三角函數(shù)的圖象和性質全面

1、高一數(shù)學學教案第一課時三角函數(shù)的圖象和性質(一)主備人宋振蘇教學目標：掌握函數(shù)的周期性，會求簡單函數(shù)的最小正周期，掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期及求法；滲透數(shù)形結合思想，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點教學重點：正、余弦函數(shù)的周期教學難點：函數(shù)的周期性教學過程：由單位圓中的三角函數(shù)線可知，正、余弦函數(shù)值的變化呈現(xiàn)出周期現(xiàn)象，每當角增加(或減少)2兀，所得角的終邊與原來角的終邊相同，故兩角的正、余弦函數(shù)值也分別相同.即有：sin(2jt+x)=sinx,cos(2tt+x)=cosx,正弦函數(shù)和余弦函數(shù)所具有的這種性質稱為周期性一般地，對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內的每一個值時，

2、都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.由此可知，2兀，4兀，一2兀，一4兀，2k兀(kCZ且kw0)都是這兩個函數(shù)的周期.對于一個周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.根據(jù)上述定義，可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2k%(kCZ且kw0)都是它的周期，最小正周期是2兀.以后如果不加特別說明，函數(shù)的周期一般都是指最小正周期正切函數(shù)是周期函數(shù)，且周期T=兀課本P25例1、例2一般地，函數(shù)y=Asin(x+中)及y=Acos(cox+邛)(其中A、中為常數(shù)，且Aw0,3>0

3、)的周期T=生,函數(shù)y=Atan(cox+中)的周期T=周期函數(shù)應注意以下幾點：1 .式子f(x+T)=f(x)對定義域中的每一個值都成立.即定義域內任何x,式子都成立.而不能是“一個x”或“某些個x"，另一方面，判斷一個函數(shù)不是周期函數(shù)，只需舉一個反例就行了.例如：由于sin(12+5T)=$吟，即sin(x+562c)=sinx.該式中x取12時等式成立，能否斷定,是sinx的周期呢？不能，因對于其他一些x值該式不一定成立.如x=6時，sin(x+6T)豐sinx.例函數(shù)y=cosx(xw0)是周期函數(shù)嗎？解：不是，舉反例，當T=2兀時，令x=2兀,則有cos(x+2兀)=cos

4、(2兀+2兀)=cos0=1,但x=0,不屬于題設的定義域，則x不能取一2兀，故y=cosx(xw0)不是周期函數(shù).2 .式子f(x+T)=f(T)是對“x”而言.xxx例如，由cos(3+2kTt)=cos3(kCZ),是否可以說cos3的周期為2k兀呢？不能！因為x+ 6k 兀cos( 3 + 2k 兀)=cos-3x+ 6k % x,即 cos -3= cos3 (kC Z),一 x 所以cos;的周期是6k兀，而不3是2k%(kCZ).3 .一個函數(shù)是周期函數(shù)，但它不一定有最小正周期數(shù)T都是f(x)的周期，由于正數(shù)中不存在最小的數(shù)，所以周期函數(shù)4 .設T是f(x)(xCR)的周期，那么

5、kT(kCZ,且kw0)也-f(x)= a(常數(shù)),顯然任何一個正f(x) = a無最小正周期.定是 f(x)的周期，定義規(guī)定了 T為一個實常數(shù)，而不是一個變數(shù)；同時也規(guī)定了T的取值范圍，只要求不為零，不要誤認為T一定是兀的倍數(shù).有許多周期函數(shù)的周期中是不含“兀”的，如下面幾例：例2函數(shù)y= tan2 7tx的周期是T = 2兀例3若對于函數(shù)y=f(x)定義域內的任何1, 2 .x的值，都有f(x+ 1)=f(x)成立，則由周期函數(shù)的定義可知，函數(shù) y=f(x)是周期函數(shù)，且 T=1是其周期.例4設f(x)定義在R上，并且對任意的 求證：f(x)是周期函數(shù)，并找出它的一個周期 證明：. f(x

6、+2)=f(x+ 3)-f(x+4). f(x+3)=f(x + 4) f(x+5) +得：f(x+2)= f(x+ 5)由得：f(x+5)= f(x+ 8). f(x+2)=f(x+8)即 f(x)=f(x+ 6)x,有 f(x+2) = f(x+ 3)-f(x + 4).f(x)為周期函數(shù)，一個周期為6.5.周期函數(shù)必須是函數(shù)，但一定要克服思維定勢，認為周期性是三角函數(shù)所獨有的，實質 上我們學過的非周期函數(shù)f(x)(如y=log2x, y= | x| , y=2x, y= x2等等)將其定義域內限制在一個半開半閉區(qū)間上，經左右平移，可以延拓變?yōu)橹芷诤瘮?shù)，例如將非周期函數(shù)y=x2(x e r

7、 )在其定義域R內限制在(1, 1,然后將y=x2( ivxwi)的圖象左、右平移，可以延拓為最 小正周期為2的周期函數(shù)f(x)=(x 2k)2(2k-1<x<2k+ 1), kC Z,如圖:用-1 0例已知 f(x)= | x | , xC (-1C ( 1, 1時,g(x)=f(x).解：由g(x)的周期性可畫出,1,求定義在R上的一個周期為2的函數(shù)g(x),使x對于任意的xC R, x一定在周期為 2的區(qū)間(2n1, 2n+1內，則x-2n (-1, 1.，g(x)=g(x2n) = f(x2n)= | x-2n | ,例1函數(shù)y=sin兀x的周期是T=2-=2.x-2n,2

8、n<x<2n+1即g(x)=，-x+2n,2n-1<x<2n評述：(1)要判定f(x)是周期函數(shù)，自變量x必須取遍定義域內的每一個值.(2)周期函數(shù)是高考中的熱點，只有深層次的理解周期函數(shù)的意義，才能臻化入境，運用自如.課堂練習：課本P25-26練習14課時小結：要初步掌握三角函數(shù)的周期性.課后作業(yè)：課本P44-45習題1高一數(shù)學學教案第二課時三角函數(shù)的圖象和性質(二)主備人宋振蘇教學目標：理解正、余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義，會求簡單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調區(qū)間；滲透數(shù)形結合思想，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點教學重點：正、余弦函數(shù)的性質教學難

9、點：正、余弦函數(shù)性質的理解與應用教學過程：I.課題導入上節(jié)課，我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象，今天，我們借助它們的圖象來研究它們有哪些性質.(1)定義域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集R或(8,+OO),分別記作：y=sinx,xCRy=cosx,xCR(2)值域因為正弦線、余弦線的長度小于或等于單位圓的半徑的長度，所以Isinx|&1cosx|W1,即1&sinxw1,Kcosxw1也就是說，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是11,1】.其中正弦函數(shù)y=sinx,xCR當且僅當x=2+2kTt,kCZ時，取得最大值1.彳、，.一,一，.TT當且僅當x=-2+2kTt,kCZ時，

10、取得最小值一1.而余弦函數(shù)y=cosx,xCR當且僅當x=2k兀，kCZ時，取得最大值1.當且僅當x=(2k+1)兀，kCZ時，取得最小值一1.(3)周期性,sin(x+2k冗)=sinx由(kez)8s(x+2kn)=cosx知：正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復地取得的一般地，對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.由此可知，2兀，4兀，一2兀，一4兀，2k兀(kCZ且kw0)都是這兩個函數(shù)的周期.對于一個周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在一個最小的

11、正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.根據(jù)上述定義，可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2k%(kCZ且kw0)都是它的周期，最小正周期是2兀.(4)奇偶性正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).(5)單調性Ay=sinx,xC12,3的圖象上可看出：、>»一兀兀當xC2,2時，曲線逐漸上升，sinx的值由一1增大到1.當x<E2,32tl時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到一1.結合上述周期性可知：正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間2+2kTt,2+2kTt(kCZ)上都是增函數(shù)，其值從一1增大到1;在每一個閉區(qū)間2+2kTt,3+2kTt(kZ)上都是減函數(shù)，其值從

12、1減小到1.余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間(2k1)兀，2kTt(kCZ)上都是增函數(shù)，其值從一1增加到1;在每一個閉區(qū)間2k兀，(2k+1)兀(kCZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1.例1求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么.(1)y=cosx+1,xCR；(2)y=sin2x,xCR.解：(1)使函數(shù)y=cosx+1,xCR取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)y=cosx,xCR取得最大值的x的集合x|x=2k*kCZ.函數(shù)y=cosx+1,xR的最大值是1+1=2.(2)令Z=2x,那么xCR必須并且只需ZCR,且使函數(shù)y=sinZ,ZCR取得最大值的Z的集合是ZIZ=j+2

13、kTt,kCZ由2x=Z=2+2k兀,得x=4+k兀即：使函數(shù)y=sin2x,xCR取得最大值的x的集合是x|x=4+k%,kCZ.函數(shù)y=sin2x,xCR的最大值是1.例2求下列函數(shù)的定義域：(1)y=1+Sinx(2)y=Vcosx解：(1)由1+sinxw0,得sinxw1即xw3+2kTt(kCZ)，原函數(shù)的定義域為x|xw32t+2kjt,kCZ(2)由cosx>0/n7t_7t_得2+2kTtwxw2+2kTt(kCZ)，原函數(shù)的定義域為2+2kTt,2+2k%(kZ)例3求下列函數(shù)的單調遞增區(qū)間：丫:3體+6)；y=3sin(3-x)解：設-勿+6,則片cosu當2kjt

14、兀wuw2k兀時y=cosu隨u的增大而增大一兀.又=u=2x+6隨xCR增大而增大.，兀、_兀_.y=cos(2x+6)當2kTt兀w2x+6<2kTt(kCZ)一I一7兀兀即卜兀一12wxwk7t12時，y隨x增大而增大一兀.y=cos(2x+6)的單倜遞增區(qū)間為：17兀兀k兀12兀，ku-121(kCZ)一兀設u=3 X- 2,則 y= 3sinu當2kjt+2wuw2k兀+；時，y=3sinu隨x增大在減小，又u=x隨xCR增大在減小32-y=3sin(x)當2kTt+2w：-|<2ku+325322322即一4kTt?wxw4kTt時，y隨x增大而增大33y=3sin(x

15、)的單調遞增區(qū)間為4kTt75,4kTt(kCZ)3233出.課堂練習課本P3217IV .課時小結通過本節(jié)學習，要初步掌握正、余弦函數(shù)的性質以及性質的簡單應用，解決一些相關問題V .課后作業(yè)課本P44習題2、3、4課后檢測試題1 .給出下列命題：丫:sinx在第一象限是增函數(shù)；“是銳角，則y=sin(a+4)的值域是1,1;y=sin|x|的周期是2兀；y=sin2xcos2x的最小值是一1;其中正確的命題的序號是.分析:y=sinx是周期函數(shù)，自變量x的取值可周期性出現(xiàn)，如反例:人兀兀.令x=3,x2=6+2兀，此時xvx2而sin3>sin(6+r.錯誤;當a為銳角時，4V&quo

16、t;+4<2+4由圖象可知¥<sin(a+4)W1.錯誤；:y=sin|x|(xCR)是偶函數(shù).其圖象是關于y軸對稱，可看出它不是周期函數(shù).錯誤；y=sin2xcos2x=cos2x,最小值為一1，正確.答案：評述：函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部選擇，是針對區(qū)間而言的；我們不能說某函數(shù)在某象限內是增函數(shù)還是減函數(shù)，而只能說某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)2 .求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y=lg(sinx弓)(2)y=2/2cos3x1分析：根據(jù)函數(shù)有意義列不等式，求x的范圍即為定義域.求值域時要注意正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域.解：(1)要彳lg(sinx-當)有意義，必須

17、且只須sinx>解之得：2kTt+3<xv2k7t+半，kCZ又0Vsinx1當33lg(sinx-2)<lg(12)定義域為(2kTt+：,2k%+27),(kCZ)33值域為(一lg(1於3).(2)要使2.2cos3x-1有意義，必須且只須2cos3x-1>0,即cos3x>2,解之得2k%-3<3x<2k%+-3即箸-；wxw等+9,kCZ.又0W2cos3x1W1故0W242cos3x1<2.定義域為】半9,卷十；,kCZ值域為0,2評述：求由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)組成復合函數(shù)的定義域、值域問題，要充分考慮基本的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調性和

18、值域.4.比較下列各組數(shù)的大?。?1)sin195°與cos170°317(2)cos,sin10,cos(3)sin(sin82t),sin().分析：化為同名函數(shù)，進而利用單調性來比較函數(shù)值的大小解：(1)sin195°=sin(180°+15°)=sin15°cos170°=cos(180°10°)=cos10°=sin80°,0°v15°<80°v90°又,y=sinx在0°,90°上是遞增函數(shù)，1.sin15&

19、#176;<sin80°.sin15°>sin80°.sin195°>cos170°.(2)sin；1=cos(£-1)10'210)7,7、COS=cos(兀-)p兀13又'2-10=1,7<1.5=27兀13兀-=1.39<1.4<2-10<2而y=cosx在0,兀上是減函數(shù)，由兀一7上<3<42102/曰3兀17(3) cos= sin8得cos2vcos(2-)vcos(兀一4)1-0<cos3rcsin17即 cos2 v sin- v cos-.7

20、<188而y=sinx在0,1內遞增1'sin(cos3r)<sin(sin37).88高一數(shù)學學教案第三課時三角函數(shù)的圖象和性質（三）主備人宋振蘇教學目標：理解正、余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義，會求簡單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調區(qū)間；滲透數(shù)形結合思想，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點.教學重點：正、余弦函數(shù)的性質教學難點：正、余弦函數(shù)性質的理解與應用教學過程：I.課題導入上節(jié)課，我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象，今天，我們借助它們的圖象來研究它們有哪些性質.(1)定義域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集R或(8,+OO),分別記作：y=sinx,xCR

21、y=cosx,xCR(2)值域因為正弦線、余弦線的長度小于或等于單位圓的半徑的長度，所以Isinx|<1cosx|W1,即1&sinxw1,1<cosxw1也就是說，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是11,1】.其中正弦函數(shù)y=sinx,xCR_一一，一TT當且僅當x=2+2kTt,kCZ時，取得最大值1.彳、，.一,一，.TT當且僅當x=-2+2kTt,kCZ時，取得最小值一1.而余弦函數(shù)y=cosx,xCR當且僅當x=2k兀，kCZ時，取得最大值1.當且僅當x=(2k+1)兀，kCZ時，取得最小值一1.(3)周期性,'sin(x+2kn)=sinx由(kez)、cos

22、(x+2kn)=cosx知：正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復地取得的一般地，對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.由此可知，2兀，4兀，一2兀，一4兀，2k兀(kCZ且kw0)都是這兩個函數(shù)的周期.對于一個周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.根據(jù)上述定義，可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2k%(kCZ且kw0)都是它的周期，最小正周期是2兀.(4)奇偶性正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)

23、.(5)單調性Ay=sinx,xC2,安的圖象上可看出：、r»一兀兀當乂2，2時，曲線逐漸上升，sinx的值由一1增大到1.當乂【2，3f時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到一1.結合上述周期性可知：.一、一、，一,一、一一、一TTTT正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間2+2kTt,2+2kTt(kCZ)上都是增函數(shù)，其值從一1增大到1;在每一個閉區(qū)間2+2kTt,3+2kTt(kZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到1.余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間(2k1)兀，2kTt(kCZ)上都是增函數(shù)，其值從一1增加到1;在每一個閉區(qū)間2k兀，(2k+1)兀(kCZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1.例1求使下

24、列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么.(1)y=cosx+1,xCR；(2)y=sin2x,xCR.解：(1)使函數(shù)y=cosx+1,xCR取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)y=cosx,xCR取得最大值的x的集合x|x=2k*kCZ.函數(shù)y=cosx+1,xR的最大值是1+1=2.(2)令Z=2x,那么xCR必須并且只需ZCR,且使函數(shù)y=sinZ,ZCR取得最大值的Z的集合是ZIZ=2：+2kTt,kCZ由2x=Z=2+2k兀,得x=4+k兀即：使函數(shù)y=sin2x,xCR取得最大值的x的集合是x|x=4+k%,kCZ.函數(shù)y=sin2x,xCR的最大值是1.例2求下列函數(shù)的

25、定義域：(1)y=1+sinx(2)y=VcoSx解：(1)由1+sinxw0,得sinxw1即xw3+2kTt(kCZ).原函數(shù)的定義域為x|xw3+2k兀，kCZ(2)由cosx>0/口兀兀得2+2kTtwxw+2kTt(kCZ)，原函數(shù)的定義域為2+2kTt,2+2k%(kCZ)例3求下列函數(shù)的單調遞增區(qū)間：*y=cos(2x+6)；y=3sin(33)解：設U=2x+6,則y=cosu當2kjt兀wuw2k兀時y=cosu隨u的增大而增大一兀又=u=2x+6隨xCR增大而增大.，兀、“一一兀一一_-y=cos(2x+6)當2kTt兀w2x+6<2kTt(kCZ)即k兀一72

26、tWxWk兀一若時，y隨x增大而增大一兀，y=cos(2x+6)的單調遞增區(qū)間為：17兀?！柏?2兀'k兀五(kCZ)設u=Jx,貝Uy=3sinu32當2k兀+2wuw2k兀+:時，y=3sinu隨x增大在減小，又u=Jx隨xCR增大在減小32.c_/兀x、“一兀兀x3兀-y=3sin(32)當2kTt+2<3-2<2kTt+-2即一4卜兀一72twxw4kjt3時，y隨x增大而增大1-y=3sin(fx)的單調遞增區(qū)間為4kjt?,4kjt(kCZ)3233出.課堂練習課本P3217IV .課時小結通過本節(jié)學習，要初步掌握正、余弦函數(shù)的性質以及性質的簡單應用，解決一些相

27、關問題V .課后作業(yè)課本P44習題5、6課后檢測試題1 .給出下列命題：丫:sinx在第一象限是增函數(shù)；，、一，、-一TTa是銳角，則y=sin(a+4)的值域是1,1；y=sinIx|的周期是2兀；y=sin2xcos2x的最小值是一1;其中正確的命題的序號是.分析:y=sinx是周期函數(shù)，自變量x的取值可周期性出現(xiàn)，如反例：人兀兀Vx1=3,x2=6+2兀，此時x1Vx2而sin3>sin(6+2兀)錯誤；當a為銳角時，；V"+4<2+4,一一一,立兀由圖象可知<sin(a+4)忘1.錯誤；:y=sin|x|(xCR)是偶函數(shù).其圖象是關于y軸對稱，可看出它不是

28、周期函數(shù).錯誤；y=sin2xcos2x=cos2x,最小值為一1，正確.答案：評述：函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部選擇，是針對區(qū)間而言的；我們不能說某函數(shù)在某象限內是增函數(shù)還是減函數(shù)，而只能說某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)2 .求下列函數(shù)的定義域和值域:(2)y=2山cos3x13(1)y=lg(sinx.)分析：根據(jù)函數(shù)有意義列不等式，求x的范圍即為定義域.求值域時要注意正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域.解：(1)要使lg(sinx乎)有意義，必須且只須sinx>乎，解之得：2k7t+/vxv2k7t+25,kCZ33又0Vsinx乎w1當3 .3.lg(sinx亍)Wlg(1亍)，定義域為(

29、2k%+3,2k%+23)，(kCZ)，3值域為(一00,lg(1-2)：.(2)要使2y2cos3x1有意義，必須且只須2cos3x-1>0,即cos3x>2,解之得2k%-3<3x<2k%+3即2k兀jt<x<2kez又0W2cos3x1W1故0W242cos3x1<2.定義域為警9,2k-5+9LkCZ值域為0,2值域問題，要充分考慮基本的正評述：求由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)組成復合函數(shù)的定義域、弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調性和值域.4 .比較下列各組數(shù)的大?。?1)sin195°與cos170°37(2)cos2,sin10,-cos4

30、(3)sin(sin3),sin(38t).分析：化為同名函數(shù)，進而利用單調性來比較函數(shù)值的大小解：(1)sin195°=sin(180°+15°)=sin15°cos170°=cos(180°10°)=cos10°=sin80°,0°v15°<80°v90°又,y=sinx在0°,90°上是遞增函數(shù)，1. sin15°<sin80°.sin15°>sin80°.,.sin195°

31、;>cos170°.1 兀1(2)sin記=cos(2一記)cos=cos(兀一1)44p.兀13又.210=1.47v1.5=27兀13兀-4=1.39<1.4<2而<2而y=cosx在0,ti上是減函數(shù)，由兀一7<U工<3兀42102/曰3兀17得cos2vcos(2-)vcos(兀一4)cos)<sinyr<cos;2104(3),.cos3=sin81-0<cos3r<sin3rv188而y=sinx在0,1內遞增sin(cos3)<sin(sin3).高一數(shù)學學教案第四課時三角函數(shù)的圖象和性質（四）主備人宋振

32、蘇教學目標：掌握正、余弦函數(shù)的性質，靈活利用正、余弦函數(shù)的性質；滲透數(shù)形結合思想，培養(yǎng)聯(lián)系變化的觀點，提高數(shù)學素質.教學重點：1 .熟練掌握正、余弦函數(shù)的性質；2 .靈活應用正、余弦函數(shù)的性質.教學難點：結合圖象靈活運用正、余弦函數(shù)性質.教學過程：I.復習回顧回顧正、余弦函數(shù)的圖象及其性質：定義域、值域、周期性、奇偶性、單調性等等下面結合例子看其應用：例1不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0.7t7t(1)sin(18)-sin(-)；(2)cos(一蜉)cos(一半).解：:-27t且函數(shù)y=sinx,二 兀xe 2兀2 :是增函數(shù).7t7t而)<sin(-w)，7t7t即 sin

33、(- )-sin(- )>0(2)cos(-2r 尸 cos2F=cos-r517兀17兀cos(- ) = cos兀= cos4且函數(shù)y=cosx, xC 0,而是減函數(shù)3兀兀cos5 < cos4 ，口r3兀兀即 cos 5 COS4 < 0.23 兀 cos(一、517兀)cos( 一 ) < 0兀A.x=- 25兀 D.x=T4方法一：運用性質1', y=sin(2x+ 5)的所有對稱軸方程為k兀Xk=萬MkC Z),令 k=- 1,例2函數(shù)y=sin(2x+55)的圖象的一條對稱軸方程是兀B.x=J4得x-1=2,對于B、C、D都無整數(shù)k對應.k兀 尸

34、人xk= (kC Z),令 k故選A.方法二：運用性質2',y=sin(2x+55)=cos2x,它的對稱軸方程為=1,得x1=-2,對于B、C、D都無整數(shù)k對應，故選A.3cosx+1例3：求函數(shù)y=wsu的值域.2y1解：由已知：cosx=3-y2y1=II=IcosxI<13y2y13-y)2W1=3y2+2y-8<0-4.2WyM3m.課時小結4ymax=3,ymin=-2一2 二y=Asin（cox+ 平）（A>0, V 0的 T=一；另外，要0通過本節(jié)學習，要掌握一結論：形如注意正、余弦函數(shù)性質的應用.W.課后作業(yè)課本P45習題7、12、13課后檢測試題若

35、4<“<2，以下不等式成立的是C.( oo, 1 U 1 , +8)A.coso<sina<tanaC.coso<tana<sina1m2 .若sinx=：,則實數(shù)m的取值范圍是1+mA.0,+8)b.1,13 .下列函數(shù)中，圖象關于原點對稱的是A.y=一|sinx|C.y=sin(|x|)4 .sina<cosa<tanaD.上述不等式均不成立(D.0,1(B.y=xsin|x|D.y=sin|x|(D. 14.如果Ix|<4,那么函數(shù)y=cos2x+sinx的最小值為AAA.25.函數(shù)值sinl,sin2,sin3,sin4的大小順序是

36、6.函數(shù)y=jjcosx的定義域是7 .cos3,-cos7,sinO的大小關系是8 .函數(shù)y=cos(sinx)的奇偶性是.9 .已知Ji-2sinacosa=cosasina,則a的取值范圍是10.求函數(shù)y=2sinx+ 12sinx 1的值域.3177. cos2 <sin10 < cos410.(叱 1 U 3,3+ oo)3一.111 .已知y=abcos3x的取大值為2,取小值為一,求頭數(shù)a與b的值.一兀,，_、_12 .(1)函數(shù)y=sin(x+4)在什么區(qū)間上是增函數(shù)兀(2)函數(shù)y=3sin(2x)在什么區(qū)間是減函數(shù)？3課后檢測試題答案1.A2,A3.B4.B5.s

37、in2>sin1>sin3>sin46.：2kTt+-2,2k%+3(kCZ),E一、3兀兀8.偶函數(shù)9.2kL,2k兀+-(kCZ).3一.111 .已知y=abcos3x的最大值為2,最小值為"，求實數(shù)a與b的值.解：最大值為a+|b|,最小值為a-|b|3 a+| b|=一21 aTb|=21,a = 2 , b=± 1兀12 .(1)函數(shù)y=sin(x+4)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？一，兀,一、一一.一，(2)函數(shù)y=3sin(2x)在什么區(qū)間是減函數(shù)？3解：(1)函數(shù)y=sinx在下列區(qū)間上是增函數(shù)：兀兀2kL2vxv2k#2(kCZ) 函數(shù)y=si

38、n(x+j)為增函數(shù)，當且僅當2kL2vx+jv2k計j即2kk竽vxv2k計j(kCZ)為所求.兀兀 2).y=3sin(3-2x)=-3sin(2x-3)上c兀兀.兀由2kL2wx_3w2k計2/口7t57t仔k兀12a侏升12(kez)為所求.或：令u=3-2x,則u是x的減函數(shù)又,y=sinu在2kL2,2k計2(kCZ)上為增函數(shù)，原函數(shù)y=3sin(32x)在區(qū)間2kL2,2k計2上遞減.'幾ci工設2kLij-2x<2k時:；232解得故途升12r(kCZ)，原函數(shù)y=3sin(j2x)在卜上需,k5r(kCZ)上單調遞減.31212評述：在求三角函數(shù)的單調區(qū)間時，

39、一定要注意復合函數(shù)的有關知識，忽略復合函數(shù)的條件，是同學們解題中常發(fā)生的錯誤.高一數(shù)學學教案第五課時三角函數(shù)的圖象和性質(五)主備人宋振蘇教學目標：會用單位圓中的正切線畫出正切函數(shù)的圖象，理解正切函數(shù)的性質，掌握性質的簡單應用，會解決一些實際問題；用數(shù)形結合的思想理解和處理有關問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，提高數(shù)學素質，培養(yǎng)實踐第一觀點.教學重點：正切函數(shù)的圖象和性質教學難點：正切函數(shù)的性質的簡單應用教學過程：I.課題導入常見的三角函數(shù)還有正切函數(shù)，前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質，今天我們來探討一下正切函數(shù)的圖象，以及它具有哪些性質？n.講授新課為了精確，我們還是利用單位圓中的正切線來畫一下正切

40、曲線sin(兀+x)sinx,兀.tan(兀+x)=cos；什x)=二=tanx(其中xCR，且xw2+kn，Z)根據(jù)周期函數(shù)定義，可知正切函數(shù)也是周期函數(shù)，且兀是它的周期.現(xiàn)在利用正切線畫出函數(shù)兀兀Jy=tanx,xC(5,萬)的圖象引導學生完成.引導學生觀察得出正切曲線的特征：正切曲線是被相互平行的直線x=2+k7t(kZ)所隔開的無窮多支曲線組成的.現(xiàn)在我們根據(jù)正切曲線來看一下正切函數(shù)有哪些主要性質冗(1)te義域：x|xwq+k%,kCZ(2)值域：R(3)周期性：正切函數(shù)是周期函數(shù)，且周期T=兀(4)奇偶性：tan(x)=tanx正切函數(shù)是奇函數(shù)，正切曲線關于原點O對稱(5)單調性：

41、正切函數(shù)在開區(qū)間(一2+k兀，2+k兀)，kCZ內都是增函數(shù).注意：正切函數(shù)在整個定義域上不具有單調性，因為它的定義域不連續(xù)，所以不能說它在整個定義域內是增函數(shù).正切函數(shù)在每個單調區(qū)間內都是增函數(shù)下面，來看性質的簡單應用.例1求函數(shù)y=tan2x的定義域.,_兀.kn兀解：由2xwk兀+2,(武Z)得xw£+4,(kCZ)y=tan2x的定義域為：x|xCR且xwk+4,keZ例2觀察正切曲線寫出滿足下列條件的x的值的范圍：tanx>0解：回出y=tanx在(一2,2)上的圖象，不難看出在此區(qū)間上滿足tanx>0的x的范圍為:%0Vx<2結合周期性，可知在xCR,且

42、xwku+2上滿足的x的取值范圍為(ku,ku+2)(kCZ)例3不通過求值，比較tan135°與tan138°的大小.解：:90°v135°v138°v270°又y=tanx在xC(90°,270°)上是增函數(shù)， .tan135°vtan138°例4求函數(shù)y=tan(x+3)的定義域，并討論它的單倜性.解：由x+3wk兀+2,(keZ)得xwk兀+6,(底z).,.兀兀 y=tan(x+3)的te義域為x|xCR且xwkjt+6,kCZ又由y=tanx在每個區(qū)間(k%-2,ku+2)kZ上是增

43、函數(shù)可知：、【/I兀兀兀當k兀2<x+3<k%+2gPk7t-5T<x<k7t+7C(kCZ)時，y=tan(x+T)是增函數(shù)663 y=tan(x+3)在每個區(qū)間(ku-5r,ku+6)(kZ)上是增函數(shù).例5函數(shù)y=tan2x是否具有周期性，若具有，則最小正周期是什么？解：由y=tanx是周期函數(shù)，且周期為?？芍褐挥斜仨毊攛至少增加到x+兀時，函數(shù)值才重復出現(xiàn). 、.一一一，.一兀也就是說只有2x至少增加到2x+兀時，即x至少增加到x+-時，函數(shù)值才重復出現(xiàn).y=tan2x具有周期性，且最小正周期為；.2由正、余弦函數(shù)最小正周期T=二得正切函數(shù)的最小正周期T=CO

44、co例如y=5tanx,xw(2k+1)Tt,(kCZ)的周期丁=牛=4兀.2y=tan3x,xw等十三(kZ)的周期T=2f.363出.課堂練習課本P3313IV .課時小結通過本節(jié)學習，要掌握正切函數(shù)的圖象，理解它具有的主要性質，并會應用它解決一些較簡單問題.V .課后作業(yè)課本P44習題5（六）y= sinx進行振幅和周期變高一數(shù)學學教案第六課時三角函數(shù)的圖象和性質主備人宋振蘇教學目標：理解振幅的定義，理解振幅變換和周期變換的規(guī)律，會對函數(shù)換；滲透數(shù)形結合思想，培養(yǎng)動與靜的辯證關系，提高數(shù)學修養(yǎng)教學重點1 .理解振幅變換和周期變換的規(guī)律；2 .熟練地對y=sinx進行振幅和周期變換.教學難

45、點理解振幅變換和周期變換的規(guī)律教學過程I.課題導入在現(xiàn)實生活中，我們常常會遇到形如y=Asin（cox+5）的函數(shù)解析式（其中A,，中都是常數(shù)）.下面我們討論函數(shù)y=Asin（x+平），xCR的簡圖的畫法.n.講授新課首先我們來看形如y=Asinx,xCR的簡圖如何來畫？1例1回出函數(shù)y=2sinx,xR,y=2sinx,xCR的簡圖.解：畫簡圖，我們用“五點法”這兩個函數(shù)都是周期函數(shù)，且周期為2兀，我們先畫它們在0,2兀上的簡圖.列表：x0兀2兀3兀萬2兀sinx010-102sinx020-2012sinx0120120描點畫圖:然后利用周期性，把它們在0,2兀上的簡圖向左、右分別擴展，便

46、可得到它們的簡圖請同學們觀察它們之間的關系（1）y=2sinx,xCR的值域是2,2圖象可看作把y=sinx,xCR上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍而得（橫坐標不變）.1 11（2）y=2sinx,xCR的值域是一2，2】1圖象可看作把y=sinx,xCR上所有點的縱坐標縮短到原來的2倍而得（橫坐標不變）.一般地，函數(shù)y=Asinx,xCR（其中A>0且AW1）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點的縱坐標伸長（當A>1時）或縮短（當0<A<1時）到原來的A倍（橫坐標不變）而得到.A, A函數(shù)y=Asinx,xCR的值域是ymax=A,ymin=A,1一一y=sin2 x,

47、 xC R 的簡圖.A稱為振幅，這一變換稱為振幅變換t=2t =兀例2畫出函數(shù)y=sin2x,xCR解：函數(shù)y=sin2x,xCR的周期我們先畫在0,兀上的簡圖令X=2x,那么sinX=sin2x列表：x0兀4兀23兀T兀X=2x0兀2兀3兀萬2兀sinx010-10描點畫圖:12二函數(shù)y=sinx,xR的周期T=-=4ti21我們回0,4兀上的間圖，令x=2x列表：x0兀2兀3兀4兀1X=2x0K2兀3兀22兀1sin2x010-10描點畫圖:利用它們各自的周期，把它們分別向左、右擴展得到它們的簡圖函數(shù)y=sin2x,xCR的圖象，可看作把y=sinx,xCR上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍

48、（縱坐標不變）而得到.函數(shù)y=sin2x,xR的圖象，可看作把y=sinx,xCR上所有點的橫坐標縮短到原來的2倍（縱坐標不變）而得到的.一般地，函數(shù)y=sinwx,xCR（其中>0,且cowl）的圖象，可以看作把y=sinx,xCR圖象上所有點的橫坐標縮短（當3>1時）或伸長（當0vcov1時）到原來的1倍（縱坐標不變）而co得到.3決定了函數(shù)的周期，這一變換稱為周期變換.出.課時小結y= Asinx,通過本節(jié)學習，要理解并學會對函數(shù)y=sinx進行振幅和周期變換，即會畫y=sincex的圖象，并理解它們與y=sinx之間的關系課后檢測試題1 .判斷正誤丫=Asincox的最大值

49、是A,最小值是一A.（）丫:Asinx的周期是2-.（）y=3sin4x的振幅是3,最大值為3,最小值是一3.（）一，,一一，一一1一2 .用圖象變換的方法在同一坐標系內由y=sinx的圖象回出函數(shù)y=-2sin（2x）的圖象.3 .下列變換中，正確的是（）人.將y=sin2x圖象上的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）即可得到y(tǒng)=sinx的圖象,一,一、1、B.將y=sin2x圖象上的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）即可得到y(tǒng)=sinx的圖象,一，、，一1一，C.將y=sin2x圖象上的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，即得到y(tǒng)=sinx的圖象,一，一1,、一、一一一D.將y=-

50、3sin2x圖象上的橫坐標縮小一倍，縱坐標擴大到原來的"倍，且變?yōu)橄喾磾?shù)，3即得到y(tǒng)=sinx的圖象1+sinxcosx4 .試判斷函數(shù)f（x）=j"00”在下列區(qū)間上的奇偶性.1IcosxIsinx兀兀兀兀（1）xe（2,2）（2）xe2,21.一一兀5 .求函數(shù)y=log1cos（x+3）的單倜遞增區(qū)間2兀6 .求函數(shù)y=sin（62x）的單調遞增區(qū)間課后檢測試題答案1 .(X)(X)(，)112 .解：y=2sin(2x)=2sin2x橫坐標變?yōu)榱吮稒M1,作國過程'尸5m縱環(huán)松一縱小標變以倍產23最工評述：先化簡后畫圖3 .A(1+sinxcosx)(1+co

51、sxsinx)4 .解：f(x)="i/dI-(1+cosx+sinx)(1+cosxsinx)/、2_1一(cosxsinx)2sinxcosxsinx(1+cosx)sinx1+2cosx+cosxsinx1+cosx-f(-x) =sin ( x)1 + cos ( x)sinx1 + cosx=f(x)，在(2，2)上f(x)為奇函數(shù).，一兀，一一一、(2)由于x=2時，f(x)=1,而f(x)無息義.，在2,21上函數(shù)不具有奇偶性.一、兀5.分析：先考慮對數(shù)函數(shù)y=log1x是減函數(shù)，因此函數(shù)的增區(qū)間在u=cos(x+)的減區(qū)間2之中，然后再考慮對數(shù)函數(shù)的定義域即函數(shù)的遞增

52、區(qū)間應是cos(x+3)的遞減區(qū)間與cos(x+j)>0的解集的交集.解：依題意得2k.+<2LtH-jt2時V二十=V2人.肝解得xC2kTt3,2k%+6)(kZ)評述：求例如sin(cox+中)、cos(cox+中)的單調區(qū)間時，要注意換元，即令u=cox+中,由u所在區(qū)間得到x的范圍.6.求函數(shù)y=sin(62x)的單調遞增區(qū)間.錯解：=y=sinx的單調遞增區(qū)間是LC,兀_兀_2kTt-2,2k兀+21(keZ)2kjt-2<6-2x<2k兀+2(kCZ)解得一kn6wxWk兀+3（kCZ）函數(shù)y=sin（62x）的遞增區(qū)間是kTtg,kTt+3（kCZ）評述：y=sin（62*）是y=sint及t=g2x的復合函數(shù).由于t=62x是減函數(shù)，所以當丫=$1討遞增時，函數(shù)y=sin（62x）是減函數(shù)，上面求得的結果是函數(shù)的遞減區(qū)間，可見，討論復合函數(shù)的單調性必須分析每個函數(shù)的單調性，以免犯類似的錯誤.復合函數(shù)的單調性有如下規(guī)律：雙增雙減均為增，一增一減為減高一數(shù)學學教案第七課時三角函