高考數(shù)學(xué)廣東卷答案詳解理科

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）本試卷共4頁，21小題，滿分150分考試用時(shí)120分鐘一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1（B）A B C D解：(1+i）(1-i)=1-i2=1-(-1)=2。點(diǎn)評(píng)：本題是概念題，沒有什么難度，屬送分題。2，（C）A B C D解：A為圓，圓心為(0,0),B為直線。顯然直線B經(jīng)過點(diǎn)(0,0)。即直線與圓相交。故選C。點(diǎn)評(píng)：只要理解集合的概念，及其所表示的點(diǎn)的軌跡，就會(huì)把問題變得簡(jiǎn)單。本題還可以用圓心到直線的距離來判斷，但要是善于觀察就會(huì)節(jié)省時(shí)間。也可以用聯(lián)立方程

2、來解，過程會(huì)相對(duì)復(fù)雜。3（D）A B C D解：因?yàn)?，所以所以點(diǎn)評(píng)：本題也是概念題沒有難度。只要平時(shí)基礎(chǔ)知識(shí)掌握到位，輕而易舉。屬送分題。4（A）A BC D解：設(shè)F(x)=f(x)+|g(x)|則F(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=F(x)。故選A。5（C）A B C D 如圖所示，陰影部分即為區(qū)域D。=x+y。即有x+y-Z=0，z可以看成是直線在y軸上的截距。當(dāng)直線經(jīng)過 點(diǎn)H(,2)的時(shí)候Z最大。代入點(diǎn)H解之得Z=4。6甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲

3、隊(duì)獲得冠軍的概率為(C)A B C D解：把贏記為1，輸記為0則有(1,0)甲贏(0,1),(1,0)甲贏(0,1),(0,1)乙贏故甲贏的概率為。7如圖1-3，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為A B C D解：從視圖可以知道此幾何體為直四棱柱。易知底面的高為：=故底面積為：3又高為3。故體積為9。8設(shè)是整數(shù)集的非空子集，如果，有，則稱關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的若是的兩個(gè)不相交的非空子集,且,有；,有,則下列結(jié)論恒成立的是（A）A中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 B中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的C中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 D中每一個(gè)關(guān)于乘法

4、都是封閉的解：1)設(shè)T,V都不封閉。則，有abT,否則若abT，cT,abcT。這與假設(shè)T不封閉矛盾。同理：bcT,acT。故abV,bcV,acV。ab·bc T,即abc·bT。這與T不封閉矛盾。 2）若兩個(gè)都封閉。則有,abT,abcT;同理，xyV,xyzV。所以T，V封閉時(shí)成立。 3）設(shè)一個(gè)不封閉，一個(gè)封閉。不妨設(shè)T不封閉。則有,有abV, bcV,則有ab·bcV即abc·bV。此時(shí)也成立。 故至少有一個(gè)是關(guān)于乘法是封閉的。二、填空題：本大題共7小題考生作答6小題每小題5分，滿分30分（一）必做題（913題）9不等式的解集是1,+)解：由原式

5、化為|x+1|x-3|(x+1)2(x-3)2x2+2x+1x2-6x+98x8x110的展開式中的系數(shù)是84（用數(shù)字作答）解：原式=,的項(xiàng)，即為(x-2x-1)7的展開式中x3的項(xiàng)。其展開式項(xiàng)為：。當(dāng)7-2m=3時(shí)，解得m=2。則系數(shù)為：11等差數(shù)列的前9項(xiàng)和等于前4項(xiàng)和，若，則10解：(a1+a2+a9)-(a1+a2+a3+a4)=a5+a6+a7+a8+a9=5a7=0,所以：a7=0,ak+a4=2a7,所以k=1012函數(shù)在2處取得極小值解：=3x(x-2)=0,解得x1=0，x2=2.如圖所示，x<0，>0;0<x<2,<0;x>2，>0

6、所以，在x=2時(shí)取得極小值。13某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺，父親，兒子的身高分別是173cm,170cm和182cm，因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高是185 cm解：x173170176182y170176182?設(shè)y=bx+ay=x+3y4=182+3=185（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為（0q p 和（tR），它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,)解：由第一組方程知y0,由第二組方程組知x0.化為直角坐標(biāo)系下的方程則有：y2=聯(lián)立,且x0，y0解得x=1，y=15（幾何證明選講選做題

7、）如圖4，過圓外一點(diǎn)P分別做圓的切線和割線交圓于A,B兩點(diǎn)，且PB=7，C是圓上一點(diǎn)使得BC=5，則AB=解：PAB=ACB（弦切角定理）又所以PABACB所以AB:PB=BC:ABAB2=PB·BC=35AB=三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求的值；（2）設(shè)，求的值解：（1）=。（2）點(diǎn)評(píng)：本題考考察了三角函數(shù)的基本公式。沒有難度，屬送分題。17（本小題滿分13分）為了解甲，乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采取分層抽樣的方法從甲，乙兩廠的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測(cè)量產(chǎn)品中微量元素的含量（單位：毫克）下表是乙廠的

8、5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù)：編號(hào)123451691781661751807580777081（1） 已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2） 當(dāng)產(chǎn)品中微量元素滿足且時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3） 從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽出的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）解：（1）設(shè)乙廠的產(chǎn)品有m個(gè)，依題意98:14=m:5，解得：m=35。即乙廠的產(chǎn)品數(shù)為35個(gè)。（2）從表中可以5件產(chǎn)品中只有第2和第5個(gè)產(chǎn)品滿足且。 故優(yōu)等產(chǎn)品的概率P=2/5=0.4。 故乙廠的優(yōu)等品的數(shù)量：35×0.4=14（個(gè)）（3）隨機(jī)抽二

9、件，出現(xiàn)優(yōu)等品數(shù)可能為0,1,2。5件產(chǎn)品中取2件的取法有：P(=0)=；P(=1)=；P(=2)=其分布列為：012P均值：E()=0×+1×+2×=1.418（本小題滿分13分）如圖5，在錐體P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且，PB=2，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)(1) 證明：AD平面DEF；(2) 求二面角P-AD-B的平面角的余弦值。（1）證明：如圖取AD的中點(diǎn)H，連結(jié)PH,BH。PA=PD，PHADABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且AB=BDBHAD由得AD面PBHADPB又E，F(xiàn)是BC,PC的中點(diǎn)EFPB由得ADEF又E是BC的中點(diǎn)，DC=DBD

10、EBC ,ACBCADDE由得AD面DEF證畢。（2）解：PHAD，BHAD二面角P-AD-B的平面角為PHB，設(shè)為角H則有PB2=PH2+BH2-2PH·BH·cosHPB=2PH=BH=代入解得：cosH=即二面角P-AD-B的平面角的余弦值為。19（本小題滿分14分）設(shè)圓C與兩圓，中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切（1） 求C的圓心軌跡L的方程；（2） 已知點(diǎn)M（，），F(xiàn)（，0），且P為L(zhǎng)上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)解：(1)設(shè)圓C的半徑為r，圓心為K(x,y)，圓心H(-,0),圓心為T(,0)則依題意有|KH|=r+2,|KT|=r-2; 或|KH|=r-2,|KT

11、|=r+2。從而|KH|-|KT|=4。即到兩定之間的距離之差為常數(shù)。即L的軌跡為雙曲線。設(shè)c2=5a=2,所以a2=4。b2=c2-a2=5-4=1即L的軌跡方程為：(2)如圖所示：連結(jié)MF，且延長(zhǎng)MF交雙曲線于點(diǎn)F的另則的點(diǎn)P。則此時(shí)=|MF|值最大。因?yàn)?，如若不然，在其它，如點(diǎn)P，則根據(jù)三角形的性質(zhì)則<|MF|。|MF|=。即|的最大值為2。過M，P兩點(diǎn)的直線方程為：化簡(jiǎn)得：聯(lián)立方程： 解得：即取得最大值時(shí)的P的坐標(biāo)為(,)。 20（本小題滿分14分） 設(shè)b>0,數(shù)列滿足,（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 證明：對(duì)于一切正整數(shù),（1）解：，a1=b>0。an>0整

12、理得設(shè)cn=,則有：cn=設(shè)cn+t= 即cn= 令。解得t=設(shè)dn=cn+即dn以公比為的等比數(shù)列。d1=C1+=所以dn=所以an=(2)證明：以上式式相加，并整理可得：證畢。21（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系上，給定拋物線，實(shí)數(shù)滿足，是方程的兩根，記（1） 過點(diǎn)作L的切線交軸于點(diǎn)B證明：對(duì)線段AB上的任一點(diǎn)，有；（2） 設(shè)是定點(diǎn)，其中滿足過作L的兩條切線，切點(diǎn)分別為，與軸分別交于線段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X，證明：；（3） 設(shè)，當(dāng)點(diǎn)取遍D時(shí)，求的最小值（記為）和最大值（記為）（1）證明：對(duì)拋物線L的方程求導(dǎo)：。又點(diǎn)在拋物線上。故過點(diǎn)A的切線斜率為：P0。即此切線方程為：。則其與

13、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)。對(duì)AB上的任一點(diǎn)，1）若p0<0，則p0<p<0；2）p0>0，則0<p<p0。實(shí)數(shù)滿足，是方程的兩根為：同理易知，若p0<0，即p0<p<0|x1|<|x2|=若p0>0，即0<p<p0|x2|<|x1|=。又因?yàn)椋杭矗簩?duì)線段AB上的任一點(diǎn)，有。證畢。（2）由(1)易知F(0,),F(0,)<一>由（1）知過點(diǎn)(,)，和點(diǎn)(,)L的方程分別為l1：l2：又點(diǎn)M(a,b)是兩條切線的交點(diǎn)。于是有整理得： 又因?yàn)?a2-4b>0。 所以，p1,p2是一元二次方程x2-2

14、ax+4b=0的兩根。解得x1,2=若p1<0，則直線的斜率，又M(a,b)X所以p1<a<0。故 則顯然|>|若p1>0，則直線的斜率，又M(a,b)X所以0<a<p1。故 則顯然|>|綜上所述，若M(a,b)X|>|<二>若|>|若a<0，則，故有p1<a<0,即M(a,b)X若a>0，則，故有0<a<p1,即M(a,b)X綜上所述|>|M(a,b)X綜合<一>、<二>得M(a,b)X|>|<三>由<一>易知,即,是方程：x2-ax+b=0的兩實(shí)根。又知M(a,b)X|>|。證畢。（3）由解得0<x<2，-1<y<1。即0<p<2，-