導(dǎo)數(shù)問題中虛設(shè)零點(diǎn)的三大策略

1、導(dǎo)數(shù)問題中虛設(shè)零點(diǎn)的三大策 略作者:日期:導(dǎo)數(shù)問題中虛設(shè)零點(diǎn)的三大策略導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中可謂 神通廣大”是解決函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、不等式證明等問題 的利器”因而近幾年來與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題往往成為高考函數(shù)壓軸題.在面對這些壓軸題時(shí),我們經(jīng)常會碰到導(dǎo)函數(shù)具有零點(diǎn)但求解相對比較繁雜甚至無法求解的問題.此時(shí),我們不必正面強(qiáng)求，可以采用將這個(gè)零點(diǎn)只設(shè)出來而不必求出來，然后謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過渡，再結(jié)合其他條件，從而最終獲得問題的解決.我們稱這種解題方法為 虛設(shè)零點(diǎn)” 法.下面筆者就一些咼考題，來說明導(dǎo)數(shù)冋題中 虛設(shè)零點(diǎn)”法的具體解題方法和策略.策略1整體代換將超越式化簡為普通式如果f'(x

2、)是超越形式(對字母進(jìn)行了有限次初等超越運(yùn)算包括無理數(shù)次乘方、指數(shù)、 對數(shù)、三角、反三角等運(yùn)算的解析式，稱為初等超越式，簡稱超越式)，并且f'(x)的零點(diǎn)是 存在的,但我們無法求出其零點(diǎn)，這時(shí)采用虛設(shè)零點(diǎn)法，逐步分析出 零點(diǎn)”所在的范圍和滿 足的關(guān)系式，然后分析出相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，最后通過恰當(dāng)運(yùn)用函數(shù)的極值與零點(diǎn)所滿足 的關(guān)系”推演出所要求的結(jié)果.通過這種形式化的合理代換或推理，謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和 過渡,從而將超越式化簡為普通式，有效破解求解或推理證明中的難點(diǎn).例1(201 5年全國高考新課標(biāo)I卷文 2 1 )設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.(1)討論f (x)的導(dǎo)函數(shù)f '

3、;(X)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)證明：當(dāng) a> 0 時(shí)，f (x) >2a+aln 2a.解(1)f(X)的定義域?yàn)?0，+ X), f'(x) =2e2x-ax (x >0).由 f'( x) =0，得 2 xe2x=a.令 g(x)=2 xe2 x， g(x) = (4 x+2)e2 x > 0(x > 0),從而 g(x)在(0,+ x單調(diào)遞增，所以 g (x) >g (0)=0.當(dāng)a>0時(shí)，方程g(x) =a有一個(gè)根，即f 存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)aw0寸，方程g(X)= a沒有根，即f' Xx沒有零點(diǎn).(2 )由(1)，可設(shè)f )

4、x 在(0, + )勺唯一零點(diǎn)為 x0,當(dāng) x (0, x0)時(shí),f x(vO ;=仃，得嚴(yán)=",ifl A=".得 m幾九2r -孔.所 U/ t|5 = fF- r M hl 忙=J- 工5a,2-It J =+4 dJii"II-tr+ fliifi = 2皿+ irlii裁巧 fj > 0 時(shí) JI v ) M 2if 4 iTj-iiiIt/Iff評折 也啊網(wǎng)聲iiD川i和> 2ij +山22需吹人"喚A九J I山'JS )血八、)他aK爭點(diǎn)取劉一但門工2012毎辿zre,九世訊壯我們 円hfi按求軸叫*麗足莊惟式h呀乩逹杯

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7、 0,得 e 2x 0 =a 2 x 0 ,由 x0=a2e2x0，得 InxO = Ina2e 2 x 0= In a2- 2 x0,所以 f(X 0) =e2 x 0-aIn x 0=a2x0-a (Ina2 2 x 0) =a2 x 0 + 2ax 0+ a 1 n2a>2a2x0 X2 a0+a In2a=2a+aIn 2陣以醴一曲.* E ( - 1.站衛(wèi)才e 衙忙彳2 < I <1 co.r(i- 訶遷 rtl"1 . > L記點(diǎn)門祁八匝刖桃聃-陽吐申 jf 1K1 =) = e ' - ln( X. + 工 j ”£以門&quo

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24、)=0是超越方程,無法求出其解，我們沒有直接求解x 0,而是在形式上虛設(shè).這樣處理的好處在于,通過對x0滿足的等式e 2 x0=a2 x 0, Inx 0= 1 n a 2-2 x 0的合理代換使用,快速將超越式e2x0-aIn x 0化簡為普通的代數(shù)式a2 x 0 + 2a xO+al n 2a,然后使用均值不等式求出最小值，同時(shí)消掉了 x0 .在求解的過程中，不要急于消掉xO,而應(yīng)該著眼于將超越式化簡為普通的代數(shù)式.借助f'(x0) =0作整體代換，竟能使天塹變通途！其實(shí)，這種做法早已出現(xiàn)在以下兩道試題中.我們一起來體會一下如出一轍的解法帶給我們的便捷例2(2013年全國咼考新課標(biāo)

25、n卷理2 1)已知函數(shù) f (x) =ex- 1 n (x+m).(1) 設(shè)X =0是f (x)的極值點(diǎn)，求m并討論f (x)的單調(diào)性;(2 )當(dāng) m<2時(shí)，證明 f( x) >0 .解(1) m = 1 , f( x )增區(qū)間為(0, +x),減區(qū)間為(-1,0).(2) 當(dāng) m<2 時(shí)，x+m<x + 2, In(x+m) < in x +2), -In(x+m )二In (x+2),所以 f ( x ) > ex1 n (x+2 )，令 g(x)= e x -In (x+2)，則 g(x )= ex- 1 x+ 2, g" (x) = ex+

26、 1 (x+2 ) 2 >0,所以g( x)在(-2, +x)上單調(diào)遞增.又 g '-(=e- 1-1v0,g'(0) =1 12> 0,所以存在唯一的 X 0( -1 , 0) ，使 g' (x0)= 0 .所以當(dāng)-2VXVX0 時(shí)，G (X0) x 0 時(shí),g( (xO)0 , g(x)單調(diào)遞增.評析在本題中，在確定出函數(shù)g' (x) = e x-1 x+ 2在(-2，+x)上存在唯一的零點(diǎn)x0后，無法直接求解x0 ,在形式上虛設(shè)后，通過對xO滿足的等式條件ex0=1x0+2, xO =In (x0+ 2)的合理代換使用，快速將超越式g (x 0

27、)= ex 0-l n (x0+2 )化簡為普通的代 數(shù)式g (x0)=1x0+ 2+ x0，為證貌似不可能證的不等式 g(x0) > 0掃除了障礙.例3(201 2年全國新課標(biāo)卷文2 1第2問)設(shè)函數(shù)f(x)=e x- ax 2.若a=1 ,k為整數(shù),且當(dāng)X > 0時(shí),(x-k) f'( x) + x + 1 > 0 ,求k的最大值.解由于 a =1，所以(x-k)f 'x(+x+ 1 = (x-k) (ex 1)+x+1 >0 k 0 恒成立.令 g( x )=x+1 ex-1+x，原命題k評析本題中，在確定出h(x)=e x -x- 2在(0, +

28、 V上存在唯一零點(diǎn)的情 形下，通過虛設(shè)零點(diǎn)x 0,并借助ex0 =x 0+ 2來簡化g(x0 )= x0+1 ex 0-1 + x 0,為估計(jì)g (x0)的范圍創(chuàng)造了條件.虛設(shè)零點(diǎn)，讓我們感受到 柳暗花明又一村”的奇妙詩意.如果f'不是超越形式，而是可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，這時(shí)很容易想當(dāng)然，用求根公式把 零點(diǎn)求出來，代入極值中去.但接下來要么計(jì)算偏繁，要么無法化簡，復(fù)雜的算式讓人無處下 手，導(dǎo)致后繼工作無法開展.正所謂 思路簡單,過程煩人”這時(shí)有兩個(gè)策略:策略2反代消參構(gòu)造關(guān)于零點(diǎn)的單一函數(shù)如果問題要求解(或求證)的結(jié)論與參數(shù)無關(guān)，這時(shí)我們一般不要用參數(shù)來表示零點(diǎn)， 而是反過來用零點(diǎn)表示參數(shù)

29、，然后把極值函數(shù)變成了關(guān)于零點(diǎn)的單一函數(shù)，再次求導(dǎo)就可解決相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式證明.例4(2014年全國高考新課標(biāo)n卷文 21第2問)已知函數(shù)f(x)=x3-3x 2 +x+2，曲線y =f (x)在點(diǎn)(0， 2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.證明：當(dāng)k <1時(shí)，曲線y=f(x) 與直線y=k x -2只有一個(gè)交點(diǎn).解曲線y= f(x)與直線y =kx-2只有一個(gè)交點(diǎn)g (x)=f( x)k x+2的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).g (x) = x3 -3 x 2 + (1 -k) x+4，g' (x)= 3 x 2 -6x+1 k .(1 )當(dāng) =36 -12 (

30、1 k)=24 + 12k<0,即 k 2 時(shí)，g (x)戸所以 g(x)在 R 上為增函數(shù).因?yàn)?g (-1) =k-1 <0，g (0) =4> 0，所以存在唯一 x0( -1，0)使得 g( x0) =0,所以g (X)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).(2)當(dāng) =3 6-12(1 k) =24 + 12k >0，即-2 < K0，g( (1>2-kv0，所以 0 < X 1 <1,(x1,x1 <X20，g (x )在(-，x1 )內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng) x (x 1，x 2 )時(shí)，g (x)<0，g(x)在2 )內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)x (x2，+

31、時(shí),g (x)>O,g(x )在(x2 +馬 內(nèi)為增函數(shù).g(X)的極小值點(diǎn)是x2.所以g (x)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),只需要g (x2 )> 0.(1-由 g(x2)=3x226 x 2 + 1 k = 0 得 1-k=-3x 2 2+6 x 2, g( x 2 )= x 3 2 -3x22 + k)x 2+ 4 = x 32 3x22+(-3x22 + 6 x2) x2+4=-2x 3 2+3 x22 + 4.令 x2 =t,g (x2)=h( t )= 2t3 + 3 t2 +4(1 <Th (2)=0 ,即 g(x 2 )>0.所以當(dāng)-2<K<&

32、gt;綜上、(2 )可知，當(dāng)k <1時(shí)，曲線y= f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).評析本題當(dāng)2<K0. x 2是可以求出的(實(shí)際上x2=1 + 6 +3k3 )，但我們證關(guān)于k的 不等式g (x 2) =g(1+6+3k3)>0,讓人無處下手.于是,我們虛設(shè)零點(diǎn)x2，采用 反代”的方 法，用零點(diǎn)x2來表示參數(shù)，有1 k=-3x 2 2 +6x2.巧妙地回避了這些繁雜的計(jì)算，簡潔而利索，可謂妙哉.例5 ( 2 0 09年全國高考n卷理22第2問)設(shè)函數(shù)f (x) =x2+aln (1 +x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明:f( x )的極小值大于1 2l n 24;證明 f 

33、9;(x)=2x + a1+x=2x2+2 x + a 1+x(x > 1).令 g(x)=2x2+2x+a,函數(shù) f( x )有兩個(gè)極值點(diǎn)g(x)=2x2 + 2x+ a在(1,+馬 上有兩個(gè)不等實(shí)根 = -8a>0g (- 1 )=a > 0 0 <A<>設(shè)x 1、x2是方程g(x )= 0的兩個(gè)均大于-1的不相等的實(shí)根，且x1 0，其對稱軸為x=-12,所以-1VX1V-12 , 12 < X20 , f( X)在(-1 , x1)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng) x (x1 , x2)時(shí),f x(<0,f( x)在(x1,x2)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng) x (x2

34、, + 時(shí)，f (x >0,f (x)在(x2，+ 鄉(xiāng) 內(nèi)為增函數(shù).所以，f (x)的極大值點(diǎn)是x1 , f (x )的極小值點(diǎn)是x 2 .由 g(x 2) =2x22+ 2x 2+a=0 得 a=-(2 x 22+2 x2 )，所以 f (x2) =x 2 2 +aln 1+ x2=x 2 2 - (2x2 2 + 2 x2) ln(1 + x 2).令 x 2 =t,設(shè) f(x 2) =h(t)=t2-( 2 12 + 2 t)l n (1 + t),其中-12<T 0, h(t)在-1 2 ,0)單調(diào)遞增.所以當(dāng) t ( 12 , 0)時(shí)，h (x)> h (-1 2)=12ln 2 4 .故 f( x2) =h(t)>1-2l n 24.評析f(X ) =x 2+a In 1+x的極小值點(diǎn)x2來自f (x =2x2+2 x + a 1+x的零點(diǎn),按常規(guī)思路,要證明f( x 2) >1 2 ln24,就要將x2=- 1+ 1-2 a2代入f (x)求解，其本質(zhì)就是用參數(shù)a表示零點(diǎn)x2,再證明關(guān)于 a的不等式，-1+1- 2 a22+a 1 n 1 +-1 +1-2a2>1-2ln2 4,復(fù)雜的算式讓人無處下手.于是，我們采用 反代”的方法，用零點(diǎn)x2來表示 參數(shù)a = - (2x22 + 2x2 ).事實(shí)證明,這種變通是十分有效的.