高考數(shù)學壓軸題教師版文

1、2018年高考數(shù)學30道壓軸題訓練(教師版)1橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點（）的準線與x軸相交于點，過點的直線與橢圓相交于、兩點。 （1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線的方程；1（1）解：由題意，可設橢圓的方程為。 由已知得解得所以橢圓的方程為，離心率。（2）解：由（1）可得A（3，0）。設直線PQ的方程為。由方程組得，依題意，得。設，則， 。 由直線PQ的方程得。于是。 ，。 由得，從而。所以直線PQ的方程為或2已知函數(shù)對任意實數(shù)x都有，且當時，。（1） 時，求的表達式。（2） 證明是偶函數(shù)。（3） 試問方程是否有實數(shù)根？若有實數(shù)根，指出實數(shù)根的個數(shù)；若沒有實數(shù)根，請

2、說明理由。2f(x)= (2kx2k+2, kZ) 略 方程在1，4上有4個實根3如圖，已知點F（0，1），直線L：y=-2，及圓C：。（1） 若動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1，求動點M的軌跡E的方程；（2） 過點F的直線g交軌跡E于G（x1，y1）、H（x2，y2）兩點，求證：x1x2 為定值；（3） 過軌跡E上一點P作圓C的切線，切點為A、B，要使四邊形PACB的面積S最小，求點P的坐標及S的最小值。3x2=4y x1x2=-4 P(±2,1) SMIN=4以橢圓1（a1）短軸一端點為直角頂點，作橢圓內接等腰直角三角形，試判斷并推證能作出多少個符合條件的三角形.4解：因

3、a1，不防設短軸一端點為B（0，1）設BCykx1（k0）則AByx1把BC方程代入橢圓，是（1a2k2）x22a2kx0|BC|，同理|AB|由|AB|BC|，得k3a2k2ka210（k1）k2（1a2）k10k1或k2（1a2）k10當k2（1a2）k10時，（a21）24由0，得1a由0，得a，此時，k1故，由0，即1a時有一解由0即a時有三解 5已知，二次函數(shù)f（x）ax2bxc及一次函數(shù)g（x）bx，其中a、b、cR，abc，abc0.（）求證：f（x）及g（x）兩函數(shù)圖象相交于相異兩點；（）設f（x）、g（x）兩圖象交于A、B兩點，當AB線段在x軸上射影為A1B1時，試求|A1B

4、1|的取值范圍.5 解：依題意，知a、b0abc且abc0a0且c0 （）令f（x）g（x），得ax22bxc0.（*）4（b2ac）a0，c0，ac0，0f（x）、g（x）相交于相異兩點 （）設x1、x2為交點A、B之橫坐標則|A1B1|2|x1x2|2，由方程（*），知|A1B1|2，而a0，4（）21（3，12）|A1B1|（，2） 6 已知過函數(shù)f（x）=的圖象上一點B（1，b）的切線的斜率為3。（1） 求a、b的值；（2） 求A的取值范圍，使不等式f（x）A1987對于x1，4恒成立；（3） 令。是否存在一個實數(shù)t，使得當時，g（x）有最大值1？ 6、解：（1）=依題意得k=3+2a

5、=3， a=3，把B（1，b）代入得b=a=3，b=1（2）令=3x26x=0得x=0或x=2f（0）=1，f（2）=233×221=3f（1）=3，f（4）=17x1，4，3f（x）17要使f（x）A1987對于x1，4恒成立，則f（x）的最大值17A1987A2004。（1） 已知g（x）=0x1，33x20， 當t3時，t3x20，g（x）在上為增函數(shù)，g（x）的最大值g（1）=t1=1,得t=2（不合題意,舍去） 當0t3時,令=0,得x=列表如下:x（0,）0g（x）極大值g（x）在x=處取最大值t=1t=3x=1當t0時，0，g（x）在上為減函數(shù)，g（x）在上為增函數(shù)，存

6、在一個a=，使g（x）在上有最大值1。7 已知兩點M（2，0），N（2，0），動點P在y軸上的射影為H，是2和的等比中項。（1） 求動點P的軌跡方程，并指出方程所表示的曲線；（2） 若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q，求實軸最長的雙曲線C的方程。7、解:（1）設動點的坐標為P（x,y）,則H（0,y）,=（2x,y）=（2x,y）·=（2x,y）·（2x,y）=由題意得PH2=2··即即，所求點P的軌跡為橢圓（2）由已知求得N（2，0）關于直線x+y=1的對稱點E（1，1），則QE=QN雙曲線的C實軸長2a=（當且僅當Q、E、M共線時取

7、“=”），此時，實軸長2a最大為所以，雙曲線C的實半軸長a=又雙曲線C的方程式為8已知數(shù)列an滿足 （1）求數(shù)列bn的通項公式； （2）設數(shù)列bn的前項和為Sn，試比較Sn與的大小，并證明你的結論.8.（1） （2）9已知焦點在軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線對稱（）求雙曲線C的方程；（）設直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，另一直線經過M（-2，0）及AB的中點，求直線在軸上的截距b的取值范圍； （）若Q是雙曲線C上的任一點，為雙曲線C的左，右兩個焦點，從引的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程9解：（）設雙

8、曲線C的漸近線方程為y=kx，則kx-y=0該直線與圓相切，雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x2分故設雙曲線C的方程為又雙曲線C的一個焦點為 ，雙曲線C的方程為4分（）由得令直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f(x)=0在上有兩個不等實根因此 解得又AB中點為，直線l的方程為6分令x=0，得，8分（）若Q在雙曲線的右支上，則延長到T，使，若Q在雙曲線的左支上，則在上取一點T，使根據(jù)雙曲線的定義，所以點T在以為圓心，2為半徑的圓上，即點T的軌跡方程是10分由于點N是線段的中點，設，則，即代入并整理得點N的軌跡方程為12分10對任意都有（）求和的值（）數(shù)列滿足：=+，數(shù)列是等差數(shù)列嗎？

9、請給予證明；試比較與的大小10 解：（）因為所以2分令，得，即4分（）又5分兩式相加所以，7分又故數(shù)列是等差數(shù)列9分（）10分12分所以14分11如圖，設OA、OB是過拋物線y22px頂點O的兩條弦，且0，求以OA、OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡.11設直線OA的斜率為k，顯然k存在且不等于0則OA的方程為ykx由解得A()4分又由，知OAOB，所以OB的方程為yx由解得B(2pk2，2pk)4分從而OA的中點為A'()，OB的中點為B'(pk2，pk)6分所以，以OA、OB為直徑的圓的方程分別為x2y20 x2y22pk2x2pky0 10分P(x，y)是異于O點的兩圓

10、交點，所以x0，y0由并化簡得y(k)x將代入，并化簡得x(k21)2p由消去k，有x2y22px0點P的軌跡為以(p，0)為圓心，p為半徑的圓(除去原點).13分12.知函數(shù)f(x)log3(x22mx2m2)的定義域為R(1)求實數(shù)m的取值集合M；(2)求證：對mM所確定的所有函數(shù)f(x)中，其函數(shù)值最小的一個是2，并求使函數(shù)值等于2的m的值和x的值.12(1)由題意，有x22mx2m20對任意的xR恒成立所以4m24(2m2)0即m200由于分子恒大于0，只需m230即可所以m或mMm|m或m4分(2)x22mx2m2(xm)2m2m2當且僅當xm時等號成立.所以，題設對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的最

11、小值為m27分又因為以3為底的對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)f(x)log3(m2)當且僅當xm(mM)時，f(x)有最小值為log3(m2)10分又當mM時，m230m2m233239當且僅當m23，即m±時，log3(m2)有最小值log3(6)log392當xm±時，其函數(shù)有最小值2.13.設關于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為函數(shù)f(x)= (1) 求f(的值。 （2）證明：f(x)在上是增函數(shù)。 （3）對任意正數(shù)x1、x2,求證：13解析：（1）由根與系數(shù)的關系得， 同法得f( (2).證明：f/(x)=而當x時， 2x2-tx-2=2(x-故當x時, f/(x)0,函數(shù)f

12、(x)在上是增函數(shù)。 （3）。證明：, 同理. 又f(兩式相加得: 即 而由（1），f( 且f(,.14已知數(shù)列an各項均為正數(shù)，Sn為其前n項的和.對于任意的，都有.I、求數(shù)列的通項公式.II、若對于任意的恒成立，求實數(shù)的最大值.14(I)當時,又an各項均為正數(shù),.數(shù)列是等差數(shù)列,(II),若對于任意的恒成立,則.令,.當時,.又，.的最大值是.15.已知點H（3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足·=0，=，（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；（2）過點T（1，0）作直線l與軌跡C交于A、B兩點，若在x軸上存在一點E（x0,0），使得AB

13、E為等邊三角形，求x0的值.15.（1）設點M的坐標為(x,y)，由=,得P(0,),Q(,0),2分由·=0，得（3，）(x,)=0,又得y2=4x,5分由點Q在x軸的正半軸上，得x0,所以，動點M的軌跡C是以（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線，除去原點.（2）設直線l:y=k(x+1),其中k0,代入y2=4x,得k2x2+2(k22)x+k2=0,7分設A（x1,y1）,B(x2,y2),則x1,x2是方程的兩個實根，x1+x2=,x1x2=1,所以，線段AB的中點坐標為(,),8分線段AB的垂直平分線方程為y=(x),9分令y=0,x0=+1,所以點E的坐標為(+1

14、,0)因為ABE為正三角形，所以點E（+1,0）到直線AB的距離等于AB,而AB=·,10分所以，=,11分解得k=±,得x0=.12分16.設f1(x)=,定義fn+1 (x)=f1fn(x),an=,其中nN*.(1) 求數(shù)列an的通項公式；16.（1）f1(0)=2,a1=,fn+1(0)=f1fn(0)=,an+1=an,4分數(shù)列an是首項為,公比為的等比數(shù)列，an=()n1.6分17 已知=（x,0），=（1，y），（+）（）（I） 求點（x，y）的軌跡C的方程；（II） 若直線L：y=kx+m(m0)與曲線C交于A、B兩點，D（0，1），且有|AD|=|BD|，

15、試求m的取值范圍17解（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y),=（x, 0）(1,y)= (x, y).(+)(),(+)·()=0, (x+)( x)+y·(y)=0,故P點的軌跡方程為（分）（II）考慮方程組 消去y，得（13k2）x2-6kmx-3m2-3=0(*)顯然1-3k20,=(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0.設x1,x2為方程*的兩根，則x1+x2=，x0=, y0=kx0+m=,故AB中點M的坐標為（，）,線段AB的垂直平分線方程為y=（）,將D（0，1）坐標代入，化簡得 4m=3k21,故m、

16、k滿足消去k2得 m24m>0, 解得 m<0或m>4.又4m=3k21>1, 故m(,0)(4,+)（分）18已知函數(shù)對任意實數(shù)p、q都滿足（1）當時，求的表達式；（2）設求證：（3）設試比較與6的大小18(1)解由已知得(4分)(2)證明由(1)可知設則兩式相減得+ （9分）（3）解由（1）可知則 =故有 =6 （分）19已知函數(shù)若數(shù)列：，成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項； （2）若的前n項和為Sn，求； （3）若，對任意,求實數(shù)t的取值范圍.19（1） （2） （3）為遞增數(shù)列 中最小項為20已知OFQ的面積為 （1）設正切值的取值范圍； （2）設以O為中心，F(xiàn)為

17、焦點的雙曲線經過點Q（如圖），當取得最小值時，求此雙曲線的方程. （3）設F1為（2）中所求雙曲線的左焦點，若A、B分別為此雙曲線漸近線l1、l2上的動點，且2|AB|=5|F1F|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.20（1） （2）設所求的雙曲線方程為由當且僅當c=4時，最小，此時Q的坐標為所求方程為（3）設的方程為的方程為 則有 設由得，代入得的軌跡為焦點在y軸上的橢圓.21、已知函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，正數(shù)數(shù)列滿足 求的通項公式；若的前項和為，求.21、解：（1）為偶函數(shù)為奇函數(shù)是以為首項，公比為的等比數(shù)列. （2）22直角梯形ABCD中DAB90°，ADB

18、C，AB2，AD，BC橢圓C以A、B為焦點且經過點D（1）建立適當坐標系，求橢圓C的方程；（2）若點E滿足，問是否存在不平行AB的直線l與橢圓C交于M、N兩點且，若存在，求出直線l與AB夾角的范圍，若不存在，說明理由22、解析：（1）如圖，以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸建立直角坐標系，A（-1，0），B（1，0）設橢圓方程為：令橢圓C的方程是：（2），lAB時不符，設l：ykxm（k0）由M、N存在D設M（，），N（，），MN的中點F（，），且l與AB的夾角的范圍是，23設函數(shù) （1）求證：對一切為定值； （2）記求數(shù)列的通項公式及前n項和.23、（1）24.已知函數(shù)是定義在R上的偶函

19、數(shù).當X0時,=.(I) 求當X<0時,的解析式;(II) 試確定函數(shù)= (X0)在的單調性，并證明你的結論.(III) 若且，證明：|<2.24、（1）當X<0時, （3分）（2）函數(shù)= (X0)在是增函數(shù)；（證明略） （9分）（3）因為函數(shù)= (X0)在是增函數(shù)，由x得；又因為，所以，所以；因為，所以，且，即，所以，-2f(x1) f(x2)2即|<2. （14分）25.已知拋物線的準線與軸交于點，過作直線與拋物線交于A、B兩點，若線段AB的垂直平分線與X軸交于D(,0)求的取值范圍。ABD能否是正三角形？若能求出的值，若不能，說明理由。25、解：由題意易得M(-1

20、,0)設過點M的直線方程為代入得（）再設（，），（，）則x2=，·x2=yy2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x2)+2k=的中點坐標為（）那么線段的垂直平分線方程為，令得，即又方程（）中若ABD是正三角形，則需點D到AB的距離等于點到AB的距離d=據(jù)得：，滿足ABD可以為正，此時26、已知ABCD，A（-2，0），B（2，0），且AD=2求ABCD對角線交點E的軌跡方程。過A作直線交以A、B為焦點的橢圓于M、N兩點，且MN=，MN的中點到Y軸的距離為，求橢圓的方程。與E點軌跡相切的直線l交橢圓于P、Q兩點，求PQ的最大值及此時l的方程。YD C EA O B X26、解：設E

21、（x，y），D（x0，y0）ABCD是平行四邊形，（4，0）+（x0+2，y0）=2（x+2，y）（x0+6，y0）=(2x+4，2y)又即：ABCD對角線交點E的軌跡方程為設過A的直線方程為以A、B為焦點的橢圓的焦距2C=4，則C=2設橢圓方程為，即（*）將代入（*）得即設M（x1，y1），N（x2，y2）則MN中點到Y軸的距離為，且MN過點A，而點A在Y軸的左側，MN中點也在Y軸的左側。，即，所求橢圓方程為由可知點E的軌跡是圓設是圓上的任一點，則過點的切線方程是當時，代入橢圓方程得：，又=令則，當t=15時，取最大值為15 ，的最大值為。此時，直線l的方程為當時，容易求得故：所求的最大值為，此時l的方程為27已知橢圓，直線l過點A（a，0）和點B（a，ta） （t0）交橢圓于M.直線MO交橢