3勾股定理的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第一章 勾股定理3. 勾股定理的應(yīng)用一、學(xué)生知識狀況分析本節(jié)將利用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實(shí)際問題， 其中需要學(xué)生了 解空間圖形、 對一些空間圖形進(jìn)行展開、 折疊等活動 學(xué)生在學(xué)習(xí)七年級上第一 章時(shí)對生活中的立體圖形已經(jīng)有了一定的認(rèn)識， 并從事過相應(yīng)的實(shí)踐活動， 因而 學(xué)生已經(jīng)具備解決本課問題所需的知識基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)北師大版實(shí)驗(yàn)教科書八年級（上）第一章勾股定理第3節(jié).具體內(nèi)容是運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決簡單的實(shí)際問題. 當(dāng)然, 在這些具體問題的解決過程中，需要經(jīng)歷幾何圖形的抽象過程，需要借助觀察、 操作等實(shí)踐活動，這些都有助于發(fā)展學(xué)生的分析問題

2、、 解決問題能力和應(yīng)用意識； 一些探究活動具體一定的難度， 需要學(xué)生相互間的合作交流， 有助于發(fā)展學(xué)生合 作交流的能力本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1. 通過觀察圖形，探索圖形間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念2. 在將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程中， 提高分析問題、 解決問題的能力及 滲透數(shù)學(xué)建模的思想3. 在利用勾股定理解決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際 問題是本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn)四、教法學(xué)法1教學(xué)方法引導(dǎo)探究歸納本節(jié)課的教學(xué)對象是初二學(xué)生， 他們的參與意識教強(qiáng)， 思維活躍， 為了實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，我力求以下三個(gè)方面對學(xué)生進(jìn)行引

3、導(dǎo)：(1)從創(chuàng)設(shè)問題情景入手，通過知識再現(xiàn)，孕育教學(xué)過程;(2)從學(xué)生活動出發(fā)，順勢教學(xué)過程;(3)利用探索研究手段，通過思維深入，領(lǐng)悟教學(xué)過程.2.課前準(zhǔn)備教具：教材、電腦、多媒體課件.學(xué)具：用矩形紙片做成的圓柱、剪刀、教材、筆記本、課堂練習(xí)本、文具.五、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：合作探究；第三環(huán)節(jié)：做一做；第四環(huán)節(jié)：小試牛刀；第五環(huán)節(jié)：舉一反三；第六環(huán)節(jié)：交流小 結(jié)；第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè).第一環(huán)節(jié)：情境引入內(nèi)容:提出問題：從二教樓到綜合樓怎樣走最近?情景1：多媒體展示:情景2：如圖：在一個(gè)圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食 物在B處，恰好一只在A處

4、的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想 從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近?意圖：通過情景1復(fù)習(xí)公理：兩點(diǎn)之間線段最短；情景2的創(chuàng)設(shè)引入新課，激發(fā)學(xué) 生探究熱情.效果:從學(xué)生熟悉的生活場景引入，提出問題，學(xué)生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠 定了良好基礎(chǔ).第二環(huán)節(jié)：合作探究內(nèi)容:學(xué)生分為4人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總 各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計(jì)算方法， 通過具體計(jì)算，總 結(jié)出最短路線.讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎 么走最近”就是研究兩點(diǎn)連線最短問題，引導(dǎo)學(xué)生體會利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的 方法.意圖:通過學(xué)生的合作探究，找到解決

5、“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距 離問題轉(zhuǎn)化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解.在活動中體驗(yàn)數(shù)學(xué)建摸,分析能力，發(fā)展培養(yǎng)學(xué)生與人合作交流的能力，增強(qiáng)學(xué)生探究能力，操作能力, 空間觀念.效果:學(xué)生匯總了四種方案:IG(1)Arrn BAAB學(xué)生很容易算出：情形（1)中A B的路線長為:情形（2）中A B的路線長為:AA，+d，兀dAA 2所以情形（1）的路線比情形（2）要短.學(xué)生在情形（3）和（4）的比較中出現(xiàn)困難，但還是有學(xué)生提出用剪刀沿母線AA'剪開圓柱得到矩形，情形（3） A B是折線，而情形（4）是線段，故根（4）即可.據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷（4）較短，最后通過計(jì)算比較

6、（1）和如圖：（1）中A B的路線長為：AA葉d .（2）中A B的路線長為：AA'+A'B>AB.（3）中A B的路線長為：AO+OB>AB.（4）中A B的路線長為：AB.ABA得出結(jié)論：利用展開圖中兩點(diǎn)之間，線段最短解決問題.在這個(gè)環(huán)節(jié)中，可讓學(xué)生沿母線剪開圓柱體，具體觀察.接下來后提問：怎樣計(jì)算AB?在RtAAA' B中，利用勾股定理可得 AB2 =AA'2+A'B2，若已知圓柱體高為12cm,底面半徑為 3cm, n取 3，則 AB2 =122+（3天3）2AB =15 .注意事項(xiàng)：本環(huán)節(jié)的探究把圓柱側(cè)面尋最短路徑拓展到了圓柱表面，

7、目的僅僅是讓學(xué)生感知最短路徑的不同存在可能.但這一拓展使學(xué)生無法去論證最短路徑究竟是哪條.因此教學(xué)時(shí)因該在學(xué)生在圓柱表面感知后， 把探究集中到對圓柱側(cè)面最短路徑的探究上.方法提煉：解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，解決這一類幾何型問題的具體步驟大致可以歸納如下:1.審題分析實(shí)際問題;建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;3.求解一一運(yùn)用勾股定理計(jì)算;4.檢驗(yàn)一一是否符合實(shí)際問題的真實(shí)性.第三環(huán)節(jié)：做一做內(nèi)容:李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺,(1)你能替他想辦法完成任務(wù)嗎?(2)李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，

8、AD邊垂直于AB邊嗎？為什么?'EY沁険“、駆曲: - A%(3)小明隨身只有一個(gè)長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn) AD邊是否垂直于AB邊嗎？ BC邊與AB邊呢?解答：（2） T AD2+AB2 =302 +402 =2500BD2 =2500八 f 2.八 L. 22/. AD + AB =BD AD和AB垂直.意圖:運(yùn)用勾股定理逆定理來解決實(shí)際問題， 讓學(xué)生學(xué)會分析問題，利用允許的工 具靈活處理問題.效果:先鼓勵(lì)學(xué)生自己尋找辦法，再讓學(xué)生說明李叔叔的辦法的合理性. 當(dāng)刻度尺 較短時(shí)，學(xué)生可能會在上面解決問題的基礎(chǔ)上， 想出多種辦法，如利用分段相加 的方法量出AB, AD和BD

9、的長度，或在AB, AD邊上各量一段較小長度，再去量以它們?yōu)檫叺娜切蔚牡谌?，從而得到結(jié)論.第四環(huán)節(jié)：小試牛刀內(nèi)容:1 甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，某日早晨8:00甲先出發(fā)，他以6 km/h 的速度向正東行走，1時(shí)后乙出發(fā)，他以5 km/h的速度向正北行走.上午10: 00，甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？解答：如圖：已知A是甲、乙的出發(fā)點(diǎn)，10:00甲到達(dá)B點(diǎn)，乙到達(dá)C點(diǎn).則:AB=2 X 6=12 (km)BC2 =AC2 +AB2 =52 +122 =169 =132.AC=1X 5=5 (km) 在 RtAABC 中： BC=13 (km).即甲乙兩人相距13 km.B2.如圖，臺階A處的螞

10、蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它怎么走最近？并求出最 近距離.解答：AB2 =152 +202 =625 =252.3. 有一個(gè)高為1.5 m半徑是1m的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔, 從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5 m問這根鐵棒有多長？解答：設(shè)伸入油桶中的長度為X m.則最長時(shí):X / .F中2.X =2.5.最長是 2.5+0.5=3 (m.最短時(shí)：X =1.5 .最短是 1.5+0.5=2 (m.答:這根鐵棒的長應(yīng)在23m之間.意圖: 對本節(jié)知識進(jìn)行鞏固練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)實(shí)際情形畫出示意圖并計(jì)算.效果:學(xué)生能獨(dú)立地畫出示意圖，將現(xiàn)實(shí)情形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并求解.第五環(huán)節(jié)：舉

11、一反三內(nèi)容:1 cm/s，且速度保持不變，問螞蟻能否在1.如圖，在棱長為10 cm的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，現(xiàn)要向頂 點(diǎn)B處爬行，已知螞蟻爬行的速度是20 s內(nèi)從A爬到B?/B,十A丨C解：如圖，在 Rt ABC中:AB2 =AC2+BC2 =102+2O2=5OO. 500 > 202 .不能在20 s內(nèi)從A爬到B.2.在我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中記載了一道有趣的問題，這個(gè)問題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為 10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好 到達(dá)岸邊的水面，請問這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？

12、解答：設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長為AD=AB= (x+1)尺,在直角三角形ABC中，BC=5尺. 由勾股定理得：bc2+ac2=ab2.52+ x2= (x+1) 2.2 225+x = x +2x+1.A2x=24. x=12, x+1=13.答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺.意圖: 第1題旨在對“螞蟻怎樣走最近”進(jìn)行拓展，從圓柱側(cè)面到棱柱側(cè)面，都是將空間問題平面化；第2題，學(xué)生可以進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國古代人民的聰明才智；運(yùn)用方程的思想并利用勾股定理建立方程.效果:學(xué)生能畫出棱柱的側(cè)面展開圖，確定出 AB位置，并正確計(jì)算.如有可能,還可把正方體換成

13、長方體進(jìn)行討論.學(xué)生能畫出示意圖，找等量關(guān)系，設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)建立方程.注意事項(xiàng)：對于普通班級而言，學(xué)生完成“小試牛刀”，已經(jīng)基本完成課堂教學(xué)任務(wù).因此本環(huán)節(jié)可以作為教學(xué)中的一個(gè)備選環(huán)節(jié)， 共老師們根據(jù)學(xué)生狀況選用.第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)內(nèi)容: 師生相互交流總結(jié):1.解決實(shí)際問題的方法是建立數(shù)學(xué)模型求解.2.在尋求最短路徑時(shí)，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理 解決實(shí)際問題.意圖: 鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想， 體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用及它們的悠久歷史.效果: 學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲，總結(jié)出在尋求曲面最短路徑時(shí),往往考慮其展開圖，利用兩點(diǎn)之間，線段最

14、短進(jìn)行求解.并贊嘆我國古代數(shù)學(xué)的成就.1.課本習(xí)題1. 4第1, 2, 3題.第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)2.如圖是學(xué)校的旗桿，旗桿上的繩子垂到了地面，并多出了 一段，現(xiàn)在老師想知道旗桿的高度，你能幫老師想個(gè)辦法嗎 ？請你 與同伴交流設(shè)計(jì)方案？注意事項(xiàng)：作業(yè)2作為學(xué)有余力的學(xué)生的思考題.六、教學(xué)設(shè)計(jì)反思本節(jié)從生動有趣的問題情景出發(fā)，通過學(xué)生自主探究，運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決簡單的實(shí)際問題，既鞏固了基本知識點(diǎn)，又在將實(shí)際問題抽象成幾何圖 形過程中，學(xué)會觀察，提高分析能力，滲透數(shù)學(xué)建摸思想.在設(shè)計(jì)中，我注重以1 .要充分利用好教材提供的素材“螞蟻怎么走最近”是一個(gè)生動有趣的問題，讓學(xué)生充滿了探究的欲望，這

15、 個(gè)問題體現(xiàn)了二、三維圖形的轉(zhuǎn)化，對發(fā)展學(xué)生的空間觀念很有好處.2 .合理使用教材提供的練習(xí)本節(jié)課通過“小試牛刀”和“舉一反三”把教材中的練習(xí)重組，使練習(xí)有梯度，既鞏固了基本知識點(diǎn)，又訓(xùn)練了學(xué)生的應(yīng)用能力.第一個(gè)作業(yè)讓學(xué)生深入理解和應(yīng)用勾股定理及逆定理.3 .突破重點(diǎn)、突破難點(diǎn)的策略在教學(xué)過程中教師應(yīng)通過情景創(chuàng)設(shè)，激發(fā)興趣，鼓勵(lì)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索過程,得出結(jié)論，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.4 .分層教學(xué)根據(jù)本班學(xué)生實(shí)際情況可在教學(xué)過程中選擇：基礎(chǔ)訓(xùn)練一一“小試牛刀” 提高訓(xùn)練一一“舉一反三”；拓展訓(xùn)練一一作業(yè)第2題.5 .評價(jià)方式根據(jù)新課標(biāo)的評價(jià)理念，在教學(xué)過程中應(yīng)關(guān)注學(xué)生的參與程度， 關(guān)注活動中 所反映出的思