2019高考數(shù)學(xué)專題十九幾何概型精準(zhǔn)培優(yōu)專練文

1、1 3 7 3 4 培優(yōu)點(diǎn)十九幾何概型 1. 長(zhǎng)度類幾何概型 例 1:已知函數(shù)f x；=x2 -x-2, x 1-5,5 ,在定義域內(nèi)任取一點(diǎn) Xo，使 f Xo 0 的概率 是（ ) A. 10 B. - C. D.- 3 10 5 【答案】 C 【解析】 先解出 f X0 S0 時(shí) X0的取值范圍：x2 x2 乞 0= -1 乞 2 , 從而在數(shù)軸上 1-1,2 1 區(qū)間長(zhǎng)度占 1-5,5 1 區(qū)間長(zhǎng)度的比例即為事件發(fā)生的概率, 3 二 P ，故選 C. 10 2面積類幾何概型 （1 ）圖形類幾何概型 例 2-1 :如圖所示，在矩形 ABCD 中，AB =2a , AD =a，圖中陰影部分

2、是以 AB為直徑的 半圓，現(xiàn)在向矩形 ABCD 內(nèi)隨機(jī)撒 4000 粒豆子（豆子的大小忽略不計(jì)），根據(jù)你所學(xué)的概率 統(tǒng)計(jì)知識(shí)，下列四個(gè)選項(xiàng)中最有可能落在陰影部分內(nèi)的豆子數(shù)目是（ ） 【答案】C 1 2 【解析】 在矩形 ABCD 中，AB =2a , AD =a，面積為 2a2，半圓的面積為 an , 故由幾何概型可知，半圓所占比例為 ：，隨機(jī)撒 4000 粒豆子， 4 落在陰影部分內(nèi)的豆子數(shù)目大約為 3000,故選 C. （2）線性規(guī)劃類幾何概型 例 2-2 :甲乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?6 小時(shí)，假定他們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)地到 達(dá)，試求這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待的概率（

3、 ） A. 1000 B. 2000 D. 4000 C. 3000 2 3 7 3 4 A. B. C. D. 16 4 3 【答案】D 由二視圖可得 AD = DF = CD =a，且AD , DF , CD 兩兩垂直， 1 1 3 可得 =SADF D-AD DF DC 二畀,【答案】D 【解析】設(shè)甲船到達(dá)的時(shí)間為 x，乙船到達(dá)的時(shí)間為 y, 則所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域 門滿足卩蘭蘭24 少蘭 y 蘭 24 這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)域 作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示： 0 x 24 A 滿足 Oy 乞 24， x-y _6 這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須

4、等待的概率為 故選 D. 18 18 7 24 24 一16 3.體積類幾何概型 例 3: 一個(gè)多面體的直觀圖和二視圖所示， M是AB的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體 ADF - BCE 內(nèi)自由飛翔，由它飛入幾何體 F -AMCD 內(nèi)的概率為( ) A. B. C. D. 【解析】所求概率為棱錐 F -AMCD 的體積與棱柱 ADF -BCE 體積的比值. 左視圖 4 、 1 1 3 2 棱錐體積 VF_AMC3DF -SADMC，而 SADCM AD AM CD =4a， 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 、單選題 1如圖，邊長(zhǎng)為 2 的正方形中有一陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū) 2 域內(nèi)的概率為-則

5、陰影區(qū)域的面積約為（ ） 3 2. 某景區(qū)在開放時(shí)間內(nèi)，每個(gè)整點(diǎn)時(shí)會(huì)有一趟觀光車從景區(qū)入口發(fā)車，某人上午到達(dá)景區(qū) 入口，準(zhǔn)備乘坐觀光車，則他等待時(shí)間不多于 10 分鐘的概率為（ ） 【答案】B 【解析】由題意，此人在 50 分到整點(diǎn)之間的 10 分鐘內(nèi)到達(dá)，等待時(shí)間不多于 10 分鐘, 10 1 概率 P =-.故選 B. 60 6 1 2 V/D亍從而 p _ VF _AMCD VADF _BCE 故選 D. A 2 3 B.- 3 【答案】C D.無法計(jì)算 【解析】設(shè)陰影區(qū)域的面積為 s，-， 4 3 8 s .故選 C. 3 A. 1_ 10 B. C. D 3.只螞蟻在邊長(zhǎng)為 4 的正

6、三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則它在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于 2 的區(qū) C 8 4 5 域內(nèi)的概率為（ A. 1 - 6 【答案】A 3 B.- 4 D 【解析】滿足條件的正三角形如圖所示: C. 6 其中正三角形 ABC 的面積 S三角形 3 16=4.3 4 ABC 的頂點(diǎn)A , B , C 的距離都小于 2 的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示, P1 2 一-豊故選 A 43 6 1 5 【解析】由 0 _sin x ，得 0 x，或 x _二, 2 2 2 6 6 2 滿足到則 S 陰二 2 二，則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn) A，B，C 的距離都大于 2 的概率為: 4在區(qū)間 01 1 上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù) y，記

7、P為事件x y 2 _ 的概率，則 3 A. B. 1 C. 4 4 7 【答案】D 【解析】如圖所示，0 乞 x1 , 0 空 y1 表示的平面區(qū)域?yàn)?ABCD , 1 2 2 _ X X 結(jié)合幾何概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值為 c 2 3 3 2，故選 D. P _ _ 1 勺 9 D 平面區(qū)域內(nèi)滿足 2 x y 乞彳的部分為陰影部分的區(qū)域 APQ , 5 在區(qū)間 0,2 1 上隨機(jī)取一個(gè)數(shù), A.- 3 【答B(yǎng).- sin，x 的值介于 1 0 到-之間的概率為（2 2 1 2 C D. 2 3 （2 ） 其中P -，0， Q 8 1 5 二 0 Ex 或 x 乞 2 , 3 3 記

8、 A =sin匸 x 的值介于 0 到-之間, 2 2 1 5 2 則構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度為 3-2-3 為; A. 1 4 【答案】C 【解析】滿足條件的正方形 ABCD，如圖所示: 其中滿足動(dòng)點(diǎn) P 到定點(diǎn) A 的距離 PA ：:1 的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 則正方形的面積 S正=1，陰影部分的面積 S陰=1 二. 4 S陰 n 故動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離 PA ;： 1 的概率 P .故選 C. SE 4 7.已知實(shí)數(shù) x：= 12,30 1,執(zhí)行如圖所示的程序框圖， 則輸出的 x不小于 103 的概率為（ ） 全部結(jié)果的區(qū)域 1-0,2 1 長(zhǎng)度為 2; J , 3 故選 A. 6

9、.點(diǎn)P在邊長(zhǎng)的正方形 ABCD 內(nèi)運(yùn)動(dòng)， 則動(dòng)點(diǎn) P到定點(diǎn)A的距離 PA :：: 1 的概率為 B. 1 2 D. n 9 A. 【答案】B 【解析】設(shè)實(shí)數(shù) x ：二2,30 ,經(jīng)過第一次循環(huán)得到 x =2x1 , n = 2; 經(jīng)過第二次循環(huán)得到 x =2 2x 1 1 , n = 3 ； 經(jīng)過第三次循環(huán)得到 2 2 2x 1 1 1 , n=4，此時(shí)輸出 x , 輸出的值為 8x 7， 令 8x 7 _103 得 x _12， 由幾何概型概率得到輸出的 x 不小于 103 的概率為 p=3012=9，故選 B. 302 14 &九章算術(shù)中有如下問題：“今有勾五步，股一二步，問勾中容

10、圓，徑幾何？ ”其大 向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子, 則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是（ B. 意：5 步和 12 步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？ ”現(xiàn)若 A. B. 15 3 二 C. 2 二 D. 3 二 【答案】C 【解析】直角三角形的斜邊長(zhǎng)為 52 122 =13 , 設(shè)內(nèi)切圓的半徑為 r，則 5-r，12-r =13，解得r =2 ,內(nèi)切圓的面積為 二 r2 =4二， 10 4 二 2 . P =1 1 豆子落在其內(nèi)切圓外部的概率是 P 1 1 u “ 1 15，故選 C. 5 12 2 9把不超過實(shí)數(shù) x的最大整數(shù)記為 lx，則函數(shù) f x = 1 稱作取整函數(shù)，又叫高斯函數(shù), 在 14

11、 1 上任取 x，則 lx 2x的概率為（ ）11 統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與 1 則竺二一丄. 120 4 2 11.為了節(jié)省材料, 構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì) x, y 的個(gè)數(shù)為 m =34， 47 ，故選 B. 15 某市下水道井蓋的形狀如圖 1 所示，其外圍是由以正三角形的頂點(diǎn)為圓 心，正三角形的邊長(zhǎng)為半徑的三段圓弧組成的曲邊三角形， 這個(gè)曲邊三角形稱作“菜洛三角 形” 現(xiàn)有一顆質(zhì)量均勻的彈珠落在如圖 2 所示的萊洛三角形內(nèi)，則彈珠恰好落在三角形 ABC 內(nèi)的概率為（ 【答案】D 【解析】當(dāng) x12 時(shí)，則=1，滿足x|- 樂； 當(dāng) 12,3 時(shí)，lx 1-2 , 2 2, 6，則 2X =2，滿足x

12、| - 茲； 當(dāng) 3,4 時(shí)，lx 1-3 ,x，62.、2 U r；2x=：2 不滿足x | - 2x ； 當(dāng) x=4 時(shí)，lx 1-4 , 2x =2 2，則 2x =2，不滿足x - 2x . 10關(guān)于圓周率 二，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多有創(chuàng)意的求法，如著名的普豐實(shí)驗(yàn)和查理斯 實(shí)驗(yàn)受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì) 二的值：先請(qǐng) 120 名同學(xué)每人隨機(jī) 寫下一個(gè) x， y都小于 1 的正實(shí)數(shù)對(duì) x, y， 再統(tǒng)計(jì)其中 能與 1 構(gòu)成鈍角三角形三邊的 m 估計(jì)二的值如果統(tǒng)計(jì)結(jié)果是 m = 34，那么可以 估計(jì)二的值為（ ） 【答案】B 【解析】 0 ： x : 1 由題意，120

13、對(duì)都小于：的正實(shí)數(shù) x,y，滿足 ，面積為 1, 兩個(gè)數(shù)能與 1 構(gòu)成鈍角三角形的三邊的數(shù)對(duì) x, y， A. B.- 3 C. D. 綜上，滿足 x亠 2x的 x1,3，則 lx U 2x 的概率為 3- 1 4 2 ，故選 D. 3 數(shù)對(duì) x, y 的個(gè)數(shù) m，最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù) A. 22 7 B.勺 C. 51 D. 53 15 16 17 滿足 x2 y2 ：1 且 0 ： x : 1 ： 面積為- 4 4 12 【答案】A 【解析】彈珠落在萊洛三角形內(nèi)的每一個(gè)位置是等可能的, 由幾何概型的概率計(jì)算公式可知所求概率： （SLABC 為萊洛三角形的面積），故選 A. 12.下圖來自古希臘

14、數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形. 此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成， 三個(gè)半圓 的直徑分別為直角三角形 ABC 的斜邊 BC，直角邊AB , AC . ABC 的三邊所圍成的區(qū)域 記為 I，黑色部分記為 II，其余部分記為 山在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自 I , II , III的概率分別記為 P1 , P2 , P3，則（ ） 【解析】設(shè) AC 二 b , AB 二 c , BC 二 a，則有 b2 - ca2, 從而可以求得 ABC 的面積為S2bC， B. SA ABC SuJULLUUr 1 22 sin 60 2 3 2 3 2 二-2、3 A.卩1 = P2 【答案】A B. P1=P3

15、C. P2 = P3 D. P1 = P2 P3 C. 4 13 bc bc, 2 2黑色部分的面積為 14 其余部分的面積為 F 2 2 a 1. ra 1 . S3 be bc, 2 J 2 4 2 有 S =S2 , 根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到 Pi二 P2，故選 A. 二、填空題 13在區(qū)間 10,2 內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù) a , 則使函數(shù) f（X ） = log（2a）x 在（0, ）上為減函數(shù)的概率 1 【答案】1 4 【解析】函數(shù) f x = log 2ai x 在上為減函數(shù), 1 1 1 0 ：2a -1 d , - :：:a ：1，因此所求概率為 2 一1 2 20 4 14.記集合 A.x, y x2 y2 _16J,集合 B = x, y ix y -4 _0, x, y A 表示的平面區(qū)域 分別為，門2 .若在區(qū)域 內(nèi)任取一點(diǎn) P x, y，則點(diǎn)P落在區(qū)