中國礦業(yè)大學(xué)高數(shù)下冊(cè)復(fù)習(xí)

1、第八章 空間平面空間平面 一般式 點(diǎn)法式 截距式 1?czbyax三點(diǎn)式 0131313121212111?zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程 ),( :000zyx點(diǎn)),(:CBAn ?法向量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為直線的方向向量 . 空間直線空間直線 一般式 對(duì)稱式 參數(shù)式 ?0022221111DzCyBxADzCyBxA?tpzztnyytmxx000),(000zyx),(pnms ?為直線上一點(diǎn); 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 面與面的關(guān)系面與面的關(guān)系 0212121?CCBBAA212121CCBBAA?平

2、面 平面 垂直: 平行: 夾角公式: 2.線面之間的相互關(guān)系線面之間的相互關(guān)系 ),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA?021? nn2121cosnnnn ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,1111111pzznyymxxL?：直線 0212121?ppnnmm,2222222pzznyymxxL?：212121ppnnmm?線與線的關(guān)系線與線的關(guān)系 直線 垂直: 平行: 夾角公式: ),(1111pnms ?),(2222pnms ?021? ss2121cosssss ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 CpBnAm?平面: 垂直： 平行： 夾角公式： 面與線間

3、的關(guān)系面與線間的關(guān)系 直線: ),(, 0CBAnDCzByAx?),(,pnmspzznyymxx?0? ns0?nsnsns?sin機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 相關(guān)的幾個(gè)問題相關(guān)的幾個(gè)問題 (1) 過直線 ?00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束 )(1111DzCyBxA?0)(2222?DzCyBxA方程 ?0,21不全為?1?2?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2)點(diǎn) 的距離為 到平面 ? ：A x+B y+C z+D = 0 ),(0000zyxM? d 0M1Mn?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 kji到直線 的距離 為 (3) 點(diǎn)

4、2221pnm?010101 zzyyxx?pnm d ?ssMMd?10),(pnms ?),(1111zyxM),(0000zyxM機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九章第九章 一 連續(xù)性 偏導(dǎo)數(shù)存在 方向?qū)?shù)存在 可微性 1. 多元函數(shù)的定義、極限 、連續(xù) ? 定義域及對(duì)應(yīng)規(guī)律 ? 判斷極限不存在及求極限的方法 ? 函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì) 2. 幾個(gè)基本概念的關(guān)系 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、多元函數(shù)微分法二、多元函數(shù)微分法 顯示結(jié)構(gòu) 隱式結(jié)構(gòu) 1. 分析復(fù)合結(jié)構(gòu) (畫變量關(guān)系圖) 自變量個(gè)數(shù) = 變量總個(gè)數(shù) 方程總個(gè)數(shù) 自變量與因變量由所求對(duì)象判定 2. 正確使用求導(dǎo)法則

5、 “ 分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)” 注意正確使用求導(dǎo)符號(hào) 3. 利用一階微分形式不變性 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用 1.在幾何中的應(yīng)用 求曲線在切線及法平面 (關(guān)鍵: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法線 (關(guān)鍵: 抓住法向量) 2. 極值與最值問題 ? 極值的必要條件與充分條件 ? 求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法) ? 求解最值問題 3. 在微分方程變形等中的應(yīng)用 ? 最小二乘法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十章 一、重積分計(jì)算的基本方法 1. 選擇合適的坐標(biāo)系 使積分域多為坐標(biāo)面 (線)圍成; 被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變

6、量分離 . 2. 選擇易計(jì)算的積分序 積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 . 圖示法 列不等式法 (從內(nèi)到外: 面、線、點(diǎn)) 3. 掌握確定積分限的方法 累次積分法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、重積分計(jì)算的基本技巧二、重積分計(jì)算的基本技巧 分塊積分法 利用對(duì)稱性 1. 交換積分順序的方法 2. 利用對(duì)稱性或重心公式簡化計(jì)算 3. 消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào) 4. 利用重積分換元公式 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、重積分的應(yīng)用三、重積分的應(yīng)用 1. 幾何方面 面積 ( 平面域或曲面域 ) , 體積 , 形心 質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 質(zhì)心, 引力 證明某些結(jié)論等 2. 物理方面 3.

7、 其它方面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十一章 一、曲線積分的計(jì)算法 1. 基本方法 曲線積分 第一類 ( 對(duì)弧長 ) 第二類 ( 對(duì)坐標(biāo) ) (1) 統(tǒng)一積分變量 轉(zhuǎn)化 定積分 用參數(shù)方程 用直角坐標(biāo)方程 用極坐標(biāo)方程 (2) 確定積分上下限 第一類: 下小上大 第二類: 下始上終 練習(xí)題: P184 題 3 (1), (3), (6) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 利用對(duì)稱性及重心公式簡化計(jì)算 ; (2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件 ; (3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧加輔助線的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式

8、 . 2. 基本技巧基本技巧 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、曲面積分的計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法 1. 基本方法 曲面積分 ?第一類( 對(duì)面積 ) 第二類( 對(duì)坐標(biāo) ) 轉(zhuǎn)化 二重積分 (1) 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程 (2) 積分元素投影 ?第一類: 始終非負(fù) 第二類: 有向投影 (3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十二章第十二章 一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性 2. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法 必要條件 0lim?nnu不滿足 發(fā) 散 滿足 比值審斂法 lim?n1?nunu?根值

9、審斂法 ?nnnulim1?收 斂 發(fā) 散 1?不定 比較審斂法 用它法判別 積分判別法 部分和極限 1?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法 為收斂級(jí)數(shù) Leibniz 判別法: 若 且 則交錯(cuò)級(jí)數(shù) 收斂 , 概念概念: 且余項(xiàng) 若 收斂 , 稱 絕對(duì)收斂 若 發(fā)散 , 稱 條件收斂 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法 ? 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù): 先求收斂半徑 R , 再討論 Rx? 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù) 通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式 直接用比值法或根值法 處的斂散性 . P257 題7. 求下列級(jí)數(shù)的斂散區(qū)間 : 練習(xí): 機(jī)動(dòng) 目錄

10、上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? 求部分和式極限 三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法 求和 ? 映射變換法 逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分 nnnxa?0)(*xS對(duì)和式積分或求導(dǎo) )(xS難 直接求和: 直接變換, 間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和 , 再代值 求部分和等 ? 初等變換法: 分解、套用公式 （在收斂區(qū)間內(nèi)） ? 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 求和 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nnnxa?0四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù)展開法四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù)展開法 ? 直接展開法 ? 間接展開法 練習(xí)練習(xí): 1. 將函數(shù) 展開成 x 的冪級(jí)數(shù). 利用已知展式的函數(shù)及冪級(jí)數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式 解解: ?xx21)2

11、(12?21121x?0221nnnx,22111?nnnxn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法 2. 函數(shù)的付式級(jí)數(shù)展開法 系數(shù)公式及計(jì)算技巧 ; 收斂定理; 延拓方法 練習(xí)練習(xí): xyo?),?上的表達(dá)式為 將其展為傅氏級(jí)數(shù) . P323 題11. 設(shè) f (x)是周期為2?的函數(shù), 它在 第七章第七章 一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解 1. 一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解 關(guān)鍵: 辨別方程類型 , 掌握求解步驟 2. 一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解 (1) 變量代換法 代換自變量 代換因變量 代換某組合式 (2) 積分因子法 選積分因子, 解全微分方程 四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型: 可

12、分離變量方程, 齊次方程, 線性方程, 全微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解 1. 一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解 關(guān)鍵: 辨別方程類型 , 掌握求解步驟 2. 一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解 (1) 變量代換法 代換自變量 代換因變量 代換某組合式 (2) 積分因子法 選積分因子, 解全微分方程 四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型: 可分離變量方程, 齊次方程, 線性方程, 全微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、兩類二階微分方程的解法二、兩類二階微分方程的解法 1. 可降階微分方程的解法 降階法 )(dd22xfxy?)dd,(dd22xyxfxy?令 xyxpdd)(?),(ddpxfxp?)dd,(dd22xyyfxy?令 xyypdd)(?逐次積分求解 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束