《直線與圓的位置關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材依據(jù)二、設(shè)計(jì)思想教材分析:本節(jié)課是第4. 2節(jié)第一課時(shí)內(nèi)容，是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了直線的方程、圓的方程等知識點(diǎn)之后，用解析法（坐標(biāo)法）來研究直線與圓的位置關(guān)系。在平面幾何中，已經(jīng)對直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行了定性的研究,即依照它們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判定它們的位置關(guān)系。但在實(shí)際問題中，我們會(huì)經(jīng)常遇到直線與圓的位置關(guān)系的定量刻畫問題，如當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，其公共點(diǎn)的準(zhǔn)確位置的確定問題，這是平面幾何沒有解決好的問題。學(xué)習(xí)了坐標(biāo)法后， 可以通過建立平面直角坐標(biāo)系，使得直線與圓可以用方程表示，從而將直線與圓的位置關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為直線的方程與圓的方程之間的數(shù)量關(guān)系的研究。當(dāng)直線與圓有公

2、共點(diǎn)時(shí)，公共點(diǎn)位置的確定就轉(zhuǎn)化為求解直線的方程與圓的方程的公共解。同時(shí)，依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的大小關(guān)系也可以判斷直線與圓的位置關(guān)系,首先運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，然后比較這個(gè)距離與圓的半徑的大小,并作出位置關(guān)系的判斷，仍然是用坐標(biāo)法解決問題（幾何意義相對直觀些）現(xiàn)有知識儲(chǔ)備（1）直線的方程；（2）直線與直線的公共點(diǎn)和方程組的解的關(guān)系；（3）點(diǎn)到直線的距離公式；（4）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程等現(xiàn)有能力特征具有一定的歸納、概括、類比、抽象思維能力現(xiàn)有情感態(tài)度對坐標(biāo)法在具體情境中的應(yīng)用具有強(qiáng)烈的求知欲和渴望探究的積極情感態(tài)度學(xué)情分析:設(shè)計(jì)理念:以學(xué)生為本，重視思維發(fā)生的過程，

3、通過兩個(gè)角度來研究直線與圓的位置關(guān)系:是從幾何角度直觀判斷， 二是通過直線與圓的方程從“數(shù)”的角度進(jìn)行研究。這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。不斷利用學(xué)生自主探究來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)毅力,讓學(xué)生學(xué)習(xí)有趣的數(shù)學(xué)， 學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、思維價(jià)值和人文價(jià)值。三、教學(xué)目標(biāo)1知識與技能目標(biāo):(1)使學(xué)生從具體的事例中認(rèn)知和理解直線與圓的三種位置關(guān)系,并能利用dr法來判斷;(2)當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)， 會(huì)求直線與圓的公共點(diǎn)的坐標(biāo) ；當(dāng)直線與圓相交時(shí),會(huì)求圓的弦長，以及能解決與弦長相關(guān)的簡單問題(3)通過直線與圓的位置關(guān)系的代數(shù)化處理，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到坐標(biāo)系是聯(lián)系“數(shù)”

4、與“形”的橋梁，從而更深刻地體會(huì)坐標(biāo)法思想。2.過程與方法目標(biāo):通過觀察、實(shí)驗(yàn)、討論、合作探究等數(shù)學(xué)活動(dòng)使學(xué)生了解探索問題的一般方法；由觀察得到“圓心到直線的距離和圓半徑大小的數(shù)量關(guān)系對應(yīng)等價(jià)于直線和圓的位置關(guān)系”，從而實(shí)現(xiàn)位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，滲透運(yùn)動(dòng)與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo):創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生好奇心；體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性，在學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)；通過“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)與形的有機(jī)統(tǒng)一，對數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系有辯證的理解與認(rèn)識。四、教學(xué)重難點(diǎn)本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)：用坐標(biāo)法判斷直線與圓的位置關(guān)系。本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)：

5、 探究直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量關(guān)系及其綜合運(yùn)用。重、難點(diǎn)突破措施:1.以情感人，以理醒人創(chuàng)設(shè)情境中：問題開題，扣人心弦；層層探究中：分類探究，步步為營，絲絲入扣。2.數(shù)形結(jié)合現(xiàn)代的多媒體技術(shù)直觀、形象展示知識的形成過程，突破重難點(diǎn)。五、教學(xué)問題診斷為什么要對直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行定量刻畫？這是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)可能遇到的第一個(gè)學(xué)習(xí)障礙。這個(gè)問題可以結(jié)合“暗礁問題”進(jìn)行說明，這是平面幾何沒有解決的問題，必需借助坐標(biāo)系，才能精確刻畫。會(huì)遇上求方程組的解， 求圓心利用直線與圓的方程進(jìn)行直線與圓的位置關(guān)系的研究時(shí),到直線的距離等大量的代數(shù)計(jì)算問題，由于有些問題（特別是像暗礁這樣的實(shí)際問題）中的 數(shù)據(jù)較復(fù)雜，可

6、能導(dǎo)致學(xué)生計(jì)算出錯(cuò)， 這是第二個(gè)學(xué)習(xí)障礙， 教學(xué)時(shí)不能因?yàn)檫@個(gè)問題而使 教學(xué)偏離重點(diǎn)，必要時(shí)可使用信息技術(shù)工具解決這個(gè)問題。六、教學(xué)方法與手段:以問題為主線組織探究，講練結(jié)合，整理歸納。利用ppt、幾何畫板等多媒體手段輔助教學(xué)。七、課型:新授課八、教學(xué)過程設(shè)計(jì):數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活。首先，我們來看一段美麗的海上日出視頻。如果我們把 海平面看作是一條直線，把太陽看作是一個(gè)圓，那么剛才的視頻中直線與圓有幾種位置關(guān)系 呢？今天這節(jié)課我們就來研究如何判斷直線與圓的位置關(guān)系。1 .回顧舊知探究新知 直線與圓的位置關(guān)系的呢?設(shè)計(jì)意圖：從已有的知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，建立新舊知識之間的聯(lián)系，構(gòu)建學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)

7、 展區(qū)，不斷加深對問題的理解。i錢場®d範(fàn)r舄昊彙d<r鬲個(gè)ft初d=rd>rc（其中d表示圓心到直線的距離）問題2:通過剛才的復(fù)習(xí)，大家覺得判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法有幾種呢?設(shè)計(jì)意圖：從舊知出發(fā)，弓I導(dǎo)學(xué)生總結(jié)直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法。師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回答有兩種:是看圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系;二是看直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。問題3：圖中直線設(shè)計(jì)意圖：利用電腦的分辨率造成誤解，通過一系列的追問， 讓學(xué)生感受到能否判斷位 置關(guān)系，需要根據(jù)數(shù)量來判斷，為后續(xù)引出用坐標(biāo)法解決問題做鋪墊。師生活動(dòng)：通過教師追問，引起學(xué)生思考。生：圖中直線I與圓C相切。師：上述圖

8、形中直線和圓的相切你是如何得到的?生：我是看出來的。師：經(jīng)過放大后，你能看得出來它們的位置關(guān)系嗎？（畫得似乎相切（實(shí)際上相離）很難看出來是相切還是相離）；（保持圓和直線的相對位置不變的情況下，拖動(dòng)使得圖形放 大，再觀察）生：是相離，看來有時(shí)眼睛也會(huì)欺騙我們，直線與圓的位置關(guān)系有些情況通過觀察是看 不出來的。師：是的，有的情形通過觀察，也不清楚公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的，那怎么辦?生：那就通過圓心到直線的距離與半徑比較大小。師：如何去比較呢？象圖中圓心到直線的距離怎么得到？半徑又是如何得到？用直尺度 量長度行嗎?生：好象也不行，那也只是近似的，象圖中問題還是難以解決的。師：觀察和度量都不是精確的，怎么樣才是精

9、確的呢?生：用計(jì)算出來的量化數(shù)字來判斷。師：對，解析幾何就是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門學(xué)科，直線、圓都有方程，那么我們就可以通過研究兩個(gè)方程的相關(guān)量來判斷直線與圓的位置關(guān)系,而要寫出方程的前提是建立平面直角坐標(biāo)系。下面我們來看一個(gè)實(shí)例。2 .問題引導(dǎo)方法探究一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島的中心為圓心，半徑為 30km的圓形區(qū)域.已知小港a島中心位于輪船正西 70km處，港口位于小島中心正北40km處.如果輪船沿直線返港，那么它是否有觸礁危險(xiǎn)?設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受這個(gè)實(shí)際問題中所蘊(yùn)含的直線與圓的位置關(guān)系， 思考解決問題的方案。 通過實(shí)際問題的解決， 讓學(xué)生體會(huì)生活中的數(shù)學(xué)，突出研究

10、直線與圓的位置關(guān)系的重要意義。師生活動(dòng)：讓學(xué)生進(jìn)行討論、交流，啟發(fā)學(xué)生由圖形獲取判斷直線與圓的位置關(guān)系的直觀認(rèn)知。師：你覺得船什么情況下有危險(xiǎn)？只從圖形上觀察能否準(zhǔn)確判斷船有危險(xiǎn)?生：如果船經(jīng)過暗礁的圓形區(qū)域，就有危險(xiǎn)，也就是說如果暗礁所在的圓與輪船航線所在的直線相切或相交，那么船就有危險(xiǎn)。 這種情況不能通過觀察得出有沒有危險(xiǎn)，只有通過計(jì)算。問題4:你能根據(jù)我們學(xué)過的直線與圓的方程來判斷它們之間的位置關(guān)系嗎？步驟又該怎樣寫呢?設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用直線與圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系,體驗(yàn)坐標(biāo)法的思想方法。師生活動(dòng)：通過教師追問，引起學(xué)生思考。師：要想求出圓與直線的方程，得有平面直角坐標(biāo)系， 那

11、如何建立坐標(biāo)系呢？怎樣建立坐標(biāo)系使得得到的方程更簡單呢?生：以小島中心為原點(diǎn) 0,以東西方向?yàn)閄軸，南北方向?yàn)?y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。分析：如圖，以小島中心為原點(diǎn)0,以東西方向?yàn)镮軸，南北方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)系，其中，取 10km為單位長度。則暗礁的圓形區(qū)域的邊界所對應(yīng)的圓的方程為X2 +y2 =9，圓心0（0，0），半徑r =3，輪船航線所在的直線/的方程為4x+7y-28= 0 ,圓心到直線的距離2828 >3，即d>r,所以直線與圓相離。故輪船無觸礁的危險(xiǎn)。問題5:這是利用圓心到直線的距離 d與半徑r的大小關(guān)系判別直線與圓的位置關(guān)系（故可稱此法為“ dr法”）。請

12、問用“曲法”的一般步驟如何?設(shè)計(jì)意圖：對根據(jù)圓心到直線的距離 d與半徑F的大小關(guān)系來判斷直線與圓位置關(guān)系的步驟進(jìn)行小結(jié)，對知識進(jìn)行梳理，使學(xué)生有“操作規(guī)范”，培養(yǎng)其歸納能力，同時(shí)也滲透了算法思想。師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析歸納:建立平面直角坐標(biāo)系;求出直線與圓的方程，從而確定圓心坐標(biāo)與圓的半徑(4)求出圓心到直線的距離 d比較d與r的大小:當(dāng)d汀時(shí)，直線與圓相交;當(dāng)d = F時(shí)，直線與圓相切;當(dāng)d”時(shí)，直線與圓相離。問題6 :如果從公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的角度來考察直線與圓的位置關(guān)系，該如何解答呢?設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回想兩直線交點(diǎn)的解法，從而知道聯(lián)立方程組， 根據(jù)方程組解的情 況判斷直線與圓的位置關(guān)系。分

13、析：聯(lián)立方程組 :+7y-28=0 jx2 +y2 =9消去 y ,得 65x2 -224X+343 =0 ,因?yàn)?i = _39004 c 0 所以，方程組無解，直線與圓相離。故輪船無觸礁的危險(xiǎn)。法”）的對知識進(jìn)問題7:根據(jù)方程組是否有解來判斷直線與圓的位置關(guān)系（故可稱此法為“ 步驟如何?設(shè)計(jì)意圖：對根據(jù)方程組是否有解來判斷直線與圓位置關(guān)系的步驟進(jìn)行小結(jié), 行梳理，使學(xué)生有“操作規(guī)范”，培養(yǎng)歸納能力，同時(shí)也滲透了算法思想。師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納:建立平面直角坐標(biāo)系;求出直線與圓的方程;聯(lián)立直線和圓的方程建成方程組;消元得到一個(gè)一元二次方程，求出其判別式的值，判斷的符號:若>0

14、,直線與圓相交;若=0,則直線與圓相切;若<0,則直線與圓相離。3例題探究鞏固提高它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解（也法）。關(guān)注量與量之間的關(guān)系， 使學(xué)dr法）；方法二：可以看由2 2例1.如圖，已知直線!：+y-6二0和圓心為C的圓兀-2y-4 = 0,判斷直線】與圓的位置關(guān)系。設(shè)計(jì)意圖：通過例題鞏固判斷直線與圓的位置關(guān)系方法, 生體驗(yàn)用坐標(biāo)法研究直線與圓的位置關(guān)系的兩種思路。師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析解答。分析:方法一：可以依據(jù)圓心到直線的距離與圓半徑的大小關(guān)系（解：麓k :（ dr試）法.設(shè)計(jì)意圖:直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)他們相交時(shí)，學(xué)習(xí)弦長的求師生活動(dòng):學(xué)生思考解決，可能有兩種方法

15、:0X尬底到直錢賂®離rf二J®, *（S的M檯廠二75,a此，r.所曲相i,注二：（注）解負(fù)方程&請範(fàn)后將：x-3x+2=0,由于A = l>0,所4相爰.（展示學(xué)生解答過程）例1變式：如果相交，求它們交點(diǎn) A,B的坐標(biāo).求弦AB的長度.方法因?yàn)閮蓚€(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是蟲仏0）/（1）， 所以用兩點(diǎn)之間的距離公式得弦長 AB = JT0 ;方法二：構(gòu)造直角三角形，先求弦心距，再求弦長（如圖所示）.解:®皿到直錢的雖驀= 而韻各栓r = Ji,總結(jié)提煉: 弦長的求法: 方法一：聯(lián)立方程組求交點(diǎn)的坐標(biāo)，而后利用兩點(diǎn)間的距離公式;方法二：弦長公式：2缶2 -d

16、2 （其中d表示圓心到直線的距離，r為圓的半徑）例2 .已知過點(diǎn)M （ 3, 3）的直線I被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為475，求直線I的方程。設(shè)計(jì)意圖：一方面鞏固例1變式中的弦長公式，強(qiáng)調(diào)其應(yīng)用；一方面為例2變式中對斜率存在性的討論埋下伏筆。師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析解答。分析：可以先計(jì)算出圓心到直線 I的距離（勾股定理），從而由點(diǎn)到直線的距離公式確定出直線I的方程（也可通過弦長公式來求）。解：設(shè)直線喲方程為尸+ 3=左（兀+ 3） 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？ +（y十盯=25得 圓心坐標(biāo)（-可,半徑廠=5 通過計(jì)算得弦心距為7, 即圓心到所求直線啲距離為75 通過計(jì)算得圓心到直線胎距離

17、2 + 3k-3因此為# =. ” 一一 .JF+1腫+1因此*所求直線f的方程是0或2v-i*+3=（L思考：針對結(jié)果提出問題：能否結(jié)合圖形解釋為什么k有兩個(gè)?（提出兩條直線關(guān)于直徑對稱的現(xiàn)象）例2變式：如果把題中的弦長改為 8,結(jié)果如何呢?設(shè)計(jì)意圖：如果學(xué)生對直線的斜率存在性不進(jìn)行討論的話,就會(huì)用直線的點(diǎn)斜式方程求出直線方程為y+ 3=4（x+3）（即4x+3y+ 21=0 ），從而遺漏直線 1=-3 ，這樣做3的目的還是使學(xué)生關(guān)注用點(diǎn)斜式或斜截式設(shè)直線方程式時(shí)要注意對斜率的存在性進(jìn)行討論。師生活動(dòng)：學(xué)生解答，解釋出錯(cuò)原因。（展示學(xué)生解答過程）（提出弦長最短或最長時(shí)，所求的直線只有一條）4

18、.實(shí)戰(zhàn)演練強(qiáng)化評測1.求過點(diǎn)P（2,2）與圓（X1）2 +y2 =1相切的直線方程;2.已知直線l:y=x +b與圓O：x2 + y2 = 4,當(dāng)實(shí)數(shù)b取何值時(shí)，直線I與圓0相切、相離、相交?（展示學(xué)生解答過程）設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)主要考察學(xué)生兩方面的知識(直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用、直線點(diǎn)斜式方程對斜率存在性問題的討論)，通過練習(xí)檢驗(yàn)學(xué)生的知識掌握情況，從而達(dá)到鞏固直線與 圓的位置關(guān)系的相關(guān)知識點(diǎn)的目的。師生活動(dòng)：學(xué)生分析解答，教師指導(dǎo)。5.課堂小結(jié)師：同學(xué)們，我們今天學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系，你能回答下面的問題嗎?(1) 根據(jù)直線與圓的方程，判斷其位置關(guān)系的方法有幾種?(2) 如果直線與圓相交，怎樣求弦長?(3) 兩種數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想與方程思想。