彈塑性力學習題集

1、彈塑性力學習題集00作者: 日期:章應力例題求在n12e1T 11 11m 21T21 12m 22T31 13m 23T1IT2mT3nij?解Nn 321尹2n 31n 33e312121 (24)面上的法向正應力和切向剪應力例1如圖所示，試寫出其邊界條件。Us 00,Vs,1 Xa,2(201, m0,Ym(1(0xy )sxy ) sh,段 0,m1(m( y)sx)s0,Y10 _(4)3丄0摳丄5盪312盪1 ,2121 0212Q 2122迄322空空I 2最2 2 "0,xy s0,m0,Yxyxy1)1)xy s0, xy s護 + T；+ T33- N -；27

2、48(21)xy s1)0q,xy s例2如圖所示的楔形體受水壓力作用，水的容重為，試寫出邊界條件。解：在x=0上, 1 =1， m=0,1XxyCOsySin = 0第四章本構關系例.一薄壁圓管，平均半徑為R,壁厚為t,受內壓p作用，討論下列兩種情(1)管的兩端是自由的;況:應力狀態(tài)為,z= 0,= pR/t=0zr rz=0(1)管的兩端是自由的;(2)管的兩端是封閉的;1J2= 6 (z r)2+( r)2+(z)2+6( Zr2z )分別使用Mises和TrescO屈服條件，討論p多大時管子開始屈服(規(guī)定 純剪時兩種屈服條件重合)1 1尹(p R/t)2=-( pR/t)2解：將Mis

3、es和Tresca中的材料常數都使用純剪時的屈服極限表示, 并使得兩種屈服條件重合，13= =pR/t則有Mises屈服條件：J2 =對于Mises屈服條件：J 2 =k：s2v'3st/RTresca屈服條件：13=2 s對于Tresca屈服條件：1 3=k1=2 sp = 2 st/R（2）管段的兩端是封閉的;應力狀態(tài)為,z=p R/2t，= pR/t, r=0，zrz=0J2=6（zr）2+（ r）2+（z）2+6（2zr2z）=6 卽p時例.一種材料在二維主應力空間中進行試驗，所得屈服時的應力狀態(tài)為（，2）=（3t，t），假定此材料為各向同性，與靜水壓力無關且拉壓屈服應力相等。

4、（1） 由上述條件推斷在一2空間中的各屈服點應力。（2） 證明Mises屈服條件在一2空間中的曲線通過（a）中所有點。=pR/t解：由于靜水壓力無關的條件得出屈服在以下各點會發(fā)生:（,，2，3） = （3t，t，0）+ （ 3t， 3t，3t）= （0， 2t，3t）對于Mises屈服條件:P = 2 st/R（1，2，3） = （3t，t，0）+ （ t， t，t）= （2t，0， t）對于Tresca屈服條件:P = 2 st/R2空間中的以下五個應力還有，由于拉壓屈服應力相等，因而可得到六個應力屈服點1- 2空間中的另外點也是屈服點A2：（1，2，3）= （t，3t，0）B1:（1,2，

5、3） = （ 3t，2t，B2:（1，2，3） = （ 2t，3t，C1:（1,2，3）= （2t，t，0）C2:（1,2，3） = （ t，2t，0）再由于各向同性的條件，很容易看出0）0）As：（1，2，3）=（3t， t，0）A 4：（1，2，3）=（t， 3t，0）B3:（1，2，3）=（3t，2t，0）B4:（1，2，3）=（2t，3t，0）C3：（1，2，3）=（2t，t，0）C4：（1，2，3）=（t， 2t， 0）因此，根據這些點的數據，可以作出在容易證明Mises屈服條件 221 2 -27t22空間中的屈服面。通過以上所有屈服點論：說已如三桿折架如圖所示，三權桿的截面積都相

6、同，并 有F = 桿件是囪彈亀桎鏡性強化材料所制盛的.在節(jié)點D受 到豎向力P的作用，S 7表示節(jié)點D的水平C向右為正）利 釀直（向下為正）移，51. 5j表示1抨.2桿的皚tt長。h I his平衡方程為：P N12N2cos300（ 1幾何關系為:1 v,73v,_vh3 v©-r本構方程為:A1Lh當s時，211（1/-PE1E彈性解：當P足夠小時，三桿均處于彈 性狀態(tài)，應力與應變成比例.彈塑性解：由于(3 2)1(134 3J3 )1hl h* _4 I _丄 T3IPl因為2所以2'桿1最先到達塑性狀態(tài)，當1 于是桁架開始出現塑性變形的載荷為(1聖3)P1稱為彈性極限

7、載荷.41s時，1P s例一薄壁圓管同時受拉，扭和內壓作用，有應力分量z，泊松比2,求:z 23 z比例從零開(1)當應力分量之間保持多大時開始進入屈服?始加載，問(2)開始屈服后，及 d z 2d繼續(xù)給以應力增量，滿足d z 0.求對應的d z及d 值.1S，2由基本方程可得P 巳 1 s(1 旱)2E 2s，P當2 S時，即2薯 M, 桁架全部進入塑性狀態(tài)，對應的載荷為及E1 1 s(1卡)2 s cos300彈性階段塑性階段在彈塑性階段，余兩桿仍處于彈性階段，1桿的塑性變形受到限制, 整個桁架的變形仍限制在彈性變形的量級，這個階 段可稱為約束的塑性變形階段.在塑性階段，三桿 都進入塑性狀

8、態(tài)，桁架的變形大于彈性變形量 級. 一般說來，所有的彈塑性結構在外力的作用 下，都會有這樣三個變形的階段.1桿雖然進入塑性狀態(tài)，但由于其J3(1已W P瑤PIMises:屈服準則為f1代入上式得到3 2z屈服后，增量本構關系為：*葉分別對Mises和Tresca兩種屈服條件進行分析.dr由酣河=0.得7入=總藝.又屈服條件的徵分形式為（2 孔一+ <2 葉一 ）d 殲+ Srdr = 0將血=加齊代入，得-込十代入<U式子，得 9血8£Tresca：因為z""2d d za=8G zz1,2 弋入氐.表達式，得血 /十丄 3 1S £d齊=0

9、z2將其展開后得將該所以，屈服準則為:f2f27式微分，得z""2)2 0Edid zzz那z)d z增S本構關系星時達到屈服.(sz)d2zdz第五章彈塑性力學問題的提法U UH 1UUHL 1 X/L,*-,zqJ 2d z 0G由前述類似步驟可以求得答案結果。根據問題的對稱性，位移應只是體積應變是z的函數w = w(z)dwdz代入平衡微分方程2Gd2 w dz212E 1B代表剛度位移，應由位移邊界條件確定應力是x= y= L g(z + A)z= g(z+A)xy= yz= zx=0應用邊界條件求待定常數L=m=0, n=1 X Y 0 Z q邊界條件是:z z=

10、0=q解得:A=q/ g根據材料力學的方法，在圓拄體扭轉時，截面上發(fā)生與半 徑垂直且與點到圓心的距離成正比例的剪應力Gr這里 表示單位長度的扭轉角.將向Ox和Oy軸方向分解，zxsinGr sinzycosGr cos其中cossin假設其余的應力分量全為零，則zxGy,zyGxxy習題5-1用逆解法求解圓柱體的扭轉問題邊界條件（側面）.在圓柱側面上，有Xv.xl cos , rZvYVO上面的解在體力為零時 現在校核是否滿足邊界條件y，是滿足平衡微分方程的根據題設條件，作用于z=L端面上的外力 Xv，Y，Zv 靜力上等效于扭矩 M ,而其具體分布情況是不清楚的,因此，對應力分量zx'

11、 zy，也只能從放松的意義上要求它們滿足z=L這一端的邊界條件,即：如果他們也靜力等效于扭矩M ,則應力分量zxGy,zyGx就是圓柱體扭裝時的解xy 0事實上端面上的主矢投影zxdxdyydxdy 0端面上的主矩為:(xzyzydxdyxdxdy 0XvYvzxnzynxzlyzmZvsin?，n將應力代入上面，應力滿足圓柱側面上的邊界條件考察圓柱的兩端，在z=處,邊界條件變?yōu)椋篨vYVZvl 0, mzxzy00,y zx)dxdy GM7(x2y2)dxdyGI p第六章彈塑性平面問題例6.1設一簡支梁的中部上、下兩表面，在2a解：首先將載荷展開為富 里葉級數，最普遍的情況下,(1)范圍

12、內對稱地作用均布載荷 q.（如圖6.7所示）O 如此梁的厚度為1個單位，不計體力，試求其應力分量。圖6.7局部受均布載荷簡支粱由圖6.7可知，所示載荷對稱于E0,G。及余弦項，其中E。G0而系數En可由載荷展開式運用通常求富里葉系數的辦法,積分，有由此可得Em r I的展開式只含II q (x)dxqadxqa2"aTq(x)En 1n X os1兩邊乘以m cos1X，并在區(qū)間I,II匸nXmX .0(mEn cos-cosdx11111I Em(m,、m X(1)n 1IIy軸，是x的偶函數，故式12rcos In)n)由于m為任意整數，所以可換成n，于是得Enq( x) cos

13、-X dx同理也可得Gn。sh() sh ,ch(ch則可得上部邊界（y（q，t(qd)y tt）和下部邊界（yt）的載荷分別表示為LL n XE0En sinn 1I-. n XGoGnSinn 1I' n X Gn COSn 1ICnDno'nCh ntB n ch ntntsh ntAnSh ntn Sntch ntBnDn所以式 中的常數可全部確定,將式力分量，再加上式Xxy 0,力，即得梁總的應力分量計算式。CnEn sh ntnntch nt(9)Sh2 nt 2 nt2En "T sh2 nt 2 ntnsh nt（9）代入式（7），即得相應的應 qa中

14、由均布載荷而產生的應Iy的表達式為qa 4q y 1sinnan1n(sh2nt2nt)(shntntchnt)chnynysh n tsh nyCOS nX注意載荷實際作用區(qū)域為qu qd 0,（I x（aqu qd q,a，aX a)I)式中E0,G0表示整個梁的均勻分布載荷，式1可用富里葉系數的公式求出將 q（x）由于常數(1)中的全部系數均a。anbn2l171TII q (x) dx(、 n XI q(x) cosp dxIn XI q(x)sinj dxq代入上式可得2q . n_ sinan IEo ,G0,E ,G的存在，該問題可理解為上、下分別作用均布載荷En Gn q an X , cosdxaI罕，再加上后面的三角級數所表示的載荷。于是，可以分別計算每一部分載荷所產生的應力，然后再疊加。