構(gòu)造法解二次函數(shù)應(yīng)用題

1、構(gòu)造法解二次函數(shù)應(yīng)用題高良相 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用非常廣泛，近幾年中考題中，有關(guān)拋物線型建筑物的應(yīng)用題頻頻出現(xiàn)，如拋物線型隧道、拱橋、吊橋、大門等，現(xiàn)以北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二章的作業(yè)題為例，評(píng)點(diǎn)這類題目的解題策略。一. 解讀課本作業(yè)題 例：（復(fù)習(xí)題C組第2題）一座拋物線型拱橋如圖1所示，橋下水面寬度是4m時(shí)，拱高是2m。當(dāng)水面下降1m后，水面寬度是多少？（結(jié)果精確到0.1m）圖1 分析：由題意知，水面下降的高度和水面的寬度是兩個(gè)變量，這兩個(gè)變量之間存在著二次函數(shù)關(guān)系。要想求出水面下降1m后水面的寬度，需在圖1中構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為拋物線，求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式。圖1為橫截面示

2、意圖，圖中線段AB即為水面。 解：如圖2，水面的寬度AB=4m，以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系。由拋物線的對(duì)稱性知，拋物線的頂點(diǎn)C在y軸正半軸上。圖2 ，故A（-2，0），B（2，0），C（0，2）。設(shè)，則解得 。當(dāng)水面下降時(shí)，。 這時(shí)，解得 水面寬度為。 解這道題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是要構(gòu)建適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系。平面直角坐標(biāo)系是解函數(shù)題目的重要工具，這一步是構(gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)模式，二是把題設(shè)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式，得到兩個(gè)變量之間的具體關(guān)系，再根據(jù)一個(gè)變量的確定值求出另一個(gè)變量的對(duì)應(yīng)值。該題考查綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題

3、的能力，應(yīng)引起同學(xué)們的重視。二. 解法探究與總結(jié) 由題意可知，構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系的方法不是唯一的。如圖3，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系；如圖4，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系。無論怎樣構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，結(jié)果都是一樣的，但要以計(jì)算方便為出發(fā)點(diǎn)。圖3三. 難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)簡析 同學(xué)們?cè)诮庠擃}時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)。 （1）建立平面直角坐標(biāo)系一定要具體寫出以哪個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)，以哪條直線為x軸（或y軸）。 （2）在平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)要把握兩點(diǎn)：以點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離和點(diǎn)到x軸的距離分別確定點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值和縱坐標(biāo)的絕對(duì)值；以點(diǎn)所在象限確定坐標(biāo)的符號(hào)。 （3）在圖2和圖4中，以AB為x軸，水面與拋

4、物線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，水面下降1m后，水面與拋物線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故。在圖3中，水面在x軸下方，距離x軸2m，水面與拋物線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，水面下降1m后，水面與拋物線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故。y對(duì)應(yīng)的x值就是水面與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。圖4 練一練 1. 如圖5，已知一拋物線型大門，其地面寬度AB=18m，一同學(xué)站在門內(nèi)，在離門腳B點(diǎn)1m遠(yuǎn)的D處，垂直于地面立一根1.7m長的木桿，其頂端恰好頂在拋物線型門上C處，根據(jù)這些條件，請(qǐng)你求出該大門的高h(yuǎn)。（答案：）圖5 2. 如圖6，一單杠高2.2m，兩立柱之間的距離為1.6m，將一根繩子的兩端拴于立柱與橫杠結(jié)合處，繩子自然下垂呈拋物線形狀，一身高0.7m的小孩站在離左邊立柱0.4m處，其頭部剛好觸到繩子，求繩子最低點(diǎn)到地面的距離。（答案：0.2m）圖6年級(jí)初中學(xué)科數(shù)學(xué)版本期數(shù)內(nèi)容標(biāo)題構(gòu)造法解二次函數(shù)應(yīng)用題