一元二次不等式的解法專題

1、一元二次不等式及其解法目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型；2掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題。3培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，培養(yǎng)分類討論的思想方法，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力。重點(diǎn)：從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型；熟練掌握一元二次不等式的解法.難點(diǎn)：理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集的關(guān)系，設(shè)計(jì)求解一元二次不等式的程序框圖。知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：一元二次不等式的定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式。比如：.任意的一元二次不等式，總可以化為一般形式：或.知識(shí)點(diǎn)二：一般的一元二次不等式的解法一元二次不

2、等式或的解集可以聯(lián)系二次函數(shù)的圖象，圖象在軸上方部分對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)值的集合為不等式的解集，圖象在軸下方部分對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)值的集合為不等式的解集.設(shè)一元二次方程的兩根為且，則相應(yīng)的不等式的解集的各種情況如下表：二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根注意：（1）一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn)的取值，是拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集。知識(shí)點(diǎn)三：解一元二次不等式的步驟（1）先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系

3、數(shù)化為正數(shù)； （2）寫出相應(yīng)的方程，計(jì)算判別式： 時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）； 時(shí)，求根； 時(shí)，方程無(wú)解 （3）根據(jù)不等式，寫出解集.知識(shí)點(diǎn)四：用程序框圖表示求解一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的過(guò)程規(guī)律方法指導(dǎo)1解一元二次不等式首先要看二次項(xiàng)系數(shù)a是否為正；若為負(fù)，則將其變?yōu)檎龜?shù)；2若相應(yīng)方程有實(shí)數(shù)根，求根時(shí)注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法；3寫不等式的解集時(shí)首先應(yīng)判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應(yīng)分類討論；4根據(jù)不等式的解集的端點(diǎn)恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理，找到不等 式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系；5若所給不等式最高項(xiàng)系數(shù)含有字母，還需要討論最高項(xiàng)的

4、系數(shù)經(jīng)典例題透析類型一：解一元二次不等式1解下列一元二次不等式（1）； （2）； （3）思路點(diǎn)撥：轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)，數(shù)形結(jié)合解決，或利用符號(hào)法則解答.解析：（1）方法一： 因?yàn)?所以方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為：， 函數(shù)的簡(jiǎn)圖為： 因而不等式的解集是. 方法二： 或 解得 或 ，即或. 因而不等式的解集是.（2）方法一： 因?yàn)椋?方程的解為. 函數(shù)的簡(jiǎn)圖為： 所以，原不等式的解集是 方法二： （當(dāng)時(shí)，） 所以原不等式的解集是（3）方法一： 原不等式整理得. 因?yàn)椋匠虩o(wú)實(shí)數(shù)解， 函數(shù)的簡(jiǎn)圖為： 所以不等式的解集是. 所以原不等式的解集是. 方法二： 原不等式的解集是.總結(jié)升華：1. 初學(xué)二次不等式的解法

5、應(yīng)盡量結(jié)合二次函數(shù)圖象來(lái)解決，培養(yǎng)并提高數(shù)形結(jié)合的分析能力；2. 當(dāng)時(shí)，用配方法，結(jié)合符號(hào)法則解答比較簡(jiǎn)潔（如第2、3小題）；當(dāng)且是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，利用因式分解和符號(hào)法則比較快捷，（如第1小題）.3. 當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)小于0時(shí)，一般都轉(zhuǎn)化為大于0后，再解答.舉一反三：【變式1】解下列不等式(1) ；(2) (3) ； (4) .【答案】（1）方法一： 因?yàn)?方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為：， 函數(shù)的簡(jiǎn)圖為： 因而不等式的解集是：. 方法二： 原不等式等價(jià)于, 原不等式的解集是：.（2）整理，原式可化為, 因?yàn)? 方程的解， 函數(shù)的簡(jiǎn)圖為： 所以不等式的解集是.（3）方法一： 因?yàn)?方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：，

6、 由函數(shù)的圖象為： 原不等式的的解集是. 方法二： 原不等式等價(jià)于：, 原不等式的的解集是.（4）方法一： 因?yàn)?，方程無(wú)實(shí)數(shù)解， 由函數(shù)的簡(jiǎn)圖為： 原不等式的解集是. 方法二： ， 原不等式解集為.【變式2】解不等式：【答案】原不等式可化為不等式組，即，即，解得原不等式的解集為.類型二：已知一元二次不等式的解集求待定系數(shù)2不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集。思路點(diǎn)撥：由二次不等式的解集為可知：4、5是方程的二根，故由韋達(dá)定理可求出、的值，從而解得. 解析：由題意可知方程的兩根為和由韋達(dá)定理有，化為，即，解得，故不等式的解集為.總結(jié)升華：二次方程的根是二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)的不等式的解集的端

7、點(diǎn).根據(jù)不等式的解集的端點(diǎn)恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理，找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系，這一點(diǎn)是解此類題的關(guān)鍵。舉一反三：【變式1】不等式ax2+bx+120的解集為x|-3x2，則a=_, b=_?！敬鸢浮坑刹坏仁降慕饧癁閤|-3x2知a0，且方程ax2+bx+12=0的兩根為-3，2。由根與系數(shù)關(guān)系得解得a=-2, b=-2。【變式2】已知的解為,試求、,并解不等式.【答案】由韋達(dá)定理有：，,.代入不等式得，即，解得，故不等式的解集為：.【變式3】已知關(guān)于的不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集.【答案】由韋達(dá)定理有：，解得, 代入不等式得，即，解得或.的解集為：.類型三：二

8、次項(xiàng)系數(shù)含有字母的不等式恒成立恒不成立問(wèn)題3已知關(guān)于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。思路點(diǎn)撥：不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個(gè)問(wèn)題還需要討論二次項(xiàng)的系數(shù)。解析：(1)當(dāng)m2+4m-5=0時(shí)，m=1或m=-5 若m=1，則不等式化為30, 對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，符合題意。 若m=-5，則不等式為24x+30，不滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，所以m=-5舍去。(2)當(dāng)m2+4m-50即 m1且m-5時(shí)， 由此一元二次不等式的解集為R知，拋物線y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3開口向上，且與x軸無(wú)交點(diǎn)， 所以， 即

9、， 1m19。 綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m|1m19?？偨Y(jié)升華：情況(1)是容易忽略的，所以當(dāng)我們遇到二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，一般需討論。舉一反三：【變式1】 若關(guān)于的不等式的解集為空集，求的取值范圍.【答案】關(guān)于的不等式的解集為空集 即的解集為R 當(dāng)時(shí)，原不等式為：，即，不符合題意，舍去. 當(dāng)時(shí)，原不等式為一元二次不等式，只需且， 即，解得， 綜上，的取值范圍為：.【變式2】若關(guān)于的不等式的解為一切實(shí)數(shù)，求的取值范圍.【答案】當(dāng)時(shí)，原不等式為：，即，不符合題意，舍去. 當(dāng)時(shí)，原不等式為一元二次不等式，只需且， 即，解得， 綜上，的取值范圍為：.【變式3】若關(guān)于的不等式的解集為非空集，求的取

10、值范圍.【答案】當(dāng)時(shí)，原不等式為：，即，符合題意. 當(dāng)時(shí)，原不等式為一元二次不等式，顯然也符合題意 當(dāng)時(shí)，只需， 即，解得， 綜上，的取值范圍為：.類型四：含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法4解下列關(guān)于x的不等式（1）x2-2ax-a2+1； （2）x2-ax+10； （3）x2-(a+1)x+a0； 解析：(1) 原不等式的解集為。(2) =a2-4當(dāng)0，即a2或a-2時(shí)，原不等式的解集為當(dāng)=0，即a=2或-2時(shí)，原不等式的解集為。當(dāng)0，即-2a2時(shí)，原不等式的解集為R。(3) (x-1)(x-a)0當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解集為x|1xa當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解集為x|ax1當(dāng)a=1時(shí)，原不等式的

11、解集為?？偨Y(jié)升華：對(duì)含字母的二元一次不等式，一般有這樣幾步：定號(hào)：對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)大于零和小于零分類，確定了二次曲線的開口方向；求根：求相應(yīng)方程的根。當(dāng)無(wú)法判斷判別式與0的關(guān)系時(shí)，要引入討論，分類求解；定解：根據(jù)根的情況寫出不等式的解集；當(dāng)無(wú)法判斷兩根的大小時(shí)，引入討論。舉一反三：【變式1】解關(guān)于x的不等式：【答案】原不等式化為a=1或a=-1時(shí)，解集為；當(dāng)0a1 或a-1時(shí)，解集為：；當(dāng)a1或 -1a0時(shí)，解集為：。【變式2】解關(guān)于的不等式：（）【答案】當(dāng)a0或a1時(shí)，解集為；當(dāng)a=0時(shí)，解集為；當(dāng)0a1時(shí)，解集為；當(dāng)a=1時(shí)，解集為；5解關(guān)于x的不等式：ax2(a+1)x+10。解析：若a=0

12、，原不等式x+10x1；若a0，原不等式或x1；若a0，原不等式，其解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定，故（1）當(dāng)a=1時(shí)，原不等式；（2）當(dāng)a1時(shí)，原不等式；（3）當(dāng)0a1時(shí)，原不等式綜上所述：當(dāng)a0，解集為；當(dāng)a=0時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)0a1時(shí)，解集為；當(dāng)a=1時(shí)，解集為；當(dāng)a1時(shí)，解集為?？偨Y(jié)升華：熟練掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基礎(chǔ)，對(duì)最高項(xiàng)含有字母系數(shù)的不等式，要注意按字母的取值情況進(jìn)行分類討論，分類時(shí)要“不重不漏”。舉一反三：【變式1】解關(guān)于x的不等式：(ax-1)(x-2)0； 【答案】當(dāng)a=0時(shí)，x(-,2. 當(dāng)a0時(shí)，方程(ax-1)(x-2)=0兩根為當(dāng)a0時(shí)，若，

13、即時(shí)，；若， 即時(shí)，xR； 若， 即時(shí)，.當(dāng)a0時(shí)，則有：， ?！咀兪?】解關(guān)于x的不等式：ax22x-10；【答案】當(dāng)a=0時(shí)，.當(dāng)a0時(shí)，=4+4a=4(a+1)， a0時(shí)，則0，.a0時(shí)，若a0，0， 即a-1時(shí)，xR；若a0，=0， 即a=-1時(shí)，xR且x1；若a0，0， 即 -1a0時(shí)， ?！咀兪?】解關(guān)于x的不等式：ax2-x+10【答案】若a=0，原不等式化為-x+10，解集為x|x1；若a0，原不等式為關(guān)于x的一元二次不等式.方程的判別式=1-4a()當(dāng)=1-4a0，即時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故函數(shù)的圖象開口向上，與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，其簡(jiǎn)圖如下：所以，此時(shí)不等式的解集為實(shí)數(shù)集R；()當(dāng)

14、=1-4a=0，即時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根x=2，故函數(shù)的圖象開口向上，與x軸有唯一交點(diǎn)(2，0)，其簡(jiǎn)圖如下：所以，此時(shí)不等式的解集為；()當(dāng)=1-4a0，即時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向上，與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且，其簡(jiǎn)圖如下：所以，此時(shí)不等式的解集為；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)的圖象開口向下，與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且，其簡(jiǎn)圖如下：所以，此時(shí)不等式的解集為；綜上所述：a0時(shí)，原不等式解集為；a=0時(shí)，原不等式解集為；時(shí)，原不等式解集為；時(shí)，原不等式解集為；時(shí)，原不等式解集為實(shí)數(shù)集R學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1不等式x2ax12a20（其中a0）的解集為（ ）A（3a，4a） B（4a

15、，3a） C（3，4） D（2a，6a）2使有意義的x的取值范圍是（ ）A B C D3不等式ax2+5x+c0的解集為，則a，c的值為（ ）Aa=6，c=1 Ba=6，c=1 Ca=1，c=1 Da=1，c=64解不等式得到解集，那么的值等于( )A10 B-10 C14 D-145不等式x2axb0的解集是x|2x3，則bx2ax10的解集是（ ）A B C D6拋物線y=x2+5x5上的點(diǎn)位于直線y=1的上方，則自變量x的取值范圍是_。7如果關(guān)于x的方程x2(m1)x+2m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是_。8解下列不等式(1) 14-4x2x；(2) x2+x+1>0；(3)

16、 2x2+3x+4<0； (4) ；(5) ；(6) ； (7) 9已知不等式ax23x+64的解集為x|x1或xb。（1）求a，b；（2）解不等式ax2(ac+b)x+bc0。10. 不等式mx2+1mx 的解集為實(shí)數(shù)集R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍能力提升：11不等式的解集是全體實(shí)數(shù)，則a的取值范圍是( )A B C D12對(duì)于滿足0p4的實(shí)數(shù)p，使恒成立的x的取值范圍是_.13已知的解集為，則不等式的解集是_.14若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為_.15若使不等式和同時(shí)成立的x的值使關(guān)于x的不等式也成立，則a的取值范圍是_.16若不等式ax2+bx+c0 的解集為x|2x3，則不等式a

17、x2-bx+c0 的解集是_；不等式cx2+bx+a0的解集是_17已知，(1)如果對(duì)一切xR，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)如果對(duì)x-3，1，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18解下列關(guān)于x的不等式 ； 綜合探究：19解關(guān)于x的不等式：.20. 設(shè)集合A=x|x2-2x-80, B=x|x2+2x-30, C=x|x2-3ax+2a20，若C(AB)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍參考答案：基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1B； 2B； 3B； 4D； 5C6； 78答案：（1）原不等式的解集為；（2）原不等式的解集為R；（3）原不等式的解集為；（4）原不等式的解集是；（5）原不等式的解集是；（6）原不等

18、式的解集是；（7）原不等式的解集是.9答案：（1）a1，b=2；（2）當(dāng)c2時(shí)，解集為x|2xc；當(dāng)c2時(shí)，解集為空集；當(dāng)c2時(shí)，解集為x|cx2；10解析：當(dāng)m0時(shí)，不等式即為10，滿足條件當(dāng)m0時(shí)，若不等式的解集為R，則應(yīng)有， 解得0m4綜上，m的取值范圍是m|0m4.能力提升：11C12； 13； 14-1，0 15； 16x|x-3，或x-2；x|17解析：(1)由題意得：=，即0a4；(2)由x-3，1，f(x)0得，有如下兩種情況： 或 綜上所述：.18. 解析：當(dāng)a=0時(shí)，原不等式即為-(x+1)0，解得x-1；當(dāng)a0時(shí)，原不等式為關(guān)于x的一元二次不等式，方程(ax-1)(x+1)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和.()當(dāng)，即，時(shí)，函數(shù)的圖象開口向下，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其簡(jiǎn)圖如下：故不等式的解集為；()當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的圖象開口向下，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，其簡(jiǎn)圖如下：故不等式的解集為空集；()當(dāng)，即，或，若，函數(shù)的圖象開口向下，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其簡(jiǎn)圖如下：故不等式的解集為；若a0，數(shù)的圖象開口向上，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其簡(jiǎn)圖如下：故不等的解集為；綜上所述，當(dāng)a-1時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a=-1時(shí)，不等式的解集為空集；當(dāng)-1a0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a0時(shí)，不等式