高考數(shù)學(xué)合情推理與演繹推理

1、推理與證明第一節(jié)合情推理與演繹推理1、歸納推理把從個別事實(shí)中推演出一般性結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。歸納推理的一般步驟：通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì) 從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題（猜想）證明2、類比推理由兩個（兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們在其他方面也相似或相同；或其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比） 類比推理是由特殊到特殊的推理類比推理的一般步驟：找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個

2、猜想；檢驗(yàn)猜想。3、演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理演繹推理是由一般到特殊的推理；“三段論”是演繹推理的一般模式，包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情況；結(jié)論-據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷題型一 用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律例1： 通過觀察下列等式，猜想出一個一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假。；.解析：猜想：證明：左邊=右邊注；注意觀察四個式子的共同特征或規(guī)律（1）結(jié)構(gòu)的一致性,（2）觀察角的“共性”（1）先猜后證是一種常見題型（2）歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型”，二是“遞推型”，三是“循環(huán)型”（周期性）題型二 用類比推理猜想新的

3、命題例2：已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是_.解析：原問題的解法為等面積法，即，類比問題的解法應(yīng)為等體積法，即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高注：（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；圓錐曲線間的類比等（3）在平面和空間的類比中，三角形對應(yīng)三棱錐（即四面體），長度對應(yīng)面積；面積對應(yīng)體積；點(diǎn)對應(yīng)線；線對應(yīng)面；圓對應(yīng)球；梯形對應(yīng)棱臺等。（4）找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊（直線）垂直對應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對應(yīng)面積相等題型三利用“三段論”進(jìn)行推理例3 某校對文明班

4、的評選設(shè)計(jì)了五個方面的多元評價指標(biāo)，并通過經(jīng)驗(yàn)公式樣來計(jì)算各班的綜合得分，S的值越高則評價效果越好，若某班在自測過程中各項(xiàng)指標(biāo)顯示出，則下階段要把其中一個指標(biāo)的值增加1個單位，而使得S的值增加最多，那么該指標(biāo)應(yīng)為（填入中的某個字母）解析：因都為正數(shù)，故分子越大或分母越小時， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小時，S的值增長越多，所以c增大1個單位會使得S的值增加最多注：從分式的性質(zhì)中尋找S值的變化規(guī)律；此題的大前提是隱含的，需要經(jīng)過思考才能得到1.下列說法正確的是 （ ） A.類比推理是由特殊到一般的推理 B.演繹推理是特殊到一般的推理C.歸納推理是個別到一般的推理 D.合情推理可

5、以作為證明的步驟答案： C2. 命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是（ ）A使用了歸納推理B使用了類比推理C使用了“三段論”，但大前提錯誤D使用了“三段論”，但小前提錯誤答案：C填空題3.已知，考察下列式子：；. 我們可以歸納出，對也成立的類似不等式為答案：4.現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個平面內(nèi)有兩個邊長都是的正方形，其中一個的某頂點(diǎn)在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為類比到空間，有兩個棱長均為的正方體，其中一個的某頂點(diǎn)在另一個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為解析 （見高三復(fù)習(xí) 步步高）解法的類比（特殊

6、化）易得兩個正方體重疊部分的體積為5.已知的三邊長為，內(nèi)切圓半徑為（用），則；類比這一結(jié)論有：若三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則三棱錐體積 解析 6.在平面直角坐標(biāo)系中，直線一般方程為，圓心在的圓的一般方程為；則類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一般方程為_,球心在的球的一般方程為_.答案；7.（1）已知等差數(shù)列的定義為:在一個數(shù)列中，從第二項(xiàng)起,如果每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義：；（2）已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為，那么的值為_答案：（1）在一個數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個常數(shù)，那么

7、這個數(shù)叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和；（2）；8. 對大于或等于的自然數(shù)的次方冪有如下分解方式：根據(jù)上述分解規(guī)律，則,若的分解中最小的數(shù)是73，則的值為答案：解答題9.（1）已知等差數(shù)列，（），求證：仍為等差數(shù)列；（2）已知等比數(shù)列，（），類比上述性質(zhì)，寫出一個真命題并加以證明 解析（1），為等差數(shù)列為常數(shù)，所以仍為等差數(shù)列；（2）類比命題：若為等比數(shù)列，（），則為等比數(shù)列證明：，為常數(shù)，為等比數(shù)列10將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M：函數(shù)，對任意均滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。（1）若定義在(0，)上的函數(shù)M，試比較與大小.（2）設(shè)函數(shù)g(x)x2，求證：g(x)M.解析：(1)對于，

8、令得<(2) ,所以g(x)M2、直接證明與間接證明三種證明方法的定義與步驟：1. 綜合法 是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法，它是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法。2. 分析法 是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）為止的證明方法。3. 反證法 假設(shè)原命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,由此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的方法叫反證法；它是一種間接的證明方法.反證法法證明一個命題的一般步

9、驟：(1) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； (2) 根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推理中導(dǎo)出矛盾為止(3) 斷言假設(shè)不成立(4) 肯定原命題的結(jié)論成立題型一：用綜合法證明數(shù)學(xué)命題例1 ：對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果同時滿足以下三條：對任意的，總有；若，都有成立，則稱函數(shù)為理想函數(shù)(1) 若函數(shù)為理想函數(shù)，求的值；(2)判斷函數(shù)（）是否為理想函數(shù)，并予以證明；解析：（1）取可得 又由條件，故 （2）顯然在0，1滿足條件； 也滿足條件若，則 ，即滿足條件， 故理想函數(shù) 注：緊扣定義，證明函數(shù)（）滿足三個條件題型二：用分析法證明數(shù)學(xué)命題例2：已知：，求證：.證明： 要證 ，去分母后需要證：（1a）+4a9a（1a），移

10、項(xiàng)合并同類項(xiàng)，即需要證：96a+10，即要證；（1）而（1）式顯然成立， 原不等式成立。題型三：用反證法證明數(shù)學(xué)命題或判斷命題的真假例3 ：已知，證明方程沒有負(fù)數(shù)根解析：假設(shè)是的負(fù)數(shù)根，則且且，解得，這與矛盾，故方程沒有負(fù)數(shù)根注：（1）凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題從正面突破往往比較困難，適宜用反證法。即 “正難則反”；（2）反證法步驟：假設(shè)結(jié)論不成立推出矛盾假設(shè)不成立。選擇題1.用反證法證明命題：若整系數(shù)方程有有理根，那么中至少有一個是偶數(shù)，下列假設(shè)中正確的是（）.A、假設(shè)都是偶數(shù)B、假設(shè)都不是偶數(shù)C、假設(shè)中至多有一個偶數(shù)D、假設(shè)中至多有兩個偶數(shù)ABCxyPOFE答案；B2若三角形

11、能剖分為兩個與自己相似的三角形，那么這個三角形一定是（）A.銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 不能確定答案： B3.已知，則使得都成立的取值范圍是（ B ）A.（0，） B（0，）C. （0，） D. （0，）提示；x（0，），由得出結(jié)論。填空題4若，則=_.答案：5005. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形的頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在線段AO上的一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），這里均為非零實(shí)數(shù)，設(shè)直線分別與邊交于點(diǎn)，某同學(xué)已正確求得直線的方程為，請你完成直線的方程： ( )。答案：1234567891011121314156將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數(shù)為答案：。解答題7. 若且，求證：解析要證，只需證即，因，只需證即，設(shè)，則成立，從而成立8.在銳角三角形中,求證:解析為銳角三角形，在上是增函數(shù)，同理可得，9. 設(shè)為非零向量，且不平行，求證，不平行解析假設(shè)，則，不平行，因方程組無解，故假設(shè)不成立，即原命題成立10. 已知a、b、c成等差數(shù)列且公差，求證：、不可能成等差數(shù)列解析 a、b、c成等差數(shù)列，假設(shè)、成等差數(shù)列，則