2013年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷理科新課標(biāo)ⅰ

1、 2013年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的. 2 ，則（ x ）x，2x0B=x|1（5分）已知集合A=x B?ADCB?A AAAB=? BB=R 2（5分）若復(fù)數(shù)z滿足（34i）z=|4+3i|，則z的虛部為（ ） 4 D CA4 B 3（5分）為了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（ ） A簡單的隨機抽樣 B按性別分層抽

2、樣 C按學(xué)段分層抽樣 D系統(tǒng)抽樣 ）的離心率為，則C0，b分）已知雙曲線C：的漸0（a（45） 近線方程為（ y=D±y= By= Cy=x A 5（5分）執(zhí)行程序框圖，如果輸入的t1，3，則輸出的s屬于（ ） 第1頁（共28頁） ，524，3 D B3，4 5，2CA ，將一分）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm（56，如不6cm個球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為） 計容器的厚度，則球的體積為（ C DA B m=，則，S=3，若S=2，S=0S分）設(shè)等差數(shù)列7（5a的前n項和為1m1nnmm+） （ 65 D4 A3 BC ） 分）

3、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（5 8 282第頁（共頁） 16+816+16 D B8+8 C8A16+ 2m）yx+展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，分）設(shè)m為正整數(shù)，（x+y）（9（512m+） ，則，若13a=7bm=（展開式的二項式系數(shù)的最大值為b 5 A7 D8B6 C ：E，過點F的（5分）已知橢圓10的右焦點為F（3，0） E的方程為（，1），則（直線交橢圓E于A、B兩點若AB的中點坐標(biāo)為1 BA CD 的取值范aax，則x）|，若（5分）已知函數(shù)f（x）|=f（11） 圍是（ ，0，1（，0 B（， C21 2DA ，n=1的面積為S，B，b，c，ACB12（5分

4、）設(shè)AC的三邊長分別為annnnnnnnnn ，則（， =a=2a若bc，b+c，a）32， n11111n1+為遞減數(shù)列AS n為遞增數(shù)列SB n為遞減數(shù)列SC為遞增數(shù)列，S 2n2n1為遞增數(shù)列S為遞減數(shù)列，DS 2n2n1 頁（共3第28頁） 二.填空題：本大題共4小題，每小題5分. ?=0），若=t+（13（51分）已知兩個單位向量，的夾角為60°t則t= +，則數(shù)列a的前n項和為S的通項公式是=a14（5分）若數(shù)列annnna= n 15（5分）設(shè)當(dāng)x=時，函數(shù)f（x）=sinx2cosx取得最大值，則cos= 22+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=（1x2）（x對稱，則分）若

5、函數(shù)16（5f（x）f（x）的最大值為 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. AB=，BC=1，P為中，ABC=90°，ABC內(nèi)一點，ABC17（12分）如圖，在BPC=90° ；，求PB=PA（1）若 PBA，求（2）若APB=150°tan 18（12分）如圖，三棱柱ABCABC中，CA=CB，AB=AA，BAA=60° 11111（）證明ABAC； 1（）若平面ABC平面AABB，AB=CB=2，求直線AC與平面BBCC所成角的11111正弦值 第4頁（共28頁） 19（12分）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任

6、取4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n如果n=3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果n=4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率 都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立 （）求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率； （）已知每件產(chǎn)品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望 2222=9，動圓P與圓M1）外+x+1）y+y=1，圓N：（x：20（12分）已知圓M（切并與圓N內(nèi)切

7、，圓心P的軌跡為曲線C （）求C的方程； （）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求|AB| 2x（cx+d），若曲線y=f（b，g（x）=ex=x21（12分）已知函數(shù)f（x）和曲+ax+線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2 （）求a，b，c，d的值； （）若x2時，f（x）kg（x），求k的取值范圍 四、請考生在第22、23、24題中任選一道作答，并用2B鉛筆將答題卡上所選的題目對應(yīng)的題號右側(cè)方框涂黑，按所涂題號進(jìn)行評分；多涂、多答，按所涂的首題進(jìn)行評分，不涂，按本選考題的首題進(jìn)行評分. 22（10分）（選修41：

8、幾何證明選講） 如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于D （）證明：DB=DC； BC=，延長CE交AB于點F，求1（）設(shè)圓的半徑為，BCF外接圓的半徑 第5頁（共28頁） x為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，的參數(shù)方程為（t23已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為=2sin軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C 2的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；）把C（1 1）20，0）求（2C與C交點的極坐標(biāo)（ 21+3（x）=x+2x1|+|2xa|，g）已知函數(shù)24f（x=| ）的解集；x）g（2a=時，求不等式f（x（）當(dāng) 的取值范圍，求a）f（xg（x時，x1a

9、（）設(shè)，且當(dāng)， 286第頁（共頁） 2013年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的. 2 ，則（ ）B=x|（5分）已知集合A=x|xx2x0，1 BA?B=? BAB=R CBA DAA 【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，求出集合A，再根據(jù)的定義求出AB和AB 22x0=x|xx|x2或x0，解：集合【解答】A= 或x0，|x2xAB=R，AB= 故選：B 本題考查一元二次不等式的解法，以及并集的定義，屬于基礎(chǔ)題【點評】 ） |5分）若復(fù)數(shù)z滿足（34i）z=|4+3i，則z的

10、虛部為（ 2（ D CA4 B4 z=由題意可得 =，再利用兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則【分析】 +i，由此可得化簡為z 的虛部 z=3i|，4i）z=|4+=解：復(fù)數(shù)=+【解答】z滿足（3 i， 的虛部等于z，故 故選：D 【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 3（5分）為了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力第7頁（共28頁） 情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（ ） A簡單的隨機抽樣 B按性別分層抽樣 C按學(xué)段

11、分層抽樣 D系統(tǒng)抽樣 【分析】若總體由差異明顯的幾部分組成時，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣 【解答】解：我們常用的抽樣方法有：簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣， 而事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大 了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，按學(xué)段分層抽樣，這種方式具有代表性，比較合理 故選：C 【點評】本小題考查抽樣方法，主要考查抽樣方法，屬基本題 ）的離心率為，則0C的漸（分）已知雙曲線C：a0，b4（5） 近線方程為（ y=y= CDAy=y= B±x 22±x，而漸近線方程為的關(guān)系可得by=4a，代入可abc【分析】

12、由離心率和得答案 ：（a0，bC【解答】解：由雙曲線0）， 22，=a=則離心率e=，即=4b x=故漸近線方程為y=±x， 故選：D 【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，涉及的漸近線方程，屬基礎(chǔ)題 5（5分）執(zhí)行程序框圖，如果輸入的t1，3，則輸出的s屬于（ ） 第8頁（共28頁） 52，4，3 D2，4 B5， CA3 本題考查的知識點是程序框圖，分析程序中各變量、各語句的作用，再【分析】由該程序的作用是計算一個分段函數(shù)的函數(shù)值，根據(jù)流程圖所示的順序，可知：我們可得，分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，由分支結(jié)構(gòu)中是否兩條分支上對1條件為t應(yīng)的語句行，我們易得函數(shù)的解析式 ，可得：1t【解答】解：

13、由判斷框中的條件為 ，1tt1與函數(shù)分為兩段，即 ；又由滿足條件時函數(shù)的解析式為：s=3t 2t1時，函數(shù)的解析式為：s=4tt不滿足條件時，即 ，故分段函數(shù)的解析式為：s= 時的圖象，31，t，如果輸入的t13，畫出此分段函數(shù)在 4，屬于則輸出的s3 A故選： 289第頁（共頁） 分析流程圖的要分如下幾個步驟：【點評】要求條件結(jié)構(gòu)對應(yīng)的函數(shù)解析式，根據(jù)判斷框中的以確定函數(shù)所分的段數(shù)；結(jié)構(gòu)，分析條件結(jié)構(gòu)是如何嵌套的，分支對應(yīng)的操作，分析函數(shù)各”“否條件，設(shè)置分類標(biāo)準(zhǔn)；根據(jù)判斷框的“是”與段的解析式；對前面的分類進(jìn)行總結(jié)，寫出分段函數(shù)的解析式 ，將一分）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器

14、，容器高8cm6（5，如不再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm個球放在容器口，） 計容器的厚度，則球的體積為（ B C DA 為正方體上底面，可得圓心M【分析】設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓M）2，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于（RR正方形的中心設(shè)球的半徑為，用R=5的方程并解出的半徑為M4，由球的截面圓性質(zhì)建立關(guān)于R，而圓cm球的體積公式即可算出該球的體積 2810第頁（共頁） 【解答】解：設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓M， 則圓心M為正方體上底面正方形的中心如圖 設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于（R2）cm， 222，+2）的半徑為4，由球的截面圓性質(zhì)，

15、得R4=（R而圓M 解出R=5， =V=根據(jù)球的體積公式，該球的體積 A故選： 【點評】本題給出球與正方體相切的問題，求球的體積，著重考查了正方體的性質(zhì)、球的截面圓性質(zhì)和球的體積公式等知識，屬于中檔題 7（5分）設(shè)等差數(shù)列a的前n項和為S，若S=2，S=0，S=3，則m=1nm1mmn+（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】由a與S的關(guān)系可求得a與a，進(jìn)而得到公差d，由前n項和公式m1nnm+及S=0可求得a，再由通項公式及a=2可得m值 m1m【解答】解：a=SS=2，a=SS=3， mmm1mm1m1+所以公差d=aa=1， mm1+ =0，得aS=2， 1m所以a=2+（m1）?1=2

16、，解得m=5， m ，即有數(shù)列成等差數(shù)列，na的前項和為S另解：等差數(shù)列 nn 成等差數(shù)列，則 2?=，+可得 0=+，即有 頁（共11第28頁） 解得m=5 又一解：由等差數(shù)列的求和公式可得（m1）（a+a）=2， 11m ，（m+1）（a+）m（a+a=0a）=3， 111mm+ +=0+a，=+可得a=a，2aa 111mmmm+m=5解得 故選：C 的關(guān)系，與S【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式及通項ann考查學(xué)生的計算能力 ） 8（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ A16+8 B8+8 C16+16 D8+16 【分析】三視圖復(fù)原的幾何體是一個長方體

17、與半個圓柱的組合體，依據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，得出組合體長、寬、高，即可求出幾何體的體積 【解答】解：三視圖復(fù)原的幾何體是一個長方體與半個圓柱的組合體，如圖，其中長方體長、寬、高分別是：4，2，2，半個圓柱的底面半徑為2，母線長為4 長方體的體積=4×2×2=16， 2×2×4=8半個圓柱的體積×= 所以這個幾何體的體積是16+8； 故選：A 第12頁（共28頁） 本題考查了幾何體的三視圖及直觀圖的畫法，三視圖與直觀圖的關(guān)系，【點評】柱體體積計算公式，空間想象能力 2m）y（x）+y+展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，9（5分）設(shè)m為正整數(shù)，（x12m+

18、） m=（ 展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a=7b，則 5 8A6 C7 DB ，再利用組合數(shù)的計算公式，解方程ba和【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求得的值m13a=7b求得 2m，a展開式的二項式系數(shù)的最大值為x+y）【解答】解：m為正整數(shù)，由（ ，以及二項式系數(shù)的性質(zhì)可得a= 12m +b=展開式的二項式系數(shù)的最大值為同理，由（x+y）b，可得= ××，可得=713=7，即 13再由13a=7b， ，m=6），解得=7（2m+1m，即 13（13=7即 +×1） 故選：B 屬于中檔組合數(shù)的計算公式，【點評】本題主要考查二項式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，題 的F0）

19、，過點E（：的右焦點為F3，（105分）已知橢圓） 的方程為（ ，的中點坐標(biāo)為（11）則EAB兩點、于直線交橢圓EAB若 A B 2813第頁（共頁） D C ，代入橢圓方程得，利用“點差法x，y）”（【分析】設(shè)A（x，y），B2211 可得利用中點坐標(biāo)公式可得x+x=2，y+y=2，2112 于是得到利用斜率計算公式可得=，化為2222 進(jìn)而得到橢圓的方程，即可解得，再利用c=3=aa=2bb 【解答】解：設(shè)A（x，y），B（x，y）， 2121 代入橢圓方程得， 相減得， =，2，x+x=2y+y= 2211 ， 2222 =9=18，b，解得化為a=2ba，又c=3= 的方程為橢圓E D

20、故選： 【點評】熟練掌握“點差法”和中點坐標(biāo)公式、斜率的計算公式是解題的關(guān)鍵 第14頁（共28頁） =，若|f（x）|（x）ax，則a的取值范11（5分）已知函數(shù)f）圍是（ D C2，1 2，0BA（，0 （，1 【分析】由函數(shù)圖象的變換，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象可作出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，和函數(shù)y=ax的圖象，由導(dǎo)數(shù)求切線斜率可得l的斜率，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合可得a的范圍 【解答】解：由題意可作出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，和函數(shù)y=ax的圖象， 由圖象可知：函數(shù)y=ax的圖象為過原點的直線，當(dāng)直線介于l和x軸之間符合題2y=x在第二象限的部分解析式為）|f且此時函數(shù)y=|（x意，直線l為曲線的

21、切線，2x， 求其導(dǎo)數(shù)可得y=2x2，因為x0，故y2，故直線l的斜率為2， 故只需直線y=ax的斜率a介于2與0之間即可，即a2，0 故選：D 【點評】本題考查其它不等式的解法，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題 12（5分）設(shè)ABC的三邊長分別為a，b，c，ABC的面積為S，n=1，nnnnnnnnnn ，則（ =a=2a，b+c，a），32，若bc n1n11111+為遞減數(shù)列SA n為遞增數(shù)列SB n為遞減數(shù)列S為遞增數(shù)列，SC 2n2n1 頁（共15第28頁） DS為遞減數(shù)列，S為遞增數(shù)列 2n2n1【分析】由a=a可知ABC的邊BC為定值a，由b+c2a=1nnnnnn1nn11n

22、1+ 及b+c=2a得b+c=2a，則在ABC中邊長BC=a為定值，1nn1nnn1nn11另兩邊AC、AB的長度之和b+c=2a為定值， 1nnnnnn =，得bc在以B、C為焦點的橢圓上，根據(jù)由此可知頂點A1nn1nnn+ ，可知n+時bc，c據(jù)此可判斷=ABC的邊BCbnnnnnnnnn的高h(yuǎn)隨著n的增大而增大，再由三角形面積公式可得到答案 n【解答】解：b=2ac且bc，2acc，ac， 1111111111ba=2aca=ac0，bac， 1111111111 ，a，2ccca，又bca2a 111111111 =（b+c2a2a由題意，），+a，bc nnn1nnn1n+b+c2a

23、=0，b+c=2a=2a，b+c=2a， 1nnnnn1nnn由此可知頂點A在以B、C為焦點的橢圓上， nnn ，=a=bb又由題意，c， nn1n11+ ，aba=，b 11n1n+ ，=，c=2ab nn1 ）（可證當(dāng)=單調(diào)遞增n=1時0 故選：B 【點評】本題主要考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、三角形面積海倫公式，綜合考查學(xué)生分析解決問題的能力，有較高的思維抽象度，是本年度全國高考試題中的“亮點”之一 二.填空題：本大題共4小題，每小題5分. 第16頁（共28頁） ，t=0）的夾角為60°?，若=t+（113（5分）已知兩個單位向量， 2則t= 得可量積與作+（1t由【分析】數(shù)于）

24、?=0，對式兩子邊=t ，經(jīng)過化簡即可得出=0 ，解：，【解答】=0 1，解得t=2t=0，=0tcos60°+1 2故答案為 熟練掌握向量的數(shù)量積運算是解題的關(guān)鍵【點評】 =a+，則數(shù)列n項和為Sa的通項公式是a=14（5分）若數(shù)列a的前nnnnn1n2） （ ，可得Sa時，=S把n=1代入已知式子可得數(shù)列的首項，由n2【分析】1nnn，代入等比數(shù)列的通項公式分段可得答案數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為2 =1=，解得解：當(dāng)n=1時，a=Sa【解答】 111 ，）（=SS=（=時，當(dāng)n2a 1nnn ，整理可得，即2= 為公比的等比數(shù)列，為首項，2從第二項開始是以2故數(shù)列a n1n，）時，

25、2a=（2故當(dāng)n n時，上式也適合，n=1經(jīng)驗證當(dāng) 1n）故答案為：（2 本題考查等比數(shù)列的通項公式，涉及等比數(shù)列的判定，屬基礎(chǔ)題【點評】 =）=sinx2cosx取得最大值，則cosx時，515（分）設(shè)當(dāng)x=函數(shù)（f ，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正【分析】f（x）解析式提取22 2cos=取得最大值，）得到sinx（時，由cossin，與+=1弦函數(shù)，x=函數(shù)f第17頁（共28頁） 聯(lián)立即可求出cos的值 =sin（xsinxcosx）【解答】解：f（x）=sinx）2cosx=（其中（ ，sin=，）cos= x=時，函數(shù)f（x）取得最大值， 2cos=，=1，即sinsin

26、（） 22，+cos又sin=1 22 cos=+cos=聯(lián)立得（2cos1+），解得 故答案為： 【點評】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵 22+ax+b）的圖象關(guān)于直線xx=2（x）=（1x對稱，則）（165分）若函數(shù)ff（x）的最大值為 16 【分析】由題意得f（1）=f（3）=0且f（1）=f（5）=0，由此求出a=8432+8x+15利用導(dǎo)數(shù)研究fx（8xx14x）的單調(diào)x且b=15，由此可得f（）= +2）上是增函數(shù)，在區(qū)、（2，性，可得f（x）在區(qū)間（，2） （2，+間（2，2）、（2）上是減函數(shù)

27、，結(jié)合+f）=f（ ）=16，即可得到2f+（x）的最大值 22+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=）（x21【解答】解：函數(shù)f（x）=（x對稱， f（1）=f（3）=0且f（1）=f（5）=0， 2222+a?）（5（+b=0且15）即1（3）（3）+a?（35）+b=0， 解之得， 22432+8x+15x8x，（1x14x）（x8x+15）=）因此，f（x= 3228x+4x824x，）求導(dǎo)數(shù)，得f（x= +，x=2，=，x，得（令fx）=0x=22 312 2（x；當(dāng)0）（，當(dāng)x2x（f）時，）x（f）時，2， 0； 第頁（共1828頁） +，+）時，f（2； 當(dāng)x（x2當(dāng)x（2，）+）時，

28、f（x）00 +）上是增函數(shù)，在區(qū)間（22，）在區(qū)間（，22）、（f（x ，2）、（2+）上是減函數(shù) +2）=f又f（2（）=16， f（x）的最大值為16 故答案為：16 【點評】本題給出多項式函數(shù)的圖象關(guān)于x=2對稱，求函數(shù)的最大值著重考查了函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值求法等知識，屬于中檔題 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. AB=，BC=1，P為ABCABC=90°分）如圖，在ABC中，內(nèi)一點，（1712BPC=90° ；PB=，求（1）若PA PBA）若APB=150°，求tan（2 【分析】（I）在RtPBC，利

29、用邊角關(guān)系即可得到PBC=60°，得到PBA=30°在PBA中，利用余弦定理即可求得PA （II）設(shè)PBA=，在RtPBC中，可得PB=sin在PBA中，由正弦定理得 ，即，化簡即可求出 =，PBC=60°，PBA=30°Rt（【解答】解：I）在PBC中， 2222PB?ABcos30°=得定余，PBA在中由弦理PA=PB+AB = 19第28頁（共頁） PA= （II）設(shè)PBA=，在RtPBC中，PB=BCcos（90°）=sin 即，PBA中，由正弦定理得在 化為 【點評】熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系、正弦定理和余弦定理是解題的關(guān)

30、鍵 18（12分）如圖，三棱柱ABCABC中，CA=CB，AB=AA，BAA=60° 11111（）證明ABAC； 1（）若平面ABC平面AABB，AB=CB=2，求直線AC與平面BBCC所成角的11111正弦值 【分析】（）取AB的中點O，連接OC，OA，AB，由已知可證OAAB，AB111平面OAC，進(jìn)而可得ABAC； 11 為坐標(biāo)原點，的方向為x兩兩垂直以O(shè)軸的正向，（）易證OAOA，OC1 的坐標(biāo)，設(shè)=（x，y，z）為|為單位長，建立坐標(biāo)系，可得 （=C的法向量，可解得則，|，1），可求cosC，平面BB，111 ，即為所求正弦值| 【解答】解：（）取AB的中點O，連接OC，

31、OA，AB， 11因為CA=CB，所以O(shè)CAB，由于AB=AA，BAA=60°， 11所以AAB為等邊三角形，所以O(shè)AAB， 11又因為OCOA=O，所以AB平面OAC， 11第20頁（共28頁） 又AC?平面OAC，故ABAC； 111（）由（）知OCAB，OAAB，又平面ABC平面AABB，交線為AB， 111所以O(shè)C平面AABB，故OA，OA，OC兩兩垂直 111 |為單位長，建立如圖所示的坐的方向為以O(shè)x為坐標(biāo)原點，軸的正向，標(biāo)系， ，0，B（1，0，）（，）可得A（1，0，0，A（00，），C0，0） 1 ，）0，則=（10），）=，（0，1=（ 的法向量，則，即BBCC，

32、（x，yz）為平面設(shè)= 11 =，=，cos，可得=（，1，1），故y=1可取 又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值， 所成角的正弦值為：C與平面BBCC故直線A 111 【點評】本題考查直線與平面所成的角，涉及直線與平面垂直的性質(zhì)和平面與平面垂直的判定，屬難題 19（12分）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n如果n=3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果n=4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品

33、率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率 都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立 第21頁（共28頁） （）求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率； （）已知每件產(chǎn)品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望 【分析】（）設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一次取1出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A，第二次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件2B，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B，這批產(chǎn)品通過檢驗為事件A，依21題意有A=（AB）（AB），且AB與AB互斥，由概率得加法公式和條件概22111212率，代入數(shù)據(jù)計算可得； （）X

34、可能的取值為400，500，800，分別求其概率，可得分布列，進(jìn)而可得期望值 【解答】解：（）設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一1次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A， 2第二次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件B，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品1為事件B， 2這批產(chǎn)品通過檢驗為事件A，依題意有A=（AB）（AB），且AB與AB互21112122斥， 所以P（A）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A） 2212112112 = =），P（800，并且P（X=800）X=500=，（）X可能的取值為400500， 的分布列如下：=X=400）=1，故XP（

35、 X 400 500 800 P +×500800××=506.25EX=400故 【點評】本題考查離散型隨機變量及其分布列涉及數(shù)學(xué)期望的求解，屬中檔題 2222=9，動圓P與圓M外x，圓=1N：（1）+y）+（M1220（分）已知圓：x1+y切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C （）求C的方程； 第22頁（共28頁） （）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求|AB| 【分析】（I）設(shè)動圓的半徑為R，由已知動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動點

36、P的軌跡是以M，N為焦點，4為長軸長的橢圓，求出即可； （II）設(shè)曲線C上任意一點P（x，y），由于|PM|PN|=2R242=2，所以R222，當(dāng)且僅當(dāng)P的圓心為（2，0）R=2時，其半徑最大，其方程為（x2）+y=4分l的傾斜角為90°，此時l與y軸重合，可得|AB|若l的傾斜角不為90°， 根據(jù)，Q，l與x軸的交點為R，可知l與x軸不平行，設(shè)由于M的半徑1可得Q（4，0），所以可設(shè)l：y=k（x+4），與橢圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可得出 22=1，可知圓心M（1，0）；圓N：（x（解：（I）由圓M：x+1）+y1）【解答】22=9，圓心N（1，+

37、y0），半徑3 設(shè)動圓的半徑為R， 動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，|PM|+|PN|=R+1+（3R）=4， 而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動點P的軌跡是以M，N為焦點，4為長軸長的橢圓， 222=3，b=aca=2，c=1 的方程為（xC2）曲線 （II）設(shè)曲線C上任意一點P（x，y）， 由于|PM|PN|=2R231=2，所以R2，當(dāng)且僅當(dāng)P的圓心為（2，0）22=4+yR=2時，其半徑最大，其方程為（x2） =AB|與y軸重合，可得|ll的傾斜角為90°，則 若l的傾斜角不為90°，由于M的半徑1R，可知l與x軸不平行， 則，可得Q（4，0），所以可設(shè)l：y=k（

38、x+4）Qxl設(shè)與軸的交點為， ，解得相切可得：于l由M 第23頁（共28頁） 28=0+當(dāng)8x時，聯(lián)立，得到7x ， =AB|= 由于對稱性可知：當(dāng)時，也有|AB|= =AB|或綜上可知：| 橢圓的定義及其直線與圓相切問題、【點評】本題綜合考查了兩圓的相切關(guān)系、弦長公式等基直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、性質(zhì)、礎(chǔ)知識，需要較強的推理能力和計算能力及其分類討論的思想方法 x2）和曲xy=f（cx+d），若曲線ax+b，g（x）=ef21（12分）已知函數(shù)（x）=x（+2y=4x+2），且在點P處有相同的切線線y=g（x）都過點P（0， 的值；dc，（）求a，b， 的取值范圍

39、k），求）kg（x（）若x2時，f（x y=fx）進(jìn)行求導(dǎo)，已知在交點處有相同的切線及曲線gx），（【分析】（）對f（的值；，d，b，cP（0，2），從而解出a（x）和曲線y=g（x）都過點 ）及它的導(dǎo)函數(shù)，通過（xx）的解析式，再求出F（）得出fx），g（）由（I）恒成立，從而（xx）kg的討論，判斷出F（x）的最值，從而判斷出f（對k的范圍求出k ，=4（0）（0）=4，g（0）=2，g（0）=2，f解：【解答】（）由題意知f x，c=4d+d=2，a=4，）（cx+d+c，故b=2=e=2x而f（x）+a，g（x）， ；，d=2b=2a=4，c=2從而 x2）+1（x2，g（x）=2eI

40、（）由（）知，f（x）=x+4x+ 2x，24x1）xx=kg（）f（x）=2ke（x+x設(shè)F（） xx，）1）4=2（x+2（ke）x則F（）=2ke（x+22x ，1k（0）0，即由題設(shè)得F ，2=lnk，x=x=0xF令（），得 21 2824第頁（共頁） 2，則2x0，從而當(dāng)x（2，x）時，F(xiàn)（x）若1ke0，當(dāng)x（x，111+）時，F(xiàn)（x）0， 即F（x）在（2，x）上減，在（x，+）上是增，故F（x）在2，+）11上的最小值為F（x）， 1而F（x）=x（x+2）0，x2時F（x）0，即f（x）kg（x）恒成立 11122x2），從而當(dāng)x（2，+）時，F(xiàn)（xF（x）=2e（x+2）

41、e）若k=ee，則0， 即F（x）在（2，+）上是增，而F（2）=0，故當(dāng)x2時，F(xiàn)（x）0，即f（x）kg（x）恒成立 22x2）e）（e，F(xiàn)時，（x）2e（x+若ke2 2+20，所以當(dāng)x2時，f（x）kg（2而F（）=2kex）不恒成立， 2e1，綜上，k的取值范圍是 【點評】此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，解題的關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的性質(zhì)，此題是一道中檔題 四、請考生在第22、23、24題中任選一道作答，并用2B鉛筆將答題卡上所選的題目對應(yīng)的題號右側(cè)方框涂黑，按所涂題號進(jìn)行評分；多涂、多答，按所涂的首題進(jìn)行評分，不涂，按本選考題的首題進(jìn)行評分. 22（10分）（選修41：幾何證明選講） 如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于D （）證明：DB=DC； BC=，延長CE交AB于點F，（）設(shè)圓的半徑為1，求BCF外接圓的半徑 【分析】（I）連接DE交BC于點G，由弦切角定理可得ABE=BCE，由已知角第25頁（共28頁） 平分線可得ABE=CBE，于是得到CBE=BCE，BE=CE由已知DBBE，可知DE為O的直徑，RtDBERtD