2018東北三省三校二模數(shù)學(xué)(理)試題1

1、2018東北三省三校二模數(shù)學(xué)（理）試題第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】因?yàn)?，所以所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，選D.2. 設(shè)集合，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因?yàn)?，所以 ，選B.3. 等比數(shù)列中，則（ ）A. B. 4 C. D. 【答案】A【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)得因?yàn)榈缺葦?shù)列中，同號(hào)，所以，選A.4. 已知向量，若，則（ ）A. 0 B. C.

2、 D. 【答案】C【解析】因?yàn)?又因?yàn)?，所以，選C.5. 執(zhí)行如下的程序框圖，若輸出的值為，則“？”處可填（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因?yàn)?，所以?得時(shí)終止循環(huán)，因此 ，選C.6. 將7個(gè)座位連成一排，安排4個(gè)人就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法有（ ）A. 240 B. 480 C. 720 D. 960【答案】B【解析】12或67為空時(shí)，第三個(gè)空位有4種選擇；23或34或45或56為空時(shí)，第三個(gè)空位有3種選擇；因此空位共有，所以不同坐法有,選B.7. 函數(shù)的部分圖象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，所以去掉A,B;因?yàn)?，所以，因此去掉C，選D.點(diǎn)

3、睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路(1)由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性；由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)(2)由實(shí)際情景探究函數(shù)圖象關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題求解，要注意實(shí)際問(wèn)題中的定義域問(wèn)題8. 九章算術(shù)中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的外接球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】幾何體如圖，球心為O，半徑為，表面積為，選B.點(diǎn)睛：涉及球與棱柱、棱錐的

4、切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.9. 是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為1的直線與兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】設(shè)直線方程為，與漸近線方程聯(lián)立方程組解得因?yàn)?，所?，選B.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分

5、利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.10. 設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）A. 若，則B. 若,則C. 若，,，則D. 若，且，點(diǎn)，直線，則【答案】C【解析】A. 若，則或；B. 若,則無(wú)交點(diǎn)，即平行或異面；C. 若，,，過(guò)作平面與分別交于直線s,t,則,所以t,再根據(jù)線面平行判定定理得，因?yàn)椋?所以,即D. 若，且，點(diǎn)，直線，當(dāng)B在平面內(nèi)時(shí)才有,綜上選C.11. 甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加比賽，只有其中三位獲獎(jiǎng).甲說(shuō)：“乙或丙未獲獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“甲、丙都獲獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“我未獲獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“乙獲獎(jiǎng)”.四位同學(xué)的話恰有兩句是對(duì)的，則（ ）A. 甲和乙不可

6、能同時(shí)獲獎(jiǎng) B. 丙和丁不可能同時(shí)獲獎(jiǎng)C. 乙和丁不可能同時(shí)獲獎(jiǎng) D. 丁和甲不可能同時(shí)獲獎(jiǎng)【答案】C【解析】若甲乙丙同時(shí)獲獎(jiǎng)，則甲丙的話錯(cuò)，乙丁的話對(duì)；符合題意；若甲乙丁同時(shí)獲獎(jiǎng)，則乙的話錯(cuò)，甲丙丁的話對(duì)；不合題意；若甲丙丁同時(shí)獲獎(jiǎng)，則丙丁的話錯(cuò)，甲乙的話對(duì)；符合題意；若丙乙丁同時(shí)獲獎(jiǎng)，則甲乙丙的話錯(cuò)，丁的話對(duì)；不合題意；因此乙和丁不可能同時(shí)獲獎(jiǎng)，選C.12. 已知當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，則值所在的范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，令，則，再令因?yàn)殛P(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，所以，選B.二、填空題（每題4分，滿(mǎn)分20分，將答案填在答題紙上）13. 設(shè)隨機(jī)變量

7、，則_.【答案】【解析】試題分析：因?yàn)?，滿(mǎn)足二項(xiàng)分布，所以考點(diǎn)：1二項(xiàng)分布公式；14. 已知遞增的等差數(shù)列的前三項(xiàng)和為，前三項(xiàng)積為10，則前10項(xiàng)和_.【答案】85【解析】，所以公差為.點(diǎn)睛：在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)處理思路,一是利用基本量,將多元問(wèn)題簡(jiǎn)化為一元問(wèn)題,雖有一定量的運(yùn)算,但思路簡(jiǎn)潔,目標(biāo)明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形. 在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.15.

8、 函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值是_.【答案】【解析】 因?yàn)?,所以 ,因此當(dāng)時(shí)取最小值點(diǎn)睛：三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過(guò)變換把函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征16. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則與的面積之比_.【答案】【解析】由題意可得拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為。如圖，設(shè)，過(guò)A,B分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為E,N，則，解得。把代入拋物線，解得。直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，故直線AB的方程為，代入拋物線方程解得。在中，。答案：點(diǎn)睛：在解決與拋物線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意

9、拋物線的定義在解題中的應(yīng)用。拋物線定義有兩種用途：一是當(dāng)已知曲線是拋物線時(shí)，拋物線上的點(diǎn)M滿(mǎn)足定義，它到準(zhǔn)線的距離為d，則|MF|d，可解決有關(guān)距離、最值、弦長(zhǎng)等問(wèn)題；二是利用動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件符合拋物線的定義，從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線三、解答題 （本大題共6題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 17. 已知三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若.（1）求角；（2）若的外接圓半徑為2，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)；(2).試題解析：（1）由正弦定理得，即因?yàn)椋瑒t.（2）由正弦定理，周長(zhǎng)，當(dāng)即時(shí)當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)的最大值為.18. 經(jīng)調(diào)查，3個(gè)成年人中就有一個(gè)高血壓，那么什么是高血壓？血壓多少是

10、正常的？經(jīng)國(guó)際衛(wèi)生組織對(duì)大量不同年齡的人群進(jìn)行血壓調(diào)查，得出隨年齡變化，收縮壓的正常值變化情況如下表：其中：，（1）請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； （2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（的值精確到0.01）（3）若規(guī)定，一個(gè)人的收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的0.91.06倍，則為血壓正常人群；收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.061.12倍，則為輕度高血壓人群；收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.121.20倍，則為中度高血壓人群；收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.20倍及以上，則為高度高血壓人群.一位收縮壓為180mmHg的70歲的老人，屬于哪類(lèi)人群？【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)；(3)中度高血壓人群.【解析】試題分析：（

11、1）將數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)描點(diǎn)，即得散點(diǎn)圖，（2）先求均值，再代人公式求，利用求，（3）根據(jù)回歸直線方程求自變量為180時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)值，再求與標(biāo)準(zhǔn)值的倍數(shù)，確定所屬人群.試題解析：(1) （2）回歸直線方程為.（3）根據(jù)回歸直線方程的預(yù)測(cè)，年齡為70歲的老人標(biāo)準(zhǔn)收縮壓約為（mmHg）收縮壓為180mmHg的70歲老人為中度高血壓人群.19. 如圖，四棱柱的底面為菱形，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若底面，且直線與平面所成線面角的正弦值為，求的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)2.【解析】試題分析：（1）設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)平幾知識(shí)可得四邊形是平行四邊形，即得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論，（2）根據(jù)條件建立

12、空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解得平面一個(gè)法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系列等式，解得的長(zhǎng).試題解析：（1）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連因?yàn)?，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以又平面，平面，所以平?（2）因?yàn)槭橇庑危?，所以是等邊三角形取中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，所以，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則且，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得，故線段的長(zhǎng)為2.20. 橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為、，若橢圓過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的左、右頂點(diǎn)，（）為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線分別交直線：于點(diǎn)，判斷線段為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若是，求出

13、該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代人橢圓方程 并與離心率聯(lián)立方程組，解得，（2）根據(jù)點(diǎn)斜式得直線方程，與直線聯(lián)立解得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量關(guān)系得為直徑的圓方程，最后代人橢圓方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，并根據(jù)恒等式成立條件求定點(diǎn)坐標(biāo).試題解析：(1)由已知，橢圓過(guò)點(diǎn)，聯(lián)立得，橢圓方程為（2）設(shè)，已知，都有斜率將代入得設(shè)方程方程由對(duì)稱(chēng)性可知，若存在定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必在軸上，設(shè)該定點(diǎn)為則，存在定點(diǎn)或以線段為直徑的圓恒過(guò)該定點(diǎn).點(diǎn)睛：定點(diǎn)的探索與證明問(wèn)題(1)探索直線過(guò)定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出直線方程為，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn)

14、(2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無(wú)關(guān)21. 已知函數(shù)，曲線在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）證明：；（2）若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)，解得導(dǎo)數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變號(hào)規(guī)律可得函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)最小值為0，即得結(jié)論，（2）先化簡(jiǎn)不等式為，分離得，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，利用羅伯特法則求最大值，即得的取值范圍.試題解析：（1）曲線在處的切線為，即由題意得，解得所以從而因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)，從而.（2）由題意知，當(dāng)時(shí)，所以從而當(dāng)時(shí)，由

15、題意知，即，其中設(shè)，其中設(shè)，即，其中則，其中（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，所以是增函數(shù)從而當(dāng)時(shí)，所以是增函數(shù)，從而.故當(dāng)時(shí)符合題意.（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)從而當(dāng)時(shí)，所以在上是減函數(shù)，從而故當(dāng)時(shí)不符合題意.（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，所以是減函數(shù)從而當(dāng)時(shí)，所以是減函數(shù)，從而故當(dāng)時(shí)不符合題意綜上的取值范圍是.請(qǐng)考生在22、23二題中任選一題作答，如果都做，則按所做的第一題記分.22. 在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線：.以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程； （2）射線（）與曲線的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，求.【答案】(1)的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為；(2).【解析】試題分析：（1）先根據(jù)三角函數(shù)平方關(guān)系消參數(shù)得曲線，再根據(jù)將曲線的極坐標(biāo)方程；（2）將代人曲線的極坐標(biāo)方程，再根據(jù)求.試題解析：（1）曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）可化為普通方程，由，可得曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）射線（）與曲線的交點(diǎn)的