歷年高考數(shù)學(xué)真題精選32二面角

1、歷年高考數(shù)學(xué)真題精選（按考點(diǎn)分類）專題32二面角（學(xué)生版）1 . （2019新課標(biāo)II ）如圖，長(zhǎng)方體ABC。-/、gGR的底面ABC。是正方形，點(diǎn)石在棱刈上,BE ± EC.（1）證明：平面Egq；（2）若=求二面角3-EC -G的正弦值2 .（2019新課標(biāo)HI）圖1是由矩形至花3、RtAABC和菱形3EGC組成的一個(gè)平面圖形, 其中AB = 1, BE = BF = 2, NFBC = 6O°.將其沿AB, 8C折起使得與3戶重合，連結(jié)圖1圖2（1）證明：圖2中的A, C, G ,。四點(diǎn)共而，且平而ABC_L平而8CGE;（2）求圖2中的二面角B CG A的大小.3

2、.（2019天津）如圖，AE_L 平面 A5C£>, CF/AE, AD/BC , AD±AB9 AB = AD=,AE = BC = 2.（I ）求證：3尸平面4）£；（II）求直線CE與平而8QE所成角的正弦值；（n【）若二面角上一四一尸的余弦值為i，求線段cf的長(zhǎng).34 .（2019北京）如圖，在四棱錐P-ABC0 中，24,平面 A3CO, A£）±CD, AD/BC.PF iPA = AD = CD = 2, BC = 3. £為PQ的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且二一.PC 3（I ）求證：C£>_L 平面

3、P4O：（II ）求二面角尸一AE - P的余弦值；（IH）設(shè)點(diǎn)G在心上，且上=2.判斷直線AG是否在平而AEP內(nèi)，說明理由.PB 35 .（2019新課標(biāo)I ）如圖，直四棱柱ABC。-44G%的底而是菱形，A41=4，AB = 2 »Za4D = 6O0, E, M，N分別是8C, BB、, AQ 的中點(diǎn).（1）證明：MN平面CQ£；（2）求二面角A-MA,-N的正弦值.6 .（2018新課標(biāo)III）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形A3C。所在的平面與半圓弧CO所在平面垂直，"是上異于C,。的點(diǎn).（1）證明：平面AWL平面8WC：（2）當(dāng)三棱錐M-A3C體積最大時(shí)，求而與

4、而MCO所成二面角的正弦值.7 .（2018新課標(biāo)U ）如圖，在三棱錐尸-ABC中，AB = BC = 2立,PA = PB = PC = AC = A.O為AC的中點(diǎn).（1）證明：PO_L平而ABC:（2）若點(diǎn)M在棱3c上，且二面角M-ai-C為30。，求尸。與平而小M所成角的正弦值.8 . （2017山東）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABC。（及其內(nèi)部）以他邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得到的，G是。尸的中點(diǎn).（I）設(shè)夕是上的一點(diǎn)，且求NC5P的大小:（II ）當(dāng)A3 = 3, AD = 2時(shí)，求二面角七一 AG-C的大小.9 .（2017新課標(biāo)H）如圖，四棱錐尸-ABC。中，側(cè)

5、面功為等邊三角形且垂直于底而ABCD, =”4£> = /43。= 90° , £是夕。的中點(diǎn).2（1）證明：直線CE平面Q4B：（2）點(diǎn)M在棱尸C上，且直線80與底面A3CD所成角為45。，求二面角加一4?一。的余 弦值.10 . （2017新課標(biāo) I ）如圖，在四棱錐P-ABC。中，AB/CD,且NE4P = NC£>P = 90。.（1）證明：平面Q4BJ_平面24。；（2）若 PA = PD = AB = DC, ZAPD = 90°,求二面角 A-P3-C的余弦值.11 .（2017新課標(biāo)II）如圖，四而體A8CD中，AA

6、8C是正三角形，AAC。是直角三角形, ZABD = /CBD, AB = BD.（1）證明：平而ACDL平面A3C：（2）過AC的平而交班）于點(diǎn)E,若平而AEC把四面體458分成體積相等的兩部分，求 二面角O AE C的余弦值.D12.（2016浙江）如圖，在三棱臺(tái)越。-。£戶中，已知平面86五七1.平面43。，幺。5 = 90。，BE = EF = FC = 1, BC = 2, AC = 3,（I）求證：出;，平面AC/7）:（II ）求二面角3 4?一廠的余弦值.13. （2016新課標(biāo)II ）如圖，菱形ABC£的對(duì)角線AC與a）交于點(diǎn)O，AB = 5, AC =

7、6,點(diǎn)、E，F(xiàn)分別在AD，CD上，A£ = CF = -, EF交于BD于點(diǎn)、H ,將一沿即折4到。功的位置，00 =曬.（I ）證明：07/，平面ABC。：（II）求二面角B C的正弦值.14. （2016新課標(biāo)I ）如圖，在以A, B, C,。，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF = 2FD, NAFD = 90。，且二面角。-A廠一七與二面角。一86一下都是60。.（I ）證明平面4"萬，平而“DC；（II）求二面角E 8C A的余弦值.第1頁（共1頁）歷年高考數(shù)學(xué)真題精選（按考點(diǎn)分類）專題32二面角（教師版）1.（2019新課標(biāo)H ）如圖，長(zhǎng)方體A8C

8、D-A4GA的底而ABC。是正方形，點(diǎn)£在棱例上,BE ± EC.（1）證明：BE上平面EBg：（2）若4£ = 4七，求二面角3-EC -q的正弦值.證明：(1)長(zhǎng)方體A3C。-中，3cL平面A84A，.4G_L8£，; BE 工 EC-平面解：(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AE = A£ = 1, ,4£1,平面后同。,/. BEA.EB, , :,AB = >則 E(l, 1, 1) , A(1, 1, 0), g(0, 1, 2), C/0, 0, 2), C(0, 0, 0),r BC

9、77; EB, /. EBi ± 面 EBC ,故取平面EBC的法向量為所=而;= (T, 0, 1),設(shè)平面ECg的法向量萬= (x, y, z),由"CC 0,得 z °取x = i,得” =(1, 1, 0),水在=0x+y + z = o 1/. cos < mji >=,l/nkl/il 2二二面角3- EC - G的正弦值為y .2.（2019新課標(biāo)HD圖1是由矩形4;£B、RtAABC和菱形畫GC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB = 1, BE = BF = 2, NMC = 60°.將其沿 "，BC折起使得BE

10、與3戶重合，連結(jié)DS1圖2（1）證明：圖2中的A, C, G,。四點(diǎn)共而，且平而A8C,平而8CGE：（2）求圖2中的二面角8 CG A的大小.證明：（1）由已知得A0/8E, CG/BE, .AD/CG,：.AD, CG確定一個(gè)平而，A, C, G,。四點(diǎn)共而，由已知得AB±BC,二A3_L而8CGE,ABu平面A8C，二平面A8C_L平而8CGE.解：（2）作EHLBC，垂足為，.,£匚平而以76七，平面3CGEL平而A8C,平面ABC,由己知，菱形3CGE的邊長(zhǎng)為2, ZEBC = 60%： .BH = , EH =曰以為坐標(biāo)原點(diǎn)，布的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所求的

11、空間直角坐標(biāo)系-冷2, 則 A(-1，L 0), C(l, 0，0), G(2, 0，/ ),CG = (1, 0, 73), AC = (2, -1, 0),設(shè)平面ACGD的法向量n = (x , y , z),則廢=+底=0,取7得萬二a -三,AC斤=2x - y = 0又平面8CGE的法向量為沅=(0, 1, 0), .cos<H,zn>=L = In M m 2二而角8 CG A的大小為30。.3.（2019天津）如圖，平面A5C£），CF/AE, AD/BC, ADLAB. AB = AD=.AE = BC = 2.（I ）求證：3/平面4>£

12、:（II ）求直線CE與平而8QE所成角的正弦值；（IH）若二面角石一龍）尸的余弦值為i，求線段CF的長(zhǎng).3E,z軸建立空間直，2).(【)證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以血，而，亞所在直線為工，j 角坐標(biāo)系，可得 40, 0, 0), 8(1, 0, 0), C(l, 2, 0) , 0(0, 1, 0) , E(0,( 設(shè)CF = h(h>6,則 C(l, 2, h).則A月= (L0,0)是平面ADE的法向量，又麗= (0,2,h),可得而通=0又.直線斯仁平面4>£,尸平面4?£；(H)解：依題意，應(yīng)5 = (-11,0), 巫=(-1.0.2), 區(qū)=(一

13、1.一2.2).設(shè)= (x, y, Z)為平面BDE的法向量，則,.吧一+ y = 0,令z = ,得-2,2,1).ilBE = f + 2z = 0*77=CEn 4:.cos < CE,H >=-：= 一一ICEkl/il 94.直線CE與平面3。七所成角的正弦值為-； 9(III)解：設(shè)麗= a,y,z)為平而皮/的法向量，mBD = -x + y = 0 tr“口2則.,取y = l,可得加=(14,-7)，麗BF = 2y +hz = 0hI _ _ I 4 _ 一 1q由題意，I COS V泣方>1= " = 11 .=-,解得=一.I m H n不

14、373xV2+f經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.線段。尸的長(zhǎng)為色.74. （2019北京）如圖，在四棱錐P-ABC。中，24,平而A3CO, AD±CD, AD/BC,PF iPA = AD = CD = 2, BC = 3. E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)、F在PC上,且二一.PC 3（I）求證：CO_L平面240：（II）求二面角尸一- P的余弦值；（山）設(shè)點(diǎn)G在心上，且竺=2 判斷直線AG是否在平面A£廠內(nèi)，說明理由.PB 3證明：（I ）Q4«L平面ABC。，,PA±CD,vAD±CD, PAAD = A,.CD，平面 FAQ.解：（II）以A為原點(diǎn)，在平面AB

15、C。內(nèi)過A作。的平行線為x軸,AO為），軸，心為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，2 24A（0, 0, 0）, E（0, 1, 1）, F（-，一，），3 33尸（0, 0, 2）, 3（2, -1, 0）,2 2 4A£ = （0, 1, 1）,從尸= （£：_）,3 3 3平面AEP的法向量日=（1 , 0，0）,設(shè)平面的法向量而= (x, y, z)，mAE = y + z = 0 224，取x = l,得而=(1, 1, 一1),ffAF = x+ v + z = 0333設(shè)二面角尸-AKp的平面角為e.則8S"磊=2 =多 ，二面角廠一人£一夕的余弦

16、值為由.3(III)直線AG在平面A£P內(nèi)，理由如下:2 2) 屋3)丁點(diǎn)G在08上，且生二.G(士， PB 33-k 42 2/. AG =(,), 33 3平而AEP的法向量加=(1, 1, -1),故直線AG在平面AEP內(nèi).5.(2019新課標(biāo)I )如圖，直四棱柱ABC。-A3C2的底而是菱形，/14=4, AB=2,ZaAD = 6O°, E，M, N分別是8C, BB、，AQ的中點(diǎn).(1)證明：MN/平面3DE；(2)求二面角A-MAj-N的正弦值.第1頁（共1頁）(1)證明：如圖，過 N作 M7_LA£>,則且 AH = ；/L4,，又用3/A4

17、|，M8 = ；A4,，四邊形MW"為平行四邊形，則NM/BH， 由N/7/M/V N為片。中點(diǎn)，得H為A。中點(diǎn)，而石為8C中點(diǎn)，:BEMDH、BE = DH、則四邊形助%歸為平行四邊形，則8H/QE, j.NMUDE,.NW仁平而G。？，。£匚平而4。£, .4小平面£。£: (2)解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于。C得直線為人,軸，以O(shè)C所在直線為)，軸，以O(shè)R所則在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系, -白 2）, M（邪,1, 2）, A（6, -1. 4）,，髀，甌=（祟9）,m.NM =正設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量為m = (x,y, z)，

18、x + " = 0由,取x =得加= （JJ,T,T）,又平而MAA.的一個(gè)法向量為n = (L0.0),：.cos <mji >=叵=晅I m kl ri I 65nfn6.（2018新課標(biāo)HD如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形A3CD所在的平面與半圓弧CO所在平面垂直，M是CQ上異于C,。的點(diǎn).（I）證明：平面AW_L平而8WC:（2）當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，求而與而MCO所成二面角的正弦值.解：（1）證明：在半圓中，DM上MC, /正方形ABC。所在的平面與半圓弧CO所在平而垂直,.AD_L平面DCM,則v ADDM =。，平而"）M,.MCu平而M5C,/.平

19、面AWL平面BMC .（2） .M5C的面積為定值，要使三棱錐M-A3C體積最大，則三棱錐的高最大， 此時(shí)M為圓弧的中點(diǎn)，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如圖.正方形A3C。的邊長(zhǎng)為2,.A(2, -1, 0) , 8(2, 1, 0), M(0, 0, 1),則平而MCO的法向量所= (1, 0, 0), 設(shè)平面MAB的法向量為1=(x, y , z)則 A = (0, 2, 0), AM = (-2 , 1, 1),由 iiAB = 2y = 0 , nAM = -2x + y + z = 0 ,令 x = l,則 y = 0, z = 2, HP n = (1 0, 2),m

20、il -加斤11貝IJ cos v ，n >=,I m 11/71 lx -71 + 4 邪則而MAB與而MCD所成二而角的正弦值sin a = J1 - (3尸7.（2018新課標(biāo)U ）如圖，在三棱錐產(chǎn)一 ABC中，AB = BC = 2曰 PA = PB = PC = AC = 4,O為AC的中點(diǎn).（1）證明：尸O_L平而A8C:（2）若點(diǎn)M在棱3c上，且二面角M-Q4-C為30。，求PC與平而始所成角的正弦值.(1)證明：連接80,.AB = BC = 20, O是 AC 的中點(diǎn)，J.BOLAC,且80 = 2,又 PA = PC = PB = AC = 4,J.POLAC, PO

21、 = 20則 PB2 = PO2 + BO1 ,則尸0,03,/ 08nAe = O ,.PO«L平面ABC：(2)建立以O(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)，OB, OC，OP分別為x, y, z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖: A(0, -2，0),尸(0, 0, 2),。(0, 2, 0), 3(2, 0, 0),BC = (-2 , 2, 0),設(shè)8M=48C； = (-22, 2%, 0), 0<2<1則 AA/ = 8M.-胡=(-2幺，2/1, 0)-(一2，-2, 0) = (2-2尤，2/1 + 2, 0),則平面R4C的法向量為方=(1, 0, 0),設(shè)平而MP4的法向量為萬= (x,

22、 y, z),則方=(0, - 2，-2 我,則豕加=-2y- 2底=0 ,褊疝 = (2 - 22)x + (22 + 2)y = 0令 z = l，則 y = -GM + l)/即鑼，>二面角”一以一。為30。，cos 30° T麗麗( + 1)"即 _/ T _ = £ ,/(£zl.7?)2+1 + 3.1 2V 1 月解得4 = 1或 = 3 (舍)，3則平而MQ4的法向量同=(2jJ, -JT，1),PC = (0 , 2, -2小),PC與平面PAM所成角的正弦值sin 0 =1 cos < PC ,AH莘*且716.71616

23、48.（2017山東）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABC。（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得到的，G是。下的中點(diǎn).（I ）設(shè)夕是CE上的一點(diǎn)，且龐:，求NC8P的大小:（II ）當(dāng)A3 = 3, AD = 2時(shí)，求二面角E-AG-C的大小.第1頁（共1頁）解：(I)AB上BE，且AB, APu平面A3P，AB(AP = A9.3£_L平面"P,又3Pu平面ABF，. .BELBP,又 ZEBC = T20。,因此 NC3P = 30。；(H)解法一、取EC的中點(diǎn)，連接上，GH , CH ,.NEBC = 120°,二四邊形班HC為菱形，:.A

24、E = GE = AC = GC = >j32 +22 =yfH .取AG中點(diǎn)M,連接EM，CM, EC,則 £M_LAG, CM LAG.：.ZEMC為所求二面角的平面角.又 AW=1, /. EM = CM = VlT = 2x/3 .在 MEC 中，由于 NE3C = 120。，由余弦定理得：EC2 =22 +22 -2x2x2xcos1200 = 12,EC = 243,因此AEMC為等邊三角形，故所求的角為60°.解法二、以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以履，BP,胡所在直線為x, y, z軸建立空間直角坐 標(biāo)系.由題意得：A(0, 0, 3), E(2, 0, 0),

25、 G(l, 0 3), C(-l, Q, 0),故亞=(2,0,-3), AG = (L>/3,0) , CG = (2.03).設(shè)m = (x1, x, 4)為平面AEG的一個(gè)法向量，mAE = 0 zn_ ，得4ffiAG = 02x -3z. =0L ，取號(hào)=2,得慶=(3,-/.2)；AG = 0/CG = 0取Zz=-2,得萬=(3, 6,-2).國(guó)+為=0 設(shè)k=（x2,y29z2）為平面ACG的一個(gè)法向量,第1頁（共1頁）.COs<,7M7>=J = iImllnl 2二面角七一 AG C的大小為600.9.（2017新課標(biāo)H）如圖，四棱錐尸-ABC。中，側(cè)面抬

26、。為等邊三角形且垂直于底而ABCD, AB = BC = -AD, ZBAD = ZABC = , E是。的中點(diǎn). 2（1）證明：直線CE平面E4B：（2）點(diǎn)"住棱PC上，且直線80與底面A8CO所成角為45。，求二面角加一4?一。的余弦值.（1）證明：取小的中點(diǎn)b,連接上孑"BF,因?yàn)镋是PO的中點(diǎn),所以 EF，AO, AB = BC = -AD, ZBAD = ZABC = 90° , /. BCH-AD, -222.BCE/是平行四邊形，可得CE/BF , 8/u平而FAB, CE©平而Q4B，.直線C£7/平面RW：（2）解：四棱錐P-

27、ABCD中，側(cè)面小£）為等邊三角形且垂直于底而ABC£，AB = BC = AD9 2NE4D = NA3c = 90°, E 是 PD的中點(diǎn)一取49的中點(diǎn)O, M在底而A8C£上的射影N在OC上，設(shè)AQ = 2,則AB = 3C = 1,OP =日.NPCO = 60。，直線8M與底面ABCO所成角為45。,可得：BN = MN, CN = A4N , BC = , 3可得：1 + LbM=BN2 , BN =史,MN = a 322作 NQJ.A3 于。，連接 M。，AB 上 MN ,B10. （2017新課標(biāo)I ）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，AB

28、/CD,且NBAP = NC£>P = 90。.（1）證明：平面平面上40；（2）若 Q4 = PD = AB = Z）C, ZAPD = 90°,求二面角 A-M-C 的余弦值.（1）證明：YZfi4P = ZCDP = 90°> :.PALAB. PD1CD， AB 11 CD. :.AB±PD.又YPAn尸。=尸，且左u平而Q4£），PQu平面P4O，.A3,平面FAO，又A8u平面Q4B,平而Q4B1.平面PAD ；（2）解：AB"CD, A8 = C0, .四邊形A8CO為平行四邊形，由（1）知平而PAO, .A

29、B±AD,則四邊形ABC。為矩形，在從尸。中，由Q4 = PD, ZAPD = 90°,可得M4。為等腰直角三角形，設(shè) Q4 = AB = 2，則 AO = 2 缶.取"）中點(diǎn)O, BC中點(diǎn)、E,連接PO、OE,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。4、OE. O尸所在直線為X、），、z軸建立空間直角坐標(biāo)系, 則：。（一 JL.0.0）, 8（缶,2n,0）,尸（0, 0, JL）, C（-缶,2。.0）.Pb = （-E0-0G，方=（缶,2«,一缶）， 比=（一2缶,0.0）.設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n = （x,y,z）,n.PB = 0 l?xix + 2a

30、y - >/2az. = 0 加 /日l由一,得 廣，取丫 = 1，得亓= 9,志）.i>BC = 0-2J2ax = 0».,AB«L平面F4£），AOu平面Q4D，AB上PD,又 PD 工 PA, 5）A8 = A,.戶。，平面2旬，則方 為平面Q鉆的一個(gè)法向量，PD = （-尤,0,-五G.-fz 一 PDn-2a小PDn 2xiXy/3 3由圖可知，二而角A-M-C為鈍角，.二面角A-P8-C的余弦值為-正.11.(2017新課標(biāo)HI)如圖，四而體ABC£中，AA8C是正三角形，AAC。是直角三角形, ZABD = NCBD, AB

31、= BD.(1)證明：平而AC。L平面ABC：(2)過AC的平而交班于點(diǎn)E,若平而AEC把四面體ABCO分成體枳相等的兩部分，求 二面角O-AE C的余弦值.（1）證明：如圖所示，取AC的中點(diǎn)O,連接80，OD. .A4BC是等邊三角形，O3_LAC.A4BO與 中，AB = BD = BC, ZABD = /CBD ,：.SABD = CBD. /. AD = CD. .A4CD是直角三角形，AC 是斜邊，/.ZADC = 90°.DO = -AC . 2 .DO2 + BO2 = AB2 = BD2.，NBOD = 90。.：.OBLOD.又。0。4。= 0，平面AC£

32、>. .平面AC。L平面ABC.（2）解：設(shè)點(diǎn)O, 3到平面ACE的距離分別為小，hE.貝l% =" hE BE 平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,戶 C J% _ DE _ T ，s、c % BE.點(diǎn)七是8。的中點(diǎn).建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨取回=2.則。(0, 0, 0), A(l, 0, 0) , C(-l, 0, 0), 0(0, 0, 1) , 5(0, G 0)，E(0立).2 2.- JT 1,AO = (-1, 0, 1), AE = (-h AC = (-2, 0, 0).2 2-八-x + z = 0. mAD = 0設(shè)平面ADE的法向

33、量為in = （x , y ,z),則一，即 JJ i ，取MAE = 0-x + y + - z = 022所=（3,瓶3）.同理可得：平面ACE的法向量為斤=（0, 1, -y/3）._ 一而”-2+p.cos < ，n >= -=&Tx2 7第1頁（共1頁）12.（2016浙江）如圖，在三棱臺(tái)加。-。4中，已知平面8（才石，平面43。，幺。5 = 90。，BE = EF = FC = T, BC = 2, AC = 3, (I )求證：6/7,平面AbD：(II )求二面角4一AQ-/的余弦值.(/)證明：延長(zhǎng)/W,應(yīng):，CF相交于點(diǎn)K,如圖所示，. 平而BCFE,平

34、而ABC, ZACB = 90°, .AC_L平面3CK, :.BF±AC.又EFUBC, BE = EF = FC=1, BC = 2 ,，ABCK為等邊三角形，且為CK的中點(diǎn)，則BF 工 CK ,二8尸，平而ACTO.()方法一：過點(diǎn)尸作FQ_LAK,連接8Q,平而ACF£>.,加'_LAK，則AK_L平面BQF ,BQ1AK . .N30F是二面角8-4>一廠的平面角.在RtAACK 中，AC = 3, CK = 2,可得/。=彳二.在RtABQF中，BF = 0 EQ = W上.可得：cosZB0F = .134二面角AD尸的平面角的余

35、弦值為£ .方法二：如圖，延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于點(diǎn)K,則ABCK為等邊三角形， 取3c的中點(diǎn)，則KOL3C,又平面8cFE_L平而ABC，.長(zhǎng)0_1平而明。，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以O(shè)B, OK的方向?yàn)閤, z的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-盯z. 可得：8(1,0, 0), C(-l, 0, 0), K(0,0, >/3), A(-l , -3, 0),耳。當(dāng)，F(xiàn)(一；,0,£).AC = (0t 3, 0),/= (1,3,拘，AB = (2 , 3, 0).設(shè)平面ACK的法向量為初=(% , x，4),平而ABK的法向量為“ = (4,力，4)，由AC./n =

36、 0 -妨3方=0 _.，可得,廣Ak比=o In + 3y +，3馬=oA8” = 0 公_,可得VAK.il = 0cos < m. n >=rnfi _ y/3l/nllzirT2x, +3> =0,取方=（3,-2,小）. x2 + 3y2 + >/3z2 = 013.（2016新課標(biāo)I【）如圖，菱形A8C£的對(duì)角線AC與a）交于點(diǎn)O，A3 = 5，AC = 6,點(diǎn)、E，尸分別在AD，CD上，AE = CF = -, EF交于BD于點(diǎn)、H ,將此£尸沿即折4到的位置，ou = M.（I）證明：。7/，平面45。：（II）求二面角8-。A C的正弦值.AD = DC,又 AE = CF=”, 4/.=，則 EE/AC, EA FC又由ABC。是菱形，得AC_L5£>,則E尸，比)，EF 工 DH ,則 EFLDH .AC = 6,/. AO = 3 ,又 A8 = 5, AO LOB .，OB = 4,AF：.OH = .OD = ,則。 = £X=3, AD/.I Ofy