43用乘法公式分解因式1葉縣燕山中學李玉平

1、4.3 用乘法公式分解因式用乘法公式分解因式(1) 用用平方差公式平方差公式分解因式分解因式 a - - b = ( a + b )( a - b ) 2 2 學習目標學習目標 1.了解運用公式法分解因式的意義，會用平方差公式進行因式分解 2.懂得提公因式法是分解因式首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解 . 平方差公式：平方差公式： 整式乘法整式乘法 ( a + b )( a - b) = a - b 2 2 2 2 兩個數(shù)的兩個數(shù)的和和與兩個數(shù)的與兩個數(shù)的差差的的乘積乘積，等，等于這兩個數(shù)的于這兩個數(shù)的平方差平方差。 a ) + - - )( a ( b b = - a b 因式分解因式分

2、解 兩個數(shù)的兩個數(shù)的平方差平方差，等于這兩個數(shù)，等于這兩個數(shù)的的和和與這兩個數(shù)的與這兩個數(shù)的 差差的的乘積乘積. - - b = ( a + b )( a - a b ) 被分解因式被分解因式的多項式）的多項式） （）公式左邊：（）公式左邊：（是一個將要（是一個將要 2 2 被分解的多項式含有被分解的多項式含有兩項兩項，且這兩項，且這兩項異號異號，并且能寫成并且能寫成（ ）（ ）的形式。的形式。 (2) 公式右邊公式右邊: （是（是分解因式的結(jié)果分解因式的結(jié)果） 分解的結(jié)果是兩個分解的結(jié)果是兩個底數(shù)底數(shù)的的和和乘以乘以兩個兩個底數(shù)底數(shù)的的差差的形式。的形式。 22a- b =(a + b)(a

3、 - b) 例例： 216a -2=(4a ) - =(4a +1 )(4a - 1 ) 能能 1 下列多項式能否用下列多項式能否用2 平方差公式平方差公式分解因式分解因式？說說你的理由。說說你的理由。 22 22 不能不能 （1）4x+y (2) 4x-(-y)12222 (3) -4x-y (4) -4x+y 不能不能 能能 22能能 (5) a -4 (6) a+3 不能不能 能用平方差公式分解因式的多項式的特征能用平方差公式分解因式的多項式的特征：1 1 、由由兩部分兩部分組成；組成； 兩部分兩部分符號相反符號相反； 3 3、2 2、 每部分都能寫成某個式子的每部分都能寫成某個式子的

4、平方平方。22運用運用a -b=(a+ b)(a- b) 例例1:把下列各式分解因式把下列各式分解因式： 19(1)-m2n2+4p2 (2) x2 - y2 (3)(x+z)2-(y+z)2 1625解解:（1）原式）原式=（2p)2-(mn)2 = (2p+mn)(2p-mn) 32 12 1313（2）原式）原式 =( x)( y)=( x+ y)( x- y) 544545 （3）原式原式 =(x+z)+(y+z)(x+z)- (y+z) =(x+z+y+z)(x+z- y-z) =(x+y+2z)(x-y) 說明說明:公式中的公式中的a、b可以是可以是單項式單項式(數(shù)字、字母數(shù)字、字

5、母)、還可以是還可以是多項式多項式.分解因式最后結(jié)果中如果有分解因式最后結(jié)果中如果有同類同類項，項，一定要一定要合并合并同類項。同類項。 判斷判斷 22a -b =(a+b)(a-b) 1. 1.判斷下列利用平方差公式分解因式是否正確判斷下列利用平方差公式分解因式是否正確 , ,不不對對, ,請改正請改正 22(1) x -4y =(x+4y)(x-4y) (x+2y)(x-2y) 422222(2) -a +b =(a (b+a+b)(a)(b-a -b) ) 2 不能分解因式不能分解因式 (4) -1-x =(1-x)(1+x)22(a+b+c)(a-b-c) (5) a -(b+c) =

6、(a+b+c)(a-b+c) 2-t2=(-s+t)(-s-t) =-(s-t)-(s+t) (6) s = (s-t)(s+t) 2(3) -9+4x =(2x-3)(2x+3) a2 b2= (a b) (a b) 2.把下列各式分解因式：把下列各式分解因式： 2 1 （1）a 64= (a+8) (a 8) 看看2 y2 誰誰（2）16x2 =(4x+y) (4x y) 快快1 1 1 又又(3) 3 y2 + 4x2 =(2x + y) (2x y) 3 3 9 對對2 25m2n2 =(2k+5mn) (2k 5mn) (4) 4k4 參照對象參照對象： a - - b = ( a

7、+ b )( a - b ) 22 2 22 2 ( (y+z)y+z)（(x+z)2mn） ( 3( 3xy)xy)2006220052 2 2 - - - - = = = 結(jié)論：結(jié)論： 公式中的公式中的a、b無論表示無論表示數(shù)數(shù)、單項式單項式、還是、還是多多項式項式，只要被分解的多項式能，只要被分解的多項式能 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成成平方差平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。的形式，就能用平方差公式因式分解。 ma+mb=m(a+b) ma+mb=m(a+b) m m是各項的公因式是各項的公因式 a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b) =(a+b)(a-b) 例例2. 分解因式分解因式4

8、x3y-9xy3 合作合作學習學習 (1)能分解因式嗎能分解因式嗎?用什么方法用什么方法? 4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2) (2)提取公因式后提取公因式后,多項式還能繼續(xù)分解因式嗎多項式還能繼續(xù)分解因式嗎 ? 4x3y-9xy3=xy (4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y) 注意注意: 1.一般地一般地,因式分解時有公因式先提公因式因式分解時有公因式先提公因式 2.因式分解時要分解徹底。因式分解時要分解徹底。 22a -b =(a+b)(a-b) 正確率正確率+速度速度=效率效率 (1) 16-a2 解解: :原式原式=(4+a)(4-a) =(4+a)(4-a) (

9、3?-124a b2+c2: : 原式原式=?c c-1 12 2abab?c c+1 1?2 2abab?(5) (a-b)2-(c-b)2 解解: :原式原式=(a-c)(a+c+2b) =(a-c)(a+c+2b) (2) 0.01s2-t2 解解: :原式原式=(0.1s+t)(0.1s-t) =(0.1s+t)(0.1s-t) (4) -1+9x2 : :原式原式=(3x-1)(3x+1) =(3x-1)(3x+1) (6) -(x+y)2+(x-2y)2 解解: :原式原式=-3y(2x-y) =-3y(2x-y) 解解解解 把下列各式分解因式把下列各式分解因式 4 44 4 x

10、x - 81y - 81y 2a3 2a3 - 8a- 8a 1.解解:原式原式= (x2 + 9y2) (x2 - 9y2) = (x2+ 9y2) (x+ 3y) (x- 3y) 22.解解:原式原式=2a(a- 4) =2a(a+2)(a-2) 2 22 2 平方差公式平方差公式:a:a -b-b =(a+b)(a-b) =(a+b)(a-b) 31、請問請問99 -99能被能被100整除整除溫馨提示：溫馨提示：（1）能否提取公因）能否提取公因式？（式？（2）提取公因式后，還能）提取公因式后，還能 繼續(xù)分解因式嗎？繼續(xù)分解因式嗎？ (1)能提取公因式。能提取公因式。 ？2、怎樣把多項式怎

11、樣把多項式4x3y-9xy3分解因式？分解因式？ 解：解： 4x3y-9xy3 993-99 =99(992-1) （2）還能繼續(xù)分解）還能繼續(xù)分解 =xy(4x2-9y2) 993-99=99(99+1)(99-1) =xy(2x)2-(3y)2 =99x100 x98 =xy(2x+3y)(2x-3y) 結(jié)論：結(jié)論： 3 99 -99能被能被100整除。整除。 記記得要提取公因式！得要提取公因式！ 1、分解因式、分解因式 4x2y2=(4x+y)(4x-y ) 診斷分析：診斷分析： 公式理解不準確，不能很好的把握公式中的項，公式理解不準確，不能很好的把握公式中的項， 4x2 y2中中4x2

12、 相當于相當于a2 ,則則2x相當于相當于“a”. 正確分解：正確分解： 4x2y2=(2x+y)(2x-y ) 補充分解：補充分解： 2、分解因式、分解因式 問題在問題在哪里？哪里？ x4y4=(x2+y2)(x2y2) = (x2+y2) (x+y)(x-y ) (4a+5b)2(2a-b)2=(6a+4b)(2a+6b) =4 (3a+2b)(a+3b) 診斷分析：診斷分析： 綜合運用提取公因式，公式法公解因式時，提公因式后，綜合運用提取公因式，公式法公解因式時，提公因式后，另一個因式還可以繼續(xù)分解，同學們千萬要注意分解完另一個因式還可以繼續(xù)分解，同學們千萬要注意分解完畢后對結(jié)果進行檢查

13、，看是否分解徹底了。畢后對結(jié)果進行檢查，看是否分解徹底了。 說說你這節(jié)課的收獲和體驗說說你這節(jié)課的收獲和體驗讓大家與你分享吧讓大家與你分享吧! ! 分解因式的分解因式的步驟步驟： (1)優(yōu)先優(yōu)先考慮考慮提取公因式提取公因式法法 (2)其次看是否能用其次看是否能用公式法公式法 （如（如平方差平方差公式）公式） (3)務必檢查是否分解務必檢查是否分解徹底徹底了了 1.分解因式：分解因式： 3（1）4x-x 4 ( 2 ) a-81 （3）(3x4y）2（4x+3y）2 22 （4）16（3m2n） 25（mn） 2、計算、計算 22 （1）999998（2）25 26521352 25 從前有一位

14、張老漢向地主租了一塊從前有一位張老漢向地主租了一塊 “十字十字型型”土地（尺寸如圖）。為便于種植，他想換土地（尺寸如圖）。為便于種植，他想換一塊一塊相同面積相同面積的的長方形長方形土地。土地。 同學們，你能同學們，你能幫助張老漢算出這塊長方形土地的長和寬嗎？幫助張老漢算出這塊長方形土地的長和寬嗎？ b米 b米 (a-2b)米 (a+2b)米 a米 a 米 通過本節(jié)課的學習通過本節(jié)課的學習,你有哪些收獲你有哪些收獲? 分解因式的步驟步驟： (1)優(yōu)先考慮提取公因式法 （如平方差公式） (3)務必檢查是否分解徹底了 (2)其次看是否能用公式法 作業(yè)：作業(yè)： 1、作業(yè)本、作業(yè)本4.3 2、課內(nèi)作業(yè)、

15、課內(nèi)作業(yè) 小明選用多項式小明選用多項式4x4x3 3-xy-xy2 2，取，取x=10,y=10 x=10,y=10時。用上述時。用上述方法產(chǎn)生的密碼是什么方法產(chǎn)生的密碼是什么 ? ?( (寫出一個即可寫出一個即可) ) 杭州灣跨海大橋打下的一根用特殊材料制成的樁管杭州灣跨海大橋打下的一根用特殊材料制成的樁管 ( (橫截面如圖所示橫截面如圖所示), ),它的外半徑為它的外半徑為R R米米, ,內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為r r米米. .已知外已知外半徑與內(nèi)半徑和為半徑與內(nèi)半徑和為2 2米米, ,外半徑與內(nèi)半徑差為外半徑與內(nèi)半徑差為 0.30.3米米, , 求橫截面面積求橫截面面積( (結(jié)果保留結(jié)果保留 ) ) ?R r 英國數(shù)學家狄摩根在青年時代英國數(shù)學家狄摩根在青年時代 , ,曾有人他曾有人他: :“ 今今年多大年齡？年多大年齡？”狄摩根想了想說：狄摩根想了想說：“今年，我今年，我的年齡和我弟弟年齡的平方差是的年齡和我弟弟年齡的平方差是 1411