三年高考(2017_2019)高考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編專(zhuān)題08平面解析幾何(解答題)文(含解析)

1、專(zhuān)題08平面解析幾何(解答題)1.【2019年高考全國(guó)I卷文數(shù)】 已知點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，1AB|=4,。M過(guò)點(diǎn)A,B且與直線(xiàn)x+2=0相切.(1)若A在直線(xiàn)x+y=0上，求。M的半徑；(2)是否存在定點(diǎn) P,使彳導(dǎo)當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，1 MA - | MP為定值？并說(shuō)明理由.【答案】(1) eM的半徑r=2或r=6； (2)存在，理由見(jiàn)解析.【解析】(1)因?yàn)閑 M過(guò)點(diǎn)A,B ,所以圓心M在A(yíng)B的垂直平分線(xiàn)上.由已知A在直線(xiàn)x+y=0上，且A, B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) O對(duì)稱(chēng)，所以M在直線(xiàn)y x上，故可設(shè) M(a, a).因?yàn)閑 M與直線(xiàn)x+2=0相切，所以e M的半徑為r |a 2|.22),解得

2、 a=0 或 a=4 .由已知得|AO|=2,又MO AO,故可得2a2 4 (a故e M的半徑r=2或r=6. 存在定點(diǎn)P(1,0)，使得|MA| | MP |為定值.理由如下:設(shè)M(x, y),由已知得e M的半徑為r=|x+2|,|AO|=2 .LULU 由于MOLuur ,22AO,故可得x2 y2 4(x 2)2,化簡(jiǎn)得M勺軌跡方程為y24x .2因?yàn)榍€(xiàn)C : y 4x是以點(diǎn)P(1,0)為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)x1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，所以1Mp|=x+1.因?yàn)閨MA| |MP|二r |MP|=x+2 (x+1)=1 ,所以存在滿(mǎn)足條件的定點(diǎn) P.【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解問(wèn)題、圓錐曲線(xiàn)中

3、的定點(diǎn)定值類(lèi)問(wèn)題.解決定點(diǎn)定值問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓的性質(zhì)得到動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線(xiàn)的定義得到定值，驗(yàn)證定值符合所有情況，使得問(wèn)題得解22.【2019年高考全國(guó)H卷文數(shù)】已知F1,F2是橢圓C：三a2 1(a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn), b2O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若APOFz為等邊三角形，求 C的離心率;(2)如果存在點(diǎn) P,使得PF PF2,且F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.【答案】(1) J3 1; (2) b 4, a的取值范圍為4J2,).【解析】(1)連結(jié)PF1,由POF2為等邊三角形可知在 F1PF2中,F1PF2 90PF2 c,PF1辰，于

4、是 2a PF1PF2G/3 1)c,故C的離心率是e1(2)由題意可知，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P(x, y)存在.當(dāng)且僅當(dāng)一|y12c 16 2y yx c x c2r 1b2，即c|y| 16,_2c ，22xy2,2ab由及b2c2得y2 b2 ,又由知y2 c咚，故b c4.由得22 一一 22.c b ，所以c b ,從而2.22a b c2b232,故a 4金.4、 .2時(shí)，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn) P.所以b 4,a的取值范圍為4 72,).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點(diǎn)滿(mǎn)足題中條件的問(wèn)題，熟記橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可求解，考查計(jì)算能力，屬于中檔試題3.【2019年高考全國(guó)出

5、卷文數(shù)】已知曲線(xiàn)2c： yd ，21D為直線(xiàn)y=一上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò) D作C的兩條切線(xiàn),2切點(diǎn)分別為A, B.(1)證明：直線(xiàn) AB過(guò)定點(diǎn)；(2)若以E(0, 5)為圓心的圓與直線(xiàn) AB相切，且切點(diǎn)為線(xiàn)段 AB的中點(diǎn)，求該圓的方程.222【答案】(1)見(jiàn)解析；x2 y 54或x2y 52 .2212_【解析】（1）設(shè) D t, 一，A x1, y1 ,則 x1 2 yl.21由于y' x,所以切線(xiàn)DA勺斜率為X1 ,故y1 2Xi t整理得 2 tx1 2 y1+1=0.設(shè) B X2,y2 ,同理可得 2tX2 2 y2+1=0 .故直線(xiàn)AB勺方程為2tx 2y 1 0.一， ，-1所以直線(xiàn)

6、ABi定點(diǎn)（0, ） .21 由（1）得直線(xiàn)AB勺萬(wàn)程為y tx -.211y tx 由 2 2，可得 x2 2tx 1 0 .xy萬(wàn)2,于是 x x2 2t, y y2tx1 x21 2t 1.設(shè)必線(xiàn)段AB勺中點(diǎn)，則Mt,t2,一uuuu由于EMuuu 皿AB ,而 EMt,t2AB與向量(1, t)平行，所以tt2 2 t 0 .解得t=0或t1 .當(dāng)t=0時(shí),uuuu|EM |=2,所求圓的方程為225x y -2uuuu _1時(shí)，| EM | J2,所求圓的方程為x2y252.2【名師點(diǎn)睛】此題第一問(wèn)是圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)問(wèn)題和第二問(wèn)是求圓的方程，屬于常規(guī)題型，按部就班地求解就可以，思路較

7、為清晰，但計(jì)算量不小24.【2019年高考北京卷文數(shù)】已知橢圓 C : a24 1的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,1). b2(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)O為原點(diǎn)，直線(xiàn)l：y kx t(t 1)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn) P, Q直線(xiàn)AP與x軸交于點(diǎn)M直線(xiàn)AQ x軸交于點(diǎn)N,若| OM | ON=2，求證：直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).21 ； （2）見(jiàn)解析.【答案】（1） 2 y22【解析】（1）由題意得,b2=1, c=1.所以 a2=b2+c2=2.2所以橢圓C的方程為2y2 1.(2)設(shè) P (x1, yO, Q (x2, y2),則直線(xiàn)AP勺方程為yy1x11x 1.令y=0,得點(diǎn)M勺橫坐標(biāo)x

8、Mx1y1 1又yikX t ,從而 |OM |xM,x1,1kxi t J同理,1ON| 1kx2"匕|.y由x22kxt, 得(11_222k )x則 x1 x24kt21 2k2，X1X22t2 21 2k2所以|OM|ON| |x1IIx2kx1 t 1 kx2 t 1x1x2k2x1x2 k(t 1) x1 x2 (t 1)|2-,2 2t2 2k21 2k2t2 21 2k2k(t 1)(事) (t J1 2k2H又|OM | |ON | 2 ,1 t所以 2|-| 2 .1 t解得t=0,所以直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0, 0).【名師點(diǎn)睛】解決直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意:(

9、1)注意觀(guān)察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線(xiàn)、橢圓的條件;(2)強(qiáng)化有關(guān)直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立得出二次方程后的運(yùn)算能力,重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、 弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題.5.【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)橢圓2-y21(a b 0)的左焦點(diǎn)為F,b2左頂點(diǎn)為A上頂點(diǎn)為B.已知J3|OA| 2|OB| (O為原點(diǎn))(1)求橢圓的離心率;一 一 一、.3(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率為3的直線(xiàn)14與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P,圓C同時(shí)與x軸和直線(xiàn)l相切,圓心C在直線(xiàn)x=4上，且OC/ AP,求橢圓的方程.1 x2【答案】(1) 3 ；(2)x;2L 1.12【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知有73

10、a2b ,又由 a2 b2 c2消去b得a2由(1)知，a2c,b3c ,故橢圓方程為2x4c22二1 3c2由題意，F(xiàn)( c, 0),則直線(xiàn)，、一3l的方程為y 3(x4c)，點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足 4c2 y 3c21,消去3/、4(x c),y并化簡(jiǎn)，得至U 7x2 6cx 13c20 ,解得 X c,x213c7代入到1的方程，解得3y- c, y229c.14解得-a 2 所以，橢圓的離心率為3因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上萬(wàn)，所以P c,-c2由圓心C在直線(xiàn)x 4上，可設(shè)C(4, t).因?yàn)镺C / AP,且由(1)知A( 2 c, 0),故工432c ,解得t 2.c 2c6.又由圓C與l相切，得34

11、(4 c) 22 ,可得c=2.22所以，橢圓的方程為 1.16 12【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線(xiàn)方程、圓等基礎(chǔ)知識(shí)研究圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的能力22【2019年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C: x- ya b.考查用代數(shù)方法1(a b 0)的焦點(diǎn)為F 1(-1、0) ,F2(1,0).過(guò)F2作x軸的垂線(xiàn)l ,在x軸的上方，l與圓F2: (x1)2y24a2交于點(diǎn)A,與橢圓C交于點(diǎn)D連結(jié)AFi并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B,連結(jié)BE交橢圓C于點(diǎn)E,連結(jié)DF.已知DF= 5 .2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(

12、2)求點(diǎn)E的坐標(biāo).因?yàn)閳AC與x軸相切，所以圓的半徑長(zhǎng)為 2,223【答案】(1)二 L 1； (2) E( 1,-).432【解析】(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c.因?yàn)?Fi(-1, 0), F4 , 0),所以 FiF2=2, c=1.一. 5又因?yàn)镈F= , AE，x軸，2所以 DF=. DF12FF22 , (5)2 22因止匕2a=DF+DE=4,從而a=2.由 b2=a2-c2,得 b2=3.22因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2上 1.43(2)解法一：21, a=2,由(1)知，橢圓C：4因?yàn)锳Ex軸，所以點(diǎn) A的橫坐標(biāo)為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1) 2+y2=16,解得y=&#

13、177;4.因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以A(1 , 4).又F1(-1, 0),所以直線(xiàn)AF: y=2x+2.y(x2x 21)2 y2，得 5x2 6x 11 0 , 16解得x將x11511一代入y 2x125 '因止匕B(11512、一).又 F2(150),所以直線(xiàn)BE： y3(xy 3(x 1)4由 22，得7x2 6x 13 0 ,解得x 1或xx y_ .一 J 1431).137又因?yàn)镋是線(xiàn)段BF與橢圓的交點(diǎn)，所以 x 1 .33將x 1代入y -(x 1),得y -.一3因此 E( 1, 3).2解法22由(1)知，橢圓C: 七 L 1.如圖，連結(jié)EF.43因?yàn)?BF2=

14、2a, EF+EF2=2a,所以 EF=EB,從而/ BFE=/ B因?yàn)?F2A=F2B,所以/ A=Z B,所以/ A=Z BFiE,從而 EF / F2A 因?yàn)锳Ex軸，所以EFx軸.x 1 3 因?yàn)?Fi(-1, 0),由 x2 y2，得 y -.y- 1243 3 又因?yàn)镋是線(xiàn)段BF與橢圓的交點(diǎn)，所以 y -.2一3因此 E( 1, 3).2【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查直線(xiàn)方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力 7.【2019年高考浙江卷】如圖，已知點(diǎn)F (1,0)為拋物線(xiàn)y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)，過(guò)

15、點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上，使得 ABC的重心G在x軸上，直線(xiàn) AC交x軸于點(diǎn)Q且Q在點(diǎn)F的右側(cè).記 AFG,zCQG的面積分別為S1,S2.(1)求p的值及拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程;，Si，一(2)求二1的最小值及此時(shí)點(diǎn) G的坐標(biāo).S29【答案】(1) p=2,準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1; (2)最小值為1 立,此時(shí)G (2,2【解析】(1)由題意得E 1,即2所以，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為 x=-1.p=2.設(shè) A xA,yA，B xB, yB ,CXc，% ,重心 G XG,yG .令 y 2tt20,則 xa t .由于直線(xiàn)AEB± F,故直線(xiàn)A時(shí)程為xt2 12t2 t21-

16、y 4故 2tyB2,所以B t工t2，又由于XB1-yK yByc及重心G在x軸上3一 4 一 2 一2t 2t 2 c，G t，0 .所以，直線(xiàn)ACT程為22. _y 2t 2t x t ，得 Q t 1,0 .0 ,得8.由于Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，故t22 .從而SS2S1S21 2|FG| yA2t4 2t2 21 - 2|QG| |yc|t2 13t22t4 2t23t21 |2t|22-| 2t|2t4"Ft2 2t2 2 ,則 n>0,2 m22m 4m 31123 , m 4m.,3時(shí)，S取得最小值1 3,此時(shí)G (2, 0).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的幾何性

17、質(zhì),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力【2018年高考全國(guó)I文數(shù)】設(shè)拋物線(xiàn)c： y22x ,點(diǎn) A 2 , 0 , B 2 ,0 ,過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與C交于(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線(xiàn) BM的方程;(2)證明：/ABM /ABN.11【答案】(1) y=-x 1或 y x 1； (2) 22【解析】(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為見(jiàn)解析.x=2,可得M的坐標(biāo)為(22)或(2, - 2).11所以直線(xiàn)BM勺方程為y=1x 1或y 1x 22(2)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),AB為MN勺垂直平分線(xiàn)，所以/ ABIMZ ABN當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y k(x 2)

18、(k 0), M (x1, yo,N (x2, y2),則 x1>0, x2>0.由 y2 k(x 2)'得 ky2 y 2x2y -4k=0,-2可知 y1+y2=, 丫以2=-4.k直線(xiàn)BM BN的斜率之和為kBMkBN六六x2%xy2 2(y y)(x1 2)(x2 2)將x1 2 2 , x2 叢 2及y1+y2, yy2的表達(dá)式代入式分子，可得 kk2yiy2 4k(yi y2)8 8cx2 y1 Xiy2 2(yi y2)；0 kk所以kBM+kBN=0,可知BM BN的傾斜角互補(bǔ)，所以/ ABM/ABN綜上，/ ABM/ABN【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的標(biāo)

19、準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀(guān)想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算.在設(shè)直線(xiàn)的方程時(shí)，一定要注意所設(shè)方程的適用范圍，如用點(diǎn)斜式時(shí)，要考慮到直線(xiàn)的斜率不存在的情況，以免解答不嚴(yán)密或漏解.(1)求出直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線(xiàn)BM的方程；(2)由(1)知，當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，結(jié)論顯然成立，當(dāng)直線(xiàn) l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)出斜率 k,聯(lián)立直線(xiàn)l與C的方程，求出 M N兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再表示出BM與BN的斜率，得其和為 0,從而說(shuō)明BM與BN兩條直線(xiàn)的斜率互為相反數(shù)，進(jìn)而可知兩角相等9.【2018年高考全國(guó)n卷文數(shù)】 設(shè)拋物線(xiàn)C： y

20、2 4x的焦點(diǎn)為F ,過(guò)F且斜率為k(k 0)的直線(xiàn)l與C交于 A, B 兩點(diǎn)，|AB| 8.(1)求l的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)A, B且與C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程.【答案】(1) y=x-1；(x 3)2 (y 2)2 16或(x 11)2 (y 6)2 144 .【解析】(1)由題意得F (1, 0), l的方程為y=k (x-1) (k>0).設(shè) A (x1, y。，B (x2, y2).y k(x 1) 一 o o由 2得 k2x2(2k24)xk20.y 4x一 一 一2k2416k16 0 ,故 x1 x2 2一 k2所以AB AF BF由題設(shè)知4k2 4k2(x1 1) (x2

21、1)4k2 4k28,解得 k=- 1 (舍去)，k=1.因此l的方程為y=x - 1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3, 2),所以AB的垂直平分線(xiàn)方程為y 2 (x 3),即 y x 5 .設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(X0, y(9 ,則yoXo5,(X0 1)2(yo xo 1)22Xo 3, Xo 11, 解得或o16. yo 2yo6.因此所求圓的方程為一 2一 2_.2一 2(x 3)2(y 2)216 或(x11)2(y 6)2144 .【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)與直線(xiàn)和圓的綜合，考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、運(yùn)算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.(1)利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出

22、直線(xiàn) l的方程，代入拋物線(xiàn)方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及拋物線(xiàn)的定義加以求解由題意列出方程組，解得(2)由題意寫(xiě)出線(xiàn)段 AB的垂直平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程，設(shè)出圓心的坐標(biāo),圓心的坐標(biāo)，即可求解10.【2。18年高考全國(guó)出卷文數(shù)】已知斜率為22k的直線(xiàn)l與橢圓C 土工431交于A(yíng), B兩點(diǎn).線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M (1,m)(m o).、r1(1)證明：k ； 2(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),uuuP為C上一點(diǎn)，且fpuuuFAuuu FBuLur0 .證明：2| FP|uuu uuu|FA| |FB|.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.22【解析】(1)設(shè)A(X1, yj, B(X

23、2, yz),則立應(yīng) 432X242y23兩式相減，并由 江*二k得當(dāng)2 、/2 k 0. X1 X243由題設(shè)知 內(nèi)一X2 1 , y一y2 m ,于是k2231由題設(shè)信0 m,故k.22由題意得F (1, 0).設(shè)P(x3 , y3),則34m(X3 1») (X1 1,y1) (X2 1») (0,0).由(1)及題設(shè)得x33(x1x2)1 ,y3(y1y2)2m 0.又點(diǎn)P在C上，所以m334,從而 P(1, 2),uuu 3川=2uuu 2|FA| 區(qū) 1)(X 1)2 3(1 £)uuu x同理 |FB|=2 juur uuu所以FA FB 41 ，(

24、x X2) 3 2uuu uuu uur故2|FP|=|FA|+|FB| .【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線(xiàn)的斜率公式、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量的模等，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.圓維曲線(xiàn)中與中點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題常用點(diǎn)差法,建立弦所在直線(xiàn)的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系,也可以通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程，消元，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解11.【2018年高考北京卷文數(shù)】已知橢圓2M :三ay2- 1(a b 0)的離心率為 ,焦距為2 J2 .斜率為b23k的直線(xiàn)l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A, B(1)求橢圓M的方程;若k

25、 1,求AB |的最大值;(3)設(shè)P( 2,0),直線(xiàn)PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為 C,直線(xiàn)PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為 D若CD和7 1點(diǎn)、(一，)共線(xiàn)，求k.4 42【答案】(1) y2 1 ; (2)而；(3) 1.3【解析】(1)由題意得2c 26,所以c 42,又e c46 ,所以a 3i,a 3所以 b2 a2 c2 1,2y2i.所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-3y由x2(2)設(shè)直線(xiàn)ab的方程為y消去 y 可得 4x2 6mx 3m2 3 0 , i則 36m2一 24 4(3m3) 48i2m2 0 , IP m2 4 ,設(shè) A(xi, yi)B(X2,y2),則 xi X223m3m

26、3一 ,XiX2 ,24則 |AB| J k2 |xi x2 | ,i k2xX2)24XiX2-了,易得當(dāng)m20時(shí),| AB |maX屈,故| AB |的最大值為娓.設(shè) A(xi,yi)B(X2, y2), C(X3, y3)D(X4,y4),則x223 yi3,2-2X2 3y23 )又P(2,0),所以可設(shè)kikpAyix 2直線(xiàn)PA的方程為y ki(x 2),ki(x2)消去y可得(i i3k2)x2i2k；x 12k；則x1x32i2ki2日”2 , 即 X3i 3ki2i2K23ki2又kiyiXi2，代人式可得X37x1124xi 7,所以y3yi所以C(7xi i24為 7yi

27、4為7)，同理可得D(7X2i2y24x2 74x2 7).uur 故QC7 i UUIT一,y3 -), QD44/7 i、(X4 4,y4 4),3 y 7-X471因?yàn)镼,C, D三點(diǎn)共線(xiàn)，所以(x3 7)( y4 -)44Vl V2.將點(diǎn)C,D的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得 -1,即k 1 . x1 x2【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程及幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.解決橢圓的方程問(wèn)題，常用基本量法，同時(shí)注意橢圓的幾何量的關(guān)系；弦長(zhǎng)的計(jì)算，通常要將直線(xiàn)與橢圓 方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求

28、解.2212.【2018年高考天津卷文數(shù)】設(shè)橢圓 今 與 i(a b 0)的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心 a b率為95 , | AB | 7133(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)l:y kx(k 0)與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)，l與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)M且點(diǎn)P, M均在第四象限.若 BPM的面積是 4BPQ面積的2倍，求k的值.221【答案】(1) L 1 (2)-. 942【解析】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線(xiàn)方程等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問(wèn)題的能力.滿(mǎn)分14分.(1)設(shè)橢圓的焦距為 2c,由已知得c-5,a 9又由a2

29、b2 c2,可得2a 3b .由 | AB| Ja2 b2 而，從而 a 3，b 2.22所以，橢圓的方程為 -y- 1.94(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(為，乂)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2, y2),由題意，x2 x1 0 ,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1, y1).由ABPM的面積是ABPQ面積的2倍，可得|PM|二2|PQ|,從而 x2 x1 2x1 ( x1),即 x25x1 .易知直線(xiàn)AB的方程為2x 3y 6,由方程組2x 3y y kx,6,消去y,可得x263k 2由方程組1,消去y ,可得xiy kx,由x2 5xi,可得79k24 5(3k 2)，兩邊平方，整理得18k2825k 8 0 ,解得k

30、,或9當(dāng)k 8時(shí)，x299所以，k的值為 1.20 ,不合題意，舍去；當(dāng)1一時(shí)，x2212, xi 一，符合題意.5【名師點(diǎn)睛】高考解析幾何解答題大多考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，涉及軌跡方程問(wèn)題、定值問(wèn)題、最值問(wèn)題、參數(shù)的取值或取值范圍問(wèn)題等，其中考查較多的圓錐曲線(xiàn)是橢圓與拋物線(xiàn)，解決此類(lèi)問(wèn)題要重視化歸與轉(zhuǎn)化思想及設(shè)而不求法的應(yīng)用13【2018年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C過(guò)點(diǎn)(J3,1),焦點(diǎn)F1( J3,0), F2(J3,0),圓O的直徑為F1F2 .(1)求橢圓C及圓O的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn) P.若直線(xiàn)l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)

31、 P的坐標(biāo);直線(xiàn)l與橢圓C交于A(yíng), B兩點(diǎn).若4OAB的面積為 2k ,求直線(xiàn)|的方程.72【答案】（1）橢圓C的方程為上 y2 1,圓O的方程為X2 y2 3;（2）（厄1）；y 尋 342 .4.【解析】（1）因?yàn)闄E圓c的焦點(diǎn)為F1（ J3,0）,f2（J3,0）,22可設(shè)橢圓C的方程為與41（a b 0）.a2 b2_3_，1又點(diǎn)（石,1）在橢圓C上，所以 a2 4b2, ,解得2212ca b 3,2因此橢圓C的方程為y2 1 . 4b24,1,因?yàn)閳AO的直徑為F1F2,所以其方程為x2y23.(2)設(shè)直線(xiàn)l與圓O相切于P(Xo,yo)(X0 0, yo 0),則2 y。2 3,XoX

32、03所以直線(xiàn)I的方程為y (x X0) y0,即y x .y。y。y。y2 1,消去 y,得(4X02 y02)X2 24x0x 36 4y02 0.(*) n W y0No因?yàn)橹本€(xiàn)I與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以 (24X0)2 4(4X02 y02)(36 4y02) 48y02的2 2) 0.因?yàn)閄0, y 0,所以x0叵Vo1 .因此點(diǎn)p的坐標(biāo)為（J2,1）.因?yàn)槿切蜲AB勺面積為2_6 ,7所以1-AB OP22.64.2二一，從而 AB設(shè) A%), B(X2,y2),由(*)得X1,224%：48yo2(Xo2 2)-22)2(4Xoyo )所以AB222國(guó) X2) (y1 丫

33、2)(12 Xo -2 V。2248義2(%2 2)222(4XoVo)因?yàn)?Xo22yo 3 ,所以AB16(Xo22)222(Xo1)32 口 c 42一，即 2Xo 45Xo 491OO o解得2Xo5(Xo2 20 舍去)， 2則yo2工，2因此P的坐標(biāo)為【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)方程、圓的方程、圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線(xiàn)綜上，直線(xiàn)l的方程為yJ5x 3".與圓及橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，考查分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求圓的方程和橢圓的方程(2)利用直線(xiàn)與圓、橢圓的位置關(guān)系建立方程求解；結(jié)合，利用弦長(zhǎng)公式、三角形的面積公式求解14.【2

34、O18年高考浙江卷】如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線(xiàn) C： y2=4X上存在不同的兩點(diǎn)A, B滿(mǎn)足PA PB的中點(diǎn)均在 C上.(1)設(shè)AB中點(diǎn)為 M 證明：PM垂直于y軸； 若P是半橢圓X2+£=1(X<O)上的動(dòng)點(diǎn)，求 PA河積的取值范圍.4【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 652里10. ' '4【解析】本題主要考查橢圓、拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力.滿(mǎn)分15分.1 21 2(1)設(shè) P(x0, ycJ , A(y1,y1)，B(- y2, y2).44因?yàn)镻A, PB的中點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，1

35、 2所以y1，y2為方程(V yo)2 4 4y %即y2 2y0y 8x0 y2 0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.( 2 )2所以 y1y22y。.因此，PM垂直于y軸.(2)由(1)可知y y2 2y0,y y2 8x0 y2,12所以 | PM | 一 (y1823 2y2)x0一 y4| y1 y2 | 2.2(y； 4x0).13 2 o 3因此，"AB 的面積 & pab 11PM 11yly21 丁(y0 4%產(chǎn)2因?yàn)?x2 如 1(x0 0),所以 y2 4x04xo 4x0 4 4,54因此，zXPAB面積的取值范圍是6J2,史普.【名師點(diǎn)睛】圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題是高考重點(diǎn)考

36、查內(nèi)容之一，也是難點(diǎn)之一.橢圓、拋物線(xiàn)是其中?？純?nèi)容，需要熟練地掌握橢圓和拋物線(xiàn)的定義、基本性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程等，對(duì)于處理有關(guān)問(wèn)題有很大的幫助.同時(shí)還要注意運(yùn)算能力的培養(yǎng)和提高.215 .【2017年高考全國(guó)I卷文數(shù)】設(shè) A, B為曲線(xiàn)C： y二人上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.4(1)求直線(xiàn)AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，C在M處的切線(xiàn)與直線(xiàn) AB平行，且 AM BM求直線(xiàn) AB的方程.【答案】(1) 1; (2) y x 7 .【解析】(1)設(shè)A (x1?yo, B (x2, V。,則 x x2yi2X1y22x2- , x+x2=4,4于是直線(xiàn)AB的斜率k2由y '得y'

37、;4設(shè)M(X3, y),由題設(shè)知x312設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y x m故線(xiàn)段M (2AB的中點(diǎn)為Nl (2,1).2+m| MN=| m+1| .將y x m代入2x /曰2y 得x44x 4m當(dāng) 16(m 1)1 時(shí)，K,2從而 |AB|= ,2|x1x21 4j2(m 1).2(m 1),解得 m由題設(shè)知 |AB| 2|MN |,即 4j2(m 1)所以直線(xiàn)AB的方程為y x 7 .【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，主要利用根與系數(shù)的關(guān)系：因?yàn)橹本€(xiàn)的方程是一次的，圓錐曲線(xiàn)的方程是二次的，故直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用根與系數(shù)的關(guān)

38、系及判別式是解決圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用根與系數(shù)的關(guān)系直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用.(1)設(shè)A (必，yO, B (x2, v,由兩點(diǎn)斜率公式求 AB的斜率；(2)聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，消 y ,得AB|=J2|x1 x2 | 412(m 1),解出m即可.216 .【2017年高考全國(guó)n卷文數(shù)】設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M在橢圓C上 y2 1上，過(guò)M作x軸的垂線(xiàn),2uuu-uuLir垂足為N,點(diǎn)P滿(mǎn)足NP J2NM .(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；uuin uur(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線(xiàn)x 3上，且OP PQ 1 .證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ勺直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)

39、F.【答案】(1) x2 y22 ； (2)見(jiàn)解析.【解析】(1)設(shè)P (x, y),M( Xo, y°),則 N ( Xo,0 ),uur NPuur(x Xo,y),NM (0,y。)，uur_ULUUTy。由 NP J2NM 得 X。 X22因?yàn)镸 ( Xo, y。)在C上，所以1 1 .22因此點(diǎn)P的軌跡方程為X2y22.(2)由題意知F (-1,0),設(shè) Q(-3,uuruurOQ ( 3,t),PFuuu uur由 OP PQ 1 得 3m,2tn n1 ,又由(1)知m2 n2 2 ,故uur uurm, n), OQ PF 3 3m tn ,uuruurOP (m,n

40、), PQ ( 3 m,t n).3 3m tn 0.uuur uuir uuur所以O(shè)Q PF0 ,即OQuurPF .又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線(xiàn)垂直于OQ所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ勺直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.“定值”是多少,定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明【名師點(diǎn)睛】 定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、 或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒成立的 問(wèn)題類(lèi)似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù) 統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).(1)轉(zhuǎn)移法求軌跡：設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)及相應(yīng)已知?jiǎng)狱c(diǎn)坐標(biāo)，利用條件列兩種坐標(biāo)關(guān)系，最后代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)軌跡方程，化簡(jiǎn)

41、可得所求軌跡方程；uuir uur(2)證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般方法是以算代證：即證OQ PF 0,先設(shè) P (mi n),則需證uur uur003 3m tn 0,即根據(jù)條件 OP PQ 1可得 3m m2 tn n2 1 ,而m2 n2 2 ,代入即得17.3 3m tn 0.【2017年高考全國(guó)出卷文數(shù)】在直角坐標(biāo)系XOy中，曲線(xiàn)y X2 mX 2與x軸交于A(yíng) B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1).當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題：(1)能否出現(xiàn) ACL BC的情況？說(shuō)明理由；(2)證明過(guò)A, B, C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.【答案】(1)不會(huì)，理由見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析【解析】(1)不能出

42、現(xiàn) Ad BC的情況，理由如下:設(shè) A（X1,0）,B（x2,0）,則 Xi, X2 滿(mǎn)足X2 mX 2 0,所以 X1X22.又C的坐標(biāo)為(0, 1),故AC的斜率與1BC的斜率之積為一XiX2所以不能出現(xiàn)ACL BC的情況.(2) BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為X2 1、，一), 可信2 2BC的中垂線(xiàn)方程為由(1)可得X1X2m,所以AB的中垂線(xiàn)方程為1 y 2m.2X2(X 包聯(lián)立又X2m% 2所以過(guò)A、B、/X2、X2（X ） 2可得m21一,2C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(1,一）,半徑2m292'故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2Jr2 (m)23,即過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.【

43、名師點(diǎn)睛】解答本題時(shí)，設(shè) A x1,0 ,BX2,0 ，由ACL8。得*2 1 0,由根與系數(shù)的關(guān)系得X1X22 ,矛盾，所以不存在；求出過(guò)A B, C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，即可得圓的方程，再利用垂徑定理求弦長(zhǎng).直線(xiàn)與圓綜合問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略：(1)處理直線(xiàn)與圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)多用幾何法，即弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形.代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式：|AB| .1k2|x1x2|1k2x(xTX2)24Kx2;(2)圓的切線(xiàn)問(wèn)題的處理要抓住圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問(wèn)題.18.【2017年高考北京卷文數(shù)】已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為 A(-2,0) ,

44、B(2,0),焦點(diǎn)在x軸上，離心率為2(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過(guò) D作x軸的垂線(xiàn)交橢圓 C于不同的兩點(diǎn) M N,過(guò)D作AM的垂線(xiàn)交BN于點(diǎn) E求證： BDEW BDN勺面積之比為 4:5 .2【答案】(1) y2 1; (2)見(jiàn)解析.422【解析】(1)設(shè)橢圓C的方程為x- y- i(a b Q).a b2a 2,由題意得 c 眄解得c 73.a 2'所以 b2 a2 c2 1.2所以橢圓C的方程為y2 1.4設(shè) M (m,n),則 D(m,0), N(m, n).由題設(shè)知m 2,且n 0.直線(xiàn)AM的斜率kAM,故直線(xiàn)DE的斜率kDEm 2所以直線(xiàn)DE的方程為ym

45、2(x m).n直線(xiàn)BN的方程為y -(x 2).2 m聯(lián)立m 2 y (xny 六(X 2)，m),解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yEn(4-"J4 mm2)2 .n由點(diǎn)M在橢圓C上，得4 m2 4n2. ,4所以yEn.51 _2 _又 S-de 21BD| |yE| 5|BD| |n|,c1，一，Sabdn | BD | | n |,2所以zXBDE與ABDN的面積之比為4:5 .【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，重點(diǎn)考查了計(jì)算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力，解答此 類(lèi)題目，主要利用 a,b,c,e的關(guān)系，確定橢圓方程是基礎(chǔ)，本題易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯(cuò)漏百出.本題能較好地

46、考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力等(1)根據(jù)條件可知a 2 -c_3 ,'a 2以及b2 a2 c2,從而求得橢圓方程; 設(shè) M (m, n),則 D(m,0), N(m,n),根據(jù)條件求直線(xiàn) DE的方程，并且表示出直線(xiàn) BN的方程,并求得兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)1 fBD yE2即可求出面積比值1 f2 BD yN19.【2017年高考天津卷文數(shù)】已知橢圓2 y_ b21(a b 0)的左焦點(diǎn)為F( c,0),右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,c), EFA的面積為(1)求橢圓的離心率；3一一，(2)設(shè)點(diǎn)Q在線(xiàn)段AE上，|FQ| 2c,延長(zhǎng)線(xiàn)段FQ與橢圓交

47、于點(diǎn) P,點(diǎn)M , N在x軸上,PM / QN ,且直線(xiàn)pm與直線(xiàn)QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c.(i )求直線(xiàn)FP的斜率;(ii )求橢圓的方程.由已知,又由b21(1) ； (2) (i)2(1)設(shè)橢圓的離心率為可得1(c a)ce 223.4e.22c ,可得2c ac2 x162L 1.12即2e2又因?yàn)? e1所以，橢圓的離心率為 一2(2) (i)依題意，設(shè)直線(xiàn)FP的方程為myc(m 0),則直線(xiàn)FP的斜率為由(1)知a 2c,可得直線(xiàn) AE的方程為與直線(xiàn)FP的方程聯(lián)立，可解得x (2m區(qū)y2c c 2)c3c,y,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(如m 22)c3cm 2>，一

48、， 3c.由已知|FQ= 3c,有2(2m 2)cc2 ( . )2 ()2,整理得 3m2 4m 0 ,所以 m m 223故直線(xiàn)FP的斜率為3 .4(ii )由a 2c ,可得2 y 3c22.3c ,故橢圓方程可以表示為 J4c由（i ）得直線(xiàn)FP的方程為3x 4y 3c 0,與橢圓方程聯(lián)立3x2x4 c24y 3c 0,2工13c2,消去y ,整理得7x2 6cx. .一 13c13c2 0，解得x (舍去)7，或 x c.因此可得點(diǎn)P（c，3c）,進(jìn)而可得| FP | J（c c）22 5c25c 3c所以1PQ|FP1 |FQ1 萬(wàn) a c.由已知，線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)即為PM與QN這兩條

49、平行直線(xiàn)間的距離,故直線(xiàn)PM和QN都垂直于直線(xiàn)FP .因?yàn)?QN FP ,所以 | QN | | FQ | tan QFN3c23 9c48 '127c2所以FQN的面積為| FQ |QN | ,232山一生 75c2同理4FPM的面積等于32_ 202由四邊形PQNM的面積為3c,得75土 27c- 32323c,整理得c2 2c，又由c 0 ,得c22所以，橢圓的方程為 1 .16 12【名師點(diǎn)睛】圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題在歷年高考中都是較有難度的壓軸題，本題對(duì)考生的計(jì)算能力要求較高,是一道難題，重點(diǎn)考查了運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力.求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，利用a,b,c,e的關(guān)系,確定橢圓離心率是基礎(chǔ)，通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓（圓