初等數(shù)學(xué)研究教學(xué)大綱

1、初等數(shù)學(xué)研究教學(xué)大綱Elementary Mathematics Research一、本大綱適用專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。二、課程性質(zhì)與目的1.1. 課程目標(biāo)（1 1）使學(xué)生了解初等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，明確初等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位、作用以及本課程與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系；（2 2 ）使學(xué)生理解初等數(shù)學(xué)中的概念、原理、法則、方法等；（3 3）使學(xué)生掌握初等數(shù)學(xué)的理論體系和結(jié)構(gòu)以及初等數(shù)學(xué)中的重要的思想 方法；（4 4 ）使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的理論和觀點(diǎn)分析研究初等數(shù)學(xué)，熟練地運(yùn) 用重要的思想方法解決初等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題；（5 5） 使學(xué)生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)新課程改革的基本思想和容的設(shè)置有個(gè)較為全面地 了解和認(rèn)識(shí)，并產(chǎn)生自

2、己的思考；（6 6 ）使學(xué)生提高分析、認(rèn)識(shí)和處理中學(xué)數(shù)學(xué)教材的水平，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思 考、探索研究、分析和解決問(wèn)題的能力，以及養(yǎng)成數(shù)學(xué)的思維習(xí)慣；（7 7）為學(xué)生今后從事數(shù)學(xué)教師職業(yè)提供必要的專業(yè)訓(xùn)練和知識(shí)準(zhǔn)備，以及 輔導(dǎo)中學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題所需的基本方法。2.2. 與其它課程的關(guān)系初等數(shù)學(xué)研究是在學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何 等專業(yè)基礎(chǔ)課的基礎(chǔ)上開(kāi)設(shè)的，并且與后繼課程現(xiàn)代教育學(xué)、教育心理學(xué)、數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論、 數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)史等教育理論， 幾何畫(huà)板與 flashflash 制作 、競(jìng)賽數(shù)學(xué)等緊密結(jié)合。3.3. 開(kāi)設(shè)學(xué)期按培養(yǎng)方案規(guī)定的學(xué)期開(kāi)設(shè)。三、教學(xué)方式及學(xué)時(shí)分配序號(hào)主要容主要教學(xué)方式

3、學(xué)時(shí)1 1第一章數(shù)系面授講課4 42 2第二章解析式面授講課6 6 ：3 3第三章方程與函數(shù)面授講課8 8：4 4第四章數(shù)列面授講課6 65 5第五章排列與組合面授講課2 26 6第六章算法面授講課2 2 : :7 7第七章平面幾何問(wèn)題與證明面授講課4 48 8第八章初等幾何變換面授講課2 29 9第九章幾何軌跡面授講課2 21010第十章幾何作圖問(wèn)題面授講課2 21111第一早 立體幾何面授講課2 2四、教學(xué)容、重點(diǎn)第一章數(shù)系1.1. 教學(xué)目標(biāo)（1 1）了解數(shù)系擴(kuò)展的兩種形式及其所遵循的原則；（2 2）掌握自然數(shù)的基數(shù)理論及整數(shù)環(huán)的構(gòu)造；（3 3）理解自然數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集的有關(guān)概念，弄清自

4、然數(shù)、整數(shù)運(yùn)算的 概念及其運(yùn)算律，掌握有理數(shù)大小比較的法則、有理數(shù)的運(yùn)算法則和有理數(shù)域的 性質(zhì)；（4 4）理解無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)概念，掌握實(shí)數(shù)大小比較的法則、實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則 和實(shí)數(shù)域的性質(zhì)；（5 5）理解復(fù)數(shù)概念，掌握復(fù)數(shù)的兩種表示形式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)域的性 質(zhì)。2.2. 教學(xué)容（1 1 ）數(shù)的概念的擴(kuò)展：數(shù)的概念的擴(kuò)展；有理數(shù)，實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)理論；（2 2）自然數(shù)的序數(shù)理論；（3 3 ）整數(shù)環(huán)；（4 4 ）數(shù)域：有理域；實(shí)數(shù)域；復(fù)數(shù)域；（5 5）實(shí)數(shù)的運(yùn)算；實(shí)數(shù)集的性質(zhì)；復(fù)數(shù)的三角形式；復(fù)數(shù)的運(yùn)算。3.3. 教學(xué)方法講授法。4.4. 本章重點(diǎn)序數(shù)理論；整數(shù)環(huán)；實(shí)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的運(yùn)算。5.5. 本章難

5、點(diǎn)序數(shù)理論。第二章解析式1.1.教學(xué)目標(biāo)（1 1 ）了解解析式的概念及其分類；（2 2 ）了解多項(xiàng)式概念，掌握待定系數(shù)法和多項(xiàng)式的因式分解方法；（3 3）了解分式的概念和定理；掌握分式恒等變形；（4 4）掌握根式的運(yùn)算和變形；（5 5 ）掌握不等式的基本性質(zhì)、解法和證明；（6 6）熟悉幾個(gè)著名的不等式。2.2. 教學(xué)容（1 1）解析式的基本概念，解析式的恒等變形；（2 2 ）多項(xiàng)式：多項(xiàng)式的恒等定理；（3 3 ）分式：分式恒等變形；（4 4）實(shí)數(shù)域上的根式：根式的化簡(jiǎn)和計(jì)算；（5 5）不等式：解不等式（組）；不等式的證明；幾個(gè)著名的不等式。3.3. 教學(xué)方法講授法。4.4. 本章重點(diǎn)待定系數(shù)法

6、；因式分解方法；分式恒等變形；根式的化簡(jiǎn)和計(jì)算；不等式的 證明；著名的不等式。5.5.本章難點(diǎn)不等式的證明。第三章方程與函數(shù)1.1. 教學(xué)目標(biāo)（1 1）掌握各種代數(shù)方程中的同解理論（弄清增、失根原因及檢驗(yàn)方法）及 基本解法；（2 2 ）掌握特殊的高次方程的解法；（3 3）掌握簡(jiǎn)單的分式方程、無(wú)理方程和超越方程的解法；（4 4）了解函數(shù)概念的發(fā)展與幾種定義方式；（5 5）掌握初等函數(shù)的基本性質(zhì)。2.2. 教學(xué)容（1 1 ）方程與方程組的概念及分類；（2 2 ）方程與方程組的同解性：一元 n n 次方程的根的有關(guān)性質(zhì)；一元三次和 四次方程的解法；倒數(shù)方程的解法；（3 3 ）整式方程、分式方程、無(wú)理

7、方程和超越方程：分式方程、無(wú)理方程、 超越方程的解法；（4 4 ）方程組的解法；（5 5）函數(shù)概念的概述：初等函數(shù)及其分類；初等函數(shù)圖象的作法，基本初 等函數(shù)，初等超越函數(shù)超越性的證明；（6 6 ）初等函數(shù)性質(zhì)的判定。3.3. 教學(xué)方法講授法。4.4. 本章重點(diǎn)方程（組）通解定理；倒數(shù)方程的解法；分式方程、無(wú)理方程、超越方程的 解法；方程組的解法；初等函數(shù)性質(zhì)的判定。5.5. 本章難點(diǎn)倒數(shù)方程的解法；超越方程的解法。第四章數(shù)列1.1. 教學(xué)目標(biāo)（1 1）掌握求數(shù)列通項(xiàng)的方法；（2 2 ）熟練掌握等差與等比數(shù)列的綜合題；（3 3）了解高階等差數(shù)列、斐波那契數(shù)列、分群數(shù)列；（4 4）熟練掌握數(shù)學(xué)歸

8、納法的各種形式的應(yīng)用；（6 6）了解數(shù)列的母函數(shù)。2.2. 教學(xué)容（1 1）數(shù)列概述；（2 2 ）等差數(shù)列與等比數(shù)列；（3 3）幾種特殊的數(shù)列：k k 階差分?jǐn)?shù)列、簡(jiǎn)單遞推數(shù)列、數(shù)列求和；（4 4）數(shù)學(xué)歸納法；（5 5 ）數(shù)列的母函數(shù)。3.3. 教學(xué)方法講授法。4.4. 本章重點(diǎn)等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)歸納法。5.5. 本章難點(diǎn)幾種特殊的數(shù)列。第五章排列與組合1.1.教學(xué)目標(biāo)（1 1）理解加法和乘法兩個(gè)基本的計(jì)數(shù)原理；（2 2）掌握無(wú)重排列、可重復(fù)排列、圓排列；無(wú)重組合、相異元素的重復(fù)組合的計(jì)算公式；（3 3）熟練應(yīng)用容斥原理解題。2.2. 教學(xué)容（1 1 ）加法原理與乘法原理；（2 2 ）排

9、列：無(wú)重排列、可重復(fù)排列、圓排列；（3 3 ）組合：無(wú)重組合、相異元素的重復(fù)組合；（4 4）容斥原理。3.3. 教學(xué)方法講授法。4.4. 本章重點(diǎn)加法原理與乘法原理；容斥原理。5.5. 本章難點(diǎn)圓排列 第六章算法1.1. 教學(xué)目標(biāo)（1 1）了解算法的概念；（2 2 ）掌握程序的基本結(jié)構(gòu)；（3 3）掌握算法設(shè)計(jì)的基本方法；（4 4）了解算法思想在高中數(shù)學(xué)課程中的地位，掌握其教學(xué)方法。2.2. 教學(xué)容（1 1）算法概念；（2 2）程序的基本結(jié)構(gòu)；（3 3 ）算法設(shè)計(jì)的基本方法；（4 4）算法思想在高中數(shù)學(xué)課程中的地位及其教學(xué)。3.3. 教學(xué)方法講授法。4.4. 本章重點(diǎn)算法設(shè)計(jì)的基本方法。5.5.

10、 本章難點(diǎn)算法思想在高中數(shù)學(xué)課程中的教學(xué)。第七章平面幾何問(wèn)題與證明1.1.教學(xué)目標(biāo)（1 1） 了解命題的意義和結(jié)構(gòu)；（2 2）掌握幾何推理與證明的方法（綜合法與分析法、直接證法與間接證法）；（3 3 ）熟練掌握證幾何量的相等關(guān)系、度量關(guān)系、不等關(guān)系、位置關(guān)系、結(jié) 合關(guān)系的方法和技巧；（4 4）熟悉并運(yùn)用幾個(gè)著名定理：梅涅勞斯定理、錫瓦定理、西姆松定理。2.2. 教學(xué)容（1 1）幾何邏輯；（2 2 ）幾何證題的推理方法；（3 3）幾何證題。3.3. 教學(xué)方法講授法。4.4. 本章重點(diǎn)幾何推理與證明的方法、梅涅勞斯定理、錫瓦定理、西姆松定理。5.5. 本章難點(diǎn)梅涅勞斯定理、錫瓦定理、西姆松定理。第

11、八章初等幾何變換1.1. 教學(xué)目標(biāo)（1 1 ）了解各種變換的意義；（2 2）理解平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、軸反射變換的性質(zhì)，掌握其在幾何證明中 的應(yīng)用；（3 3）理解位似變換和相似變換的性質(zhì)，掌握其在幾何證明中的應(yīng)用。2.2. 教學(xué)容（1 1 ）初等變換：運(yùn)動(dòng)，平移，旋轉(zhuǎn)，軸反射和軸對(duì)稱反射；（2 2）圖形的相等或合同；（3 3）合同變換；（4 4）位似和相似變換。3.3. 教學(xué)方法講授法。4.4. 本章重點(diǎn)合同變換、位似變換、相似變換的性質(zhì)。5.5. 本章難點(diǎn)合同變換、位似變換、相似變換的應(yīng)用。第九章幾何軌跡1.1.教學(xué)目標(biāo)（1 1 ）理解幾何軌跡和圖形的概念；（2 2）掌握幾何軌跡的證明方法、掌

12、握常用的幾個(gè)軌跡命題；（3 3）掌握探究幾何軌跡的方法。2.2. 教學(xué)容（1 1 ）幾何軌跡與幾何圖形；（2 2）幾何軌跡的基本問(wèn)題：三種軌跡命題的分類及其解法；（3 3 ）幾何軌跡的探求，軌跡命題兩面性的證明。3.3. 教學(xué)方法講授法。4.4. 本章重點(diǎn)幾何軌跡的探求方法。5.5. 本章難點(diǎn)軌跡命題兩面性的證明。第十章幾何作圖問(wèn)題1.1. 教學(xué)目標(biāo)（1 1）掌握作圖的基本知識(shí)和常用的方法幾何作圖的基本方法（軌跡交點(diǎn)法,三角形奠基法，幾何變換法）。2.2. 教學(xué)容（1 1）基本作圖問(wèn)題：尺規(guī)作圖，定位作圖和不定位作圖；（2 2）幾何作圖的基本方法：軌跡交點(diǎn)法，三角形奠基法，幾何變換法。3.3.

13、 教學(xué)方法講授法。4.4. 本章重點(diǎn)幾何作圖的基本方法。5.5. 本章難點(diǎn)幾何變換法。第章立體幾何1.1. 教學(xué)目標(biāo)（1 1）熟練掌握空間幾何量的位置和度量關(guān)系的證明。2.2. 教學(xué)容（1 1）空間幾何體的類型介紹；（2 2）空間幾何量的位置關(guān)系；（3 3）空間幾何量的度量關(guān)系。3.3.教學(xué)方法講授法。4.4. 本章重點(diǎn)空間幾何量的位置和度量關(guān)系。5.5. 本章難點(diǎn)空間幾何量的度量關(guān)系。五、成績(jī)考核1.1. 考核方式考試2.2. 考核要求考試以閉卷形式進(jìn)行，考試占 80%80%平時(shí)作業(yè)和課堂考勤占 20%20%六、教材和主要參考書(shū)目1.1. 教材（1 1）葉立軍編著，初等數(shù)學(xué)研究（第一版），華東師大學(xué)，20082008 年。2.2. 主要參考書(shū)（1 1） 余元希、田萬(wàn)海、毛宏德編著，初等代數(shù)教程，