體質點化，使完全彈性碰撞變?yōu)橘|點間的碰撞了。對這一問題，愚者已作過把兩彈性物體看成質點，利用彈簧的性質給出遵從質點式動量和機械能守恒定律的證明，完全用不上彈性物

6、體的性質。那么，對于一個絲毫不能反映彈性物體性質的碰撞實驗，又怎么能稱作彈性物體的完全彈性碰撞實驗？對于完全非彈性碰撞實驗，以忽略銜接物所帶來的動量和機械能損失來分析，其銜接物所起的作用就是把兩彈性物體連在一起。在這一前提下，所謂完全非彈性碰撞，在實質上就是讓兩彈性物體多次碰撞。根據(jù)彈性波的粒子理論來認識，這樣碰撞的結果從外部看是使兩彈性物體產生混亂的振動，從內部看就是產生混亂的波，我們觀測到的碰撞后的速度只是彈性物體內波動效果上的視在速度，在碰撞的結果上也會產生近乎遵從動量守恒定律的情況。但對于這個絲毫不能反映非彈性物體性質的碰撞實驗又何能稱作完全非彈性碰撞實驗？在實驗上之所以發(fā)生這類張冠李

7、戴的錯誤，其原因有二：一是我們不掌握質點概念；二是錯誤地用恢復系數(shù)（碰撞前后的相對速度之比）定義了三種碰撞，使得實驗偏離了三種碰撞的實在內容，變得名不符實了。3。證明：完全非彈性碰撞和非完全彈性碰撞不遵從動量守恒定律設，一質量為m，速度為V0的剛性物體同一質量為M的靜止非彈性物體發(fā)生完全非彈性正碰。我們知道，這兩個物體的碰撞其體系的總動能是不守恒的，但廣義的能量守恒定律是普遍成立的。因此有 (12)其中，V是碰撞后兩物體粘在一起的速度，w是這一碰撞中損失的動能，即因碰撞而產生的熱能、變形勢能等其它形式能量的總和。設，F(xiàn)1、F2依次為碰撞中作用在m、M上一對連續(xù)變化的內力，L是m在與M碰撞全過程

8、的總位移。因為(12)式右側來自F2對M所作的功，根據(jù)功能原理有， 令 (13)在碰撞中，(13)式變?yōu)?， (14)若碰撞總時間為T，由(14)式得 (15) ， (16)為便于比較，把(12)式寫成下式 (17)(16)式表明，完全非彈性碰撞和非完全彈性碰撞（因為它部分兼有完全非彈性碰撞的成份）并不遵守動量守恒定律。根據(jù)質點動力學，力對時、空積累作用是相伴生的。一個主動的慣性力作用在完全非彈性或非完全彈性物體上，會因這類物體對作用力有不同的反映形式，此力將分解為產生不同效果的作用力，也必使施力物體的動量和動能如同一塊蛋糕分成一份份向受力物體的不同運動形式以及儲存形式轉移，剩下的才歸于己。我

9、們從(16)、(17)式也清楚地看到，由于物體的動量和能量是不可拆分的，在物理世界中根本不會發(fā)生一個物體的動量和動能相互無關地分別向另一物體不同運動形式、運動儲存形式轉移的情況。4。 在一般情況下，完全彈性碰撞并不遵從質點式的動量和能量守恒定律研究表明，完全彈性碰撞僅在特殊情況下、在碰撞的結果上符合質點式的動量和機械能守恒定律。如，惠更斯的兩個相同彈性球的碰撞。但在一般情況下，完全彈性碰撞并不遵從質點式的動量和機械能守恒定律。有了彈性波的粒子理論，我們就能夠給出證明。例，兩根材質相同、截面積也相同的彈性棒，它們的長度分別是L1和L2且。令L1以速度V0沿兩彈性棒公共軸線與靜止的L2作完全彈性正

10、碰。證明：對的特殊完全彈性碰撞符合質點式的動量和機械能守恒定律：因為在這一碰撞過程中發(fā)生彈性物體的變形而產生應力，它們的碰撞將由兩步來完成：第一步是使它們產生的變形達到最大，其條件是它們的速度相等。根據(jù)總動量是L1的動量，應用動量守恒定律可求出L1和L2的速度同為V0。因為它們的運動狀態(tài)相同，再依據(jù)機械能守恒定律可得兩棒的彈性勢能與動能相等；第二步是彈性勢能的釋放（應力釋放）：在以L1和L2作用面為參照系看去，L1的彈性勢能的釋放使它的速度變?yōu)?V0，L2的彈性勢能的釋放使它的速度變?yōu)閂0。在原參照系上我們就看到在完全彈性碰撞之后，L1的速度變?yōu)榱悖鳯2的速度變?yōu)閂0。這就是粗糙地給出兩棒作

11、完全彈性碰撞符合質點式動量和機械能守恒定律的情況。這里之所以說的“符合”，是因為它們并不是質點間的碰撞。“彈性波的粒子理論”的解釋：設L1在L2的左側，將L1和L2各分成大小相等的n個波質元（這里略去了表面與內部應力的不同）。以L2中同L1碰撞起始時刻的波質元質心為坐標原點“0”， 從L1向L2方向建立x軸，依次給出L2中波質元的質心坐標為0、 j、，再給出L1中波質元的質心坐標依次為 、 ， 并令，且以L1與L2碰撞起始時刻為，時間分為0、2、k。由于在第一步的碰撞中L1的動量都參于了對L2的作用，考慮作用在彈性體內的傳播速度是波速，那么L1對L2的作用就是將自己的動量和動能各一半以波速注入

12、式地給了L2， 因此能夠確認L1內的動量和動能的傳播也是以平面波的形式進行的。于是，我們就能把L1和L2的碰撞全部納入“彈性波的粒子理論”的解釋范圍。根據(jù)該理論，第一步的碰撞過程就是長度為L1的沒有彈性勢能的特殊平面波入射到L1和L2的界面（作用面）上產生了反射波和折射波。因L1和L2相互碰撞的兩個波質元依次是（它既是入射波的波質元、也是產生反射波的波質元）、（折射波的波質元），列出它們首次碰撞的動量守恒方程，在碰撞結果的速度相等條件下就得到它們首次碰撞后反射波波質元和折射波波質元的速度都是V0 ，而入射波質元的速度變?yōu)?： （）解得 根據(jù)機械能守恒定律有 解得 （反射和折射波質元的動能與勢能

13、都相等）因為入射波是波質元間按間隔兩兩同時碰撞傳播的，從首次碰撞開始，也就不斷地恢復入射波波質元速度V0的動量和動能，首次碰撞的結果也就不斷地重復，也就不斷地產生波質元速度為V0的反射波和折射波。當長度為L1、速度為V0的入射波全部消失的那一刻，就產生了長度為L1的反射波和長度為L2的折射波。由于，此刻，兩彈性棒所有波質元的速度均是V0 ，即兩彈性棒的整體的速度同為V0 。這就是“彈性波的粒子理論”對第一步碰撞給出的解釋。而之所以有第二步，是因為第一步結束時刻，L1和L2的狀態(tài)就是長度為L1 + L2的各波質元的速度均為V0的一段平面波，并要在L2的自由表面產生反射波。下面再根據(jù)“彈性波的粒子

14、理論”從機制上給出第二步，即彈性勢能的釋放：我們重設，L1與L2碰撞完成第一步的那一時刻為，時間分為、2、k，其中。按入射波在界面產生反射波和折射波的機制，就是以速度為 V0 的入射波的波質元（其質心坐標為）同折射波的波質元遵從動量和機械能守恒定律的碰撞。由于折射波的波質元的質量為0 ，使反射波的波質元具有V0 的速度，并使入射波波的質元的速度變?yōu)? 。還是根據(jù)波是波質元間按間隔兩兩同時碰撞傳播的，在入射波的波質元首次傳出、傳入V0 速度的時刻，L1中的波質元的速度就變?yōu)? 。隨著入射波的不斷入射產生反射波，L1中從波質元開始，、不斷地變?yōu)?。當入射波和反射波的長度都是L2時，它們就完全重疊在

15、一起，即在時刻，有 (11) 從而使L2的整體速度變?yōu)閂0 ，而L1的整體速度都變?yōu)? ，即L1靜止下來。 注： a， 是L2 中從波質元算起的入射波， 是從波質元算起的反射波；b，(11)式第二個等號右邊兩項依次為時刻（現(xiàn)在時刻）入射波和反射波中各波質元的速度疊加。 c，(11)式表明在入射與反射波疊加時，它們的彈性勢能消失了，這是因為入射波產生的是壓縮應變、而反射波產生的是舒張應變。的一般完全彈性碰撞不遵從質點式的動量和機械能守恒定律的：以彈性波的粒子理論對完全彈性碰撞符合質點式動量和機械能守恒定律的從機制上給出的解釋，證明了該理論對解決物體完全彈性碰撞問題是有效的。那么，在的情況下，完全

16、彈性碰撞不遵從質點式動量和機械能量守恒定律就是彈性波的粒子理論的必然結論：其一，由于在的條件下，L1同L2的完全彈性碰撞結束時L1的速度變?yōu)? ，因此，當，兩彈性棒在完全彈性碰撞結束時，L1仍然處在靜止狀態(tài)，這一結論與我們的習慣認識是截然不同的； 其二，因為是，在兩棒碰撞第一步結束時，L2中還有L2 L1的一段沒有運動。由此可知，因不能產生L2的整體速度，就造成該波在L2兩端的自由表面來回反射，使兩波疊加處波質元的速度為V0，沒有疊加處波質元的速度為V0 ，無波處波質元的速度為0。其結果就使L2像蟲子一樣向前蠕動著。其實，只要我們承認彈性物體內部作用的傳播速度是波速，彈性物體的碰撞在內部產生的是波，就能定論：在一般情況下，完全彈性碰撞會因失去物體運動的整體